《高等數(shù)學(下冊)》課件-第10章

第10章級數(shù)10.1數(shù)項級數(shù)的概念與性質(zhì)

10.2正項級數(shù)及其審斂法

10.3交錯級數(shù)、絕對收斂與條件收斂

10.4冪級數(shù)10.5函數(shù)的冪級數(shù)展開及應(yīng)用10.6傅里葉級數(shù)

10.1數(shù)項級數(shù)的概念與性質(zhì)

10.1.1數(shù)項級數(shù)的概念

定義10-1給定一個數(shù)列u1、u2、u3、…、un、…，則稱u1+u2+…+un+…為常數(shù)項無窮級數(shù)，簡稱級數(shù).記為

，即

其中，un稱為一般項或通項.

我們把式(10-1)的前n項的和sn=u1+u2+u3+…+un稱為級數(shù)的前n項和或部分和。(10-1)常見的級數(shù)有：

(1)算術(shù)級數(shù)：a1+(a1+d)+(a1+2d)+…+(a1+(n－1)d)+…

(2)幾何級數(shù)：a+aq+aq2…+aqn－1+…

(3)P-級數(shù)：

…，當p=1時稱為調(diào)和級數(shù).

級數(shù)是無窮多個數(shù)的累加的結(jié)果，所以不能像有限個數(shù)那樣直接逐項累加，但我們可以先求部分和，然后運用極限的方法來解決這個無窮多項累加的問題.

定義10-2如果n→∞時，級數(shù)(10-1)的部分和數(shù)列sn

的極限存在且為s，即 ，稱無窮級數(shù)(10-1)收斂，并稱極限值s為該級數(shù)的和，即

如果n→∞時，sn極限不存在，則稱級數(shù)是發(fā)散的.

顯然，當級數(shù) 收斂時，其部分和sn是級數(shù)和s的近似值，它們之間的差值

rn=s－sn=un+1+un+2+un+3+…

稱為級數(shù) 的余項.

例10-1討論等比級數(shù)(幾何級數(shù))

=a+aq+aq2…+aqn+…的斂散性，其中，a≠0，q叫做級數(shù)的公比.

解如果｜q｜≠1，則部分和

當｜q｜<1時， ，此時級數(shù) 收斂，其和為 .

當｜q｜>1時， ，此時級數(shù) 發(fā)散。如果｜q｜=1，則當q=1時， ，級數(shù) 發(fā)散；當q=－1時，級數(shù) 成為a－a+a－a+…,sn隨著n為奇數(shù)或偶數(shù)而等于a或零，從而sn的極限不存在，所以級數(shù) 也發(fā)散.所以當｜q｜=1時，該級數(shù)發(fā)散.

綜上所述，如果｜q｜<1，級數(shù) 收斂，其和為 ；如果｜q｜≥1，則級數(shù) 發(fā)散.

例10-2證明級數(shù)1+2+3+…+n+…是發(fā)散的.

證此級數(shù)的部分和為

顯然 ，所以該級數(shù)發(fā)散.

例10-3判斷無窮級數(shù)

的斂散性.

解由于

因此從而

所以級數(shù) 收斂，其和為1.

例10-4判斷級數(shù) 的斂散性.

解因為得

Sn=(ln2－ln1)+(ln3－ln2)+ln(n+1)－lnn=ln(n+1)→∞

所以級數(shù) 發(fā)散.

10.1.2數(shù)項級數(shù)的基本性質(zhì)

因為發(fā)散級數(shù)沒有和，如果使用了發(fā)散級數(shù)的和，會導致錯誤的結(jié)果，所以判斷級數(shù)是否收斂是非常重要的.應(yīng)用數(shù)列極限的有關(guān)性質(zhì)可推得級數(shù)的一些重要性質(zhì).

性質(zhì)10-1級數(shù)與級數(shù) (常數(shù)k≠0)斂散性相同，且若 收斂于s，則 收斂于ks.

性質(zhì)10-2若級數(shù) 與 分別收斂于a與b，則級數(shù) 收斂于a±b.

性質(zhì)10-3添加、去掉或改變級數(shù)的有限項，級數(shù)的斂散性不變.

性質(zhì)10-4

(兩邊夾定理)如果un≤vn≤wn且 和

都收斂，則 也收斂.以上四個性質(zhì)用于判定級數(shù)斂散性時，都需要把判定級數(shù)與已知斂散性的級數(shù)作比較，可稱之為比較判別法.下面再給出一個通過級數(shù)本身即可判定其斂散性的方法.

性質(zhì)10-5

(級數(shù)收斂的必要條件)若級數(shù) 收斂，則

.

證設(shè)級數(shù) 的部分和為sn，且 ，則

由性質(zhì)10-5可知，級數(shù)的一般項不趨于零，該級數(shù)一定發(fā)散.

例10-5判斷級數(shù) 的斂散性

解因為 不存在，所以，級數(shù)

發(fā)散.

10.2正項級數(shù)及其審斂法

10.2.1正項級數(shù)

正項級數(shù)是一類比較簡單而重要的級數(shù)，在研究其他級數(shù)斂散性問題時，常常歸結(jié)為正項級數(shù)斂散性的討論.

定義10-3設(shè)給定一個級數(shù) ，如果它的每一項都是非負的，即

un≥0，n=1，2，…

則稱級數(shù) 為正項級數(shù).10.2.2正項級數(shù)的審斂法

由正項級數(shù)定義可知，正項級數(shù)的部分和sn滿足：sn+1－sn=un+1≥0，因而有sn+1≥sn(n=1，2，…)，即正項級數(shù)的部分和數(shù)列是單調(diào)遞增的，根據(jù)單調(diào)有界數(shù)列的極限存在準則可知，當｛sn｝有上界時，正項級數(shù)就收斂；當｛sn｝無上界時，正項級數(shù)就發(fā)散，于是有下列結(jié)論.

定理10-1

(正項級數(shù)收斂準則)正項級數(shù)收斂的充要條件是：它的部分和數(shù)列｛sn｝有界.

例10-6證明 是收斂的.

證因為

于是對任意的n有

即正項級數(shù)的部分和數(shù)列有界，故級數(shù) 收斂.

根據(jù)定理10-1，我們可推出一個判定正項級數(shù)斂散性的法則.

定理10-2

(比較判別法)設(shè) 與 是兩個正項級數(shù)，且un≤vn(n=1，2，…).則

(1)若 收斂，則 一定收斂.

(2)若 發(fā)散，則 一定發(fā)散.

比較判別法指出，判斷一個正項級數(shù)是否收斂，可以將它與一個斂散性已知的正項級數(shù)(一般取幾何級數(shù)或p-級數(shù))比較，從而得出結(jié)果.

例10-7判斷調(diào)和級數(shù) 的斂散性.

解級數(shù)與 是兩個正項級數(shù)，由于 ，而由前面的例題知，級數(shù)

發(fā)散，所以 也發(fā)散.

例10-8討論p－級數(shù)

的斂散性.

解因為當p≤1時， ，而調(diào)和級數(shù) 也發(fā)散，所以由比較判別法知，當p≤1時，級數(shù) 也發(fā)散.當p>1時，順次把p-級數(shù)的第1項、第2項到第3項、第4到第7項、第8到第15項、……括在一起，得而級數(shù) 是等比級數(shù)，公比 ，所以該級數(shù)收斂。由比較判別法知p-級數(shù)當p>1時收斂.

綜合上述結(jié)果可知，當p≤1時，p-級數(shù) (p>0)發(fā)散；當p>1時，p-級數(shù) (p>0)收斂.

例10-9判斷(1) ；(2) 的斂散性.

解

(1)由于 ，而p-級數(shù) 是收斂的.于是由比較審斂法知級數(shù) 收斂.

再根據(jù)數(shù)項級數(shù)性質(zhì)10-3可知原級數(shù) 也是收斂的.

(2)因為 ，而p-級數(shù) 收斂，所以級數(shù) 也收斂.

定理10-3

(比較判別法的極限形式)設(shè) 和 是兩個正項級數(shù).如果

則級數(shù)和級數(shù) 有相同的斂散性.

例10-10判斷級數(shù) 的斂散性.

解因為 ，而級數(shù) 發(fā)散，所以級數(shù) 也發(fā)散.在利用比較判別法時有時不易找到進行比較的已知級數(shù)，那么，能否從級數(shù)本身判定其斂散性呢？

定理10-4

(達朗貝爾比值判別法)設(shè) 是一個正項級數(shù)，且 ，則：

(1)當q<1時，級數(shù)收斂.

(2)當q>1時，級數(shù)發(fā)散.

(3)當q=1時，級數(shù)可能收斂，也可能發(fā)散.

注意如果正項級數(shù)的一般項中含有冪、乘方或階乘因式時，可試用比值判別法.

例10-11判斷(1) ；(2) 的斂散性.

解

(1)因為

所以級數(shù) 收斂.

(2)因為

所以級數(shù) 發(fā)散.

10.3交錯級數(shù)、絕對收斂與條件收斂

10.3.1交錯級數(shù)及其審斂法

定義10-4設(shè)un>0，則級數(shù) 稱為交錯級數(shù).

定理10-5

(萊布尼茨判別法)如果交錯級數(shù)

滿足下列條件：

(1)un≥un+1(n=1，2，3，…).

(2)

則交錯級數(shù) 收斂，且其和S≤u1，其余項｜rn｜≤un+1.

例10-12判斷交錯級數(shù) 的斂散性.

解因為所給級數(shù)滿足：

(1)

(2)

由定理10-5可知該級數(shù)是收斂的.

例10-13判斷級數(shù) 的斂散性.

解因為

且 ，由定理

10-5得它是收斂的.10.3.2絕對收斂與條件收斂

定義10-5若 收斂，則稱 是絕對收斂的，若

收斂而 發(fā)散，則稱 是條件收斂的.

定理10-6如果是絕對收斂的，則級數(shù) 必收斂.

證如果 收斂，由于－｜un｜≤un≤｜un｜，故由性質(zhì)10-1及性質(zhì)10-4知 也是收斂的.定理10-6使得許多任意項級數(shù)的收斂性判斷問題轉(zhuǎn)化為正項級數(shù)的收斂性判斷問題.這是因為 總是正項級數(shù).

例10-14判斷級數(shù) 的斂散性.

解對于級數(shù) ，由于

而級數(shù) 收斂.由比較判別法可知，級數(shù) 收斂.由定義10-2知，級數(shù) 是絕對收斂的，由定理10-2可知，級數(shù) 也收斂.

10.4冪級數(shù)

10.4.1函數(shù)項級數(shù)

定義10-6如果級數(shù)

的各項都是定義在某個區(qū)間上的函數(shù)，則稱 為函數(shù)項級數(shù)，un(x)稱為級數(shù)的一般項.

當x在區(qū)間I中取某個特定值x0時，級數(shù) 就是一個數(shù)項級數(shù).如果這個數(shù)項級數(shù)收斂，則稱x0為級數(shù)式(10-2)的一個收斂點；如果發(fā)散，則稱x0為級數(shù)式(10-2)的發(fā)散點.(10-2)函數(shù)項級數(shù) 的所有收斂點組成的集合稱為它的收斂域(或稱收斂區(qū)間).

設(shè)級數(shù) 的收斂域為D，則對于收斂域D內(nèi)的任意一個數(shù)x，函數(shù)項級數(shù)成為一個收斂域內(nèi)的數(shù)項級數(shù)，因此有一個確定的和s(x).這樣，在收斂域上，函數(shù)項級數(shù)的和是x的函數(shù)s(x)，通常稱s(x)為函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù)，即

S(x)=u1(x)+u2(x)+…+un(x)+…

其中，x是收斂域D內(nèi)的任意一點.

將函數(shù)項級數(shù)的前n項和記作Sn(x)，則在收斂域上有10.4.2冪級數(shù)及其斂散性

定義10-7形如

的函數(shù)項級數(shù)稱為x－x0的冪級數(shù).其中，a0、a1、a2、…、an、…稱為冪級數(shù)的系數(shù).

當x0=0時，式(10-3)變?yōu)?/p>

稱為x的冪級數(shù).(10-3)(10-4)

1.冪級數(shù)的收斂半徑

對于級數(shù) ，如果記 ，則

由比值判別法可知：

當r≠0時，若｜x｜·r<1，即 ，則級數(shù)式(10-4)收斂.若｜x｜·r>1、 ，則級數(shù)式(10-4)發(fā)散.這個結(jié)果表明，只要0<r<∞，就會有一個對稱開區(qū)間(－R，R)，在這個區(qū)間內(nèi)冪級數(shù)絕對收斂，在這個區(qū)間外冪級數(shù)發(fā)散，當x=±R時，級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.稱

為冪級數(shù)式(10-4)的收斂半徑.

當r=0時，｜x｜·r=0<1，級數(shù)式(10-4)對一切實數(shù)x都絕對收斂，這時規(guī)定收斂半徑R=+∞.

如果冪級數(shù)僅在x=0一點處收斂，則規(guī)定收斂半徑R=0,由此可得

定理10-7如果冪級數(shù)式(10-4)的系數(shù)滿足則：

(1)當0<r<+∞時， .

(2)當r=0時，R=+∞.

(3)當r=+∞時，R=0.

例10-15求冪級數(shù)：(1) ；(2) ；(3)

的收斂半徑.

解

(1)因為所以冪級數(shù) 的收斂半徑R=+∞.

(2)因為

所以冪級數(shù) 的收斂半徑R=1.

(3)因為

所以冪級數(shù) 的收斂半徑R=0.

2.冪級數(shù)的收斂區(qū)間

若級數(shù)(10-4)的收斂半徑為R，則該級數(shù)在區(qū)間(－R，R)內(nèi)一定是收斂的，再把區(qū)間端點x=±R代入級數(shù)中，判定級數(shù)的斂散性后，就可得到級數(shù)的收斂區(qū)間(或收斂域).

例10-16求下列級數(shù)的收斂域.

(1) ；(2) ；(3) .

解

(1)由例10-15知收斂半徑R=+∞，所以該級數(shù)的收斂域為(－∞，+∞).

(2)由例10-15知收斂半徑R=1，所以該級數(shù)在區(qū)間(－1，1)內(nèi)收斂.而當x=1時，級數(shù)為調(diào)和級數(shù) ，它是發(fā)散的；當x=－1時，級數(shù)為交錯級數(shù) ，它是收斂的.

所以該級數(shù)的收斂域為［－1，1).

(3)由例10-15知收斂半徑R=0，所以沒有收斂區(qū)間，收斂域為｛x｜x=0｝即只在x=0處收斂.

例10-17求冪級數(shù) 的收斂域.

解法1

(換元法)令t=x2，得新級數(shù) ，由于 ，所以 收斂，半徑為R'=5，故原級數(shù)收斂半徑為 ，又當 時，級數(shù) 收斂，所以 的收斂域為 .

當 ，即 時，絕對 收斂，而當 時，級數(shù) 收斂，所以 的收斂域為 .

解法2

(比值法)

因為

10.4.3冪級數(shù)的運算性質(zhì)

性質(zhì)10-6冪級數(shù)的和函數(shù)在其收斂域內(nèi)是連續(xù)的.

即對于

設(shè)

記為R=min(R1，R2)，則在(－R，R)內(nèi)，有如下運算法則：

性質(zhì)10-7

(加法運算)

f(x)±g(x).

性質(zhì)10-8

(乘法運算)

設(shè) ，其收斂半徑為R，則在(－R，R)內(nèi)有

性質(zhì)10-9

(微分運算)冪級數(shù)的和函數(shù)S(x)在收斂域內(nèi)是可微的，且收斂半徑相同.

即

性質(zhì)10-10

(積分運算)冪級數(shù)的和函數(shù)S(x)在收斂域內(nèi)是可積的，且收斂半徑相同.

即

例10-18求 的和函數(shù)及收斂域.

解易求得收斂域為［－1，1］.設(shè)和函數(shù)為S(x)，則由性質(zhì)10-9，有兩邊積分得

所以 10.5函數(shù)的冪級數(shù)展開及應(yīng)用

10.5.1泰勒公式與麥克勞林公式

1.泰勒公式

定理10-8

(泰勒中值定理)如果函數(shù)f(x)在x0的某個鄰域內(nèi)具有n+1階導數(shù)，則對此鄰域內(nèi)任意一點x，f(x)可表示為x－x0的n次多項式與一個余項之和，即

(10-5)其余項為

式(10-5)稱為f(x)按(x－x0)展開的n階泰勒公式，而Rn(x)的表達式(10-6)稱為拉格朗日余項。當n=0時泰勒公式變成f(x)=f(x0)+f'(x)(x－x0).因此，泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推廣.(10-6)

2.麥克勞林公式

在式(10-5)中，當x0=0時，則有麥克勞林公式

其余項為(10-6)(10-7)10.5.2泰勒級數(shù)與麥克勞林級數(shù)

若f(x)在點x0的某一鄰域內(nèi)，具有各階導數(shù)，在泰勒公式中，若記

則有

f(x)=Sn+1(x)+Rn(x)(10-8)

于是

f(x)≈Sn+1(x)，誤差｜Rn(x)｜=｜f(x)－Sn+1(x)｜若｜Rn(x)｜隨著n的增大而減小，那么，我們可以用增加多項式Sn+1(x)的項數(shù)來提高用Sn+1(x)代替f(x)的精確度.如果n無限地增大，那么這時n階泰勒多項式Sn+1(x)就成為一個冪級數(shù).則

稱為f(x)在x=x0處的泰勒級數(shù).

特別地，當x0=0時，冪級數(shù)(10-9)(10-10)稱為函數(shù)f(x)的麥克勞林級數(shù).

若f(x)的泰勒級數(shù)式(10-9)在某區(qū)間收斂，且收斂于f(x),我們就說f(x)在該區(qū)間內(nèi)能展開成冪級數(shù).

顯然，當x=x0時，級數(shù)式(10-9)收斂于f(x0)，但除了x=x0外，級數(shù)式(10-9)是否收斂？若收斂，又是否收斂于f(x)？關(guān)于這些問題，我們有下面的定理

定理10-9設(shè)函數(shù)f(x)在點x0的某一鄰域內(nèi)，具有各階導數(shù)，則f(x)在該鄰域內(nèi)能展開成泰勒級數(shù)的充分必要條件是f(x)的泰勒公式中的余項Rn(x)，當n→∞時極限為零，即

證先證必要性.若f(x)能展開成泰勒級數(shù)，即

由式(10-8)

f(x)=Sn+1(x)+Rn(x)，而

所以再證充分性.若 ，則

故

當x=0時，則

稱為f(x)的麥克勞林展開式.

如果函數(shù)能展開成關(guān)于x的冪級數(shù)，則這個冪級數(shù)一定是函數(shù)的麥克勞林級數(shù)，即函數(shù)的冪級數(shù)展開式是唯一的.10.5.3函數(shù)的冪級數(shù)展開

1.直接展開法

直接展開法是指先利用式(10-7)來討論是否有

，若 ，再利用

求出冪級數(shù)系數(shù)的方法.

例10-19將f(x)=sinx展開成冪級數(shù).

解因為f(x)=sinx，所以

故f(0)=0，f'(0)=1，f''(0)=0，f(0)=－1，…順次循環(huán)取得四個數(shù)為0、1、0、－1.因此，得級數(shù)

對于任意一個x，余項的絕對值為

因此，f(x)=sinx的冪級數(shù)展開式為

利用同樣的辦法可以推得(10-12)(10-11)

2.間接展開法

間接展開法是指從已知函數(shù)的展開式出發(fā)，利用冪級數(shù)的運算法則得到所求函數(shù)的展開式的方法.熟記重要的初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式，有利于我們用間接展開法將其他函數(shù)展開成冪級數(shù)。除前面幾個函數(shù)的冪級數(shù)展開式外，再給出下面兩個函數(shù)的冪級數(shù)展開式.(10-13)(10-14)

例10-20利用間接展開法求cosx的冪級數(shù)展開式.

解由例10-19及冪級數(shù)可在其收斂域內(nèi)求導的性質(zhì)，可得

例10-21求函數(shù)在指定點處的泰勒級數(shù)：

在x0=1處.

解令x－1=t，則

先求 在的展開式，因為

所以有將t換回x－1，得

10.5.4冪級數(shù)的應(yīng)用

1.函數(shù)值的近似計算

例10-22計算e的近似值.

解

e的值就是函數(shù)ex的展開式在x=1時的函數(shù)值，即

取則誤差故若要求精確到10－k，則需 即n!n>10－k即可.例如要精確到10－10，由于13!·13≈8×1010>1010，所以取n=13,即 .從而在計算機上求出此值(e=2.718284590…).

2.求極限

例10-23求

解把cosx和 的冪級數(shù)展開式代入上式，有

3.計算積不出來的不定積分

例10-24求

解由于的原函數(shù)不是初等函數(shù)，所以這一積分“積不出來”，但如果用冪級數(shù)表示函數(shù)，應(yīng)能積出來。

把的冪級數(shù)展開式代入到積分式中，則

10.6傅里葉級數(shù)

將函數(shù)展開成冪級數(shù)是采用一系列冪函數(shù)作為展開的基本函數(shù)系。但冪級數(shù)沒有周期性，所以將周期函數(shù)展開成冪級數(shù)以后，周期性就很難直接體現(xiàn)出來了。這樣，在著重研究函數(shù)的周期性的時候，冪級數(shù)展開就不合適了.除了冪級數(shù)，還有一類重要的函數(shù)項級數(shù)就是三角級數(shù)，三角級數(shù)的一般形式為

10.6.1周期為2p的函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)

由于正弦函數(shù)和余弦函數(shù)都是周期函數(shù)，顯然周期函數(shù)更適合于展開成三角級數(shù).設(shè)f(x)是2p為周期的函數(shù)，所謂f(x)能展開成三角級數(shù)，也就是說能把f(x)表示成

求f(x)的三角級數(shù)展開式，也就是求式(10-15)中的系數(shù)a0、a1、b1、a2、b2、….為了求出這些系數(shù)，我們先介紹下列內(nèi)容.(10-15)

1.三角函數(shù)系的正交性

如同冪級數(shù) 可看成是冪函數(shù)系｛1，x，x2，x3,

…｝的線性組合一樣，三角級數(shù)式(10-15)可看成是三角函數(shù)系

｛1，cosx，sinx，cos2x，sin2x，…｝(10-16)

的線性組合.

式(10-16)有一個重要的性質(zhì)，就是

定理10-10

(三角函數(shù)系的正交性)式(10-16)的正交性是指其中任意兩個不同函數(shù)的乘積在［－p，p］上的積分等于0，具體地說就是有

2.f(x)的傅里葉級數(shù)

為了求式(10-15)中的系數(shù)，我們利用三角函數(shù)系的正交性，假設(shè)式(10-15)是可逐項積分的，把它從－p到p逐項積分為

由定理10-1，右端除第一項外均為0，所以

于是得為求an，先用cosnx乘以式(10-15)兩端，再－p到p逐項積分,得

由定理10-1得，右端除k=n一項外均為0，所以

于是得類似地，用sinnx乘以式(10-15)兩端，再－p到p逐項積分，得

用這種辦法求得的系數(shù)稱為f(x)的傅里葉系數(shù).

綜上所述，我們有

定理10-11求f(x)的傅里葉系數(shù)的公式是(10-17)由f(x)的傅里葉系數(shù)所確定的三角級數(shù)

稱為f(x)的傅里葉級數(shù).

顯然，當f(x)為奇函數(shù)時，式(10-17)中an=0，當f(x)為偶函數(shù)時，式(10-17)中bn=0，所以有

推論10-1當f(x)是周期為2p的奇函數(shù)時，它的傅里葉級數(shù)為正弦級數(shù)，則其中，系數(shù)

當f(x)是周期為2p的偶函數(shù)時，它的傅里葉級數(shù)為余弦級數(shù)，則

其中，系數(shù)

3.傅里葉級數(shù)的收斂性

對于給定的函數(shù)f(x)，只要f(x)能使式(10-17)的積分可積,就可計算出f(x)的傅里葉系數(shù)，從而得到f(x)的傅里葉級數(shù).但是這個傅里葉級數(shù)卻不一定收斂，即使收斂也不一定收斂于f(x).為了確保得出的傅里葉級數(shù)收斂于f(x)，還需給f(x)附加一些條件.下面的定理是這方面的一個結(jié)論.

定理10-12

(收斂定理)設(shè)以2p為周期的函數(shù)f(x)在［－p，p］滿足狄利克雷條件：

(1)沒有間斷點或僅有有限個第一類間斷點.

(2)至多只有有限個極值點.

則f(x)的傅里葉級數(shù)收斂，且有

(1)當x是f(x)的連續(xù)點時，級數(shù)收斂于f(x).

(2)當x0是f(x)的間斷點時，級數(shù)收斂于這一點左右極限

的算術(shù)平均數(shù) .

例10-25

f(x)=sinx經(jīng)二極管整流后(如圖10-1所示)變?yōu)?/p>

把f(x)展開為傅里葉級數(shù).圖10-1

解由收斂定理可知，f(x)的傅里葉級數(shù)處處收斂于f(x),計算傅里葉系數(shù)所以f(x)的傅里葉展開式為

例10-26一個矩形波的表達式為

求f(x)的傅里葉級數(shù)展開式.

解由收斂定理知，當x≠kp(k為整數(shù))時，f(x)的傅里葉級數(shù)收斂于f(x).當x=kp時，級數(shù)收斂于 .又因f(x)為奇函數(shù)，由推論10-1可知，展開式必為正弦函數(shù).只需按推論的公式求bn即可.

所以f(x)的傅里葉展開式為

該例中f(x)的展開式說明：如果把f(x)理解為矩形波的波函數(shù)，則矩形波是由一系列的不同頻率的正弦波疊加而成的.

4.［－p，p］或［0，p］上的函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)

若函數(shù)f(x)只在［－p，p］上有定義，則我們可以構(gòu)造一個新的函數(shù)F(x)，使F(x)是在(－∞，+∞)上有定義，以2p為周期的周期函數(shù)，且當x∈［－p，p］時恒有F(x)=f(x)(這種延拓稱為周期性延拓).

只要f(x)在［－p，p］上滿足收斂條件，則F(x)就可以在(－∞，+∞)上展開成傅里葉級數(shù)，并且當x∈［－p，p］時,該傅里葉級數(shù)就是f(x)的傅里葉級數(shù).我們?nèi)钥捎檬?10-13)求f(x)的傅里葉系數(shù)，而且如果f(x)在［－p，p］上滿足收斂定理條件，則至少f(x)在(－p，p)內(nèi)的連續(xù)點上傅里葉級數(shù)是收斂于f(x)的.而在x=±p處，級數(shù)收斂于若函數(shù)f(x)定義在區(qū)間［0，p

］上，并且滿足收斂定理的條件，我們先在開區(qū)間(－p，0)內(nèi)補充函數(shù)f(x)的定義，得到定義在［－p，p］上的函數(shù)F(x)，使它在(－p，p)上為奇函數(shù)(偶函數(shù)).按這種方式拓廣函數(shù)定義域的過程稱為奇延拓(偶延