皖豫名校2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期摸底考試數(shù)學(xué)試題2

第1頁(yè)/共1頁(yè)皖豫名校2024—2025學(xué)年（上）高三摸底考試數(shù)學(xué)（※試題冊(cè)※）考生注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題紙上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．3．回答非選擇題時(shí)，必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，將答案寫(xiě)在答題卡上各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上．如需改動(dòng)，先劃掉原先答案，然后再寫(xiě)上新的答案，不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液．寫(xiě)在本試卷上無(wú)效．不按照以上要求作答的答案無(wú)效．4．考生必須保持答題卡整潔．考試結(jié)束后，將本試卷與答題卡一并交回．一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求．1.已知集合，集合，則的真子集的個(gè)數(shù)為（

）A.3 B.4 C.7 D.8【答案】A【解析】【分析】先將兩方程聯(lián)立求出中的元素，再可求出出的真子集的個(gè)數(shù).【詳解】由，得或，所以，則中有2個(gè)元素，所以的真子集的個(gè)數(shù)為.故選：A2.已知，復(fù)數(shù)，則“”是“復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法法則計(jì)算，并根據(jù)所在象限得到不等式，求出，得到結(jié)論.【詳解】由，若復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，則可得，故“”是“復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于第一象限”的充要條件．故選：C．3.的展開(kāi)式中，的系數(shù)是（）A.120 B.120 C.60 D.30【答案】A【解析】【分析】利用二項(xiàng)式定理展開(kāi)，求得的第3項(xiàng)為，繼續(xù)求得的展開(kāi)式第3項(xiàng)為，即可求得的系數(shù).【詳解】，展開(kāi)式的第項(xiàng)為，令，可得第3項(xiàng)為，的展開(kāi)式的第項(xiàng)為，令，可得第3項(xiàng)為，所以的展開(kāi)式中，的系數(shù)是．故選：A．4.2024年7月27日，在印度新德里召開(kāi)的聯(lián)合國(guó)教科文組織第46屆世界遺產(chǎn)大會(huì)通過(guò)決議，將“北京中軸線(xiàn)——中國(guó)理想都城秩序的杰作”列入《世界遺產(chǎn)名錄》．北京中軸線(xiàn)實(shí)際上不是正南正北的，它向西偏離了子午線(xiàn)約，下列各式與不相等的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)二倍角公式逐一判斷A、B、D，利用同角間關(guān)系可判斷C.【詳解】對(duì)于A，由二倍角公式可得；對(duì)于B，由二倍角公式可得；對(duì)于C，因?yàn)椋裕粚?duì)于D，由二倍角公式可得.故選：D.5.我國(guó)古代名著《張邱建算經(jīng)》中記載：“今有方錐，下廣二丈，高三丈．欲斬末為方亭，令上方六尺．問(wèn)：斬高幾何？”大致意思是：有一個(gè)正四棱錐的下底面邊長(zhǎng)為二丈，高為三丈，現(xiàn)從上面截去一段，使之成為正四棱臺(tái)，且正四棱臺(tái)的上底面邊長(zhǎng)為六尺，則截去的正四棱錐的高是多少？如果我們把求截去的正四棱錐的高改為求剩下的正四棱臺(tái)的體積，則該正四棱臺(tái)的體積是（）（注：1丈=10尺）A.立方尺 B.立方尺 C.3892立方尺 D.11676立方尺【答案】C【解析】【分析】由棱臺(tái)的特征及其體積公式計(jì)算即可.【詳解】如圖所示，由四棱錐IABCD截得棱臺(tái)ABCDEFGH，W、X分別為上下底面的中心，即IX為棱錐的高，WX為棱臺(tái)的高，由題意可知棱臺(tái)上下底面均為正方形，故其上下底面面積分別為，則，棱錐的高，由棱臺(tái)的性質(zhì)可知，所以棱臺(tái)的高.故（立方尺）.故選：C6.若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析】由函數(shù)直接可得單調(diào)遞增區(qū)間，進(jìn)而可得參數(shù)取值范圍.【詳解】由，可得當(dāng)時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，即，當(dāng)時(shí)，，又函數(shù)在，所以，即的最大值為，故選：C.7.已知點(diǎn)，在圓上，點(diǎn)，，則使得是面積為的等邊三角形的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】【分析】由面積公式先得長(zhǎng)，根據(jù)正三角形與圓的對(duì)稱(chēng)性判定三點(diǎn)共線(xiàn)，再根據(jù)兩圓的位置關(guān)系判定即可.【詳解】設(shè)中點(diǎn)為E，由正三角形面積公式可知，由正三角形及圓的對(duì)稱(chēng)性可知，則三點(diǎn)共線(xiàn)，而，因?yàn)?，所以P在以為圓心，2為半徑的圓上，由圓的位置關(guān)系可知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得，此時(shí)，即滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P只有一個(gè).故選：A8.設(shè)函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用函數(shù)零點(diǎn)的定義，轉(zhuǎn)化為函數(shù)，在上的圖象有公共點(diǎn)求解.【詳解】由，得，依題意，在上有解，記，，因此函數(shù)在上的圖象有公共點(diǎn)，，如圖，當(dāng)時(shí)，，顯然函數(shù)在上的圖象無(wú)公共點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象都關(guān)于對(duì)稱(chēng)，得，即，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷方法：(1)直接法：直接求出f(x)=0的解；(2)圖象法：作出函數(shù)f(x)的圖象，觀察與x軸公共點(diǎn)個(gè)數(shù)或者將函數(shù)變形為易于作圖的兩個(gè)函數(shù)，作出這兩個(gè)函數(shù)的圖象，觀察它們的公共點(diǎn)個(gè)數(shù).二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知無(wú)窮數(shù)列和的各項(xiàng)均為整數(shù)，和是非常數(shù)數(shù)列，且和中存在大小相等的項(xiàng)，則下列說(shuō)法一定正確的是（）A.若和是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列，如果所有相等的項(xiàng)不止一項(xiàng)，則這些項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列B.若和{是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，如果所有相等的項(xiàng)不止一項(xiàng)，則這些項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列C.若為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，則所有相等的項(xiàng)不止一項(xiàng)D.若為遞增數(shù)列，為遞減數(shù)列，則所有相等的項(xiàng)可能只有一項(xiàng)【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)等差和等比數(shù)列的性質(zhì)即可求解AB，舉例即可說(shuō)明CD.【詳解】對(duì)于A，由于，是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列，若，公共項(xiàng)的最小的一項(xiàng)記為于，且，的公差分別為，若的最小公倍數(shù)為，則均為，的公共項(xiàng),且構(gòu)成等差，故A正確.對(duì)于B，由于，是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，若，公共項(xiàng)的最小的一項(xiàng)記為于，且，的公比分別為，則均為，的公共項(xiàng)，且構(gòu)成等比，故B正確.對(duì)于C，若，，則，只有1項(xiàng)是公共項(xiàng)，C錯(cuò)誤.對(duì)于D，若，由于，則，公共項(xiàng)只有，故D正確.故選：ABD10.已知中，角A，B，C所對(duì)邊分別為a，b，c，其中，，，，則（）A.B.的外接圓面積為C.若，，則D.若，，則【答案】BCD【解析】【分析】本題考查了向量的數(shù)量積、利用正余弦定理解三角形和三角恒等變換，是中檔題.先由向量的數(shù)量積、正弦定理和三角恒等變換得，則，再由利用正余弦定理解三角形逐一判定即可.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，依題意，，則，由正弦定理，，因?yàn)?，且，故，故，因?yàn)?，故，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，由選項(xiàng)A可知，，故其外接圓面積為，故B正確；對(duì)于C、D選項(xiàng)，因?yàn)?，記，所以，，，，在中，由正弦定理，，即，在中，由余弦定理，，故，解得，因?yàn)?，則，，故C、D正確；故選：BCD.11.已知單位向量，，兩兩的夾角均為，若空間向量滿(mǎn)足，則有序?qū)崝?shù)組稱(chēng)為向量在“仿射”坐標(biāo)系（為坐標(biāo)原點(diǎn)）下的“仿射”坐標(biāo)，記作，則下列命題是真命題的為（）A.已知，，則B.已知，，其中，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，向量的夾角取得最小值C.已知，，則D.已知，，，則三棱錐的表面積【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)已知，借組圖形，利用向量的線(xiàn)性運(yùn)算以及數(shù)量積運(yùn)算進(jìn)行求解.【詳解】對(duì)于A，，因?yàn)椋?，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，如圖所示，設(shè)，，則點(diǎn)A在平面上，點(diǎn)在軸上，由圖易知當(dāng)時(shí)，取得最小值，即向量與的夾角取得最小值，故B正確；對(duì)于C，根據(jù)“仿射”坐標(biāo)的定義可得，，故C正確；對(duì)于D，由已知可得三棱錐為正四面體，棱長(zhǎng)為1，其表面積，故D錯(cuò)誤．故選：BC．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知變量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表，對(duì)表中數(shù)據(jù)作分析，發(fā)現(xiàn)與之間具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系，利用最小二乘法，計(jì)算得到經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，據(jù)此模型預(yù)測(cè)，當(dāng)時(shí)的值為_(kāi)_________．1234534.54.86.46.3【答案】10.95【解析】【分析】經(jīng)驗(yàn)回歸直線(xiàn)方程過(guò)樣本點(diǎn)的中心，所以把代入求得的值，再代入求解即可.【詳解】由已知得，即樣本點(diǎn)中心，因?yàn)榻?jīng)驗(yàn)回歸直線(xiàn)方程過(guò)樣本點(diǎn)的中心，所以，解得，所以，當(dāng)時(shí)，.故答案為：10.9513.若函數(shù)，，則______.【答案】【解析】【分析】令，再利用函數(shù)的奇偶性即可求解.【詳解】因?yàn)?，令，則，所以，所以為奇函數(shù)，所以，即，解得，故答案為：14.已知函數(shù)滿(mǎn)足對(duì)任意的，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】運(yùn)用分段函數(shù)單調(diào)性知識(shí)，結(jié)合一次函數(shù)和指數(shù)型函數(shù)單調(diào)性知識(shí)可解.【詳解】由題意，為定義在上的減函數(shù)，則各段為減函數(shù)，還要區(qū)間端點(diǎn)附近遞減，所以，解得，則.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.已知三棱錐底面，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)為線(xiàn)段上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在線(xiàn)段上.（1）若∥平面，求證：為的中點(diǎn)；（2）若為的中點(diǎn)，求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)詳解（2）【解析】【分析】（1）由線(xiàn)面平行的性質(zhì)可得，即可得結(jié)果；（2）方法一：建系標(biāo)點(diǎn)，利用空間向量求線(xiàn)面夾角；方法二：做輔助線(xiàn)，可證平面，進(jìn)而可得線(xiàn)面夾角；方法三：利用等體積法求到平面的距離，進(jìn)而可得線(xiàn)面夾的正弦值.【小問(wèn)1詳解】連結(jié)，因?yàn)椤纹矫嫫矫?，平面平面，則，又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以是中點(diǎn).【小問(wèn)2詳解】方法一：因?yàn)榈酌?，如圖建立坐標(biāo)系，則，，，，可得，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，可得，則，因此直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為；方法二：取中點(diǎn)，因?yàn)?，則，因?yàn)榈酌?，底面，則，且，，平面，則平面，由平面，可得，且，平面，所以平面，可知即為直線(xiàn)與平面所成角，且則.所以直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為；方法三：設(shè)到平面的距離為，可得，則，即，解得，則，所有直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.16.在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，滿(mǎn)足.（1）若，求；（2）若是銳角三角形，且，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】分析】（1）根據(jù)利用正弦定理結(jié)合三角恒等變換可得，結(jié)合即可得結(jié)果；（2）由銳角三角形可得，利用正弦定理運(yùn)算求解即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，由正弦定理可得，則，整理得，因?yàn)椋瑒t，則，即，由，得，則，．【小問(wèn)2詳解】因?yàn)槭卿J角三角形，則，解得，則，由正弦定理得，得，可得，所以的取值范圍為.17.在機(jī)器學(xué)習(xí)中，精確率、召回率、卡帕系數(shù)是衡量算法性能的重要指標(biāo)．科研機(jī)構(gòu)為了測(cè)試某型號(hào)掃雷機(jī)器人的檢測(cè)效果，將模擬戰(zhàn)場(chǎng)分為100個(gè)位點(diǎn)，并在部分位點(diǎn)部署地雷．掃雷機(jī)器人依次對(duì)每個(gè)位點(diǎn)進(jìn)行檢測(cè)，表示事件“選到的位點(diǎn)實(shí)際有雷”，表示事件“選到的位點(diǎn)檢測(cè)到有雷”，定義：精確率，召回率，卡帕系數(shù)，其中．（1）若某次測(cè)試的結(jié)果如下表所示，求該掃雷機(jī)器人的精確率和召回率．

實(shí)際有雷實(shí)際無(wú)雷總計(jì)檢測(cè)到有雷402464檢測(cè)到無(wú)雷102636總計(jì)5050100（2）對(duì)任意一次測(cè)試，證明：．（3）若，則認(rèn)為機(jī)器人的檢測(cè)效果良好；若，則認(rèn)為檢測(cè)效果一般；若，則認(rèn)為檢測(cè)效果差．根據(jù)卡帕系數(shù)評(píng)價(jià)（1）中機(jī)器人的檢測(cè)效果．【答案】（1）；．（2）證明見(jiàn)解析（3）【解析】【分析】（1）利用條件概率的計(jì)算公式計(jì)算即可；（2）由條件概率與互斥事件的概率公式證明即可；（3）由（2）計(jì)算出的值，判斷機(jī)器人的檢測(cè)效果即可.【小問(wèn)1詳解】，．【小問(wèn)2詳解】，要證明，需證明．等式右邊：．等式左邊：因?yàn)?，所以．等式左右兩邊相等，因此成立．【小?wèn)3詳解】由（2）得，因?yàn)?，所以?）中機(jī)器人的檢測(cè)效果一般．18.設(shè)點(diǎn)為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線(xiàn)與交于兩點(diǎn)（為坐標(biāo)原點(diǎn)）．（1）求拋物線(xiàn)的方程；（2）過(guò)點(diǎn)作兩條斜率分別為的直線(xiàn)，它們分別與拋物線(xiàn)交于點(diǎn)和．已知，問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù)，使得為定值？若存在，求的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）（2）存在【解析】【分析】（1）寫(xiě)出直線(xiàn)的方程，與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，結(jié)合三角形面積，即可求解；（2）聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的方程，結(jié)合弦長(zhǎng)公式，求出，由已知建立關(guān)系推理，即可說(shuō)明理由.【小問(wèn)1詳解】物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，直線(xiàn)的方程，由，得，設(shè)Ax所以，所以，所以，且所以，所以?huà)佄锞€(xiàn)的方程為．【小問(wèn)2詳解】存在，使得為定值，由題意可得直線(xiàn)的方程，直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立，得，設(shè)，所以，，所以，設(shè)，同理可得，所以，由，得，即，而，所以，所以存在，使得為定值0．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問(wèn)的關(guān)鍵是利用坐標(biāo)表示弦長(zhǎng)，并結(jié)合韋達(dá)定理，即可求解.19.設(shè)實(shí)系數(shù)一元二次方程①，有兩根，則方程可變形為，展開(kāi)得②，比較①②可以得到這表明，任何一個(gè)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系為：兩個(gè)根的和等于一次項(xiàng)系數(shù)與二次項(xiàng)系數(shù)的比的相反數(shù)，兩個(gè)根的積等于常數(shù)項(xiàng)與二次項(xiàng)系數(shù)的比.這就是我們熟知的一元二次方程的韋達(dá)定理.事實(shí)上，與二次方程類(lèi)似，一元三次方程也有韋達(dá)定理.設(shè)方程有三個(gè)根，則有③（1）證明公式③，即一元三次方程的韋達(dá)定理；（2）已知函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn).（i）求證：的其中一個(gè)零點(diǎn)大于0，另一個(gè)零點(diǎn)大于且小于0；（ii）求的取值范圍.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）（i）證明見(jiàn)解析；（ii）.【解析】【分析】（1）將展開(kāi)，對(duì)比兩個(gè)方程即可得證