2021屆湖南省湘潭市高三上學(xué)期第一次模擬數(shù)學(xué)(理)試題(教師版含解析)

2021屆高三第一次模擬考試卷數(shù)學(xué)本試題卷分為第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分，共22題，時量120分鐘，滿分150分．第Ⅰ卷一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知復(fù)數(shù)，則()A. B. C.1 D.3【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)相等求出，進(jìn)而可求【詳解】解：，，.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)相等的應(yīng)用，考查復(fù)數(shù)的除法，是基礎(chǔ)題.2.已知向量與的夾角為，且，則()A. B.1 C. D.2【答案】A【解析】【分析】利用向量數(shù)量積的定義即可求解.【詳解】由，則，，又向量與的夾角為，所以.

故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了向量數(shù)量積的定義，考查了基本運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.3.已知集合，則()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)條件先分別求解出集合，然后根據(jù)并集概念求解出的結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)?，所以，所以，所以，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查集合的并集運(yùn)算，其中涉及解一元二次不等式的解法，難度較易.4.“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】由求得的值，結(jié)合充分條件、必要條件的定義可得出結(jié)論.【詳解】，.所以，且.因此，“”是“”的充分不必要條件.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查充分不必要條件的判斷，同時也考查了誘導(dǎo)公式以及二倍角余弦公式的應(yīng)用，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.5.已知正四棱錐的高為，且，則正四棱錐的側(cè)面積為()A. B.4 C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)底面邊長以及正四棱錐的高可得側(cè)高，即可得到答案.【詳解】正四棱錐的底面邊長為，高為，則側(cè)面的高為，所以側(cè)面積為.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了正四棱錐的結(jié)構(gòu)特征應(yīng)用問題，屬于基礎(chǔ)題.6.已知，且，則的最小值是()A.2 B.6 C.3 D.9【答案】D【解析】【分析】利用基本不等式即可求解.【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)，時取等號，故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了基本不等式求最值，注意驗(yàn)證等號成立的條件，屬于基礎(chǔ)題.7.德國心理學(xué)家艾賓浩斯(H．Ebbinghaus)研究發(fā)現(xiàn)，遺忘在學(xué)習(xí)之后立即開始，而且遺忘的進(jìn)程并不是均勻的．最初遺忘速度很快，以后逐漸減慢．他認(rèn)為“保持和遺忘是時間的函數(shù)”他用無意義音節(jié)(由若干音節(jié)字母組成、能夠讀出、但無內(nèi)容意義即不是詞的音節(jié))作為記憶材料．用節(jié)省法計算保持和遺忘的數(shù)量，并根據(jù)他的實(shí)驗(yàn)結(jié)果繪成描述遺忘進(jìn)程的曲線，即著名的艾賓浩斯記憶遺忘曲線(如圖所示)．若一名學(xué)生背了100個英語單詞，一天后，該學(xué)生在這100個英語單詞中隨機(jī)聽寫2個英語單詞，以頻率代替概率，不考慮其他因素，則該學(xué)生恰有1個單詞不會的概率大約為()A.0.43 B.0.38 C.0.26 D.0.15【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)艾賓浩斯記憶遺忘曲線得到一天后記得的，和忘記的單詞數(shù)量，然后利用古典概型的概率公式求解概率即可.【詳解】解：根據(jù)艾賓浩斯記憶遺忘曲線得100個英語單詞，一天后，忘記了74個，還記得26個，則該學(xué)生恰有1個單詞不會的概率.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型的求解，考查學(xué)生的閱讀和理解能力，是基礎(chǔ)題.8.已知函數(shù)有兩個極值點(diǎn)，則a的取值范圍是()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)有兩個極值點(diǎn)得到關(guān)于的方程有兩個解，采用分離常數(shù)的方法分離出，并采用構(gòu)造新函數(shù)的方法確定出新函數(shù)的取值情況，由此分析出的取值情況.【詳解】因?yàn)橛袃蓚€極值點(diǎn)，所以有兩個不同實(shí)數(shù)根，所以有兩個不同實(shí)數(shù)根，所以有兩個不同實(shí)數(shù)根，顯然，所以有兩個不同實(shí)數(shù)根，記，，當(dāng)時，當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，又因?yàn)闀r，；當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以當(dāng)有兩個不同實(shí)數(shù)根時，所以，所以，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)函數(shù)極值點(diǎn)的個數(shù)求解參數(shù)范圍，其中涉及到分離參數(shù)方法的使用，對學(xué)生的理解與計算能力要求較高，難度較難.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得3分．9.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則下列結(jié)論正確的是()A.B.當(dāng)時，C.是圖象的一條對稱軸D.在上單調(diào)遞增【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)題意先求解出時，的解析式，然后根據(jù)已知條件作出的圖象，根據(jù)圖象即可判斷出是否為對稱軸以及在上是否單調(diào)遞增.【詳解】當(dāng)時，，所以，所以，所以，作出圖象如下圖所示：由圖象可知：，所以，故A正確；當(dāng)時，故B正確；由圖象可知顯然不是對稱軸，故C錯誤；由圖象可知在上單調(diào)遞增，故D正確；故選：ABD.【點(diǎn)睛】本題考查奇函數(shù)的綜合應(yīng)用，其中涉及函數(shù)的解析式、單調(diào)性、對稱性，考查學(xué)生綜合分析問題的能力，難度一般.10.某工廠組織員工進(jìn)行專業(yè)技能比賽，下圖是7位評委對甲、乙兩位員工評分(滿分10分)的雷達(dá)圖．根據(jù)圖中信息，下列說法正確的是()A.甲得分的中位數(shù)大于乙得分的中位數(shù)B.甲得分的眾數(shù)大于乙得分的眾數(shù)C.甲得分的平均數(shù)與乙得分的平均數(shù)相等D.甲得分的極差小于乙得分的極差【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)雷達(dá)圖將甲的得分和乙的得分從小到大排列，依次計算出他們得分的中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)和極差，即可判斷.【詳解】由雷達(dá)圖可知，甲的得分從小到大排列依次是8.8，9.1，9.3，9.5，9.5，9.7，9.9；乙的得分從小到大排列依次是8.5，8.9，9.4，9.6，9.6，9.8，10.甲得分的中位數(shù)為9.5，乙得分的中位數(shù)為9.6，，故A錯誤；甲得分的眾數(shù)為9.5，乙得分的眾數(shù)9.6，，故B錯誤；甲得分的平均數(shù)為，乙得分的平均數(shù)，平均數(shù)相等，故C正確；甲得分的極差為，乙得分的極差，，故D正確.故選：CD.【點(diǎn)睛】本題考查中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)和極差的求解，屬于基礎(chǔ)題.11.設(shè)F是拋物線C：的焦點(diǎn)，直線l過點(diǎn)F，且與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是()A.B.C.若點(diǎn)，則的最小值是3D.的面積的最小值是2【答案】ACD【解析】【分析】討論直線l是否有斜率，分別計算|AB|和△OAB的面積或其范圍，判斷A，D，舉特例判斷B錯誤，根據(jù)拋物線性質(zhì)和三點(diǎn)共線判斷C．【詳解】解：F(1，0)，不妨設(shè)A在第一象限，

(1)若直線l無斜率，則A(1，2)，B(1，?2)，

則|AB|＝4，|OA|＋|OB|＝2|OA|＝，，顯然B錯誤；

(2)若直線l存在斜率，設(shè)直線l斜率為k，則直線l的方程為：y＝k(x?1)，顯然k≠0，

聯(lián)立方程組，消元得：，

設(shè)，則，

∴|AB|＝＋2＝4＋＞4，

原點(diǎn)O到直線l的距離，

∴，

綜上，|AB|≥4，≥2，故A正確，D正確，

過點(diǎn)A向準(zhǔn)線作垂線，垂足為N，則|PA|＋|AF|＝|PA|＋|AN|，

又P(2，2)在拋物線右側(cè)，故當(dāng)P，A，N三點(diǎn)共線時，|PA|＋|AF|取得最小值3，故C正確．

故選：ACD．【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查拋物線的簡單性質(zhì)，屬于中檔題．12.在正方體中，，E，F(xiàn)分別為的中點(diǎn)，P是上的動點(diǎn)，則()A.平面B.平面截正方體的截面面積為18C.三棱錐體積與P點(diǎn)的位置有關(guān)D.過作正方體的外接球的截面，所得截面圓的面積的最小值為【答案】AB【解析】【分析】建立坐標(biāo)系，利用向量法可判斷A；取中點(diǎn)，連接，利用平面性質(zhì)可知等腰梯形即為截面，求出其面積即可判斷；根據(jù)平行間的距離不變可判斷C；設(shè)外接球心為O，過O作，垂足為，則以為圓心，為半徑的圓是過AE面積最小的截面圓，求出其面積即可判斷D.【詳解】對于A，如圖，以A為原點(diǎn)，為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，則,，，，，，，平面，故A正確；對于B，如圖，取中點(diǎn)，連接，則且，可知，所以共面，則等腰梯形即為截面，可求得其面積為18，故B正確；對于C，可知在正方體中，，又平面，平面，所以平面，因?yàn)镻是上的動點(diǎn)，所有到平面的距離為定值，故三棱錐的體積與P點(diǎn)的位置無關(guān)，故C錯誤；對于D，設(shè)外接球心為O，過O作，垂足為，則以為圓心，為半徑的圓是過AE面積最小的截面圓，則，設(shè)，，，，解得，則，故截面圓的最小面積為，故D錯誤.【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何的綜合問題，屬于中檔題.第Ⅱ卷三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知函數(shù)，則____________．【答案】【解析】【分析】由函數(shù)的解析式由內(nèi)到外逐層可計算得出的值.【詳解】，，因此，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)值的計算，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.14.在的展開式中，含項(xiàng)的系數(shù)為_________．【答案】【解析】【分析】利用二項(xiàng)式定理的展開式的通項(xiàng)公式：即可求解.【詳解】的展開式的通項(xiàng)公式：，令，解得，所以含項(xiàng)的系數(shù)為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理，需熟記通項(xiàng)公式，考查了基本運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.15.若函數(shù)的圖象在內(nèi)恰有一條對稱軸，則的最小值是______________．【答案】【解析】【分析】采用整體替換的方法分析對稱軸，由此得到關(guān)于的不等式，從而求解出的最小值.【詳解】因?yàn)?，所以，又因?yàn)樵谏锨∮幸粭l對稱軸，所以，所以，所以的最小值為，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)三角函數(shù)對稱軸求解參數(shù)值，其中涉及利用整體替換的方法分析三角函數(shù)的對稱軸，難度一般.16.已知雙曲線C：的右焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線l：與雙曲線C的右支交于點(diǎn)A，且與y軸交于點(diǎn)B．若的面積為，其中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意可得，再由，求出，利用即可求解.【詳解】令，可得，即，令，可得，所以，解得，所以，所以，即雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，直線l：，聯(lián)立，解得，，即，，過作出軸的垂線，垂足為，則，所以故答案：【點(diǎn)睛】本題考查了直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查了基本運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.在①，②，③這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面問題中，并求的面積．問題：在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，________？【答案】.【解析】【分析】選①作為已知條件，和求得的正余弦，由正弦定理求得c，求得，最后由面積公式求得答案；選②作為已知條件，由和可得，，由正弦定理求得c求得，最后由面積公式求得答案；選③作為已知條件，由得，，再利用正弦定理可得c，得的正余弦，求得，最后由面積公式求得答案.【詳解】選①，因?yàn)?，所以，，因?yàn)椋?，由正弦定理得，由，所以；選②，由得，又，所以，,所以，所以，，由正弦定理得，由，所以；選③，由得，又，所以所以，由正弦定理得，解得，所以，，由，所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題是三選一題型，考查了由正弦定理解三角形、求三角形面積.18.甲、乙是兩名射擊運(yùn)動員，根據(jù)歷史統(tǒng)計數(shù)據(jù)，甲一次射擊命中、、環(huán)概率分別為、、，乙一次射擊命中、環(huán)的概率分別為、．一輪射擊中，甲、乙各射擊一次．甲、乙射擊相互獨(dú)立，每次射擊也互不影響．(1)在一輪射擊中，求甲命中的環(huán)數(shù)不高于乙命中的環(huán)數(shù)的概率；(2)記一輪射擊中，甲、乙命中的環(huán)數(shù)之和為，求的分布列；(3)進(jìn)行三輪射擊，求甲、乙命中的環(huán)數(shù)之和不低于環(huán)的概率．【答案】(1)；(2)分布列見解析；(3).【解析】【分析】(1)設(shè)一次射擊后，甲命中的環(huán)數(shù)為，乙命中的環(huán)數(shù)為，由題意可得，結(jié)合獨(dú)立事件的概率乘法公式與互斥事件的概率公式可求得所求事件的概率；(2)由題意可知隨機(jī)變量的可能取值有、、、，利用獨(dú)立事件的概率乘法公式可計算得出隨機(jī)變量在不同取值下的概率，可得出隨機(jī)變量的分布列；(3)求出每輪射擊后，甲、乙命中的環(huán)數(shù)之和為的概率，再利用獨(dú)立事件的概率乘法公式以及對立事件的概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】(1)設(shè)一次射擊后，甲命中的環(huán)數(shù)為，乙命中的環(huán)數(shù)為，則甲命中的環(huán)數(shù)不高于乙命中的環(huán)數(shù)為；(2)題意可知隨機(jī)變量的可能取值有、、、，，，，，所以，隨機(jī)變量的分布列如下表所示：(3)每輪射擊后，甲、乙命中的環(huán)數(shù)之和為的概率為，三輪射擊后，甲、乙命中的環(huán)數(shù)之和最小為，因此，進(jìn)行三輪射擊，求甲、乙命中的環(huán)數(shù)之和不低于環(huán)的概率為.【點(diǎn)睛】本題考查隨機(jī)變量分布列的求解，同時也考查了利用獨(dú)立事件的概率乘法公式以及對立事件的概率公式求解事件的概率，考查計算能力，屬于中等題.19.在如圖所示的幾何體中，均為等邊三角形，且平面平面，平面平面．(1)證明：．(2)求二面角的余弦值．【答案】(1)證明見解析；(2).【解析】【分析】(1)取的中點(diǎn)，通過證明平行四邊形來證明；(2)建立空間直角坐標(biāo)系，通過平面法向量夾角的余弦值求解出二面角的余弦值.【詳解】(1)取的中點(diǎn)，連接，如下圖所示：因?yàn)闉榈冗吶切?，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，且平面平面，平面平面，所以平面，平面，所以，又因?yàn)?，所以，所以，所以四邊形是平行四邊形，所以，又因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，所以；(2)以為軸建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示：設(shè)，則，所以，取平面一個法向量，設(shè)平面一個法向量，所以，所以，取，所以，所以，所以二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何的綜合應(yīng)用，其中涉及線線平行的證明、向量法求解二面角的余弦值，難度一般.利用向量方法求解二面角的余弦值時，計算出平面法向量夾角的余弦值后要注意結(jié)合立體圖形判斷二面角余弦值的正負(fù).20.在數(shù)列中，．(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)證明見解析；(2)【解析】【分析】(1)將條件中的等式變形為即可證明；(2)求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，代入，可得，利用裂項(xiàng)相消法即可求和.【詳解】解：(1)由得，故數(shù)列是以3為公差的等差數(shù)列；(2)由(1)得，則，，.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的證明，考查裂項(xiàng)相消法求和，是基礎(chǔ)題.21.已知點(diǎn)為橢圓C：上一點(diǎn)，且直線過橢圓C的一個焦點(diǎn)．(1)求橢圓C的方程．(2)不經(jīng)過點(diǎn)的直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，記直線的斜率分別為，若，直線l是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，說明理由．【答案】(1)；(2)【解析】【分析】(1)根據(jù)題意，可得，再將點(diǎn)代入橢圓方程可得，結(jié)合即可求解.(2)討論直線的斜率是否存在，設(shè)出直線方程，將直線與橢圓方程聯(lián)立，消可得，由題意利用韋達(dá)定理整理可得，進(jìn)而可求解.【詳解】(1