《高等數(shù)學(下冊)》課件-第6章

第6章常微分方程6.1常微分方程的基本概念與分離變量法6.2一階線性微分方程與可降階的高階微分方程6.3二階常系數(shù)線性微分方程6.1常微分方程的基本概念與分離變量法

6.1.1基本概念

1.引例

例6-1如果一曲線上任意一點處的切線斜率等于該點橫坐標，且該曲線通過點(2，1)，求該曲線方程.

解設所求的曲線方程為y=f(x)，M(x，y)為曲線上任意一點，由題設條件得

這就是y=f(x)所滿足的微分方程.對方程兩邊同時積分，得到

即

又由于曲線過(2，1)，即當x=2時，y=1，代入上式可得

C=－1，所以，所求曲線方程為

例6-2設一個質(zhì)量為m的物體，在不計空氣阻力的情況下由靜止開始自由下落，已知當t=0時，v=0、s=0.求物體下落過程中，路程s和時間t的函數(shù)關系.

解設質(zhì)量為m的物體自由下落時，其路程是時間的函數(shù)s=s(t)，自由落體運動的加速度為g，根據(jù)牛頓第二定律有

對上式兩邊同時積分得(6-1)對式(6-1)再積分一次，得

將當t=0時，v=0代入式(6-1)得

C1=0

將當t=0時，s=0代入式(6-2)得

C2=0

得到路程與時間的函數(shù)關系為 ，即為所求的自由落體的運動方程.(6-2)

2.微分方程的基本概念

含有未知函數(shù)導數(shù)或微分的方程稱為微分方程.這里必須指出的是，在微分方程中，自變量和未知函數(shù)可以不出現(xiàn)，但是未知函數(shù)的導數(shù)或者微分形式則必須出現(xiàn).未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程稱為常微分方程.由于本章中只涉及常微分方程，因此在本章我們把常微分方程簡稱為微分方程.

微分方程中所含未知函數(shù)的導數(shù)或微分的最高階數(shù)稱為微分方程的階.二階及二階以上的微分方程稱為高階微分方程.例如方程y''+y'－10y=3x2，y(4)－5x2y'=0都是微分方程，分別為二階微分方程和四階微分方程，這里y是未知函數(shù)，x是自變量.

一般地，n階微分方程的形式為

F(x，y，y'，…，y(n))=0

其中，x是自變量；y是x的函數(shù)；y'、y''、…、y(n)依次是函數(shù)y=y(x)對x的一階、二階、…、n階導數(shù).

如果微分方程中所含的未知函數(shù)及其各階導數(shù)或微分都是一次有理式，稱這樣的微分方程為線性微分方程，否則就稱為非線性微分方程.如果一個函數(shù)y=φ(x)代入微分方程后，能使方程成為恒等式，則這個函數(shù)稱為該微分方程的解.微分方程的解有兩種形式：一種不含任意常數(shù)；一種含有任意常數(shù).如果解中包含任意常數(shù)，且獨立的任意常數(shù)的個數(shù)與方程的階數(shù)相同，則這樣的解稱為微分方程的通解.不含任意常數(shù)的解，稱為微分方程的特解.這里所謂獨立的任意常數(shù)，就是任意常數(shù)所在的項之間不能合并同類項.

在許多實際問題中，通常會給出確定的微分方程一個特解所必須滿足的條件，這些條件稱為初始條件.

設微分方程中的未知函數(shù)為y=y(x)，如果微分方程是一階的，通常用來確定任意常數(shù)的初始條件是

其中，x0、y0都是給定的值.

如果微分方程是二階的，通常用來確定任意常數(shù)的初始條件為

其中，x0、y0和y1都是給定的值.

求微分方程滿足初始條件的特解的問題稱為初值問題.由此可知，一階微分方程的初值問題為二階微分方程的初值問題為

例6-3驗證函數(shù)y=(x2+C)sinx(C為任意常數(shù))是方程

的通解，并求滿足初始條件

的特解.

解求y=(x2+C)sinx的一階導數(shù)，得把y和代入方程左邊，得

左邊=2xsinx+(x2+C)cosx－(x2+C)sinxcotx－2xsinx

=0=右邊

方程兩邊恒等，且y中含有一個任意常數(shù)C，因此y=(x2+C)sinx是所給方程的通解.

將 代入通解y=(x2+C)sinx中，得

所求的特解為6.1.2分離變量法

定義6-1形如

的一階微分方程稱為可分離變量的方程.該方程的特點是：等式右邊可以分解成兩個函數(shù)乘積，其中一個只是x的函數(shù),另一個只是y的函數(shù).因此，可將方程化為等式一邊只含變量y，而另一邊只含變量x的形式，即

其中，g(y)≠0，對上式兩邊積分得(6-3)

其中，等式左端對y積分，右端對x積分.積分結果就是式(6-3)的通解，這個求解的過程就稱為分離變量法.求解步驟是：第一步是分離變量；第二步是兩邊同時積分.

例6-4求微分方程 的通解.

解分離變量，得兩邊積分，得

即

ln｜y｜=x2+C

于是，原方程的通解為

例6-5求微分方程(1+x2)dy+xydx=0的通解.

解分離變量，得兩邊積分，得

于是，有

所以原方程的通解為

例6-6求方程 滿足初始條件y｜x=0=－1的特解.

解分離變量，得

兩邊積分，得即

由初始條件y｜x=0=－1可確定常數(shù)C=2，從而得所求的特解為

例6-7放射性元素鈾由于不斷地有原子放射出微粒子而變成其他元素，鈾的含量就會不斷減少，這種現(xiàn)象叫做衰變.由原子物理學知道，鈾的衰變速度與當時未衰變的原子含量M成正比.已知t=0時鈾的含量為M0，求在衰變過程中鈾含量M(t)隨時間t變化的規(guī)律.

解鈾的衰變速度就是M(t)對時間t的導數(shù) ，由于鈾的衰變速度與其含量成正比，故得微分方程

其中，l(l>0)是常數(shù)，稱為衰變系數(shù)，l前置負號是由于當t增加時，M(t)單調(diào)減少，即 .

由題意，初始條件為M｜t=0=M0，(M>0)，用分離變量法解微分方程，得

代入初始條件，解得C=M0，有

M=M0e－lt

這就是所求鈾的衰變規(guī)律.由此可見，鈾的含量隨時間的增加而按指數(shù)規(guī)律衰減. 6.2一階線性微分方程與可降階的

高階微分方程

6.2.1一階線性微分方程

定義6-2形如

的方程，稱為一階線性微分方程，其中P(x)，Q(x)都是x的連續(xù)函數(shù).當Q(x)=0時，方程(6-4)變?yōu)?6-5)(6-4)方程(6-5)稱為一階線性齊次微分方程.

當Q(x)≠0時，方程(6-4)稱為一階線性非齊次微分方程.

下面先介紹一階線性齊次微分方程 的通解的求法.

可以看出，一階線性齊次微分方程(6-5)是可分離變量的方程.通過分離變量，得上式兩邊積分，得

即

從而得到齊次微分方程(6-5)的通解

其中，C為任意常數(shù).(6-6)下面我們介紹一階線性非齊次微分方程 +P(x)y=Q(x)的通解的求法.

有了齊次微分方程(6-5)的通解(6-6)，如何進一步求出方程(6-4)的通解呢？我們來分析式(6-6)，它是齊次微分方程(6-5)的解，但它肯定不是方程(6-4)的解.然而我們可以設想,如果式(6-6)中的常數(shù)C不是常數(shù)，而是x的函數(shù)u(x)，那么能否選擇適當?shù)暮瘮?shù)u(x)，使

滿足非齊次方程(6-4)呢？(6-7)式(6-7)對x求導，得

把y和 代入方程(6-4)中，得

即

兩邊積分，得

其中，C是任意常數(shù).

于是，一階線性非齊次方程+P(x)y=Q(x)的通解為

式(6-8)可改寫為

這種將常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法，稱為常數(shù)變易法.可以看到，一階線性非齊次方程的通解是其對應的齊次線性方程的通解與非齊次線性方程的一個特解之和.(6-8)

例6-8求微分方程 的通解.

解這是一階線性非齊次方程，因為 ，Q(x)=x2，代入式(6-8)，有

所以微分方程 的通解為

例6-9求微分方程 ，滿足

的特解.

解該微分方程是一階線性非齊次方程，P(x)=cotx，Q(x)=2cosx，代入式(6-8)，得

將初始條件 代入通解，得C=5，故所求特解為y=sinx+5cscx.

例6-10求微分方程 的通解.

解所給方程不是未知函數(shù)y的線性方程，可將它改寫成

即

把x看成未知函數(shù)，y看成自變量，以上就是一個一階線性非齊次方程.因為

所以由此可見，在解微分方程時，將x、y中的x或者y看成自變量，要視所給方程而定.這是求解微分方程時應注意的.

6.2.2可降階的高階微分方程

1.y(n)=f(x)型

微分方程

y(n)=f(x)

的特點是其右端僅含有自變量x.容易看到，由于積分與導數(shù)運算互為逆運算，兩邊積分，就得到一個n－1階的微分方程

同理再積分一次，就得到一個n－2階的微分方程，依此法繼續(xù)進行，接連積分n次，便得到含有n個任意獨立常數(shù)的通解.

例6-11求微分方程y'''=e2x－cosx的通解.

解對所給方程接連積分三次，得

這就是所求的通解.

2.y''=f(x，y')型

這種類型方程的特點是不顯含未知函數(shù)y，因此也稱為不顯含y的微分方程.此類方程的解法是：令y'=p(x)，則y''=p'，代入原方程，將方程化成以p為未知函數(shù)的一階微分方程p'=f(x，p)，這樣便將原來關于x、y的二階微分方程降為

關于x、p的一階微分方程.設其解為p=j(x，C1)，而 ，

因此又得到一個一階微分方程 ，對其積分，

就得到原來二階微分方程的通解

例6-12求微分方程(1+x2)y''=2xy'滿足初始條件y｜x=0=1，y'｜x=0=3的特解.

解所給的微分方程是不顯含y的微分方程.設y'=p，則y''=p'，代入原方程，有

(1+x2)p'=2xp

分離變量并取積分，得

積分，得

ln｜p｜=ln｜1+x2｜+C

p=y'=C1(1+x2)

(C1=±eC)由條件y'｜x=0=3，得

C1=3

所以

y'=3(1+x2)

兩端再積分，得

y=x3+3x+C2

再由條件y｜x=0=1，得

C2=1

于是所求的特解為

y=x3+3x+1

3.y''=f(y，y')型

這類方程的特點是不顯含x，因此也稱為不顯含x的微分方程.解這類方程的辦法是：令y'=p，并利用復合函數(shù)的求導法則把y''化為對y的導數(shù)，即

這樣，原方程就降為以p為未知函數(shù)，y為自變量的一階微分方程，則

設方程的通解為：p=φ(y，C1)=y'，分離變量后積分，便得到原方程的通解為

例6-13求微分方程yy''+(y')2=0的通解.

解這是不顯含x的微分方程，令y'=p，則y''=p，代入原方程，得

即由p=0，即 ，得

y=C

由 ，分離變量，得

兩邊積分得ln｜p｜=－ln｜y｜+C1，即

分離變量積分得

y2=C1x+C2

這就是所求方程的通解.(注：解y=C包含在通解中，它不是方程的通解，它的獨立常數(shù)個數(shù)與階數(shù)不同，它只是使得方程成立的解.)

6.3二階常系數(shù)線性微分方程

6.3.1二階常系數(shù)線性微分方程解的性質(zhì)

定義6-3形如

y''+py'+qy=f(x) (6-9)

的方程(其中，p，q為常數(shù))，稱為二階常系數(shù)線性微分方程.

當f(x)≠0時，稱方程(6-9)為二階常系數(shù)線性非齊次微分方程.當f(x)=0時，即

y''+py'+qy=0

(6-10)

為式(6-9)所對應的齊次微分方程.

定理6-1

(齊次線性方程解的疊加原理)設y1(x)、y2(x)是方程(6-10)的兩個特解，則對于任意的常數(shù)C1、C2(C1，C2可以是復數(shù))，y=C1y1+C2y2仍然是方程(6-10)的解，且當 時，y=C1y1+C2y2就是方程(6-10)的通解.

證首先證明y=C1y1+C2y2滿足方程(6-10).由于y1、y2都是方程(6-10)的解，所以y''1+py'1+qy1=0，y''2+py'2+qy2=0.將y=C1y1+C2y2代入方程(6-10)的左端，得

y''+py'+qy=(C1y1+C2y2)''+p(C1y1+C2y2)'+q(C1y1+C2y2)=0

這說明y=C1y1+C2y2是方程(6-10)的解.下面證明它是方程(6-10)的通解.因為

由于 ，所以C1、C2不能合并成為一個任意常數(shù)，這說明y=C1y1+C2y2含有兩個獨立的任意常數(shù)，所以它是方程(6-10)的通解.

定理6-2

(非齊次線性微分方程通解的結構定理)設y*是非齊次線性方程y''+py'+qy=f(x)的一個特解，而Y是對應齊次方程y''+py'+qy=0的通解，則y=Y+y*是非齊次方程y''+py'+qy=f(x)的通解.

證由已知條件知

(y*)''+p(y*)'+qy*=f(x)，Y''+pY'+qY=0

下面證明y=Y+y*是方程(6-9)的解，事實上

(Y+y*)''+p(Y+y*)'+q(Y+y*)

=Y''+(y*)''+pY'+p(y*)'+qY+qy*

=(Y''+PY'+qY)+［(y*)''+q(y*)'+qy*］

=0+f(x)=f(x)

這表明y=Y+y*是方程(6-9)的解.

又因為對應齊次方程(6-10)的通解Y=C1y1+C2y2中含有兩個任意常數(shù)，所以y=Y+y*中也含有兩個任意常數(shù)，因而它是二階非齊次微分方程(6-9)的通解.6.3.2二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法

我們先分析y''+py'+qy=0的特點.此方程左端是未知函數(shù)與未知函數(shù)的一階導數(shù)、二階導數(shù)的某種組合，且它們乘以“適當”的常數(shù)后，可以合并成零，這就是說，適合于方程

y''+py'+qy=0的解y必須與其一階導數(shù)、二階導數(shù)只差一個常數(shù)因子，而具有這樣特征的函數(shù)，我們自然會想到erx.

不妨設y=erx是方程y''+py'+qy=0的解，則

y'=rerx，y''=r2erx

將它們代入方程y''+py'+qy=0，便得到

erx(r2+pr+q)=0

由于erx≠0，故

(r2+pr+q)=0

(6-11)這是關于r的一元二次方程.顯然，如果r滿足方程(6-11)，則y=erx就是齊次方程(6-10)的解；反之，若y=erx是方程(6-10)的解，則r一定是方程(6-11)的根.我們把方程(6-11)稱為方程(6-10)的特征方程，它的根稱為特征根.于是，方程(6-10)的求解問題，就轉化為求方程(6-11)的根問題.下面分三種情況進行討論.

(1)當p2－4q>0時，特征方程有兩個不相等的實根r1、r2.這時，

是微分方程(6-10)的兩個特

解；且 常數(shù).所以微分方程(6-10)的通解

是：

(2)當p2－4q=0時，特征方程有兩個相等的實根r1=r2.這時，

是微分方程(6-10)的一個特解.為了得到通解，可以證明， 也是微分方程(6-10)的一個解，且y2/y1=x≠常數(shù)，因此微分方程(6-10)的通解為

(3)當p2－4q<0時，r1=a+ib、r2=a－ib是一對共軛復數(shù)根.y1=e(a+ib)x，y2=e(a－ib)x是方程(6-10)的兩個解，為得出實數(shù)解，利用歐拉公式eiq=cosq+isinq可知

y1=e(a+ib)x=eax·eibx=eax(cosbx+isinbx)

y2=e(a－ib)x=eax·e－ibx=eax(cosbx－isinbx)由定理6-1知，y1，y2是方程(6-10)的解，它們分別乘上常數(shù)后相加所得的和仍是方程(6-10)的解，所以

也是方程(6-10)的解，且 ，因此，方程(6-10)的通解為

y=eax(C1cosbx+C2sinbx)根據(jù)以上討論，我們總結求二階常系數(shù)齊次線性微分方程的通解的步驟：

(1)寫出齊次線性微分方程(6-10)的特征方程(r2+pr+q)=0.

(2)求出特征方程的特征根.

(3)根據(jù)特征方程的根的情況按表6-1寫出方程(6-10)的通解.

例6-14求微分方程y''+2y'－8y=0的通解.

解所給微分方程的特征方程為r2+2r－8=0，即

(r+4)(r－2)=0

其特征根為r1=－4，r2=2.因此所求微分方程的通解為

y=C1e－4x+C2e2x

例6-15求微分方程y''－6y'+9y=0的通解.

解所給微分方程的特征方程為r2－6r+9=0，它有相同的實根r1=r2=3，因此所求微分方程的通解為

y=(C1+C2x)e3x

例6-16求方程y''－6y'+13y=0的通解.

解所給微分方程的特征方程為r2－6r+13=0，它有一對共軛復根r1=3+2i，r2=3－2i.因此所求微分方程的通解為

y=e3x(C1cos2x+C2sin2x)

例6-17求方程 滿足初始條件s｜t=0=4，s'｜t=0=－2的特解.

解特征方程為r2+2r+1=0，特征根為r1=r2=－1，于是方程的通解為

s=(C1+C2t)e－t

因

s'=(C2－C2t－C1)e－t

故將初始條件代入以上兩式，得

C1=4，C2－C1=－2

從而C1=4，C2=2.

于是原方程的特解為

s=(4+2t)e－t

6.3.3二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的解法

1.f(x)=Pm(x)elx

其中，l為常數(shù)，Pm(x)為x的m次多項式

此時方程(6-9)為

y''+py'+qy=Pm(x)elx

(6-12)

考慮到p、q為常數(shù)，而多項式與指數(shù)函數(shù)的乘積求導以后仍是同一類型的函數(shù)，因此，我們設方程(6-12)有形如y*=Q(x)elx的解，其中Q(x)是一個待定多項式，為使

y*=Q(x)elx

滿足方程(6-12)，我們將y*=Q(x)elx代入方程(6-12)，整理后得到

Q''(x)+(2l+p)Q'(x)+(l2+pl+q)Q(x)=Pm(x)

(6-13)

式(6-13)右端是一個m次多項式，所以左端也應該是一個m次多項式.由于多項式每求一次導數(shù)，次數(shù)就降低一次，故有以下三種情況：

(1)當l2+pl+q≠0時，即l不是特征方程r2+pr+q=0的根時，式(6-13)左邊Q(x)與m次多項式Pm(x)的次數(shù)相同，所以Q(x)為一個m次待定多項式，可設

Q(x)=b0xm+b1xm－1+…+bm－1x+bm=Qm(x)

(6-14)

其中，b0、b1、…、bm為m+1個待定系數(shù)，將式(6-14)代入式(6-13)，比較等式兩邊同次冪的系數(shù)，就可得到b0、b1、…、bm為未知數(shù)的m+1個線性方程的聯(lián)立方程組，從而求出b0、b1、…、bm，即確定Q(x)，由以上分析，可得方程(6-12)的一個特解：y*=Qm(x)elx.

(2)當l2+pl+q=0，但是2l+p≠0時，即l為特征方程r2+pr+q=0的單根，那么式(6-12)就成為Q''(x)+(2l+p)Q'(x)=Pm(x),由此可見，Q'(x)與Pm(x)同次冪，故設Q(x)=xQm(x)，其中，Qm(x)是m次多項式，同樣將它代入式(6-13)即可求得Qm(x)的m+1個待定系數(shù)，從而得到方程(6-12)的一個特解：y*=xQm(x)elx.

(3)當l2+pl+q=0且2l+p=0時，即l是特征方程r2+pr+q=0的特征重根時，式(6-13)就變成Q''(x)=Pm(x)，此時設Q(x)=x2Qm(x)，將它代入式(6-13)，便可確定Qm(x)的系數(shù)，得到方程(6-12)的一個特解：y*=x2Q(x)elx.

綜上所述，我們得到如下結論：

二階常系數(shù)非齊次線性微分方程

y''+py'+qy=Pm(x)elx

具有形如

y*=xkQ(x)elx

(6-15)的特解，其中，Qm(x)為m次多項式，它的m+1個系數(shù)可由式(6-15)中的Q(x)=xkQm(x)代入式(6-13)而得到，其中式(6-15)中k值的確定如下

例6-18求方程y''+4y'+3y=x－2的一個特解并求其通解.

解原方程所對應的齊次方程的特征方程為

l2+4l+3=0

特征根為l1=－3、l2=－1.方程右端可看成(x－2)e0x，即a=0.由于0不是特征根，故設特解為

y*=ax+b

將y*代入原方程，得

4a+3(ax+b)=x－2

比較兩邊系數(shù),得

3a=1，4a+3b=－2

即

故

于是方程通解為

例6-19求方程y''－5y'+6y=xe2x的通解.

解原方程所對應的齊次方程的特征方程為

l2－5l+6=0

特征根為l1=2、l2=3，從而對應的齊次方程的通解為

y=C1e2x+C2e3x

因為a=2是特征方程的單根，故設其特解為

y*=x(ax+b)e2x

于是

(y*)'=［2