廣西桂林市國(guó)龍外校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期12月階段測(cè)試數(shù)學(xué)試題2

第1頁(yè)/共1頁(yè)20242025學(xué)年度廣西桂林市國(guó)龍外校高二數(shù)學(xué)12月階段測(cè)試卷一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，滿(mǎn)分40分；每小題有且僅的一個(gè)選項(xiàng)是正確的）1.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)空間直角坐標(biāo)系對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的特征，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為只須將縱坐標(biāo)、豎坐標(biāo)變成原來(lái)的相反數(shù)即可，即可得對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為：，所以點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為：.故選：B.2.有本不同的書(shū)，其中語(yǔ)文書(shū)本，數(shù)學(xué)書(shū)本，物理書(shū)本．若將其隨機(jī)擺放到書(shū)架的同一層上，則相同科目的書(shū)相鄰的排法有（）A.種 B.種 C.種 D.種【答案】C【解析】【分析】利用捆綁法可求得結(jié)果.【詳解】將本語(yǔ)文書(shū)捆綁、本數(shù)學(xué)書(shū)捆綁，則相同科目的書(shū)相鄰的排法種數(shù)為種.故選：C.3.“”是“直線(xiàn)與直線(xiàn)平行”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】【分析】利用充分條件、必要條件的定義，結(jié)合兩直線(xiàn)平行問(wèn)題判斷即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)為，直線(xiàn)為，兩直線(xiàn)重合；當(dāng)直線(xiàn)與直線(xiàn)平行時(shí)，，解得或，而時(shí)，兩直線(xiàn)重合，當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)為，直線(xiàn)為，兩直線(xiàn)平行，因此直線(xiàn)與直線(xiàn)平行時(shí)，，則，所以“”是“直線(xiàn)與直線(xiàn)平行”既不充分也不必要條件.故選：D4.與橢圓有相同焦點(diǎn)，且短軸長(zhǎng)為2的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】把已知橢圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法進(jìn)行求解即可.【詳解】橢圓可化為標(biāo)準(zhǔn)方程，可知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，該橢圓的半焦距長(zhǎng)為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故可設(shè)所求橢圓方程為，則.又，即，所以，故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故選：B5.如圖，在四面體中，，，，為的重心，為的中點(diǎn)，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)三角形重心的性質(zhì)，結(jié)合空間向量線(xiàn)性運(yùn)算的幾何意義、空間向量基本定理進(jìn)行求解即可.【詳解】連接，并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，則為的中點(diǎn)，且，.故選：C6.某醫(yī)學(xué)院校計(jì)劃從5名男生和3名女生中選派2人參加義診活動(dòng)，則在派出的2人中第1人是男生的條件下，第2人恰好是女生的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】運(yùn)用條件概率公式，結(jié)合古典概型，組合和組合數(shù)公式計(jì)算即可.【詳解】記“派出的2人中第1人是男生”為事件A，“第2人恰好是女生”為事件.則.故選：C.7.若直線(xiàn)與曲線(xiàn)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A.] B. C. D.【答案】A【解析】【分析】畫(huà)出圖形，求出直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合再由圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑和斜率的定義求解即可；【詳解】曲線(xiàn)即為半圓：，其圖象如圖所示，曲線(xiàn)與軸的交點(diǎn)為，而直線(xiàn)為過(guò)的動(dòng)直線(xiàn)，當(dāng)直線(xiàn)與半圓相切時(shí)，有，解得，當(dāng)直線(xiàn)過(guò)時(shí)，有，因?yàn)橹本€(xiàn)與半圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，故，故選：A.8.已知圓，直線(xiàn)，若與圓交于，兩點(diǎn)，設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)直線(xiàn)求出定點(diǎn)得出圓心，再結(jié)合數(shù)量積公式得，最后結(jié)合不等式性質(zhì)計(jì)算得出最大值即可.【詳解】由于，故恒過(guò)定點(diǎn)，這恰好是圓的圓心，同樣記該點(diǎn)為.所以，且，同時(shí)顯然有.所以.從而，得.故，從而，故.另一方面，對(duì)，，直接計(jì)算可知的中點(diǎn)為，且.故，均圓上，此時(shí)，而，故.綜上，的最大值是.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵點(diǎn)是得出應(yīng)用向量數(shù)量積公式化簡(jiǎn)求解.二、多項(xiàng)選擇題（本題共2小題，每小題6分，滿(mǎn)分12分，每小題至少有兩個(gè)選項(xiàng)是正確的）9.某工廠進(jìn)行產(chǎn)品質(zhì)量抽測(cè)，兩位員工隨機(jī)從生產(chǎn)線(xiàn)上各抽取數(shù)量相同的一批產(chǎn)品，已知在兩人抽取的一批產(chǎn)品中均有5件次品，員工A從這一批產(chǎn)品中有放回地隨機(jī)抽取3件產(chǎn)品，員工B從這一批產(chǎn)品中無(wú)放回地隨機(jī)抽取3件產(chǎn)品．設(shè)員工A抽取到的3件產(chǎn)品中次品數(shù)量為X，員工B抽取到的3件產(chǎn)品中次品數(shù)量為Y，，1，2，3．則下列判斷正確的是（）A.隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布 B.隨機(jī)變量Y服從超幾何分布C. D.【答案】ABD【解析】【分析】由二項(xiàng)分布的定義判斷A，由超幾何分布的定義判斷B，根據(jù)二項(xiàng)分布與超幾何分布的均值公式求得均值判斷D，利用概率與均值的關(guān)系可通過(guò)D來(lái)反證說(shuō)明C．【詳解】對(duì)于A，B選項(xiàng)，由超幾何分布和二項(xiàng)分布的概念可知兩個(gè)選項(xiàng)均正確；對(duì)于D選項(xiàng)，該批產(chǎn)品有M件，員工A有放回地抽取一件產(chǎn)品為次品的概率為，抽取3件產(chǎn)品，次品數(shù)，則，員工B無(wú)放回地隨機(jī)抽取3件，因此次品數(shù)服從超幾何分布，，（），，因此D正確；對(duì)于C選項(xiàng)，假若C正確可得，則D錯(cuò)誤，矛盾！故C錯(cuò)誤．故選：ABD.10.已知點(diǎn)為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線(xiàn)上位于第一象限內(nèi)的點(diǎn)，直線(xiàn)為拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)，點(diǎn)在直線(xiàn)上，若，，，且直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于另一點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.直線(xiàn)的傾斜角為B.拋物線(xiàn)的方程為C.D.點(diǎn)在以線(xiàn)段為直徑的圓上【答案】BCD【解析】【分析】過(guò)點(diǎn)作，垂足為，根據(jù)拋物線(xiàn)的定義知，得到，利用二倍角的正切公式求出可判斷A；根據(jù)為等腰直角三角形，可求出可判斷B；將直線(xiàn)的方程與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求出的值可判斷C；設(shè)線(xiàn)段的中點(diǎn)為，求出的坐標(biāo)，得到可判斷D.【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，由拋物線(xiàn)的定義知，與全等，則，，，，，，則，直線(xiàn)的傾斜角為，故A錯(cuò)誤；設(shè)直線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，則，由上可知，，則為等腰直角三角形，，，得，所以?huà)佄锞€(xiàn)方程為，故B正確；由上可知，直線(xiàn)方程為，設(shè)Px1,y，，聯(lián)立，整理得，則，，則，，故C正確；設(shè)線(xiàn)段的中點(diǎn)為，則，，，由上可知，則，又，點(diǎn)在以線(xiàn)段為直徑的圓上，故D正確.故選：BCD.三、填空題（本題共4小題，第小題5分，滿(mǎn)分20分）11.的二項(xiàng)展開(kāi)式中，項(xiàng)的系數(shù)為_(kāi)_______．【答案】135【解析】【分析】寫(xiě)出二項(xiàng)式的通項(xiàng)，取，即得項(xiàng)的系數(shù).【詳解】的通項(xiàng)為使，解得，即得項(xiàng)的系數(shù)為.故答案為：135.12.正八面體中，以其頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐的個(gè)數(shù)為_(kāi)__________（用數(shù)字作答）．【答案】12【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用幾何圖形的組合計(jì)數(shù)問(wèn)題，結(jié)合排除法列式計(jì)算即得.【詳解】作出正八面體，如圖，正八面體共有6個(gè)頂點(diǎn)，其中有3組不同的四點(diǎn)共面，則以正八面體頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐的個(gè)數(shù)為.故答案為：1213.某同學(xué)第1天午餐時(shí)隨機(jī)選擇中的一家就餐，若第1天去餐廳，則第2天去餐廳的概率為0.6；若第1天去餐廳，則第2天去餐廳的概率為0.8．則該同學(xué)第2天去餐廳的概率為_(kāi)____．【答案】0.3##【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合全概率公式可直接求得.【詳解】設(shè)“第天去餐廳就餐”，“第天去餐廳就餐”，則對(duì)立且，所以．故答案為：0.3.14.年月，歐內(nèi)斯特·盧瑟福在《哲學(xué)》雜志上發(fā)表論文.在這篇論文中，他描述了用粒子轟擊厚的金箔時(shí)拍攝到的運(yùn)動(dòng)情況.在進(jìn)行這個(gè)實(shí)驗(yàn)之前，盧瑟福希望粒子能夠通過(guò)金箔，就像子彈穿過(guò)雪一樣，事實(shí)上，有極小一部分粒子從金箔上反彈.如圖顯示了盧瑟福實(shí)驗(yàn)中偏轉(zhuǎn)的粒子遵循雙曲線(xiàn)一支的路徑，則該雙曲線(xiàn)的離心率為_(kāi)_________；如果粒子的路徑經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則該粒子路徑的頂點(diǎn)距雙曲線(xiàn)的中心__________cm.【答案】①.②.【解析】【分析】根據(jù)漸近線(xiàn)傾斜角可得離心率為，代入點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算即可得雙曲線(xiàn)方程，求得結(jié)果.【詳解】由題意可知雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)方程為，即可得，因此離心率為；設(shè)雙曲線(xiàn)的方程為，將代入計(jì)算可得，解得；所以該粒子路徑的頂點(diǎn)距雙曲線(xiàn)的中心cm.故答案為：；；【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于利用題目信息，根據(jù)漸近線(xiàn)傾斜角得出離心率，再由過(guò)的點(diǎn)坐標(biāo)得出實(shí)半軸長(zhǎng).四、解答題（本題共6大題，滿(mǎn)分78分）15.在直角坐標(biāo)系中，，，且圓是以為直徑的圓.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線(xiàn)與圓相切，求實(shí)數(shù)的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由為直徑，可知圓心及半徑，進(jìn)而可得圓的方程；（2）根據(jù)直線(xiàn)與圓相切，結(jié)合點(diǎn)到直線(xiàn)的距離可得解.【小問(wèn)1詳解】由已知，，則M1,1，半徑，所以圓的方程為；【小問(wèn)2詳解】由直線(xiàn)，即，又直線(xiàn)與圓相切，可得，解得.16.文旅部門(mén)統(tǒng)計(jì)了某網(wǎng)紅景點(diǎn)在2022年3月至7月的旅游收入（單位：萬(wàn)），得到以下數(shù)據(jù)：月份34567旅游收入1012111220（1）根據(jù)表中所給數(shù)據(jù)，用相關(guān)系數(shù)加以判斷，是否可用線(xiàn)性回歸模型擬合與的關(guān)系？若可以，求出關(guān)于之間的線(xiàn)性回歸方程；若不可以，請(qǐng)說(shuō)明理由（精確到0.001）；（2）為調(diào)查游客對(duì)該景點(diǎn)的評(píng)價(jià)情況，隨機(jī)抽查了200名游客，得到如下列聯(lián)表，請(qǐng)?zhí)顚?xiě)下面的列聯(lián)表，并判斷能否有99.9%的把握認(rèn)為“游客是否喜歡該網(wǎng)紅景點(diǎn)與性別有關(guān)”.喜歡不喜歡總計(jì)男100女60總計(jì)110參考公式：相關(guān)系數(shù)，參考數(shù)據(jù)：，線(xiàn)性回歸方程：，其中，，，其中.臨界值表：0.0100.0050.0016.6357.87910.828【答案】（1）可用線(xiàn)性回歸模型擬合與的關(guān)系，.（2）列聯(lián)表見(jiàn)解析，有99.9%的把握認(rèn)為游客是否喜歡該網(wǎng)紅景點(diǎn)與性別有關(guān).【解析】【分析】（1）先依據(jù)已知條件依次計(jì)算、、、和，進(jìn)而計(jì)算，從而得出可用線(xiàn)性回歸模型擬合與的關(guān)系，再根據(jù)最小二乘法求出即可得解.（2）由已知數(shù)據(jù)即可填寫(xiě)列聯(lián)表；根據(jù)表格數(shù)據(jù)計(jì)算，再結(jié)合獨(dú)立性檢驗(yàn)基本思想方法即可得解.【小問(wèn)1詳解】由已知得：，，所以，，，所以，因?yàn)?，說(shuō)明與的線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系很強(qiáng)，可用線(xiàn)性回歸模型擬合與的關(guān)系，所以，所以關(guān)于的線(xiàn)性回歸方程為：.【小問(wèn)2詳解】列聯(lián)表如下所示：喜歡不喜歡總計(jì)男7030100女4060100總計(jì)11090200零假設(shè)：游客是否喜歡該網(wǎng)紅景點(diǎn)與性別無(wú)關(guān)，根據(jù)列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)推斷不成立，即有的把握認(rèn)為游客是否喜歡該網(wǎng)紅景點(diǎn)與性別有關(guān).17.已知雙曲線(xiàn)的實(shí)軸長(zhǎng)為，點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上.（1）求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)雙曲線(xiàn)的左焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的另一個(gè)交點(diǎn)為，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)雙曲線(xiàn)實(shí)軸長(zhǎng)得到，代入，求出，得到雙曲線(xiàn)方程；（2）寫(xiě)出直線(xiàn)的方程，與雙曲線(xiàn)方程聯(lián)立，得到兩根之和，兩根之積，由弦長(zhǎng)公式得到，求出點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，從而求出三角形面積.【小問(wèn)1詳解】由已知雙曲線(xiàn)的實(shí)軸長(zhǎng)為，即得，所以雙曲線(xiàn)方程為，又雙曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，則，解得，則雙曲線(xiàn)方程；【小問(wèn)2詳解】由已知直線(xiàn)，即，聯(lián)立直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)，即，得，，且，，則弦長(zhǎng)又為雙曲線(xiàn)的左焦點(diǎn)，，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，所以的面積，所以的面積為.18.甲、乙兩人準(zhǔn)備進(jìn)行羽毛球比賽，比賽規(guī)定：一回合中贏球的一方作為下一回合的發(fā)球方.若甲發(fā)球，則本回合甲贏的概率為，若乙發(fā)球，則本回合甲贏的概率為，每回合比賽的結(jié)果相互獨(dú)立.經(jīng)抽簽決定，第1回合由甲發(fā)球.（1）求前4個(gè)回合甲發(fā)球兩次的概率；（2）求第4個(gè)回合甲發(fā)球的概率；（3）設(shè)前4個(gè)回合中，甲發(fā)球的次數(shù)為，求的分布列及期望.【答案】（1）（2）（3）分布列見(jiàn)解析，【解析】【分析】（1）前4個(gè)回合甲發(fā)球兩次可分為3種情況，分別求概率再相加即可；（2）先求出第2回合甲乙發(fā)球的概率，進(jìn)而得到第3回合甲乙發(fā)球的概率，進(jìn)而可得第4回合甲乙發(fā)球的概率；（3）根據(jù)隨機(jī)變量的取值，利用獨(dú)立性概率公式可得.【小問(wèn)1詳解】前4個(gè)回合甲發(fā)球兩次的情況分以下三種：第一種情況，甲第1，2回合發(fā)球，乙第3，4回合發(fā)球，其概率為.第二種情況，甲第1，3回合發(fā)球，乙第2，4回合發(fā)球，其概率為.第三種情況，甲第1，4回合發(fā)球，乙第2，3回合發(fā)球，其概率為.故前4個(gè)回合甲發(fā)球兩次的概率為.【小問(wèn)2詳解】第2回合甲發(fā)球的概率為，乙發(fā)球的概率為.第3回合甲發(fā)球的概率為，乙發(fā)球的概率為.第4個(gè)回合甲發(fā)球的概率為.【小問(wèn)3詳解】可以取1，2，3，4.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；由（1）得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.的分布列為1234.19.如圖，在長(zhǎng)方體中，，，點(diǎn)在上，且.（1）求直線(xiàn)與直線(xiàn)所成角的大??；（2）求直線(xiàn)與平面所成角正弦值；（3）若點(diǎn)在側(cè)面上，且點(diǎn)到直線(xiàn)和的距離相等，求點(diǎn)P到直線(xiàn)距離的最小值．【答案】（1）（2）（3）1【解析】【分析】（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線(xiàn)為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出直線(xiàn)與直線(xiàn)的方向向量運(yùn)算得解；（2）求出平面的一個(gè)法向量，利用向量法求解；（3）設(shè)出點(diǎn)，可得，利用點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式求解.【小問(wèn)1詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線(xiàn)為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：,則，，所以直線(xiàn)與直線(xiàn)所成角為.【小問(wèn)2詳解】設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，因?yàn)?，所以，即，令，則，所以，設(shè)直線(xiàn)與平面所成角為，則，所以直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為.【小問(wèn)3詳解】設(shè)，根據(jù)題意有，即，，則點(diǎn)到的距離，