2024年山東省泰安市中考數(shù)學(xué)試卷（附答案）

第1頁(yè)（共1頁(yè)）2024年山東省泰安市中考數(shù)學(xué)試卷（附答案）一、選擇題（本大題共12小題，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是正確的，請(qǐng)把正確選項(xiàng)選出來(lái)，每小題選對(duì)得4分，選錯(cuò)、不選或選出的答案超過(guò)一個(gè)，均記零分）1．（4分）（2024?泰安）的相反數(shù)是A． B． C． D．2．（4分）（2024?泰安）下列運(yùn)算正確的是A． B． C． D．3．（4分）（2024?泰安）下面圖形中，中心對(duì)稱圖形的個(gè)數(shù)有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)4．（4分）（2024?泰安）據(jù)泰山景區(qū)2024年1月4日消息，2023年泰山景區(qū)累計(jì)接待進(jìn)山游客超860萬(wàn)人次，同比增長(zhǎng)，刷新了歷年游客量最高紀(jì)錄．?dāng)?shù)據(jù)860萬(wàn)用科學(xué)記數(shù)法表示為A． B． C． D．5．（4分）（2024?泰安）如圖，直線，等邊三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)，分別落在直線，上，若，則的度數(shù)是A． B． C． D．6．（4分）（2024?泰安）如圖，是的直徑，，是上兩點(diǎn)，平分，若，則的度數(shù)為A． B． C． D．7．（4分）（2024?泰安）關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．8．（4分）（2024?泰安）我國(guó)古代《四元玉鑒》中記載“二果問(wèn)價(jià)”問(wèn)題，其內(nèi)容大致如下：用九百九十九文錢(qián)，可買(mǎi)甜果苦果共一千個(gè)，若，，試問(wèn)買(mǎi)甜果苦果各幾個(gè)？若設(shè)買(mǎi)甜果個(gè)，買(mǎi)苦果個(gè)，可列出符合題意的二元一次方程組，根據(jù)已有信息，題中用“，”表示的缺失的條件應(yīng)為A．甜果七個(gè)用四文錢(qián)，苦果九個(gè)用十一文錢(qián) B．甜果十一個(gè)用九文錢(qián)，苦果四個(gè)用七文錢(qián) C．甜果四個(gè)用七文錢(qián)，苦果十一個(gè)用九文錢(qián) D．甜果九個(gè)用十一文錢(qián)，苦果七個(gè)用四文錢(qián)9．（4分）（2024?泰安）如圖，中，，分別以頂點(diǎn)，為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧分別相交于點(diǎn)和點(diǎn)，作直線分別與，交于點(diǎn)和點(diǎn)；以點(diǎn)為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交，于點(diǎn)和點(diǎn)，再分別以點(diǎn)，點(diǎn)為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)，作射線，若射線恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則下列四個(gè)結(jié)論：①；②垂直平分線段；③；④．其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)10．（4分）（2024?泰安）兩個(gè)半徑相等的半圓按如圖方式放置，半圓的一個(gè)直徑端點(diǎn)與半圓的圓心重合，若半圓的半徑為2，則陰影部分的面積是A． B． C． D．11．（4分）（2024?泰安）如圖所示是二次函數(shù)的部分圖象，該函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是直線，圖象與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是2．則下列結(jié)論：①；②方程一定有一個(gè)根在和之間；③方程一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；④．其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)12．（4分）（2024?泰安）如圖，菱形中，，點(diǎn)是邊上的點(diǎn)，，，點(diǎn)是上的一點(diǎn)，是以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，為角的直角三角形，連結(jié)．當(dāng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段的最小值是A．2 B． C． D．4二、填空題（本大題共6小題，滿分24分．只要求填寫(xiě)最后結(jié)果，每小題填對(duì)得4分）13．（4分）（2024?泰安）單項(xiàng)式的次數(shù)是．14．（4分）（2024?泰安）某學(xué)校在4月23日世界讀書(shū)日舉行“書(shū)香校園，全員閱讀”活動(dòng)．小明和小穎去學(xué)校圖書(shū)室借閱書(shū)籍，小明準(zhǔn)備從《西游記》、《駱駝祥子》、《水滸傳》中隨機(jī)選擇一本，小穎準(zhǔn)備從《西游記》、《駱駝祥子》、《朝花夕拾》中隨機(jī)選擇一本，小明和小穎恰好選中書(shū)名相同的書(shū)的概率是．15．（4分）（2024?泰安）在綜合實(shí)踐課上，數(shù)學(xué)興趣小組用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)測(cè)量大汶河某河段的寬度．他們?cè)诤影兑粋?cè)的瞭望臺(tái)上放飛一只無(wú)人機(jī)．如圖，無(wú)人機(jī)在河上方距水面高60米的點(diǎn)處測(cè)得瞭望臺(tái)正對(duì)岸處的俯角為，測(cè)得瞭望臺(tái)頂端處的俯角為，已知瞭望臺(tái)高12米（圖中點(diǎn)，，，在同一平面內(nèi)）．那么大汶河此河段的寬為米．（參考數(shù)據(jù)：，，，16．（4分）（2024?泰安）如圖，小明的父親想用長(zhǎng)為60米的柵欄，再借助房屋的外墻圍成一個(gè)矩形的菜園．已知房屋外墻長(zhǎng)40米，則可圍成的菜園的最大面積是平方米．17．（4分）（2024?泰安）如圖，是的直徑，是的切線，點(diǎn)為上任意一點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連結(jié)交于點(diǎn)，延長(zhǎng)與相交于點(diǎn)．若，，則的長(zhǎng)為．18．（4分）（2024?泰安）如圖所示，是用圖形“〇”和“●”按一定規(guī)律擺成的“小屋子”．按照此規(guī)律繼續(xù)擺下去，第個(gè)“小屋子”中圖形“〇”個(gè)數(shù)是圖形“●”個(gè)數(shù)的3倍．三、解答題（本大題共7小題，滿分78分．解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或推演步驟）19．（10分）（2024?泰安）（1）計(jì)算：；（2）化簡(jiǎn)：．20．（11分）（2024?泰安）某超市打算購(gòu)進(jìn)一批蘋(píng)果．現(xiàn)從甲、乙兩個(gè)供應(yīng)商供應(yīng)的蘋(píng)果中各隨機(jī)抽取10個(gè)，測(cè)得它們的直徑（單位：，并制作統(tǒng)計(jì)圖如下：根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題：（1）統(tǒng)計(jì)量供應(yīng)商平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)甲8080乙76則，，．（2）蘋(píng)果直徑的方差越小，蘋(píng)果的大小越整齊，據(jù)此判斷，供應(yīng)商供應(yīng)的蘋(píng)果大小更為整齊．（填“甲”或“乙”（3）超市規(guī)定直徑（含以上的蘋(píng)果為大果．超市打算購(gòu)進(jìn)甲供應(yīng)商的蘋(píng)果2000個(gè)，其中，大果約有多少個(gè)？21．（9分）（2024?泰安）直線與反比例函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)．（1）求直線的表達(dá)式；（2）若，請(qǐng)直接寫(xiě)出滿足條件的的取值范圍；（3）過(guò)點(diǎn)作軸的平行線交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)，求的面積．22．（10分）（2024?泰安）隨著快遞行業(yè)的快速發(fā)展，全國(guó)各地的農(nóng)產(chǎn)品有了更廣闊的銷(xiāo)售空間，某農(nóng)產(chǎn)品加工企業(yè)有甲、乙兩個(gè)組共35名工人．甲組每天加工3000件農(nóng)產(chǎn)品，乙組每天加工2700件農(nóng)產(chǎn)品，已知乙組每人每天平均加工的農(nóng)產(chǎn)品數(shù)量是甲組每人每天平均加工農(nóng)產(chǎn)品數(shù)量的1.2倍，求甲、乙兩組各有多少名工人？23．（12分）（2024?泰安）綜合與實(shí)踐為了研究折紙過(guò)程蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識(shí)，某校九年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)進(jìn)行了數(shù)學(xué)折紙?zhí)骄炕顒?dòng)．【探究發(fā)現(xiàn)】（1）同學(xué)們對(duì)一張矩形紙片進(jìn)行折疊，如圖1，把矩形紙片翻折，使矩形頂點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在矩形的一邊上，折痕為，將紙片展平，連結(jié)．與相交于點(diǎn)．同學(xué)們發(fā)現(xiàn)圖形中四條線段成比例，即，請(qǐng)你判斷同學(xué)們的發(fā)現(xiàn)是否正確，并說(shuō)明理由．【拓展延伸】（2）同學(xué)們對(duì)老師給出的一張平行四邊形紙片進(jìn)行研究，如圖2，是平行四邊形紙片的一條對(duì)角線，同學(xué)們將該平行四邊形紙片翻折，使點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)都落在對(duì)角線上，折痕分別是和．將紙片展平，連結(jié)，，．同學(xué)們探究后發(fā)現(xiàn)，若，那么點(diǎn)恰好是對(duì)角線的一個(gè)“黃金分割點(diǎn)”，即．請(qǐng)你判斷同學(xué)們的發(fā)現(xiàn)是否正確，并說(shuō)明理由．24．（13分）（2024?泰安）如圖1，在等腰中，，，點(diǎn)，分別在，上，，連結(jié)，，取中點(diǎn)，連結(jié)．（1）求證：，；（2）將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖2的位置．①請(qǐng)直接寫(xiě)出與的位置關(guān)系：；②求證：．25．（13分）（2024?泰安）如圖，拋物線的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）將拋物線向右平移1個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位得到拋物線，求拋物線的表達(dá)式，并判斷點(diǎn)是否在拋物線上；（3）在軸上方的拋物線上，是否存在點(diǎn)，使是等腰直角三角形．若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

2024年山東省泰安市中考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共12小題，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是正確的，請(qǐng)把正確選項(xiàng)選出來(lái)，每小題選對(duì)得4分，選錯(cuò)、不選或選出的答案超過(guò)一個(gè)，均記零分）1．（4分）（2024?泰安）的相反數(shù)是A． B． C． D．【考點(diǎn)】相反數(shù)【專(zhuān)題】實(shí)數(shù)【分析】直接利用相反數(shù)的定義：只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù)，即可得出答案．【解答】解：的相反數(shù)是：．故選：．2．（4分）（2024?泰安）下列運(yùn)算正確的是A． B． C． D．【考點(diǎn)】整式的混合運(yùn)算【專(zhuān)題】運(yùn)算能力；整式【分析】利用合并同類(lèi)項(xiàng)的法則，整式的除法的法則，平方差公式，積的乘方的法則對(duì)各項(xiàng)進(jìn)行運(yùn)算即可．【解答】解：、與不屬于同類(lèi)項(xiàng)，不能合并，故不符合題意；、，故不符合題意；、，故不符合題意；、，故符合題意；故選：．3．（4分）（2024?泰安）下面圖形中，中心對(duì)稱圖形的個(gè)數(shù)有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【考點(diǎn)】中心對(duì)稱圖形．【專(zhuān)題】平移、旋轉(zhuǎn)與對(duì)稱；幾何直觀．【分析】根據(jù)中心對(duì)稱圖形的定義，結(jié)合選項(xiàng)所給圖形進(jìn)行判斷即可．把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來(lái)的圖形重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對(duì)稱圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做對(duì)稱中心．【解答】解：左起第四個(gè)圖形不能找到這樣的一個(gè)點(diǎn)，使圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度后和原圖形完全重合，所以不是中心對(duì)稱圖形；第一、第二和第三個(gè)圖形能找到這樣的一個(gè)點(diǎn)，使圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度后和原圖形完全重合，所以是中心對(duì)稱圖形．所以中心對(duì)稱圖形有3個(gè)．故選：C．4．（4分）（2024?泰安）據(jù)泰山景區(qū)2024年1月4日消息，2023年泰山景區(qū)累計(jì)接待進(jìn)山游客超860萬(wàn)人次，同比增長(zhǎng)，刷新了歷年游客量最高紀(jì)錄．?dāng)?shù)據(jù)860萬(wàn)用科學(xué)記數(shù)法表示為A． B． C． D．【考點(diǎn)】科學(xué)記數(shù)法—表示較大的數(shù)【分析】將一個(gè)數(shù)表示成的形式，其中，為整數(shù)，這種記數(shù)方法叫做科學(xué)記數(shù)法，據(jù)此即可求得答案．【解答】解：860萬(wàn)，故選：．5．（4分）（2024?泰安）如圖，直線，等邊三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)，分別落在直線，上，若，則的度數(shù)是A． B． C． D．【考點(diǎn)】等邊三角形的性質(zhì)；平行線的性質(zhì)【專(zhuān)題】推理能力；線段、角、相交線與平行線；等腰三角形與直角三角形【分析】過(guò)點(diǎn)作，由平行公理的推論得出，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出，即可求出的度數(shù)．【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作，直線，，是等邊三角形，，，，，，，，，故選：．6．（4分）（2024?泰安）如圖，是的直徑，，是上兩點(diǎn)，平分，若，則的度數(shù)為A． B． C． D．【考點(diǎn)】圓心角、弧、弦的關(guān)系；圓周角定理【專(zhuān)題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；運(yùn)算能力【分析】先利用圓周角定理可得：，然后利用平角定義得，根據(jù)圓周角定理得，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：，，平分，，是的直徑，，．故選：．7．（4分）（2024?泰安）關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．【考點(diǎn)】根的判別式【專(zhuān)題】一元二次方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式即可解決問(wèn)題．【解答】解：因?yàn)殛P(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，所以△，解得．故選：．8．（4分）（2024?泰安）我國(guó)古代《四元玉鑒》中記載“二果問(wèn)價(jià)”問(wèn)題，其內(nèi)容大致如下：用九百九十九文錢(qián)，可買(mǎi)甜果苦果共一千個(gè)，若，，試問(wèn)買(mǎi)甜果苦果各幾個(gè)？若設(shè)買(mǎi)甜果個(gè)，買(mǎi)苦果個(gè)，可列出符合題意的二元一次方程組，根據(jù)已有信息，題中用“，”表示的缺失的條件應(yīng)為A．甜果七個(gè)用四文錢(qián)，苦果九個(gè)用十一文錢(qián) B．甜果十一個(gè)用九文錢(qián)，苦果四個(gè)用七文錢(qián) C．甜果四個(gè)用七文錢(qián)，苦果十一個(gè)用九文錢(qián) D．甜果九個(gè)用十一文錢(qián)，苦果七個(gè)用四文錢(qián)【考點(diǎn)】由實(shí)際問(wèn)題抽象出二元一次方程組【專(zhuān)題】應(yīng)用意識(shí)；一次方程（組及應(yīng)用【分析】根據(jù)列出的二元一次方程組可得甜果苦果買(mǎi)一千，甜果九個(gè)用十一文錢(qián)，苦果七個(gè)用四文錢(qián)，【解答】解：根據(jù)列出的二元一次方程組，可得缺失的條件應(yīng)為：甜果九個(gè)用十一文錢(qián)，苦果七個(gè)用四文錢(qián)，故選：．9．（4分）（2024?泰安）如圖，中，，分別以頂點(diǎn)，為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧分別相交于點(diǎn)和點(diǎn)，作直線分別與，交于點(diǎn)和點(diǎn)；以點(diǎn)為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交，于點(diǎn)和點(diǎn)，再分別以點(diǎn)，點(diǎn)為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)，作射線，若射線恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則下列四個(gè)結(jié)論：①；②垂直平分線段；③；④．其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【考點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)；作圖—復(fù)雜作圖；角平分線的性質(zhì)【專(zhuān)題】作圖題；幾何直觀；推理能力【分析】首先證明，推出，，可得①②③④正確．【解答】解：由作圖可知垂直平分線段，，，由作圖可知平分，，，，故①正確，，，，垂直平分線段，故②正確，，，，故③正確，，，，，故④正確．故選：．10．（4分）（2024?泰安）兩個(gè)半徑相等的半圓按如圖方式放置，半圓的一個(gè)直徑端點(diǎn)與半圓的圓心重合，若半圓的半徑為2，則陰影部分的面積是A． B． C． D．【考點(diǎn)】扇形面積的計(jì)算【專(zhuān)題】運(yùn)算能力；與圓有關(guān)的計(jì)算【分析】連接，，作于點(diǎn)，得三角形是等邊三角形，求出，，再根據(jù)，即可得出答案．【解答】解：如圖，連接，，作于點(diǎn)，，三角形是等邊三角形，，，，，．故選：．11．（4分）（2024?泰安）如圖所示是二次函數(shù)的部分圖象，該函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是直線，圖象與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是2．則下列結(jié)論：①；②方程一定有一個(gè)根在和之間；③方程一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；④．其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【考點(diǎn)】圖象法求一元二次方程的近似根；拋物線與軸的交點(diǎn)；根的判別式；二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系【專(zhuān)題】推理能力；二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；幾何直觀【分析】根據(jù)拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)情況、二次函數(shù)與方程的關(guān)系、二次函數(shù)的性質(zhì)判斷即可．【解答】解：拋物線的對(duì)稱軸為直線，，，，故①正確；拋物線的對(duì)稱軸為直線，與軸的一個(gè)交點(diǎn)在2，3之間，與軸的另一個(gè)交點(diǎn)在，0之間，方程一定有一個(gè)根在和0之間，故②錯(cuò)誤；拋物線與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，方程一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故③正確；拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)在，0之間，，圖象與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是2，，，．故④錯(cuò)誤．故選：．12．（4分）（2024?泰安）如圖，菱形中，，點(diǎn)是邊上的點(diǎn)，，，點(diǎn)是上的一點(diǎn)，是以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，為角的直角三角形，連結(jié)．當(dāng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段的最小值是A．2 B． C． D．4【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)【專(zhuān)題】幾何直觀；構(gòu)造法【分析】作，則點(diǎn)、、、四點(diǎn)共圓，從而得到，因?yàn)?，所以求出的值即可得解．【解答】解：如圖，過(guò)作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，，點(diǎn)、、、四點(diǎn)共圓，，，，，四邊形是矩形，，，，，，最小值是．故選：．二、填空題（本大題共6小題，滿分24分．只要求填寫(xiě)最后結(jié)果，每小題填對(duì)得4分）13．（4分）（2024?泰安）單項(xiàng)式的次數(shù)是3．【考點(diǎn)】42：?jiǎn)雾?xiàng)式【專(zhuān)題】：存在型【分析】根據(jù)單項(xiàng)式次數(shù)的定義進(jìn)行解答即可．【解答】解：?jiǎn)雾?xiàng)式中，的指數(shù)是1，的指數(shù)是2，此單項(xiàng)式的次數(shù)為：．故答案為：3．14．（4分）（2024?泰安）某學(xué)校在4月23日世界讀書(shū)日舉行“書(shū)香校園，全員閱讀”活動(dòng)．小明和小穎去學(xué)校圖書(shū)室借閱書(shū)籍，小明準(zhǔn)備從《西游記》、《駱駝祥子》、《水滸傳》中隨機(jī)選擇一本，小穎準(zhǔn)備從《西游記》、《駱駝祥子》、《朝花夕拾》中隨機(jī)選擇一本，小明和小穎恰好選中書(shū)名相同的書(shū)的概率是．【考點(diǎn)】列表法與樹(shù)狀圖法；概率公式【專(zhuān)題】應(yīng)用意識(shí)；概率及其應(yīng)用【分析】列表可得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及小明和小穎恰好選中書(shū)名相同的書(shū)的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：將《西游記》、《駱駝祥子》、《水滸傳》、《朝花夕拾》分別記為，，，，列表如下：共有9種等可能的結(jié)果，其中小明和小穎恰好選中書(shū)名相同的書(shū)的結(jié)果有2種，小明和小穎恰好選中書(shū)名相同的書(shū)的概率為．故答案為：．15．（4分）（2024?泰安）在綜合實(shí)踐課上，數(shù)學(xué)興趣小組用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)測(cè)量大汶河某河段的寬度．他們?cè)诤影兑粋?cè)的瞭望臺(tái)上放飛一只無(wú)人機(jī)．如圖，無(wú)人機(jī)在河上方距水面高60米的點(diǎn)處測(cè)得瞭望臺(tái)正對(duì)岸處的俯角為，測(cè)得瞭望臺(tái)頂端處的俯角為，已知瞭望臺(tái)高12米（圖中點(diǎn)，，，在同一平面內(nèi)）．那么大汶河此河段的寬為74米．（參考數(shù)據(jù)：，，，【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問(wèn)題【專(zhuān)題】解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力【分析】根據(jù)題干條件，要求，求出和即可，分別在兩個(gè)直角三角形中去求即可．【解答】解：由題知，，，，，在，，，，在中，，，．故答案為：74．16．（4分）（2024?泰安）如圖，小明的父親想用長(zhǎng)為60米的柵欄，再借助房屋的外墻圍成一個(gè)矩形的菜園．已知房屋外墻長(zhǎng)40米，則可圍成的菜園的最大面積是450平方米．【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用【專(zhuān)題】運(yùn)算能力；應(yīng)用意識(shí)；二次函數(shù)的應(yīng)用【分析】依據(jù)題意，設(shè)垂直于墻的邊長(zhǎng)為米，則平行于墻的邊長(zhǎng)為米，又墻長(zhǎng)為40米，從而可得，故，又菜園的面積，進(jìn)而結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷得解．【解答】解：由題意，設(shè)垂直于墻的邊長(zhǎng)為米，則平行于墻的邊長(zhǎng)為米，又墻長(zhǎng)為40米，．．又菜園的面積，當(dāng)時(shí)，可圍成的菜園的最大面積是450，即垂直于墻的邊長(zhǎng)為15米時(shí)，可圍成的菜園的最大面積是450平方米．故答案為：450．17．（4分）（2024?泰安）如圖，是的直徑，是的切線，點(diǎn)為上任意一點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連結(jié)交于點(diǎn)，延長(zhǎng)與相交于點(diǎn)．若，，則的長(zhǎng)為．【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；切線的性質(zhì)；圓周角定理；垂徑定理【專(zhuān)題】幾何直觀；與圓有關(guān)的位置關(guān)系【分析】先證，從而求出，再證即可得解．【解答】解：是的直徑，，是的切線，，，，，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，，，即，．故答案為：．18．（4分）（2024?泰安）如圖所示，是用圖形“〇”和“●”按一定規(guī)律擺成的“小屋子”．按照此規(guī)律繼續(xù)擺下去，第12個(gè)“小屋子”中圖形“〇”個(gè)數(shù)是圖形“●”個(gè)數(shù)的3倍．【考點(diǎn)】規(guī)律型：圖形的變化類(lèi)【專(zhuān)題】猜想歸納；推理能力【分析】根據(jù)所給圖形，依次求出“〇”和“●”的個(gè)數(shù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可解決問(wèn)題．【解答】解：由所給圖形可知，第1個(gè)“小屋子”中圖形“〇”的個(gè)數(shù)為：，“●”的個(gè)數(shù)為：；第2個(gè)“小屋子”中圖形“〇”的個(gè)數(shù)為：，“●”的個(gè)數(shù)為：；第3個(gè)“小屋子”中圖形“〇”的個(gè)數(shù)為：，“●”的個(gè)數(shù)為：；第4個(gè)“小屋子”中圖形“〇”的個(gè)數(shù)為：，“●”的個(gè)數(shù)為：；，所以第個(gè)“小屋子”中圖形“〇”的個(gè)數(shù)為：，“●”的個(gè)數(shù)為：；由題知，，解得，，又因?yàn)闉檎麛?shù)，所以，即第12個(gè)“小屋子”中圖形“〇”個(gè)數(shù)是圖形“●”個(gè)數(shù)的3倍．故答案為：12．三、解答題（本大題共7小題，滿分78分．解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或推演步驟）19．（10分）（2024?泰安）（1）計(jì)算：；（2）化簡(jiǎn)：．【考點(diǎn)】分式的混合運(yùn)算；實(shí)數(shù)的運(yùn)算【專(zhuān)題】運(yùn)算能力；實(shí)數(shù)；分式【分析】（1）先算特殊角的三角函數(shù)值，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，二次根式的化簡(jiǎn)，再算加減即可；（2）先算括號(hào)里的運(yùn)算，把能分解的因式進(jìn)行分解，除法轉(zhuǎn)為乘法，最后約分即可．【解答】解：（1）；；（2）．20．（11分）（2024?泰安）某超市打算購(gòu)進(jìn)一批蘋(píng)果．現(xiàn)從甲、乙兩個(gè)供應(yīng)商供應(yīng)的蘋(píng)果中各隨機(jī)抽取10個(gè)，測(cè)得它們的直徑（單位：，并制作統(tǒng)計(jì)圖如下：根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題：（1）統(tǒng)計(jì)量供應(yīng)商平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)甲8080乙76則80，，．（2）蘋(píng)果直徑的方差越小，蘋(píng)果的大小越整齊，據(jù)此判斷，供應(yīng)商供應(yīng)的蘋(píng)果大小更為整齊．（填“甲”或“乙”（3）超市規(guī)定直徑（含以上的蘋(píng)果為大果．超市打算購(gòu)進(jìn)甲供應(yīng)商的蘋(píng)果2000個(gè)，其中，大果約有多少個(gè)？【考點(diǎn)】眾數(shù)；用樣本估計(jì)總體；算術(shù)平均數(shù)；方差；中位數(shù)【專(zhuān)題】數(shù)據(jù)的收集與整理；數(shù)據(jù)分析觀念【分析】（1）分別根據(jù)算術(shù)平均數(shù)，中位數(shù)和眾數(shù)的定義解答即可；（2）根據(jù)方差的意義解答即可；（3）利用樣本估計(jì)總體，即用2000乘樣本中直徑（含以上所占比例即可．【解答】解：（1）由題意得：；把乙的10個(gè)蘋(píng)果的直徑從小到大排列，排在中間的兩個(gè)數(shù)分別是79，80，故中位數(shù)；甲10個(gè)蘋(píng)果的直徑中，83出現(xiàn)的次數(shù)最多，故眾數(shù)，故答案為：80，79.5，83；（2）甲的方差為：；乙的方差為，因?yàn)?，所以甲供?yīng)商供應(yīng)的蘋(píng)果大小更為整齊．故答案為：甲；（3）答：大果約有600個(gè)．21．（9分）（2024?泰安）直線與反比例函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)．（1）求直線的表達(dá)式；（2）若，請(qǐng)直接寫(xiě)出滿足條件的的取值范圍；（3）過(guò)點(diǎn)作軸的平行線交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)，求的面積．【考點(diǎn)】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題【專(zhuān)題】應(yīng)用意識(shí)；反比例函數(shù)及其應(yīng)用【分析】（1）分別將點(diǎn)、點(diǎn)代入中，求出、的值，再分別代入中，即可得出答案；（2）數(shù)形結(jié)合即可得出答案；（3）把代入中，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)三角形的面積公式即可求出答案．【解答】解：（1）分別將點(diǎn)、點(diǎn)代入中，即，，解得：，，點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，把點(diǎn)坐標(biāo)，點(diǎn)坐標(biāo)分別代入，即一次函數(shù)表達(dá)式為．（2）由圖象可知，當(dāng)時(shí)，或．（3）把時(shí)代入中，得，點(diǎn)坐標(biāo)為，，．22．（10分）（2024?泰安）隨著快遞行業(yè)的快速發(fā)展，全國(guó)各地的農(nóng)產(chǎn)品有了更廣闊的銷(xiāo)售空間，某農(nóng)產(chǎn)品加工企業(yè)有甲、乙兩個(gè)組共35名工人．甲組每天加工3000件農(nóng)產(chǎn)品，乙組每天加工2700件農(nóng)產(chǎn)品，已知乙組每人每天平均加工的農(nóng)產(chǎn)品數(shù)量是甲組每人每天平均加工農(nóng)產(chǎn)品數(shù)量的1.2倍，求甲、乙兩組各有多少名工人？【考點(diǎn)】分式方程的應(yīng)用．【專(zhuān)題】分式方程及應(yīng)用；應(yīng)用意識(shí)．【分析】設(shè)甲組有x名工人，則乙組有（35﹣x）名工人，根據(jù)乙組每人每天平均加工的農(nóng)產(chǎn)品數(shù)量是甲組每人每天平均加工農(nóng)產(chǎn)品數(shù)量的1.2倍，可列出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后，可得出x的值（即甲組的人數(shù)），再將其代入（35﹣x）中，即可求出乙組的人數(shù)．【解答】解：設(shè)甲組有x名工人，則乙組有（35﹣x）名工人，根據(jù)題意得：＝×1.2，解答：x＝20，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝20是所列方程的解，且符合題意，∴35﹣x＝35﹣20＝15．答：甲組有20名工人，乙組有15名工人．23．（12分）（2024?泰安）綜合與實(shí)踐為了研究折紙過(guò)程蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識(shí)，某校九年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)進(jìn)行了數(shù)學(xué)折紙?zhí)骄炕顒?dòng)．【探究發(fā)現(xiàn)】（1）同學(xué)們對(duì)一張矩形紙片進(jìn)行折疊，如圖1，把矩形紙片翻折，使矩形頂點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在矩形的一邊上，折痕為，將紙片展平，連結(jié)．與相交于點(diǎn)．同學(xué)們發(fā)現(xiàn)圖形中四條線段成比例，即，請(qǐng)你判斷同學(xué)們的發(fā)現(xiàn)是否正確，并說(shuō)明理由．【拓展延伸】（2）同學(xué)們對(duì)老師給出的一張平行四邊形紙片進(jìn)行研究，如圖2，是平行四邊形紙片的一條對(duì)角線，同學(xué)們將該平行四邊形紙片翻折，使點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)都落在對(duì)角線上，折痕分別是和．將紙片展平，連結(jié)，，．同學(xué)們探究后發(fā)現(xiàn)，若，那么點(diǎn)恰好是對(duì)角線的一個(gè)“黃金分割點(diǎn)”，即．請(qǐng)你判斷同學(xué)們的發(fā)現(xiàn)是否正確，并說(shuō)明理由．【考點(diǎn)】四邊形綜合題【專(zhuān)題】幾何直觀；幾何綜合題【分析】（1）作于點(diǎn)，證即可得證；（2