2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)核心考點(新高考專用)專題2.5對數(shù)與對數(shù)函數(shù)【六大題型】特訓(xùn)(學(xué)生版+解析)

專題2.5對數(shù)與對數(shù)函數(shù)【六大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1對數(shù)的運算】 2【題型2指數(shù)、對數(shù)問題的應(yīng)用】 2【題型3對數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用】 3【題型4利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小】 5【題型5解對數(shù)不等式】 5【題型6對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用】 61、對數(shù)與對數(shù)函數(shù)考點要求真題統(tǒng)計考情分析(1)理解對數(shù)的概念及運算性質(zhì)，能用換底公式將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對數(shù)或常用對數(shù)

(2)通過實例，了解對數(shù)函數(shù)的概念，會畫對數(shù)函數(shù)的圖象，理解對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(3)了解指數(shù)函數(shù)（a>0且a≠1）與對數(shù)函數(shù)（a>0且a≠1）互為反函數(shù)2022年天津卷：第6題，5分2022年浙江卷：第7題，5分2022年新課標(biāo)I卷：第7題，5分2023年北京卷：第4題，5分2024年新課標(biāo)I卷：第6題，5分2024年北京卷：第7題，5分對數(shù)函數(shù)是常見的重要函數(shù)，對數(shù)與對數(shù)函數(shù)是高考常考的熱點內(nèi)容，從近幾年的高考形勢來看，對數(shù)函數(shù)往往與冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)結(jié)合考查，主要以基本函數(shù)的性質(zhì)為依托，結(jié)合指、對數(shù)運算性質(zhì)，運用冪函數(shù)與指、對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)解決具體的問題，包括比較指對冪的大小、解不等式等題型.【知識點1對數(shù)運算的解題策略】1．對數(shù)運算的常用技巧(1)在對數(shù)運算中，先利用冪的運算把底數(shù)或真數(shù)進行變形，化成分數(shù)指數(shù)冪的形式，使冪的底數(shù)最簡，然后用對數(shù)運算法則化簡合并.(2)先將對數(shù)式化為同底數(shù)對數(shù)的和、差、倍數(shù)運算，然后逆用對數(shù)的運算法則，轉(zhuǎn)化為同底對數(shù)真數(shù)的積、商、冪再運算.(3)指對互化：(a>0,且a≠1)是解決有關(guān)指數(shù)、對數(shù)問題的有效方法，在運算中應(yīng)注意互化.【知識點2對數(shù)函數(shù)的常見問題及解題思路】1．對數(shù)函數(shù)圖象的識別及應(yīng)用(1)在識別函數(shù)圖象時，要善于利用已知函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)圖象上的特殊點(與坐標(biāo)軸的交點、最高點、最低點等)排除不符合要求的選項.(2)一些對數(shù)型方程、不等式問題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問題，利用數(shù)形結(jié)合法求解.2．對數(shù)（型）函數(shù)的值域和單調(diào)性問題的解題策略利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)值域和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題，必須弄清三方面的問題：一是定義域，所有問題都必須在定義域內(nèi)討論；二是底數(shù)與1的大小關(guān)系；三是復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，即它是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成的.另外，解題時要注意數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用.【題型1對數(shù)的運算】【例1】（2024·河南·三模）若a≥0,b∈R，則化簡2log23+(a)2+b2的結(jié)果是（

）A．3+a+b B．3+a+C．2+a+b D．2+a+【變式1-1】（2024·青?！つM預(yù)測）若a=log35，5b=6A．1 B．－1 C．2 D．－2【變式1-2】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）設(shè)a，b，c都是正數(shù)，且4a=6A．1a+1b=1c B．【變式1-3】（2024·遼寧丹東·一模）若2a=3，3b=5，5cA．?2 B．12 C．22【題型2指數(shù)、對數(shù)問題的應(yīng)用】【例2】（2024·四川雅安·三模）二維碼與我們的生活息息相關(guān)，我們使用的二維碼主要是21×21大小的特殊的幾何圖形，即441個點.根據(jù)0和1的二進制編碼規(guī)則，一共有2441種不同的碼，假設(shè)我們1萬年用掉3×1015個二維碼，那么所有二維碼大約可以用（

A．10117萬年 B．10120萬年 C．10123萬年 【變式2-1】（2024·北京昌平·二模）中國茶文化博大精深，茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關(guān)，經(jīng)驗表明，某種綠茶用90℃的水泡制，再等到茶水溫度降至60℃時飲用，可以產(chǎn)生極佳口感；在20℃室溫下，茶水溫度從90℃開始，經(jīng)過tmin后的溫度為y℃，可選擇函數(shù)y=60×0.9t+20（參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.30,A．2.5min B．4.5min C．6min 【變式2-2】（2024·安徽·模擬預(yù)測）科學(xué)家從由實際生活得出的大量統(tǒng)計數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)以1開頭的數(shù)出現(xiàn)的頻率較高，以1開頭的數(shù)出現(xiàn)的頻數(shù)約為總數(shù)的三成，并提出定律：在大量b進制隨機數(shù)據(jù)中，以n開頭的數(shù)出現(xiàn)的概率為Pbn=logbn+1n，如裴波那契數(shù)、階乘數(shù)、素數(shù)等都比較符合該定律．后來常有數(shù)學(xué)愛好者用此定律來檢驗?zāi)承┙?jīng)濟數(shù)據(jù)、選舉數(shù)據(jù)等大數(shù)據(jù)的真實性．若n=4kPA．11 B．15 C．19 D．21【變式2-3】（2024·全國·模擬預(yù)測）萬有引力定律是英國偉大的物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家牛頓提出來的，即任意兩個質(zhì)點通過連心線方向上的力相互吸引，其數(shù)學(xué)表達式為F=Gm1?m2r2，其中F表示兩個物體間的引力大小，G為引力常數(shù)，m1,m2分別表示兩個物體的質(zhì)量，rA．lnF1+C．lnF1?【題型3對數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用】【例3】（2024·湖北·模擬預(yù)測）函數(shù)fx=eA． B． C． D．【變式3-1】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=x?1A． B．C． D．【變式3-2】（2024·陜西寶雞·二模）函數(shù)fx=1+A． B．C． D．【變式3-3】（2024·甘肅隴南·一模）函數(shù)fx=xA．

B．

C．

D．

【題型4利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小】【例4】（2024·天津濱海新·三模）已知a=2log20.4，b=logA．a(chǎn)>b>c B．b>a>c C．c>a>b D．a(chǎn)>c>b【變式4-1】（2024·天津北辰·三模）已知a=0.53.1，b=log0.90.3，c=log131A．c<b<a B．c<a<b C．b<a<c D．a(chǎn)<c<b【變式4-2】（2024·貴州貴陽·三模）已知a=40.3,b=A．a(chǎn)>b>c B．a(chǎn)>c>b C．b>c>a D．c>a>b【變式4-3】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)f(x)滿足f(x)=f(2?x)，且在區(qū)間[1,+∞)上單調(diào)遞減.設(shè)a=f(?ln1.1)，b=f2A．a(chǎn)>b>c B．b>c>aC．c>b>a D．b>a>c【題型5解對數(shù)不等式】【例5】（2024·湖北·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=lnx，若faA．5?12,1 B．0,5?12【變式5-1】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時，fx=3xA．?∞,8 B．0,8 C．18【變式5-2】（2024·河南·模擬預(yù)測）“a>b”是“l(fā)na2+A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【變式5-3】（2024·湖南婁底·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=ax+k?1a?x（a>0且A．2,+∞ B．0,C．12,2【題型6對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用】【例6】（2023·河南洛陽·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x<0時，f(1)求fx(2)若關(guān)于x的方程fx=k在R上有解，求實數(shù)【變式6-1】（2024·陜西安康·一模）已知函數(shù)f(x)=log(1)若f(1)=3，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)是否存在實數(shù)a，使函數(shù)f(x)的最小值為0？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由.【變式6-2】（23-24高一下·廣東汕頭·期中）已知函數(shù)fx(1)求實數(shù)a的值；(2)判斷函數(shù)fx(3)設(shè)函數(shù)g(x)=log2x2?log2x4【變式6-3】（23-24高三上·河北邢臺·階段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=log1(1)若y=lggx的值域為(2)若非常數(shù)函數(shù)f(x)是定義域為?2,2的奇函數(shù)，且?x1∈[1,2)，?x2一、單選題1．（2024·廣東·二模）已知正實數(shù)m,n滿足12lnm=lnm?2nA．1 B．14 C．4 D．1或2．（2024·四川·模擬預(yù)測）若實數(shù)m，n，t滿足5m=7n=t且1A．23 B．12 C．5 D．3．（2024·上?！と＃┮阎瘮?shù)f(x)=1+loga(2x?3)?(a>0,a≠1)恒過定點(m,n)A．1 B．2 C．3 D．44．（2024·江西鷹潭·模擬預(yù)測）19世紀美國天文學(xué)家西蒙·紐康在翻閱對數(shù)表時，偶然發(fā)現(xiàn)表中以1開頭的數(shù)出現(xiàn)的頻率更高．約半個世紀后，物理學(xué)家本·福特又重新發(fā)現(xiàn)這個現(xiàn)象，從實際生活得出的大量數(shù)據(jù)中，以1開頭的數(shù)出現(xiàn)的頻數(shù)約為總數(shù)的三成，并提出本·福特定律，即在大量b進制隨機數(shù)據(jù)中，以n開頭的數(shù)出現(xiàn)的概率為Pbn=logbn+1n，如斐波那契數(shù)、階乘數(shù)、素數(shù)等都比較符合該定律，后來常有數(shù)學(xué)愛好者用此定律來檢驗?zāi)承┙?jīng)濟數(shù)據(jù)、選舉數(shù)據(jù)等大數(shù)據(jù)的真實性．若n=k2024PA．674 B．675 C．676 D．6775．（2024·寧夏石嘴山·模擬預(yù)測）已知a=log56，b=log28，c=e，則aA．a(chǎn)<b<c B．a(chǎn)<c<b C．c<a<b D．b<c<a6．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=?14x?4,x≤3A．0,1 B．1,3 C．1,3 7．（2024·廣西·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=1?22x1+22x，A．?x=fxC．?x=fx8．（2024·江西·二模）已知定義在R上的函數(shù)fx滿足fx+2=f?x=?fx，當(dāng)0<x≤1時，fxA．?52+4k,?32+4k，C．?12+4k,12+4k，二、多選題9．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知a=log49，b=A．1<a<32 B．a(chǎn)b>1 C．a(chǎn)+b>2 10．（2024·河南·三模）已知函數(shù)fx=lgA．fx的定義域為B．fx的值域為C．fD．y=fx211．（2024·河南·一模）定義在R上的函數(shù)f(x)=loga(1+b2x2+bx)（a>0且a≠1A．若a>1，b>0，則實數(shù)m的取值范圍為?2,2B．若0<a<1，b<0，則實數(shù)m的取值范圍為?C．若a>1，b<0，則實數(shù)m的取值范圍為?D．若0<a<1，b>0，則實數(shù)m的取值范圍為2,+三、填空題12．（2024·上?！つM預(yù)測）已知正實數(shù)a,b滿足logab+logba=513．（2024·吉林·模擬預(yù)測）若函數(shù)f(x)=ln(ax+1)在(1,2)上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍為14．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）函數(shù)y=logax+ax?1+2（a>0且a≠1）的圖象恒過定點k,b，若m+n=b?k且m>0，四、解答題15．（2023·江蘇連云港·模擬預(yù)測）計算：(1)27(2)log216．（2023·吉林長春·模擬預(yù)測）（1）求值：(3（2）已知lgx+lgy=217．（2023·湖南岳陽·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=?log2x2+m(1)求實數(shù)m的值；(2)求函數(shù)fx18．（2024·陜西榆林·一模）已知fx是定義在R上的偶函數(shù)，且x≤0時，f(1)求fx(2)若fa?1?f119．（23-24高三上·全國·階段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=log(1)求a的值;(2)設(shè)g(x)=f(x)+x，?(x)=x2?2x+m，若對任意的x1∈0,4，存在專題2.5對數(shù)與對數(shù)函數(shù)【六大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1對數(shù)的運算】 2【題型2指數(shù)、對數(shù)問題的應(yīng)用】 3【題型3對數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用】 5【題型4利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小】 7【題型5解對數(shù)不等式】 9【題型6對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用】 111、對數(shù)與對數(shù)函數(shù)考點要求真題統(tǒng)計考情分析(1)理解對數(shù)的概念及運算性質(zhì)，能用換底公式將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對數(shù)或常用對數(shù)

(2)通過實例，了解對數(shù)函數(shù)的概念，會畫對數(shù)函數(shù)的圖象，理解對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(3)了解指數(shù)函數(shù)（a>0且a≠1）與對數(shù)函數(shù)（a>0且a≠1）互為反函數(shù)2022年天津卷：第6題，5分2022年浙江卷：第7題，5分2022年新課標(biāo)I卷：第7題，5分2023年北京卷：第4題，5分2024年新課標(biāo)I卷：第6題，5分2024年北京卷：第7題，5分對數(shù)函數(shù)是常見的重要函數(shù)，對數(shù)與對數(shù)函數(shù)是高考常考的熱點內(nèi)容，從近幾年的高考形勢來看，對數(shù)函數(shù)往往與冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)結(jié)合考查，主要以基本函數(shù)的性質(zhì)為依托，結(jié)合指、對數(shù)運算性質(zhì)，運用冪函數(shù)與指、對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)解決具體的問題，包括比較指對冪的大小、解不等式等題型.【知識點1對數(shù)運算的解題策略】1．對數(shù)運算的常用技巧(1)在對數(shù)運算中，先利用冪的運算把底數(shù)或真數(shù)進行變形，化成分數(shù)指數(shù)冪的形式，使冪的底數(shù)最簡，然后用對數(shù)運算法則化簡合并.(2)先將對數(shù)式化為同底數(shù)對數(shù)的和、差、倍數(shù)運算，然后逆用對數(shù)的運算法則，轉(zhuǎn)化為同底對數(shù)真數(shù)的積、商、冪再運算.(3)指對互化：(a>0,且a≠1)是解決有關(guān)指數(shù)、對數(shù)問題的有效方法，在運算中應(yīng)注意互化.【知識點2對數(shù)函數(shù)的常見問題及解題思路】1．對數(shù)函數(shù)圖象的識別及應(yīng)用(1)在識別函數(shù)圖象時，要善于利用已知函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)圖象上的特殊點(與坐標(biāo)軸的交點、最高點、最低點等)排除不符合要求的選項.(2)一些對數(shù)型方程、不等式問題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問題，利用數(shù)形結(jié)合法求解.2．對數(shù)（型）函數(shù)的值域和單調(diào)性問題的解題策略利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)值域和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題，必須弄清三方面的問題：一是定義域，所有問題都必須在定義域內(nèi)討論；二是底數(shù)與1的大小關(guān)系；三是復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，即它是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成的.另外，解題時要注意數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用.【題型1對數(shù)的運算】【例1】（2024·河南·三模）若a≥0,b∈R，則化簡2log23A．3+a+b B．3+a+C．2+a+b D．2+a+【解題思路】根據(jù)指數(shù)運算法則和對數(shù)運算法則化簡求值即可.【解答過程】由2log23=3，2log故選：B.【變式1-1】（2024·青海·模擬預(yù)測）若a=log35，5b=6A．1 B．－1 C．2 D．－2【解題思路】本題考查指數(shù)式與對數(shù)式的互化、對數(shù)的運算法則、換底公式的應(yīng)用.【解答過程】由5b=6?所以ab?log32=log35?log5故選：A.【變式1-2】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）設(shè)a，b，c都是正數(shù)，且4a=6A．1a+1b=1c B．【解題思路】將指數(shù)式化為對數(shù)式，根據(jù)對數(shù)換底公式、對數(shù)運算法則逐項驗證即可．【解答過程】依題意設(shè)4a=6b=9c所以1a則1a+1則1b則1a故選：D.【變式1-3】（2024·遼寧丹東·一模）若2a=3，3b=5，5cA．?2 B．12 C．22【解題思路】根據(jù)題意，結(jié)合指數(shù)冪與對數(shù)的互化公式，結(jié)合對數(shù)的換底公式，即可求解.【解答過程】由2a=3，3b=5，所以abc=log23×故選：B.【題型2指數(shù)、對數(shù)問題的應(yīng)用】【例2】（2024·四川雅安·三模）二維碼與我們的生活息息相關(guān)，我們使用的二維碼主要是21×21大小的特殊的幾何圖形，即441個點.根據(jù)0和1的二進制編碼規(guī)則，一共有2441種不同的碼，假設(shè)我們1萬年用掉3×1015個二維碼，那么所有二維碼大約可以用（

A．10117萬年 B．10120萬年 C．10123萬年 【解題思路】利用取對數(shù)法進行化簡求解即可．【解答過程】∵1萬年用掉3×10∴大約能用2441設(shè)x=24413×即x≈10故選：A．【變式2-1】（2024·北京昌平·二模）中國茶文化博大精深，茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關(guān)，經(jīng)驗表明，某種綠茶用90℃的水泡制，再等到茶水溫度降至60℃時飲用，可以產(chǎn)生極佳口感；在20℃室溫下，茶水溫度從90℃開始，經(jīng)過tmin后的溫度為y℃，可選擇函數(shù)y=60×0.9t+20（參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.30,A．2.5min B．4.5min C．6min 【解題思路】令60×0.9t+20=60，則0.9【解答過程】由題可知，函數(shù)y=60×0.9令60×0.9t+20=60兩邊同時取對可得：lg0.9t=即t=lg2?lg故選：B.【變式2-2】（2024·安徽·模擬預(yù)測）科學(xué)家從由實際生活得出的大量統(tǒng)計數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)以1開頭的數(shù)出現(xiàn)的頻率較高，以1開頭的數(shù)出現(xiàn)的頻數(shù)約為總數(shù)的三成，并提出定律：在大量b進制隨機數(shù)據(jù)中，以n開頭的數(shù)出現(xiàn)的概率為Pbn=logbn+1n，如裴波那契數(shù)、階乘數(shù)、素數(shù)等都比較符合該定律．后來常有數(shù)學(xué)愛好者用此定律來檢驗?zāi)承┙?jīng)濟數(shù)據(jù)、選舉數(shù)據(jù)等大數(shù)據(jù)的真實性．若n=4kPA．11 B．15 C．19 D．21【解題思路】根據(jù)條件中的概率公式，結(jié)合求和公式，以及對數(shù)運算，即可求解.【解答過程】n=4k即lgk+14=ln3故選：A.【變式2-3】（2024·全國·模擬預(yù)測）萬有引力定律是英國偉大的物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家牛頓提出來的，即任意兩個質(zhì)點通過連心線方向上的力相互吸引，其數(shù)學(xué)表達式為F=Gm1?m2r2，其中F表示兩個物體間的引力大小，G為引力常數(shù)，m1,m2分別表示兩個物體的質(zhì)量，rA．lnF1+C．lnF1?【解題思路】根據(jù)題意，由對數(shù)的運算代入計算，即可得到結(jié)果.【解答過程】由題意知，F(xiàn)1F2=r22故選：A.【題型3對數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用】【例3】（2024·湖北·模擬預(yù)測）函數(shù)fx=eA． B． C． D．【解題思路】根據(jù)x<0時f(x)的單調(diào)性可排除BC；再由奇偶性可排除D.【解答過程】fx因為當(dāng)x<0時，y=e所以，y=ex?又因為f?x所以fx故選：A.【變式3-1】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=x?1A． B．C． D．【解題思路】先判斷函數(shù)奇偶性排除選項A，再根據(jù)函數(shù)值正負排除B,C,即可得出答案.【解答過程】因為fx的定義域為?∞,0∪0,+∞，當(dāng)x>1時，x?1x>0，lnx2>0，所以fx>0故選:D.【變式3-2】（2024·陜西寶雞·二模）函數(shù)fx=1+A． B．C． D．【解題思路】利用函數(shù)的奇偶性和特殊值判斷出選項．【解答過程】∵f?x=1+又f1故選：B.【變式3-3】（2024·甘肅隴南·一模）函數(shù)fx=xA．

B．

C．

D．

【解題思路】利用函數(shù)的定義域，奇偶性及其他性質(zhì)判斷即可.【解答過程】fx=x2ln因為f?x=?fx當(dāng)x∈0,1時，f故選：C.【題型4利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小】【例4】（2024·天津濱海新·三模）已知a=2log20.4，b=logA．a(chǎn)>b>c B．b>a>c C．c>a>b D．a(chǎn)>c>b【解題思路】判斷a，b，c與0和1的大小關(guān)系即可得到答案．【解答過程】a=2b=log0=log0.3?1<故c>a>b.故選：C.【變式4-1】（2024·天津北辰·三模）已知a=0.53.1，b=log0.90.3，c=log131A．c<b<a B．c<a<b C．b<a<c D．a(chǎn)<c<b【解題思路】根據(jù)指、對數(shù)函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合中間值“12【解答過程】因為y=0.5x在R上單調(diào)遞減，則0.53.1又因為y=log0.9x在0,+∞上單調(diào)遞減，則可得c=log1312則12=log綜上所述：a<c<b.故選：D.【變式4-2】（2024·貴州貴陽·三模）已知a=40.3,b=A．a(chǎn)>b>c B．a(chǎn)>c>b C．b>c>a D．c>a>b【解題思路】利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性得到a>1，利用指對運算和指數(shù)函數(shù)單調(diào)性得到0<b<1，利用對數(shù)函數(shù)單調(diào)性得到c<0，則比較出大小.【解答過程】因為a=40.3>40c=log所以a>b>c，故選：A.【變式4-3】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)f(x)滿足f(x)=f(2?x)，且在區(qū)間[1,+∞)上單調(diào)遞減.設(shè)a=f(?ln1.1)，b=f2A．a(chǎn)>b>c B．b>c>aC．c>b>a D．b>a>c【解題思路】由f(x)=f(2?x)，得到對稱軸為x=1，然后求解a=f(?ln1.1)=f(2+ln1.1)，進而利用【解答過程】由f(x)=f(2?x)，得到對稱軸為x=1，則a=f(?ln而1<20.4<2+ln1.1<2+則f20.4>f(2+ln1.1)>故選：D.【題型5解對數(shù)不等式】【例5】（2024·湖北·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=lnx，若faA．5?12,1 B．0,5?12【解題思路】結(jié)合函數(shù)y=fx的圖象和函數(shù)y=fx+1的圖象，由【解答過程】在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y=fx的圖象和函數(shù)y=f設(shè)兩圖象交于點A，且點A的橫坐標(biāo)為a1由圖象可得滿足fa≤fa+1的實數(shù)a對于a1，由?lna所以a12+a1故選：C.【變式5-1】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時，fx=3xA．?∞,8 B．0,8 C．18【解題思路】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可.【解答過程】當(dāng)x≥0時，fx因為函數(shù)y=3x,y=2x?1所以函數(shù)fx在區(qū)間0,+∞上單調(diào)遞增，且又fx為R則flog2x?32<0，即所以log2x<3，解得1故選：C．【變式5-2】（2024·河南·模擬預(yù)測）“a>b”是“l(fā)na2+A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【解題思路】取a=1，b=?2即可說明不充分，結(jié)合對數(shù)函數(shù)單調(diào)性解不等式也可說明不必要由此即可得解.【解答過程】取a=1，b=?2可得lna若lna2+故a2>b2，得故“a>b”是“l(fā)na故選：D．【變式5-3】（2024·湖南婁底·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=ax+k?1a?x（a>0且A．2,+∞ B．0,C．12,2【解題思路】根據(jù)fx是偶函數(shù)求得k=2，利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性不等式等價于log【解答過程】∵fx∴f?x=f化簡得k?2∴k=2，fx=ax+f'xa>1,0<a<1時都能得到f'x所以fx=a∴fx=ax+a?x∴flogkx即log2x>1，即解得x>2或0<x<12.即故選：B.【題型6對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用】【例6】（2023·河南洛陽·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x<0時，f(1)求fx(2)若關(guān)于x的方程fx=k在R上有解，求實數(shù)【解題思路】（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性求解析式；（2）求函數(shù)fx的值域，即可求k【解答過程】（1）當(dāng)x>0時，?x<0，則f?x因為函數(shù)fx是定義在R所以f?x故fx當(dāng)x=0時，f0綜上，所以fx的解析式為f（2）當(dāng)x<0時，fx因為x<0，所以?1<?2x<0所以?log由對稱性可知，當(dāng)x>0時，0<fx當(dāng)x=0時，f0綜上，?log所以實數(shù)k的取值范圍是?log【變式6-1】（2024·陜西安康·一模）已知函數(shù)f(x)=log(1)若f(1)=3，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)是否存在實數(shù)a，使函數(shù)f(x)的最小值為0？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由.【解題思路】（1）利用f(1)=3求得a，結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減求得fx（2）根據(jù)fx的最小值為0列方程，從而求得a【解答過程】（1）∵f(1)=3，∴a+9=23，即f(x)=log2?解得?1<x<5，∴函數(shù)f(x)的定義域為(?1,5)，∵函數(shù)t=?x2+4x+5在(?1,2)又∵y=log2t∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(?1,2)，單調(diào)遞減區(qū)間為(2,5).（2）設(shè)存在實數(shù)a，使函數(shù)f(x)的最小值為0，?(x)=ax∵函數(shù)f(x)的最小值為0，∴函數(shù)?(x)的最小值為1，所以a>0①，且20a?164a聯(lián)立①②解得：a=1，∴存在實數(shù)a=1，使函數(shù)f(x)的最小值為0.【變式6-2】（23-24高一下·廣東汕頭·期中）已知函數(shù)fx(1)求實數(shù)a的值；(2)判斷函數(shù)fx(3)設(shè)函數(shù)g(x)=log2x2?log2x4【解題思路】（1）考慮a≥0和a<0兩種情況，根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)計算得到答案.（2）確定定義域，設(shè)?x1,x2（3）根據(jù)單調(diào)性確定x∈0,1時fx的值域A=3,+∞，設(shè)【解答過程】（1）由已知函數(shù)需滿足2x+a≠0，當(dāng)a≥0時，函數(shù)的定義域為函數(shù)fx=2即2?x+12?x+a=?2當(dāng)a<0時，x≠log2?a又函數(shù)fx=2此時fx=2f?x綜上所述：a=?1；（2）fx在?∞,0fx=2設(shè)?x1,則f因為x1,x2∈所以fx1>fx2同理可證，所以fx在?所以fx在0,+∞，（3）函數(shù)fx在?∞,0且當(dāng)x∈?∞,0時，fx<0x2∈0,1時，fx≥f1=3又gx設(shè)t=log2x,t∈當(dāng)t=32時，取最小值為?14+m即gx在x∈2,8上的值域又對任意的x1∈2,8，總存在x即B?A，所以?14+m≥3，解得m≥【變式6-3】（23-24高三上·河北邢臺·階段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=log1(1)若y=lggx的值域為(2)若非常數(shù)函數(shù)f(x)是定義域為?2,2的奇函數(shù)，且?x1∈[1,2)，?x2【解題思路】（1）根據(jù)函數(shù)y=lg[g(x)]的值域為R，可得函數(shù)g(x)的值域包含(0,+∞)，再分m=0，（2）根據(jù)函數(shù)的奇偶性求出函數(shù)f(x)的解析式，再根據(jù)?x1∈[1,2),?x2∈[?1,1],f(x1)?g(【解答過程】（1）因為函數(shù)y=lggx的值域為R，所以函數(shù)ggx當(dāng)m=0時，gx=?2當(dāng)m≠0時，令t=2x，t∈0,+當(dāng)m>0時，ymin=m?2m2所以3?4m≤0當(dāng)m<0時，2m<0，則函數(shù)y=mt2?4t+3的值域為?綜上所述，0<m≤43，所以滿足條件的整數(shù)m的值為（2）因為函數(shù)fx是定義域為?2,2所以f0=0f?1=?f1，即由函數(shù)fx不是常數(shù)函數(shù)，所以a=2經(jīng)檢驗，符合題意，即fx由?x1∈1,2，得?x1∈1,2，只要fx當(dāng)x∈1,2時，2?x所以函數(shù)fxmin=gx令n=2x，因為x∈?1,1函數(shù)y=m?n當(dāng)m=0時，y=?4n+3，n∈12,2當(dāng)m≠0時，函數(shù)y=m?n2?4n+3當(dāng)m<0時，則n=2時，ymin當(dāng)0<2m≤12，即m≥4時，則n=當(dāng)2m≥2，即0<m≤1時，則n=2時，當(dāng)12<2m<2，即1<m<4時，則n=2m綜上所述，m的取值范圍為?∞一、單選題1．（2024·廣東·二模）已知正實數(shù)m,n滿足12lnm=lnm?2nA．1 B．14 C．4 D．1或【解題思路】利用對數(shù)運算法則化簡等式，列出關(guān)于nm【解答過程】由12lnm=lnm?2n整理得2(nm)2所以nm故選：B.2．（2024·四川·模擬預(yù)測）若實數(shù)m，n，t滿足5m=7n=t且1A．23 B．12 C．5 D．【解題思路】根據(jù)指對數(shù)的互化可得m=log5t，n=log7【解答過程】因為5m=7n=t且1所以m=log5t所以1m=log所以1m+1故選：D．3．（2024·上?！と＃┮阎瘮?shù)f(x)=1+loga(2x?3)?(a>0,a≠1)恒過定點(m,n)A．1 B．2 C．3 D．4【解題思路】令2x?3=1，即可求解f(x)恒過定點(2,1)，進而求解.【解答過程】令2x?3=1，解得x=2，此時f(2)=1+log所以f(x)恒過定點(2,1)，則m=2,n=1，所以m+n=3.故選：C.4．（2024·江西鷹潭·模擬預(yù)測）19世紀美國天文學(xué)家西蒙·紐康在翻閱對數(shù)表時，偶然發(fā)現(xiàn)表中以1開頭的數(shù)出現(xiàn)的頻率更高．約半個世紀后，物理學(xué)家本·福特又重新發(fā)現(xiàn)這個現(xiàn)象，從實際生活得出的大量數(shù)據(jù)中，以1開頭的數(shù)出現(xiàn)的頻數(shù)約為總數(shù)的三成，并提出本·福特定律，即在大量b進制隨機數(shù)據(jù)中，以n開頭的數(shù)出現(xiàn)的概率為Pbn=logbn+1n，如斐波那契數(shù)、階乘數(shù)、素數(shù)等都比較符合該定律，后來常有數(shù)學(xué)愛好者用此定律來檢驗?zāi)承┙?jīng)濟數(shù)據(jù)、選舉數(shù)據(jù)等大數(shù)據(jù)的真實性．若n=k2024PA．674 B．675 C．676 D．677【解題思路】結(jié)合條件及對數(shù)的運算法則計算即可.【解答過程】n=k2024P10n=故選：B.5．（2024·寧夏石嘴山·模擬預(yù)測）已知a=log56，b=log28，c=e，則aA．a(chǎn)<b<c B．a(chǎn)<c<b C．c<a<b D．b<c<a【解題思路】由已知結(jié)合冪函數(shù)及對數(shù)函數(shù)單調(diào)性判斷a，b，c的范圍，即可比較a，b，c的大?。窘獯疬^程】因為c=e>9a=log所以a<b<c．故選：A．6．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=?14x?4,x≤3A．0,1 B．1,3 C．1,3 【解題思路】根據(jù)題意，結(jié)合分段函數(shù)的單調(diào)性的判定方法，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，列出關(guān)于a的不等式，即可求解.【解答過程】根據(jù)題意，當(dāng)x≤34時，fx=?1要使得函數(shù)fx=?則滿足a>1，且loga4×3所以實數(shù)a的取值范圍為1,3故選：B.7．（2024·廣西·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=1?22x1+22x，A．?x=fxC．?x=fx【解題思路】由函數(shù)的奇偶性結(jié)合函數(shù)的定義域和圖象逐項分析即可；【解答過程】依題意可知，函數(shù)fx的定義域為R，f所以函數(shù)fx函數(shù)gx的定義域為xx≠0，所以函數(shù)gx對于A，?x=fx+gx對于B，函數(shù)?x=fx?gx對于C，函數(shù)?x=fxgx的定義域為{x|x≠0}，?對于D，函數(shù)?x=fxg故選：C．8．（2024·江西·二模）已知定義在R上的函數(shù)fx滿足fx+2=f?x=?fx，當(dāng)0<x≤1時，fxA．?52+4k,?32+4k，C．?12+4k,12+4k，【解題思路】依題意可得fx的奇偶性、對稱性與周期性，即可得到fx的圖象，即可得到?1【解答過程】因為f?x=?fx又因為fx+2=f?x，所以f由fx+4=?fx+2=fx因為當(dāng)0<x≤1時，fx=log2x+1函數(shù)fx根據(jù)圖象可知，若fa+1>fa，則?解得?32+4k<a<所以實數(shù)a的取值范圍是?32+4k,故選：D．二、多選題9．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知a=log49，b=A．1<a<32 B．a(chǎn)b>1 C．a(chǎn)+b>2 【解題思路】對A：使用換底公式化簡可判斷a的范圍；對B：使用換底公式化簡證明；對C：根據(jù)基本不等式證明；對D：根據(jù)函數(shù)y=x+1x在【解答過程】選項A：a=log選項B：ab=log選項C：a+b>2ab>2，（a>32，選項D：易知函數(shù)y=x+1x在32故選：BC.10．（2024·河南·三模）已知函數(shù)fx=lgA．fx的定義域為B．fx的值域為C．fD．y=fx2【解題思路】根據(jù)函數(shù)的解析式，求出函數(shù)的定義域值域即可判斷A、B，求出f?1【解答過程】對AB，由1?x>0，得x<1，則fx的定義域為?∞,1對C，f?1對D，因為fx2=u=1?x2，令1?x內(nèi)層函數(shù)u=1?x2，在?1,0上單調(diào)遞增，所以y=fx2的單調(diào)遞增區(qū)間為?1,0不是故選：ABC.11．（2024·河南·一模）定義在R上的函數(shù)f(x)=loga(1+b2x2+bx)（a>0且a≠1A．若a>1，b>0，則實數(shù)m的取值范圍為?2,2B．若0<a<1，b<0，則實數(shù)m的取值范圍為?C．若a>1，b<0，則實數(shù)m的取值范圍為?D．若0<a<1，b>0，則實數(shù)m的取值范圍為2,+【解題思路】先判斷函數(shù)f(x)=loga(1+b2x2+bx)為奇函數(shù)，再分a>1和0<a<1討論y=logat的單調(diào)性，分【解答過程】對于函數(shù)f(x)=loga(1+b2x不妨設(shè)t=1+b2對于A項，當(dāng)a>1時，y=log因b>0，則t=1+b2x2+bx在由f(?m+m2+12)+f(?m)≥0?f(?m+m①當(dāng)m≤0時，此時恒成立；②當(dāng)m>0時，由（*）可得m2+12≥4m2，解得對于B項，當(dāng)0<a<1時，y=logat在定義域內(nèi)為減函數(shù)，因b<0，則t=1+b2x由A項分析可得，f(?m+m2+12對于C項，當(dāng)a>1時，y=logat在定義域內(nèi)為增函數(shù)，因b<0，則t=1+b2x由f(?m+m2+12)+f(?m)≥0?f(?m+m①當(dāng)m≤0時，無解；②當(dāng)m>0時，由（*）可得m2+12≤4m2，解得m≤?2或?qū)τ贒項，當(dāng)0<a<1時，y=logat在定義域內(nèi)為減函數(shù)，因b>0，則t=1+b2x由C項分析可得，f(?m+m2+12故選：BD.三、填空題12．（2024·上海·模擬預(yù)測）已知正實數(shù)a,b滿足logab+logba=52，【解題思路】令t=logab，則由logab+logba=5【解答過程】令t=logab由logab+log所以2t2?5t+2=0，解得t=所以logab=1所以a12=b當(dāng)a12=b由aa=bb，得由2a=ba=b2，又a>0所以a+b=3當(dāng)a2=b時，由aa=b由a=2ba2=b，又a>0所以a+b=3綜上所述，a+b=3故答案為：3413．（2024·吉林·模擬預(yù)測）若函數(shù)f(x)=ln(ax+1)在(1,2)上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍為?