《半導(dǎo)體物理與器件》課件-第3章

第3章載流子的輸運(yùn)3.1載流子的漂移運(yùn)動(dòng)3.2載流子的散射和遷移率3.3載流子的擴(kuò)散運(yùn)動(dòng)3.4愛因斯坦關(guān)系習(xí)題

在前面幾章中，已經(jīng)介紹過(guò)半導(dǎo)體的一些基本概念，并計(jì)算得到了導(dǎo)帶的電子濃度和價(jià)帶的空穴濃度，但沒(méi)有討論載流子的運(yùn)動(dòng)。通常把載流子的運(yùn)動(dòng)稱為輸運(yùn)，本章將討論載流子的輸運(yùn)現(xiàn)象。半導(dǎo)體中的載流子存在兩種輸運(yùn)機(jī)制：一種輸運(yùn)機(jī)制是漂移，漂移運(yùn)動(dòng)是指載流子在電場(chǎng)作用下的運(yùn)動(dòng)；另一種輸運(yùn)機(jī)制是擴(kuò)散，擴(kuò)散運(yùn)動(dòng)是指載流子在濃度梯度作用下的運(yùn)動(dòng)。載流子的輸運(yùn)現(xiàn)象是決定半導(dǎo)體器件工作電流電壓特性的重要基礎(chǔ)。在這一章中，討論載流子輸運(yùn)的前提是假設(shè)熱平衡狀態(tài)的載流子分布不受影響，因此可以沿用第2章中關(guān)于載流子濃度的公式。

3.1載流子的漂移運(yùn)動(dòng)

由于載流子帶電，它在電場(chǎng)的作用下，受到電場(chǎng)力，發(fā)生運(yùn)動(dòng)，這種運(yùn)動(dòng)稱為漂移運(yùn)動(dòng)，載流子的漂移運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生漂移電流。載流子的漂移運(yùn)動(dòng)如圖3.1所示，其中空心的圓圈代表空穴，實(shí)心的圓圈代表電子，二者在同一電場(chǎng)作用下的運(yùn)動(dòng)方向相反，但產(chǎn)生的電流方向是一致的。

圖3.1載流子的漂移運(yùn)動(dòng)示意圖

載流子漂移運(yùn)動(dòng)的結(jié)果是在半導(dǎo)體中產(chǎn)生電流，按照電流的定義，其數(shù)值等于單位時(shí)間流過(guò)垂直電流方向的任意面積上的電荷數(shù)，如圖3.2所示。

圖3.2漂移電流定義的示意圖

因此空穴的漂移電流的表達(dá)式為

式中：

Ipdrf表示空穴漂移電流，下標(biāo)“p

”表示空穴，“drf”表示漂移；

A表示橫截面積；

vdp表示空穴平均漂移速度；ρ表示電荷密度?？梢詫⑹?3.1)進(jìn)一步變形為

對(duì)應(yīng)的空穴漂移電流密度為

類似地，電子漂移電流密度為

在電場(chǎng)的作用下，空穴受到的電場(chǎng)力為eE

，因此空穴在電場(chǎng)作用下的運(yùn)動(dòng)方程為

按照式(3.5)載流子的漂移速度將線性增加，但是半導(dǎo)體中的載流子除了存在電場(chǎng)力作用下的加速運(yùn)動(dòng)外，還存在另外一種運(yùn)動(dòng)———載流子的散射。載流子的散射是指載流子不斷地與半導(dǎo)體內(nèi)部的電離雜質(zhì)和晶格中熱振動(dòng)的原子之間發(fā)生碰撞，碰撞后改變載流子原來(lái)的加速度和速度。當(dāng)不存在外電場(chǎng)時(shí)，這種散射也同樣存在，只是由于這種運(yùn)動(dòng)完全是隨機(jī)的，宏觀上的平均值為零，并不形成電流。

當(dāng)載流子同時(shí)存在電場(chǎng)力作用下的加速運(yùn)動(dòng)和散射運(yùn)動(dòng)時(shí)，載流子的運(yùn)動(dòng)變?yōu)樵趦纱紊⑸溟g隔中的加速運(yùn)動(dòng)，因?yàn)樯⑸?，載流子失去了從電場(chǎng)中獲得的部分能量，然后開始下次加速并再次散射，這樣的過(guò)程一直重復(fù)。因此最終的結(jié)果是載流子的速度不可能線性增加，而是在給定的電場(chǎng)強(qiáng)度下，最終保持平均漂移速度。在有電場(chǎng)和無(wú)電場(chǎng)情況下載流子的運(yùn)動(dòng)如圖3.3所示。在圖3.3(b)中，為方便對(duì)比，用虛線表示無(wú)電場(chǎng)時(shí)載流子隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的軌跡，實(shí)線表示有電場(chǎng)時(shí)載流子兩種運(yùn)動(dòng)的結(jié)果。圖3.3空穴在半導(dǎo)體中的運(yùn)動(dòng)

在電場(chǎng)強(qiáng)度較弱時(shí)，平均漂移速度與外加電場(chǎng)強(qiáng)度成正比，有

類似地，有

將式(3.6)和式(3.7)分別代入式(3.3)和式(3.4)得到

在這里μn

、μp

分別為電子遷移率和空穴遷移率。遷移率描述載流子在電場(chǎng)作用下的運(yùn)動(dòng)情況，它的物理意義是在單位電場(chǎng)強(qiáng)度下電子和空穴獲得的平均漂移速度的大小。表3.1列出了在溫度為300K時(shí)，常見的三種半導(dǎo)體材料的載流子遷移率。由于電子和空穴的有效質(zhì)量不同，因此它們的遷移率也有差別，從表3.1中可以看出電子遷移率均大于空穴遷移率。從式(3.8)和式(3.9)中可以看出，遷移率是決定漂移電流密度的重要參數(shù)之一。遷移率的單位是cm

2

/(V·s)。．

電子和空穴兩種載流子所帶電量相反，在電場(chǎng)的作用下運(yùn)動(dòng)方向也相反，但是運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的電流方向相同，故總漂移電流密度為

事實(shí)上，推導(dǎo)載流子的電流密度和外加電場(chǎng)強(qiáng)度之間的關(guān)系，還可以從熟知的歐姆定律出發(fā)。

對(duì)于均勻?qū)w來(lái)說(shuō)，利用歐姆定律滿足

將電阻R的表達(dá)式R=ρl/S代入式(3.11)得到

式(3.12)中：

ρ

為電阻率；

l為導(dǎo)體長(zhǎng)度；

S為導(dǎo)體的橫截面積。對(duì)于均勻?qū)w而言，滿足

將式(3.13)代入式(3.12)，得到

式(3.14)中，

σ

是電導(dǎo)率，為電阻率的倒數(shù)。將式(3.10)與式(3.14)相對(duì)比，可得

對(duì)于N型半導(dǎo)體或P型半導(dǎo)體，兩種載流子的遷移率差別不大，而多數(shù)載流子比少數(shù)載流子大得多。在這種情況下電流密度和電導(dǎo)率都主要取決于多數(shù)載流子。對(duì)于N型半導(dǎo)體有

對(duì)于P型半導(dǎo)體有

若這里的N型半導(dǎo)體和P型半導(dǎo)體都是補(bǔ)償半導(dǎo)體，則式(3.17)和式(3.19)修正為

對(duì)于本征半導(dǎo)體，兩種載流子都要考慮，故有

[例3.1]在T=300K時(shí)，硅的摻雜濃度為NA=2×10

16cm-3，若外加電場(chǎng)強(qiáng)度E=5V/cm，已知該溫度下的ni=1.5×1010

cm-3，μp

=500cm2/(V·s)，求半導(dǎo)體中產(chǎn)生的漂移電流密度。

解：所討論的半導(dǎo)體為P型半導(dǎo)體，利用式(3.18)，即

要求出漂移電流密度，先要求出多數(shù)載流子濃度。根據(jù)第2章中的式(2.65)

代入數(shù)據(jù)后，計(jì)算得到p0=2×1016(cm-3)，所有數(shù)據(jù)代入式(3.18)，得到

3.2載流子的散射和遷移率在上一節(jié)中計(jì)算出漂移電流密度和電導(dǎo)率，并給出了遷移率的定義。在這一節(jié)中將討論載流子的散射及遷移率與散射的關(guān)系。遷移率描述的是載流子在電場(chǎng)作用下獲得平均漂移速度的大小，也就是半導(dǎo)體中的載流子在電場(chǎng)作用下運(yùn)動(dòng)的難易程度。因?yàn)檩d流子是在兩次散射間隔的平均自由時(shí)間中進(jìn)行加速的，所以半導(dǎo)體內(nèi)部載流子的散射多了，載流子獲得的沿電場(chǎng)方向的平均漂移速度就會(huì)減小?？傮w來(lái)說(shuō)，載流子遷移率的大小與載流子受到散射的次數(shù)成反比。

3.2.1載流子的散射

在半導(dǎo)體中，載流子受到散射的主要原因有以下幾個(gè)方面：

1.電離雜質(zhì)散射

在半導(dǎo)體中無(wú)論摻入施主雜質(zhì)還是受主雜質(zhì)，其電離后會(huì)產(chǎn)生帶正電的電離施主雜質(zhì)或者帶負(fù)電的電離受主雜質(zhì)。在電離雜質(zhì)周圍存在庫(kù)侖場(chǎng)，當(dāng)帶電的載流子運(yùn)動(dòng)到電離雜質(zhì)周圍時(shí)，受到庫(kù)侖場(chǎng)的作用而改變其運(yùn)動(dòng)方向，發(fā)生電離雜質(zhì)散射。兩種載流子在兩種不同的電離雜質(zhì)周圍發(fā)生散射的示意圖，如圖3.4所示。

圖3.4電離雜質(zhì)散射的示意圖

圖3.4(a)表示電離施主雜質(zhì)的散射，其中空心圓代表空穴，實(shí)心圓表示電子，可以看出電子和空穴遇到電離的施主雜質(zhì)時(shí)，改變了載流子速度的方向和大小。圖3.4(b)與圖3.4(a)類似，當(dāng)載流子遇到電離的受主雜質(zhì)時(shí)，改變了速度的方向和大小。可以用散射概率來(lái)衡量散射的多少，其定義為單位時(shí)間內(nèi)載流子平均受到散射的次數(shù)，用P表示散射概率。電離散射的散射概率與電離雜質(zhì)的濃度及溫度有關(guān)，滿足以下關(guān)系：

式中：

A表示比例系數(shù)；

Ni表示電離雜質(zhì)的總和，包括電離施主雜質(zhì)和電離受主雜質(zhì)。Ni越大，如圖3.4所示的散射中心越多，散射概率越大，而溫度越高，載流子的平均運(yùn)動(dòng)速度越大，可以較快地通過(guò)電離雜質(zhì)中心，不容易受到散射。

2.晶格振動(dòng)散射

一般，實(shí)際溫度高于絕對(duì)零度，半導(dǎo)體晶格中的原子就具有一定的動(dòng)能，會(huì)在其平衡位置附近做熱振動(dòng)。這種原子的熱振動(dòng)破壞了原來(lái)周期的勢(shì)函數(shù)，從而導(dǎo)致載流子與振動(dòng)的原子之間發(fā)生散射。由晶格振動(dòng)散射導(dǎo)致的散射概率用Pl表示。Pl與溫度的關(guān)系為

Pl=BT3/2

(3.23)

式中，

B同樣表示比例系數(shù)。溫度越高，原子的熱振動(dòng)越明顯，載流子與原子熱振動(dòng)之間發(fā)生的散射概率越大。

3.2.2載流子的遷移率隨溫度和摻雜濃度的變化

根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律

設(shè)載流子初始速度為零，將式(3.24)積分后，得到

因?yàn)檩d流子只有在兩次散射間隔的平均自由時(shí)間中進(jìn)行加速，將式(3.25)中的t變?yōu)槠骄杂蓵r(shí)間τp

后，有

按照遷移率的定義式，得到空穴遷移率為

類似地，可以推出電子遷移率為

按照散射概率和平均自由時(shí)間的定義知，二者互為反比關(guān)系，總散射概率為電離雜質(zhì)散射概率與晶格振動(dòng)散射概率之和，即有

綜上所述，不管是電子遷移率還是空穴遷移率，其數(shù)值由電離雜質(zhì)散射和晶格振動(dòng)散射二者共同決定，主要受摻雜濃度和溫度的影響。

圖3.5給出了硅的電子遷移率在不同摻雜濃度下隨溫度的變化曲線。從圖中可以看出，總體上，電子遷移率隨溫度的升高而降低。但在輕摻雜半導(dǎo)體中，遷移率隨溫度的升高而降低的趨勢(shì)更明顯，這主要是因?yàn)榫Ц裾駝?dòng)散射和電離雜質(zhì)散射的概率隨著溫度的變化不同。在輕摻雜半導(dǎo)體中，晶格散射是決定遷移率的主要因素，按照式(3.23)Pl

與T3/2成正比，而τl

與T3/2成反比。因?yàn)檫w移率與τl

成正比，故遷移率隨著溫度的升高而減小。隨著摻雜濃度的增加，電離散射在總散射中占的比重進(jìn)一步增加，而Pl與T3/2成反比，導(dǎo)致遷移率隨溫度的升高而減小的趨勢(shì)在高摻雜濃度下變得緩慢。圖3.5在不同摻雜濃度下，硅中電子遷移率隨溫度變化的曲線

圖3.6是硅的空穴遷移率隨溫度變化的示意圖，表現(xiàn)出與圖3.5相似的隨溫度變化的規(guī)律。也可以在確定環(huán)境溫度下，只研究載流子遷移率隨摻雜濃度的變化規(guī)律，其結(jié)果如圖3.7所示。這里要強(qiáng)調(diào)的是，摻雜濃度在這里指的是摻入的受主雜質(zhì)和施主雜質(zhì)濃度的總和。圖3.6在不同摻雜濃度下，硅中空穴遷移率隨溫度變化的曲線圖3.7T=300K時(shí)，硅、鍺、砷化鎵的兩種載流子的遷移率隨摻雜濃度變化的曲線圖3.7T=300K時(shí)，硅、鍺、砷化鎵的兩種載流子的遷移率隨摻雜濃度變化的曲線圖3.7T=300K時(shí)，硅、鍺、砷化鎵的兩種載流子的遷移率隨摻雜濃度變化的曲線

從圖3.7中可以看出，三種材料在T=300K下隨摻雜濃度的增加而呈現(xiàn)出的變化規(guī)律是一致的?？傮w來(lái)說(shuō)，遷移率隨著摻雜濃度的增加而減小，主要是由式(3.22)所決定的，摻雜濃度越大，電離雜質(zhì)散射中心越多，電離雜質(zhì)散射概率越大，平均自由時(shí)間越小，遷移率越小。從圖3.7中還可以看出，遷移率隨摻雜濃度增加而減小的趨勢(shì)在摻雜濃度較小時(shí)并不明顯，僅在摻雜濃度較大時(shí)才比較明顯。在實(shí)際計(jì)算及應(yīng)用中，當(dāng)摻雜濃度較小時(shí)，可以不考慮其對(duì)遷移率的影響，而利用表3.1中的數(shù)值。

說(shuō)明：從題中計(jì)算的結(jié)果可以比較這三種半導(dǎo)體材料的電導(dǎo)率，其中本征半導(dǎo)體的電導(dǎo)率最小，主要是由于本征載流子濃度較低；

N型半導(dǎo)體的電導(dǎo)率最大，而P型半導(dǎo)體的電導(dǎo)率居中，這主要是因?yàn)榭昭ǖ倪w移率小于電子的遷移率導(dǎo)致的。

3.2.3電阻率

由電導(dǎo)率和電阻率互為倒數(shù)的關(guān)系，可以推出電阻率的公式為

從式(3.30)可以看出，影響電阻率的因素比較多，包括兩種載流子濃度和兩種載流子的遷移率，由于載流子濃度和遷移率都隨著摻雜濃度與溫度變化，因此電阻率也是關(guān)于摻雜濃度和溫度的函數(shù)。和前面電導(dǎo)率的近似公式一樣，可以推出在N型半導(dǎo)體、P型半導(dǎo)體和本征半導(dǎo)體下的電阻率公式分別為

下面考察一塊N型半導(dǎo)體，其電阻率隨雜質(zhì)濃度及溫度的變化情況。圖3.8為N型硅和P型硅的電阻率隨雜質(zhì)濃度變化的曲線。圖3.8T=300K時(shí)，硅的電阻率隨雜質(zhì)濃度變化的曲線

在式(3.31)和式(3.32)中，若雜質(zhì)完全電離，則式中的n

或p

就等于ND

或NA

，對(duì)于補(bǔ)償后的N型或者P型半導(dǎo)體，式中的n

或p

就等于ND-NA

或NA-ND

。因此在不考慮遷移率隨雜質(zhì)濃度變化的時(shí)候，電阻率應(yīng)該隨著雜質(zhì)濃度的增加線性減小。從圖3.8中可以看出，電阻率在摻雜濃度較低時(shí)隨著雜質(zhì)濃度的增加近乎線性減小，但隨著雜質(zhì)濃度的增加，這種變化開始偏離線性，這主要是遷移率本身隨雜質(zhì)濃度的增加也開始出現(xiàn)降低的原因。

對(duì)于電阻率隨溫度的變化更為復(fù)雜，因?yàn)槎鄶?shù)載流子濃度本身按溫度呈現(xiàn)不同的變化規(guī)律，圖3.9示意性地畫出某雜質(zhì)半導(dǎo)體電阻率隨溫度變化的曲線。

從圖3.9中可以看出，在低溫區(qū)，雜質(zhì)電離隨溫度升高而增高，晶格振動(dòng)散射可以忽略，主要是雜質(zhì)電離散射，故遷移率隨著溫度升高而增加，所以電阻率隨著溫度的升高而降低。在飽和區(qū)，雜質(zhì)完全電離，載流子濃度幾乎不隨溫度變化，隨著溫度的升高，晶格振動(dòng)散射成為主要散射機(jī)構(gòu)，遷移率隨著溫度的升高而降低，因此電阻率隨著溫度升高而增加。隨著溫度的進(jìn)一步升高，進(jìn)入本征激發(fā)區(qū)，載流子濃度主要由本征載流子濃度決定，隨著溫度的增加而迅速增加，遷移率隨溫度的變化成為次要的因素，所以電阻率隨著溫度的增加而減小。

對(duì)于本征半導(dǎo)體，它的電阻率的變化與圖3.9中的規(guī)律不同，因?yàn)閚i、pi

隨溫度的增加迅速增加，類似于圖3.9中的本征區(qū)，相比之下，遷移率隨溫度的變化可以忽略。因此本征半導(dǎo)體的電阻率隨溫度的增加而單調(diào)減小。

3.2.4飽和速度和強(qiáng)場(chǎng)遷移率

在前面的計(jì)算中，假設(shè)遷移率與外加的電場(chǎng)強(qiáng)度無(wú)關(guān)，平均漂移速度隨著外加電場(chǎng)強(qiáng)度的增加而線性增加，但當(dāng)電場(chǎng)強(qiáng)度足夠強(qiáng)時(shí)，這種關(guān)系將發(fā)生偏移。圖3.10給出了三種半導(dǎo)體中電子和空穴的漂移速度與外加電場(chǎng)之間的關(guān)系曲線。圖3.10硅、鍺和砷化鎵中電子和空穴的漂移速度與外加電場(chǎng)之間的關(guān)系曲線

從圖3.10中可以看出，在外加電場(chǎng)強(qiáng)度較小時(shí)，漂移速度正比于電場(chǎng)強(qiáng)度，直線的斜率就是遷移率。但隨著外加電場(chǎng)強(qiáng)度的增加，漂移速度隨電場(chǎng)強(qiáng)度的增加不再是線性增加，而是緩慢增加，直到一個(gè)飽和值。不同材料的不同載流子的飽和漂移速度不同，硅的電子或空穴的飽和漂移速度為107cm/s的數(shù)量級(jí)。

關(guān)于這一現(xiàn)象，可以利用一個(gè)簡(jiǎn)單的模型來(lái)解釋。由于遷移率和平均自由時(shí)間成正比，假設(shè)載流子在兩次散射之間的平均自由程l為固定值，載流子的速度由兩部分組成，一部分是漂移速度vd

，一部分是熱運(yùn)動(dòng)速度vth，即有

在弱場(chǎng)情況下，滿足vth?vd

，平均自由時(shí)間為定值，遷移率為定值，漂移速度隨著外加電場(chǎng)強(qiáng)度的增加而線性增加。

隨著電場(chǎng)強(qiáng)度的增加，漂移速度不能忽略，平均自由時(shí)間和弱場(chǎng)情況相比減小，遷移率減小，漂移速度隨著外加電場(chǎng)強(qiáng)度的增加而緩慢增加。

在強(qiáng)場(chǎng)情況下，漂移速度和熱運(yùn)動(dòng)速度大小相當(dāng)，可近似為

由于．

式(3.36)中，

C表示常數(shù)，故載流子達(dá)到飽和漂移速度。

從圖3.10中可以看出，砷化鎵電子漂移速度曲線為先增加到最大值后降低，最后達(dá)到飽和速度。與其他曲線相比，砷化鎵曲線出現(xiàn)隨著電場(chǎng)強(qiáng)度的增加漂移速度減小的一段特殊區(qū)域。這種現(xiàn)象的出現(xiàn)主要是由砷化鎵的能帶結(jié)構(gòu)決定的。根據(jù)砷化鎵的E－k關(guān)系，存在兩種不同有效質(zhì)量的電子，當(dāng)外加電場(chǎng)較弱時(shí)，電子處在有效質(zhì)量較小的能谷位置，當(dāng)外加電場(chǎng)增加到一定數(shù)值后，電子躍遷到有效質(zhì)量較大的能谷位置，因有效質(zhì)量增大，故出現(xiàn)了平均漂移速度隨著外場(chǎng)的增加而減小的現(xiàn)象。

半導(dǎo)體中的載流子除了存在3.1節(jié)中討論的漂移運(yùn)動(dòng)外，還有一種運(yùn)動(dòng)稱為擴(kuò)散。擴(kuò)散是指在濃度梯度的作用下，載流子從高濃度的區(qū)域向低濃度的區(qū)域運(yùn)動(dòng)的過(guò)程。在實(shí)際中存在很多擴(kuò)散運(yùn)動(dòng)的例子，比如將一滴墨水滴入清水中，由于一開始墨水滴入的局部濃度很高，而其他地方墨水的濃度為零，因此隨著時(shí)間的推移，組成墨水的微觀粒子將發(fā)生擴(kuò)散，經(jīng)過(guò)足夠長(zhǎng)的時(shí)間，整個(gè)水里的墨水含量均勻。擴(kuò)散運(yùn)動(dòng)是通過(guò)原子等微觀粒子的熱運(yùn)動(dòng)而實(shí)現(xiàn)的。由于載流子本身帶電，所以載流子的擴(kuò)散運(yùn)動(dòng)會(huì)產(chǎn)生擴(kuò)散電流。

3.3載流子的擴(kuò)散運(yùn)動(dòng)

如圖3.11所示，假設(shè)電子濃度和空穴濃度在x方向上存在濃度梯度，直接給出空穴擴(kuò)散電流密度和電子擴(kuò)散電流密度的表達(dá)式分別為

式(3.37)及式(3.38)中，Dn、Dp分別為電子擴(kuò)散系數(shù)和空穴擴(kuò)散系數(shù)，其單位為cm2/s，擴(kuò)散系數(shù)是反映濃度梯度作用下載流子擴(kuò)散運(yùn)動(dòng)強(qiáng)弱的參量。從圖3.11(b)、(c)中可以看出，在假設(shè)相同的濃度梯度下，電子和空穴的擴(kuò)散運(yùn)動(dòng)的方向相同，二者產(chǎn)生的電流密度的方向卻是相反的。在式(3.37)中電子流動(dòng)的方向是沿負(fù)x軸方向，考慮到電子帶負(fù)電，故相乘后式(3.37)結(jié)果為正。在式(3.38)中空穴流動(dòng)的方向也是沿負(fù)x軸方向，考慮到空穴帶正電，

故相乘后式(3.38)結(jié)果為負(fù)。因此，在相同的濃度梯度下，兩種載流子的擴(kuò)散電流方向相反。圖3.11空穴濃度梯度分布及擴(kuò)散電流的方向

在半導(dǎo)體中，當(dāng)既存在電場(chǎng)又存在濃度梯度時(shí)，即前面講述的兩種運(yùn)動(dòng)都同時(shí)存在，總的電流密度由這二者共同決定，有

也可以把半導(dǎo)體中存在的這四種電流綜合在一起，表示為總電流密度，對(duì)于一維的簡(jiǎn)單情況，總電流密度的表達(dá)式為

[例3.5]在T=300K時(shí)，已知在某硅材料中電子的濃度線性變化，如圖3.12所示，且電子的擴(kuò)散系數(shù)為Dn

=25cm2/s，計(jì)算擴(kuò)散電流密度。

解：按照電子擴(kuò)散電流密度的定義式(3.37)，即

因?yàn)榧僭O(shè)在該題中電子濃度線性變化，故

3.4愛因斯坦關(guān)系

通過(guò)對(duì)載流子輸運(yùn)現(xiàn)象的研究，我們得到：遷移率是描述載流子在外電場(chǎng)的作用下運(yùn)動(dòng)難易程度的量；擴(kuò)散系數(shù)是描述載流子在濃度梯度的作用下運(yùn)動(dòng)難易程度的量。事實(shí)上，對(duì)于電子和空穴來(lái)說(shuō)，這兩個(gè)量并不是相互獨(dú)立的，而是存在一定關(guān)系的。愛因斯坦關(guān)系就是描述載流子遷移率和擴(kuò)散系數(shù)之間的關(guān)系。

在以前的討論中，都假設(shè)摻雜半導(dǎo)體中是均勻摻雜的，即在半導(dǎo)體內(nèi)部各處的摻雜濃度都相等。在這里為了推導(dǎo)愛因斯坦關(guān)系，我們考慮一塊非均勻摻雜的半導(dǎo)體。所謂非均勻摻雜半導(dǎo)體，是指在半導(dǎo)體的不同位置摻入的雜質(zhì)濃度不同。圖3.13為一塊非均勻摻雜半導(dǎo)體的摻雜濃度與位置關(guān)系的曲線，如果是均勻摻雜，應(yīng)為一條平行于x軸的直線。圖3.13非均勻半導(dǎo)體的摻雜濃度曲線圖和能帶圖

在第2章中關(guān)于費(fèi)米能級(jí)的討論，提到費(fèi)米能級(jí)是衡量半導(dǎo)體中電子占據(jù)能級(jí)水平的一個(gè)度量，故對(duì)于一個(gè)處于熱平衡狀態(tài)的半導(dǎo)體，其費(fèi)米能級(jí)是恒定不變的。在假設(shè)雜質(zhì)完全電離的情況下，非均勻半導(dǎo)體內(nèi)存在電子的濃度梯度，沿著x軸的方向電子濃度越來(lái)越大，濃度梯度的存在導(dǎo)致了電子的擴(kuò)散運(yùn)動(dòng)，其擴(kuò)散的方向是沿著x軸的負(fù)方向。擴(kuò)散運(yùn)動(dòng)的后果是將原來(lái)半導(dǎo)體中存在的電中性條件破壞，靠左邊的半導(dǎo)體因?yàn)榻邮樟藬U(kuò)散來(lái)的電子而局部帶負(fù)電，靠右邊的半導(dǎo)體因?yàn)殡娮拥牧鞒龆植繋д姟＿@種局部帶電的現(xiàn)狀導(dǎo)致半導(dǎo)體內(nèi)部存在電場(chǎng)，電場(chǎng)的方向是沿著x軸的負(fù)方向。

在電場(chǎng)作用下載流子的漂移運(yùn)動(dòng)的方向與擴(kuò)散運(yùn)動(dòng)的方向相反，阻止了擴(kuò)散的進(jìn)一步進(jìn)行。正是因?yàn)閮?nèi)建電場(chǎng)的存在導(dǎo)致電勢(shì)是x的函數(shù)，電勢(shì)能也是x的函數(shù)，隨位置變化的電勢(shì)能疊加在原來(lái)的能帶圖上，從而得到了如圖3.13(b)所示的能帶圖。此時(shí)半導(dǎo)體內(nèi)部雖然既有擴(kuò)散運(yùn)動(dòng)，又有漂移運(yùn)動(dòng)，但二者達(dá)到一個(gè)平衡，平衡下的非均勻摻雜的半導(dǎo)體總電流為零，即有

在式(3.42)中，dn/dx在雜質(zhì)完全電離的假設(shè)下等于dND(x)/dx，要利用式(3.42)推導(dǎo)出遷移率和擴(kuò)散系數(shù)的關(guān)系，必須求出內(nèi)建電場(chǎng)E的表達(dá)式。

根據(jù)電子電勢(shì)能和電勢(shì)的關(guān)系，得到電勢(shì)的表達(dá)式為

根據(jù)電勢(shì)和電場(chǎng)之間的關(guān)系，結(jié)合圖3.13(b)，有

要求出內(nèi)建電場(chǎng)，必須求出本征費(fèi)米能級(jí)隨位置的變化率，考慮到式(2.36)