《6.2垂直關(guān)系的性質(zhì)》講義

《6.2垂直關(guān)系的性質(zhì)》講義一、教材版本與章節(jié)信息我們今天要學(xué)習(xí)的內(nèi)容來(lái)自北師大版高中必修3，第一章立體幾何初步中的§6垂直關(guān)系，6.2垂直關(guān)系的性質(zhì)。二、學(xué)習(xí)目標(biāo)1、知識(shí)目標(biāo)同學(xué)們要理解并掌握直線與平面垂直、平面與平面垂直的性質(zhì)定理。這就好比我們要認(rèn)識(shí)兩個(gè)超級(jí)英雄的特殊能力一樣，這兩個(gè)定理可是解決很多幾何問(wèn)題的關(guān)鍵哦。能夠運(yùn)用這些性質(zhì)定理去證明一些空間中的垂直關(guān)系。比如說(shuō)，給你一個(gè)奇奇怪怪的幾何圖形，你要能像偵探一樣，用這些定理找出里面隱藏的垂直關(guān)系。2、能力目標(biāo)通過(guò)對(duì)垂直關(guān)系性質(zhì)定理的探究和證明，提高大家的邏輯推理能力。想象一下，你是一個(gè)推理小說(shuō)的作者，要一步一步地把結(jié)論推導(dǎo)出來(lái)，不能有漏洞。學(xué)會(huì)將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題來(lái)解決。就像把一個(gè)復(fù)雜的3D拼圖先分解成一個(gè)個(gè)簡(jiǎn)單的2D小拼圖，然后再去解決它。3、情感目標(biāo)在探究垂直關(guān)系性質(zhì)的過(guò)程中，培養(yǎng)同學(xué)們積極探索、勇于創(chuàng)新的精神。就像探險(xiǎn)家發(fā)現(xiàn)新大陸一樣，每一個(gè)新的發(fā)現(xiàn)都會(huì)讓人興奮不已。感受幾何之美，體會(huì)數(shù)學(xué)在生活和科學(xué)研究中的廣泛應(yīng)用。其實(shí)數(shù)學(xué)就像魔法一樣，到處都有它的影子，從建筑到藝術(shù)，從物理到計(jì)算機(jī)科學(xué)。三、知識(shí)講解（一）直線與平面垂直的性質(zhì)定理1、定理內(nèi)容我們先來(lái)看直線與平面垂直的性質(zhì)定理：如果一條直線垂直于一個(gè)平面，那么這條直線垂直于這個(gè)平面內(nèi)的所有直線。這就像一個(gè)超級(jí)英雄，只要他站在這個(gè)平面上（垂直于這個(gè)平面），他就能打敗這個(gè)平面里的所有小怪獸（平面內(nèi)的所有直線）。用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)表示就是：設(shè)直線\(l\perp\)平面\(\alpha\)，\(a\subset\alpha\)，那么\(l\perpa\)。這里的\(\perp\)表示垂直，\(\subset\)表示直線\(a\)在平面\(\alpha\)內(nèi)。2、定理證明我們來(lái)證明一下這個(gè)定理。假設(shè)直線\(l\perp\)平面\(\alpha\)，\(a\)是平面\(\alpha\)內(nèi)的任意一條直線。根據(jù)直線與平面垂直的定義，直線\(l\)與平面\(\alpha\)內(nèi)的任意一條直線都垂直。因?yàn)閈(a\)是平面\(\alpha\)內(nèi)的直線，所以\(l\perpa\)。這個(gè)證明過(guò)程就像是在解釋為什么超級(jí)英雄能打敗小怪獸，因?yàn)樗羞@個(gè)能力（定義）呀。（二）平面與平面垂直的性質(zhì)定理1、定理內(nèi)容平面與平面垂直的性質(zhì)定理是：如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面。這就像兩個(gè)陣營(yíng)（兩個(gè)平面）互相敵對(duì)（垂直），在其中一個(gè)陣營(yíng)里有一條勇敢的線，它垂直于兩個(gè)陣營(yíng)的邊界（交線），那么這條線就能沖向另一個(gè)陣營(yíng)并且站穩(wěn)腳跟（垂直于另一個(gè)平面）。數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示為：設(shè)平面\(\alpha\perp\)平面\(\beta\)，\(\alpha\cap\beta=l\)，直線\(m\subset\alpha\)，\(m\perpl\)，那么\(m\perp\beta\)。2、定理證明證明這個(gè)定理稍微復(fù)雜一點(diǎn)哦。設(shè)平面\(\alpha\perp\)平面\(\beta\)，\(\alpha\cap\beta=l\)，直線\(m\subset\alpha\)，\(m\perpl\)。過(guò)直線\(m\)在平面\(\alpha\)內(nèi)作直線\(n\perpl\)，因?yàn)閈(\alpha\perp\beta\)，根據(jù)平面與平面垂直的定義，在平面\(\beta\)內(nèi)一定存在直線\(a\)，使得\(a\perpl\)且\(a\perpn\)。又因?yàn)閈(m\)和\(n\)都在平面\(\alpha\)內(nèi)，且\(m\perpl\)，\(n\perpl\)，所以\(m\paralleln\)。由于\(a\perpn\)，\(m\paralleln\)，所以\(m\perpa\)。又因?yàn)閈(a\)是平面\(\beta\)內(nèi)的直線，所以\(m\perp\beta\)。這個(gè)證明就像是一場(chǎng)精心策劃的戰(zhàn)略布局，一步一步地把結(jié)論推導(dǎo)出來(lái)。四、例題講解（一）直線與平面垂直性質(zhì)定理的例題1、例題1已知直線\(l\perp\)平面\(\alpha\)，直線\(m\subset\alpha\)，直線\(n\parallelm\)，求證：\(l\perpn\)。2、解題思路因?yàn)橹本€\(l\perp\)平面\(\alpha\)，根據(jù)直線與平面垂直的性質(zhì)定理，直線\(l\)垂直于平面\(\alpha\)內(nèi)的所有直線。又因?yàn)橹本€\(m\subset\alpha\)，所以\(l\perpm\)。已知\(n\parallelm\)，如果一條直線垂直于另一條直線，那么它也垂直于與這條直線平行的直線。所以\(l\perpn\)。3、詳細(xì)解答證明：因?yàn)閈(l\perp\)平面\(\alpha\)，\(m\subset\alpha\)，所以\(l\perpm\)（直線與平面垂直的性質(zhì)定理）。又因?yàn)閈(n\parallelm\)，所以\(l\perpn\)（一條直線垂直于另一條直線，則垂直于其平行線）。（二）平面與平面垂直性質(zhì)定理的例題1、例題2已知平面\(\alpha\perp\)平面\(\beta\)，\(\alpha\cap\beta=l\)，在平面\(\alpha\)內(nèi)有直線\(m\)，\(m\perpl\)，在平面\(\beta\)內(nèi)有直線\(n\)，\(n\perpl\)，且\(m\)與\(n\)不平行，求證：\(m\perpn\)。2、解題思路由平面\(\alpha\perp\)平面\(\beta\)，\(\alpha\cap\beta=l\)，\(m\subset\alpha\)且\(m\perpl\)，根據(jù)平面與平面垂直的性質(zhì)定理可知\(m\perp\beta\)。因?yàn)閈(n\subset\beta\)，所以\(m\perpn\)。3、詳細(xì)解答證明：因?yàn)槠矫鎈(\alpha\perp\)平面\(\beta\)，\(\alpha\cap\beta=l\)，\(m\subset\alpha\)，\(m\perpl\)，所以\(m\perp\beta\)（平面與平面垂直的性質(zhì)定理）。又因?yàn)閈(n\subset\beta\)，所以\(m\perpn\)。五、課堂練習(xí)（一）基礎(chǔ)練習(xí)1、若直線\(a\perp\)平面\(\alpha\)，直線\(b\parallel\alpha\)，則\(a\)與\(b\)的關(guān)系是__________。答案：\(a\perpb\)。解題思路：因?yàn)橹本€\(a\perp\)平面\(\alpha\)，直線\(b\parallel\alpha\)，我們可以在平面\(\alpha\)內(nèi)找到一條直線\(c\)，使得\(b\parallelc\)，根據(jù)直線與平面垂直的性質(zhì)定理，\(a\perpc\)，又因?yàn)閈(b\parallelc\)，所以\(a\perpb\)。2、已知平面\(\alpha\perp\)平面\(\beta\)，\(\alpha\cap\beta=l\)，在平面\(\beta\)內(nèi)有直線\(a\)，\(a\perpl\)，則\(a\)與平面\(\alpha\)的關(guān)系是__________。答案：\(a\perp\alpha\)或\(a\subset\alpha\)。解題思路：當(dāng)\(a\)不在平面\(\alpha\)內(nèi)時(shí)，由平面與平面垂直的性質(zhì)定理可知\(a\perp\alpha\)；當(dāng)\(a\)在平面\(\alpha\)內(nèi)時(shí)，\(a\subset\alpha\)也滿足\(a\perpl\)。（二）提高練習(xí)1、如圖，在四棱錐\(PABCD\)中，底面\(ABCD\)是正方形，側(cè)棱\(PD\perp\)底面\(ABCD\)，\(PD=DC\)，\(E\)是\(PC\)的中點(diǎn)。（1）證明：\(DE\perp\)平面\(PBC\)。（2）求三棱錐\(CBDE\)的體積與四棱錐\(PABCD\)的體積之比。2、解題思路（1）要證明\(DE\perp\)平面\(PBC\)，我們先看已知條件。因?yàn)閈(PD\perp\)底面\(ABCD\)，\(BC\subset\)底面\(ABCD\)，所以\(PD\perpBC\)。又因?yàn)榈酌鎈(ABCD\)是正方形，所以\(BC\perpDC\)。由于\(PD\capDC=D\)，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理，\(BC\perp\)平面\(PDC\)。因?yàn)閈(DE\subset\)平面\(PDC\)，所以\(BC\perpDE\)。已知\(PD=DC\)，\(E\)是\(PC\)的中點(diǎn)，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，\(DE\perpPC\)。又因?yàn)閈(PC\capBC=C\)，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理，\(DE\perp\)平面\(PBC\)。3、解題思路（2）設(shè)\(PD=DC=a\)。先求四棱錐\(PABCD\)的體積\(V_{PABCD}\)，根據(jù)四棱錐體積公式\(V=\frac{1}{3}Sh\)（\(S\)是底面積，\(h\)是高），底面\(ABCD\)是正方形，邊長(zhǎng)為\(a\)，高\(yùn)(PD=a\)，所以\(V_{PABCD}=\frac{1}{3}a^{2}\cdota=\frac{1}{3}a^{3}\)。再求三棱錐\(CBDE\)的體積\(V_{CBDE}\)。因?yàn)閈(E\)是\(PC\)的中點(diǎn)，所以\(V_{CBDE}=\frac{1}{2}V_{CBDP}\)。而\(V_{CBDP}=V_{BCDP}\)，\(V_{BCDP}\)的底面積是\(\frac{1}{2}a^{2}\)（\(\triangleCDP\)的面積），高\(yùn)(BC=a\)，所以\(V_{BCDP}=\frac{1}{3}\times\frac{1}{2}a^{2}\cdota=\frac{1}{6}a^{3}\)。則\(V_{CBDE}=\frac{1}{2}\times\frac{1}{6}a^{3}=\frac{1}{12}a^{3}\)。所以\(V_{CBDE}:V_{PABCD}=\frac{1}{12}a^{3}:\frac{1}{3}a^{3}=1:4\)。六、課堂小結(jié)1、今天我們學(xué)習(xí)了直線與平面垂直、平面與平面垂直的性質(zhì)定理。這兩個(gè)定理就像兩把鑰匙，能幫助我們打開(kāi)很多空間幾何問(wèn)題的大門。2、在證明過(guò)程中，我們要熟練運(yùn)用這些定理，同時(shí)要注意把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題的思想。就像我們?cè)谝粋€(gè)大迷宮里（空間幾何），要找到一些小通道（平面幾何）來(lái)走出迷宮。3、對(duì)于直線與平面垂直的性質(zhì)定理，要記住一條直線垂直于一個(gè)平面，就垂直于這個(gè)平面內(nèi)的所有直線。對(duì)于平面與平面垂直的性質(zhì)定理，要牢記在一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個(gè)平面。七、課后作業(yè)（一）基礎(chǔ)作業(yè)1、已知直線\(a\perp\)平面\(\alpha\)，直線\(b\)在平面\(\alpha\)內(nèi)，且\(a\)與\(b\)不重合，直線\(c\parallela\)，求證：\(c\perpb\)。2、已知平面\(\alpha\perp\)平面\(\beta\)，\(\alpha\cap\beta=l\)，在平面\(\alpha\)內(nèi)有直線\(m\)，\(m\)與\(l\)不垂直，在平面\(\beta\)內(nèi)有直線\(n\)，\(n\perpl\)，求證：\(m\)與\(n\)不平行。（二）拓展作業(yè)1、如圖，在三棱柱