2025年高考數(shù)學第一輪復習考點講與練第二章：函數(shù)與基本初等函數(shù)(模塊綜合調(diào)研卷)(學生版+解析)

第二章：函數(shù)與基本初等函數(shù)（模塊綜合調(diào)研卷）（19題新高考新結(jié)構）（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項:1.答題前,先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2.選擇題的作答:每小題選出答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3.非選擇題的作答:用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試卷草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。4.考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并上交。一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．函數(shù)的零點所在區(qū)間是（

）A． B． C． D．2．已知，則（

）A． B． C． D．3．已知函數(shù)，則下列說法不正確的是（

）A．函數(shù)單調(diào)遞增 B．函數(shù)值域為C．函數(shù)的圖象關于對稱 D．函數(shù)的圖象關于對稱4．函數(shù)的部分圖象大致為（

）.A． B．C． D．5．若函數(shù)在上單調(diào)，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．6．已知函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．已知，，，則（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)的定義域均為，是奇函數(shù)，且，則（

）A．為奇函數(shù) B．為奇函數(shù) C． D．二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯得0分）9．已知，則下列關系正確的是（

）A． B．C． D．10．已知函數(shù)，的定義域均為，且滿足，，，則（

）A． B．的圖象關于點對稱C． D．11．著名的德國數(shù)學家狄利克雷在19世紀提出了這樣一個“奇怪的”函數(shù)：定義在上的函數(shù).后來數(shù)學家研究發(fā)現(xiàn)該函數(shù)在其定義域上處處不連續(xù)、處處不可導．根據(jù)該函數(shù)，以下是真命題的有（

）A．B．的圖象關于軸對稱C．的圖象關于軸對稱D．存在一個正三角形，其頂點均在的圖象上三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12．若是偶函數(shù)，則實數(shù)．13．已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則a的取值范圍為．14．已知冪函數(shù)，若，則a的取值范圍是.四、解答題（本題共5小題，共77分，其中15題13分，16題15分，17題15分，18題17分，19題17分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15．環(huán)保部門為了研究某池塘里某種植物生長面積S(單位：)與時間t(單位：月)之間的關系，通過觀察建立了函數(shù)模型，且.已知第一個月該植物的生長面積為，第三個月該植物的生長面積為.(1)求證：若，則；(2)若該植物的生長面積達到100以上，則至少要經(jīng)過多少個月？16．已知指數(shù)函數(shù)的圖象過點．(1)求的解析式；(2)若函數(shù)，且在區(qū)間上有兩個零點，求m的取值范圍．17．已知函數(shù).(1)求函數(shù)的定義域.(2)判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由.(3)對，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.18．已知函數(shù)對于任意實數(shù)恒有，且當時，，又．(1)判斷的奇偶性并證明；(2)求在區(qū)間的最小值；(3)解關于的不等式：．19．已知函數(shù)，若對于其定義域中任意給定的實數(shù)，都有，就稱函數(shù)滿足性質(zhì)．(1)已知，判斷是否滿足性質(zhì)，并說明理由；(2)若滿足性質(zhì)，且定義域為．已知時，，求函數(shù)的解析式并指出方程是否有正整數(shù)解？請說明理由；若在上單調(diào)遞增，判定并證明在上的單調(diào)性．第二章：函數(shù)與基本初等函數(shù)（模塊綜合調(diào)研卷）（19題新高考新結(jié)構）（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項:1.答題前,先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2.選擇題的作答:每小題選出答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3.非選擇題的作答:用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試卷草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。4.考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并上交。一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．函數(shù)的零點所在區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由零點存在性定理可得答案.【詳解】因為函數(shù)的定義域為，又，易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，所以在內(nèi)存在一個零點，使.故選：C.2．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，借助媒介數(shù)比較大小.【詳解】依題意，，而且，所以.故選：D3．已知函數(shù)，則下列說法不正確的是（

）A．函數(shù)單調(diào)遞增 B．函數(shù)值域為C．函數(shù)的圖象關于對稱 D．函數(shù)的圖象關于對稱【答案】C【分析】分離常數(shù)，再根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法，即可判斷A；根據(jù)函數(shù)形式的變形，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的值域，求解函數(shù)的值域，即可判斷B；根據(jù)對稱性的定義，與的關系，即可判斷CD.【詳解】，函數(shù)，，則，又內(nèi)層函數(shù)在上單調(diào)遞增，外層函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性的法則可知，函數(shù)單調(diào)遞增，故A正確；因為，所以，則，所以函數(shù)的值域為，故B正確；，，所以函數(shù)關于點對稱，故C錯誤，D正確.故選：C.4．函數(shù)的部分圖象大致為（

）.A． B．C． D．【答案】A【分析】由的定義域排除B；由是奇函數(shù)排除C；由排除D，從而得出答案.【詳解】由，得，則的定義域是，排除B；由，得，所以函數(shù)是奇函數(shù)，排除C；，排除D.故選：A．5．若函數(shù)在上單調(diào)，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由題意，根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)建立不等式組，解之即可求解.【詳解】令，則或或或解得或，即實數(shù)m得取值范圍為.故選：C．6．已知函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，結(jié)合分段函數(shù)的單調(diào)性的判定方法，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，列出關于的不等式，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，當時，，可得在上遞增，要使得函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù)，則滿足，且，解可得，所以實數(shù)的取值范圍為.故選：B.7．已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】構造函數(shù)，由的單調(diào)性和最值可證明，再構造，由的單調(diào)性和最值可證明，即可得出答案.【詳解】令，則.當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，則，故.令，則.當時，，單調(diào)遞減，則，即.故.故選：A.【點睛】關鍵點睛：本題的關鍵點在于構造函數(shù)，通過求出函數(shù)的單調(diào)性和最值來比較大小.構造函數(shù)，和即可得出答案.8．已知函數(shù)的定義域均為，是奇函數(shù)，且，則（

）A．為奇函數(shù) B．為奇函數(shù) C． D．【答案】D【分析】A選項，根據(jù)已知條件推出是周期為4的周期函數(shù)，故也是周期為4的周期函數(shù)，，故A錯誤；C選項，推出，，，從而求出；B選項，由得，故B錯誤；D選項，計算出，，故，結(jié)合函數(shù)的周期得到答案.【詳解】A選項，因為，所以，又，則有，因為是奇函數(shù)，所以，可得，即有與，即，所以是周期為4的周期函數(shù)，故也是周期為4的周期函數(shù).因為且.所以，所以為偶函數(shù).故A錯誤，C選項，由是奇函數(shù)，則，因為，所以，又，是周期為4的周期函數(shù)，故，所以，所以C錯誤；B選項，由得，故不是奇函數(shù)，所以B錯誤；D選項，因為，所以，.所以，所以，所以D選項正確故選：D【點睛】設函數(shù)，，，．（1）若，則函數(shù)的周期為2a；（2）若，則函數(shù)的周期為2a；（3）若，則函數(shù)的周期為2a；（4）若，則函數(shù)的周期為2a；（5）若，則函數(shù)的周期為；（6）若函數(shù)的圖象關于直線與對稱，則函數(shù)的周期為；（7）若函數(shù)的圖象既關于點對稱，又關于點對稱，則函數(shù)的周期為；（8）若函數(shù)的圖象既關于直線對稱，又關于點對稱，則函數(shù)的周期為；（9）若函數(shù)是偶函數(shù)，且其圖象關于直線對稱，則的周期為2a；（10）若函數(shù)是奇函數(shù)，且其圖象關于直線對稱，則的周期為4a．二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯得0分）9．已知，則下列關系正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】利用對數(shù)的運算法則化簡，結(jié)合作差法和基本不等式比較大小，依次判斷各選項.【詳解】因為，所以，對A選項，，所以，故A正確；對B選項，，所以，故B選項不正確；對C選項，因為，，所以，而，故上述不等式等號不成立，則，故C不正確；對D選項，,故D正確.故選：AD10．已知函數(shù)，的定義域均為，且滿足，，，則（

）A． B．的圖象關于點對稱C． D．【答案】AC【分析】由得出的圖象關于點對稱，由和得出可判斷A；由和可判斷B；根據(jù)的定義域均為和圖象關于點對稱可判斷C；記，，，結(jié)合選項A知數(shù)列和數(shù)列均為等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的求和公式可判斷D.【詳解】，的圖象關于點對稱，即，對于A，，①，，②，②-①得，故A正確；對于B，，③，④，③-④得，的圖象關于點對稱，故B錯誤；對于C，的定義域為且圖象關于點對稱，，故C正確；對于D，的定義域為且圖象關于點對稱，，由②知，當時，，，當時，，，，，，記，，，由選項A知，數(shù)列是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，數(shù)列是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，，，，故D錯誤.故選：AC.11．著名的德國數(shù)學家狄利克雷在19世紀提出了這樣一個“奇怪的”函數(shù)：定義在上的函數(shù).后來數(shù)學家研究發(fā)現(xiàn)該函數(shù)在其定義域上處處不連續(xù)、處處不可導．根據(jù)該函數(shù)，以下是真命題的有（

）A．B．的圖象關于軸對稱C．的圖象關于軸對稱D．存在一個正三角形，其頂點均在的圖象上【答案】BCD【分析】特殊值代入驗證A，D；利用偶函數(shù)定義判斷B，C.【詳解】對于A，當，時，，，，故A錯誤；對于B，因為的定義域為，關于原點對稱，若是無理數(shù)，則是無理數(shù)，所以，；若是有理數(shù)，則是有理數(shù)，所以，；所以，故是偶函數(shù)，圖象關于軸對稱，B正確；對于C，由B可知，，所以，故是偶函數(shù)，圖象關于軸對稱，C正確；對于D，設，，，則，所以是等邊三角形，又因為，，，所以的頂點均在的圖象上，D正確.故選：BCD三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12．若是偶函數(shù)，則實數(shù)．【答案】【分析】因為是偶函數(shù)，所以，據(jù)此即可求解,注意檢驗.【詳解】因為是偶函數(shù)，定義域為，所以，所以，所以，所以，此時，滿足題意.故答案為：.13．已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則a的取值范圍為．【答案】【分析】將可看作由復合而成，根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性，列出不等式，即可求得答案.【詳解】設，則可看作由復合而成，由于在上單調(diào)遞增，故要使得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，需滿足在區(qū)間上恒成立，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，故，解得，故a的取值范圍為，故答案為：14．已知冪函數(shù)，若，則a的取值范圍是.【答案】【分析】根據(jù)題意得到冪函數(shù)的定義域和單調(diào)性，得到不等式的等價不等式組，即可求解.【詳解】由冪函數(shù)，可得函數(shù)的定義域為，且是遞減函數(shù)，因為，可得，解得，即實數(shù)的取值范圍為.故答案為：四、解答題（本題共5小題，共77分，其中15題13分，16題15分，17題15分，18題17分，19題17分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15．環(huán)保部門為了研究某池塘里某種植物生長面積S(單位：)與時間t(單位：月)之間的關系，通過觀察建立了函數(shù)模型，且.已知第一個月該植物的生長面積為，第三個月該植物的生長面積為.(1)求證：若，則；(2)若該植物的生長面積達到100以上，則至少要經(jīng)過多少個月？【答案】(1)證明見解析(2)8個月【分析】（1）先根據(jù)條件求出參數(shù)，利用指數(shù)的運算可得答案；（2）根據(jù)題意可得，求解指數(shù)不等式即可.【詳解】（1）證明：∵，∴.∴.由，得，∴.（2）令，又，，∴，即至少需要經(jīng)過8個月．16．已知指數(shù)函數(shù)的圖象過點．(1)求的解析式；(2)若函數(shù)，且在區(qū)間上有兩個零點，求m的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）設（，且），根據(jù)函數(shù)過點，代入求出參數(shù)的值，即可得解；（2）首先求出的解析式，令，，令，，則問題轉(zhuǎn)化為在上有兩個零點，根據(jù)二次函數(shù)根的分布得到不等式組，解得即可.【詳解】（1）由題意，設（，且），∵的圖象過點，∴，解得，故函數(shù)的解析式．（2）∵，∴，令，因為，所以，∴，，函數(shù)在上有兩個零點，等價于在上有兩個零點，則，即，解得，故實數(shù)的取值范圍為．17．已知函數(shù).(1)求函數(shù)的定義域.(2)判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由.(3)對，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，理由見解析；(3)【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的解析式有意義，得出不等式組，即可求解；（2）根據(jù)函數(shù)的定義域的不關于原點對稱，即可得到結(jié)論；（3）根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，求得，得到，法一：轉(zhuǎn)化為，令，求得，即可求解；法二：分，和，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，列出不等式，即可求解.【詳解】（1）解：由函數(shù)有意義，則滿足，解得，所以函數(shù)的定義域為.（2）解：因為的定義域為，不關于原點對稱，所以函數(shù)為非奇非偶函數(shù).（3）解：由“對，不等式恒成立”，可得，當時，由在上單調(diào)遞減，，根據(jù)題意得，對法一：可轉(zhuǎn)化為，令，由在上單調(diào)遞減得，可得，實數(shù)的取值范圍為.法二：設函數(shù)，①當，即時，在上單調(diào)遞減，可得，解得，則；②當，即時，在上單調(diào)遞增，可得，解得，則；③當，即時，在先減后增，可得，解得，所以，綜上，實數(shù)的取值范圍為.18．已知函數(shù)對于任意實數(shù)恒有，且當時，，又．(1)判斷的奇偶性并證明；(2)求在區(qū)間的最小值；(3)解關于的不等式：．【答案】(1)為奇函數(shù)，證明見解析(2)(3)答案見解析【分析】(1)令,得，再令，結(jié)合奇偶性定義可證；(2)先證明單調(diào)性，利用單調(diào)性求解即可；(3)先化為，再利用單調(diào)性轉(zhuǎn)化為，最后根據(jù)含參二次不等式的分類討論求解即可.【詳解】（1）為奇函數(shù)，理由如下：函數(shù)的定義域為，關于原點對稱，令得，解得，令得所以對任意恒成立，所以為奇函數(shù)，（2）任取，且，則.因為當時，，所以.，即，所以在上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間的最