2025年高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)講與練第九章計(jì)數(shù)原理、統(tǒng)計(jì)與概率(模塊綜合調(diào)研卷)(學(xué)生版+解析)

第九章計(jì)數(shù)原理、統(tǒng)計(jì)與概率（模塊綜合調(diào)研卷）（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng):1.答題前,先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2.選擇題的作答:每小題選出答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3.非選擇題的作答:用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試卷草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。4.考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并上交。一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．已知隨機(jī)變量，若隨機(jī)變量，則（

）A．10 B．12 C．30 D．322．的展開式中的系數(shù)為（

）A． B． C． D．3．將6名志愿者安排到4個(gè)不同的社區(qū)進(jìn)行創(chuàng)文共建活動(dòng)，要求每個(gè)社區(qū)至少安排1名志愿者，則不同排法共有（

）A．480種 B．1560種 C．2640種 D．640種4．將數(shù)字隨機(jī)填入的正方形格子中，則每一橫行?每一豎列以及兩條斜對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)字之和都相等的概率為（

）A． B． C． D．5．若，則（

）A．180 B． C． D．906．現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四名同學(xué)同時(shí)到三個(gè)不同的社區(qū)參加公益活動(dòng)，每個(gè)社區(qū)至少分配一名同學(xué).設(shè)事件“恰有兩人在同一個(gè)社區(qū)”，事件“甲同學(xué)和乙同學(xué)在同一個(gè)社區(qū)”，事件“丙同學(xué)和丁同學(xué)在同一個(gè)社區(qū)”，則下面說法正確的是（

）A．事件與相互獨(dú)立 B．事件與是互斥事件C．事件與相互獨(dú)立 D．事件與是對(duì)立事件7．若是一組數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)，則這組數(shù)據(jù)的方差為.已知數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)為4，方差為2，數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)為2，方差為4，若將這兩組數(shù)據(jù)混合形成一組新的數(shù)據(jù)，則新的一組數(shù)據(jù)的方差為（

）A．6 B．2 C．3 D．48．托馬斯?貝葉斯在研究“逆向概率”的問題中得到了一個(gè)公式：，這個(gè)公式被稱為貝葉斯公式（貝葉斯定理），其中稱為的全概率.春夏換季是流行性感冒爆發(fā)期，已知三個(gè)地區(qū)分別有的人患了流感，且這三個(gè)地區(qū)的人口數(shù)之比是，現(xiàn)從這三個(gè)地區(qū)中任意選取1人，若選取的這人患了流感，則這人來自地區(qū)的概率是（

）A．0.25 B．0.27 C．0.48 D．0.52二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)得0分）9．甲乙兩名同學(xué)參加系列知識(shí)問答節(jié)目，甲同學(xué)參加了5場(chǎng)，得分是3，4，5，5，8，乙同學(xué)參加了7場(chǎng)，得分是3，3，4，5，5，7，8，那么有關(guān)這兩名同學(xué)得分?jǐn)?shù)據(jù)下列說法正確的是（

）A．得分的中位數(shù)甲比乙要小 B．兩人的平均數(shù)相同C．兩人得分的極差相同 D．得分的方差甲比乙小10．已知展開式中共有8項(xiàng)．則該展開式結(jié)論正確的是（

）A．所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為128 B．所有項(xiàng)的系數(shù)和為C．系數(shù)最大項(xiàng)為第2項(xiàng) D．有理項(xiàng)共有4項(xiàng)11．隨機(jī)事件，滿足，，，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12．某單位為了提高員工身體素質(zhì)，開展雙人投籃比寒，現(xiàn)甲?乙兩人為一組參加比賽，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若投中，則此人繼續(xù)投籃，若未投中，則換為對(duì)方投籃，無論之前投籃的情況如何，甲每次投籃的命中率均為，乙每次投籃的命中率均為.由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲?乙的概率各為.第2次投籃的人是甲的概率為；已知在第2次投籃的人是乙的情況下，第1次投籃的人是甲的概率為.13．已知某公司加工一種芯片的不合格率為p，其中，若加工后的30顆這種芯片中恰有6顆不合格的概率為，且各顆芯片是否為不合格品相互獨(dú)立，則當(dāng)取最大值時(shí)，．14．若隨機(jī)變量X，Y分別服從成功概率為的兩點(diǎn)分布，則的取值范圍是．四、解答題（本題共5小題，共77分，其中15題13分，16題15分，17題15分，18題17分，19題17分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15．某班統(tǒng)計(jì)了全班50名同學(xué)在某一周內(nèi)到圖書館借閱次數(shù)的相關(guān)數(shù)據(jù)，結(jié)果如下表：借閱次數(shù)01234567合計(jì)男生人數(shù)2535512225女生人數(shù)4455321125合計(jì)人數(shù)69810833350若將該周內(nèi)到圖書館借閱次數(shù)不少于3次的學(xué)生，稱為“愛好閱讀生”；少于3次的學(xué)生稱為“一般閱讀生”．(1)請(qǐng)完成以下列聯(lián)表；問：能否有90％的把握認(rèn)為愛好閱讀與性別有關(guān)？性別閱讀合計(jì)一般愛好男生女生合計(jì)附：，．0.10.050.01k2.7063.8416.635(2)班主任從該周內(nèi)在圖書館借閱次數(shù)為0的同學(xué)中，一次性隨機(jī)抽取3人了解有關(guān)情況，求抽到的男生人數(shù)的概率分布和數(shù)學(xué)期望．16．某工廠生產(chǎn)一批機(jī)器零件，現(xiàn)隨機(jī)抽取100件對(duì)某一項(xiàng)性能指標(biāo)進(jìn)行檢測(cè)，得到一組數(shù)據(jù)，如下表:性能指標(biāo)6677808896產(chǎn)品件數(shù)102048193(1)求該項(xiàng)性能指標(biāo)的樣本平均數(shù)的值.若這批零件的該項(xiàng)指標(biāo)X近似服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)的值，，試求的值.(2)若此工廠有甲、乙兩臺(tái)機(jī)床加工這種機(jī)器零件，且甲機(jī)床的生產(chǎn)效率是乙機(jī)床的生產(chǎn)效率的2倍，甲機(jī)床生產(chǎn)的零件的次品率為0.02，乙機(jī)床生產(chǎn)的零件的次品率為0.03，現(xiàn)從這批零件中隨機(jī)抽取一件.①求這件零件是次品的概率；②若檢測(cè)出這件零件是次品，求這件零件是甲機(jī)床生產(chǎn)的概率；③在①的條件下，若從這批機(jī)器零件中隨機(jī)抽取300件，每次抽取的結(jié)果相互獨(dú)立，記抽出的零件是次品，且該項(xiàng)性能指標(biāo)恰好在內(nèi)的零件個(gè)數(shù)為，求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望（精確到整數(shù)）.參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，.17．小金、小郅、小睿三人下圍棋，已知小金勝小郅、小睿兩人的勝率均為，小郅勝小睿的勝率為，比賽采用三局兩勝制，第一場(chǎng)比賽等概率選取一人輪空，剩余兩人對(duì)弈，勝者繼續(xù)與上一場(chǎng)輪空者比賽，另一人輪空.以此類推，直至某人贏得兩場(chǎng)比賽，則其為最終獲勝者.(1)若第一場(chǎng)比賽小金輪空，則需要下第四場(chǎng)比賽的概率為多少？(2)求最終小金獲勝的概率.(3)若已知小郅第一局未輪空且獲勝，在此條件下求小金最終獲勝的概率（請(qǐng)用兩種方法解答）.18．已知甲口袋有個(gè)紅球和2個(gè)白球，乙口袋有個(gè)紅球和2個(gè)白球，小明從甲口袋有放回地連續(xù)摸球2次，每次摸出一個(gè)球，然后再從乙口袋有放回地連續(xù)摸球2次，每次摸出一個(gè)球.(1)當(dāng)時(shí)，（i）求小明4次摸球中，至少摸出1個(gè)白球的概率；（ii）設(shè)小明4次摸球中，摸出白球的個(gè)數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望；(2)當(dāng)時(shí)，設(shè)小明4次摸球中，恰有3次摸出紅球的概率為，則當(dāng)為何值時(shí)，最大？19．現(xiàn)有一摸獎(jiǎng)游戲，其規(guī)則如下：設(shè)置1號(hào)和2號(hào)兩個(gè)保密箱，在1號(hào)保密箱內(nèi)共放有6張卡片，其中有4張卡片上標(biāo)有奇數(shù)數(shù)字，另外2張卡片上標(biāo)有偶數(shù)數(shù)字；2號(hào)保密箱內(nèi)共放有5張卡片，其中有3張卡片上標(biāo)有奇數(shù)數(shù)字，另外2張卡片上標(biāo)有偶數(shù)數(shù)字．摸獎(jiǎng)?wù)呦葟?號(hào)保密箱內(nèi)隨機(jī)摸出一張卡片放入2號(hào)保密箱內(nèi)，待把2號(hào)保密箱內(nèi)的卡片重新攪拌均勻后，再從2號(hào)保密箱內(nèi)隨機(jī)摸出一張卡片，即完成一次摸獎(jiǎng)，如果摸獎(jiǎng)?wù)邚?號(hào)保密箱和2號(hào)保密箱內(nèi)摸出的卡片上的數(shù)字均為偶數(shù)即中獎(jiǎng)．當(dāng)上一個(gè)人摸獎(jiǎng)結(jié)束后，需要將兩保密箱內(nèi)的卡片復(fù)原并攪拌均勻，下一個(gè)人才可摸獎(jiǎng)，所有卡片的外觀質(zhì)地都相同．(1)求摸獎(jiǎng)?wù)咄瓿梢淮蚊?jiǎng)就中獎(jiǎng)的概率；(2)若有3人依次摸獎(jiǎng)，且每人只完成一次摸獎(jiǎng)，求這3人摸獎(jiǎng)全部結(jié)束后中獎(jiǎng)人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)為了提高摸獎(jiǎng)?wù)叩闹歇?jiǎng)概率，現(xiàn)將游戲規(guī)則修改為：摸獎(jiǎng)?wù)呦葟?號(hào)保密箱內(nèi)隨機(jī)摸出一張卡片放入2號(hào)保密箱內(nèi)，待把2號(hào)保密箱內(nèi)的卡片重新攪拌均勻后，再從2號(hào)保密箱內(nèi)隨機(jī)摸出一張卡片，如果摸獎(jiǎng)?wù)邚?號(hào)保密箱內(nèi)摸出的卡片上的數(shù)字為偶數(shù)即中獎(jiǎng)．在修改游戲規(guī)則的同時(shí)，對(duì)1號(hào)和2號(hào)兩個(gè)保密箱內(nèi)的卡片重新進(jìn)行調(diào)整：已知標(biāo)有奇數(shù)、偶數(shù)的卡片各有7張，并且已在1號(hào)保密箱內(nèi)放入了3張標(biāo)有奇數(shù)的卡片，2號(hào)保密箱內(nèi)放入了4張標(biāo)有奇數(shù)的卡片，那么，應(yīng)該如何放置7張標(biāo)有偶數(shù)的卡片（每個(gè)保密箱中至少放入1張偶數(shù)卡片），才能使摸獎(jiǎng)?wù)咄瓿梢淮蚊?jiǎng)的中獎(jiǎng)概率最高？最高為多少？請(qǐng)說明理由．第九章計(jì)數(shù)原理、統(tǒng)計(jì)與概率（模塊綜合調(diào)研卷）（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng):1.答題前,先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2.選擇題的作答:每小題選出答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3.非選擇題的作答:用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試卷草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。4.考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并上交。一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．已知隨機(jī)變量，若隨機(jī)變量，則（

）A．10 B．12 C．30 D．32【答案】B【分析】利用二項(xiàng)分布的期望公式和兩隨機(jī)變量的線性關(guān)系即可求解.【詳解】由題意可得，則．故選：B.2．的展開式中的系數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】寫出通項(xiàng)，令，再求展開式中系數(shù)為1時(shí)的系數(shù)，然后相乘即可；【詳解】，項(xiàng)對(duì)應(yīng)，，項(xiàng)對(duì)應(yīng)系數(shù)為，故展開后系數(shù)為.故選：D.3．將6名志愿者安排到4個(gè)不同的社區(qū)進(jìn)行創(chuàng)文共建活動(dòng)，要求每個(gè)社區(qū)至少安排1名志愿者，則不同排法共有（

）A．480種 B．1560種 C．2640種 D．640種【答案】B【分析】先將6名志愿者分成4組，然后再分配到不同的社區(qū)即可．【詳解】解：先將6名志愿者分成4組，然后再分配到不同的社區(qū)即可，若志愿者人數(shù)依次為3，1，1，1，則不同的安排方法種數(shù)為：種；若志愿者人數(shù)依次為2，2，1，1，則不同的安排方法種數(shù)為：種，故不同的安排方法共有種．故選：B．4．將數(shù)字隨機(jī)填入的正方形格子中，則每一橫行?每一豎列以及兩條斜對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)字之和都相等的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】用列舉法寫出符合題意的填寫方法，然后根據(jù)概率公式計(jì)算．【詳解】符合題意的填寫方法有如下8種：而9個(gè)數(shù)填入9個(gè)格子有種方法所以所求概率為，故選：A．5．若，則（

）A．180 B． C． D．90【答案】A【分析】由寫出其通項(xiàng)公式，依題意對(duì)賦值即可求得.【詳解】因，其二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為：，而是的系數(shù)，故只需取，得，即.故選：A.6．現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四名同學(xué)同時(shí)到三個(gè)不同的社區(qū)參加公益活動(dòng)，每個(gè)社區(qū)至少分配一名同學(xué).設(shè)事件“恰有兩人在同一個(gè)社區(qū)”，事件“甲同學(xué)和乙同學(xué)在同一個(gè)社區(qū)”，事件“丙同學(xué)和丁同學(xué)在同一個(gè)社區(qū)”，則下面說法正確的是（

）A．事件與相互獨(dú)立 B．事件與是互斥事件C．事件與相互獨(dú)立 D．事件與是對(duì)立事件【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，利用相互獨(dú)立事件、互斥事件、對(duì)立事件的意義逐項(xiàng)判斷即得.【詳解】對(duì)于A，依題意，甲、乙、丙、丁中必有兩人在同一社區(qū)，即事件是必然事件，，顯然，，因此事件與相互獨(dú)立，A正確；對(duì)于B，由，得事件與不是互斥事件，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，顯然事件事件與不可能同時(shí)發(fā)生，即，而，事件與相互不獨(dú)立，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，顯然事件與可以同時(shí)不發(fā)生，如甲丙在同一社區(qū)，因此事件與不是對(duì)立事件，D錯(cuò)誤.故選：A7．若是一組數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)，則這組數(shù)據(jù)的方差為.已知數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)為4，方差為2，數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)為2，方差為4，若將這兩組數(shù)據(jù)混合形成一組新的數(shù)據(jù)，則新的一組數(shù)據(jù)的方差為（

）A．6 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】利用平均數(shù)和方差的定義結(jié)合條件求解即得.【詳解】解：易知新的一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，所以新數(shù)據(jù)的方差.故選：D.8．托馬斯?貝葉斯在研究“逆向概率”的問題中得到了一個(gè)公式：，這個(gè)公式被稱為貝葉斯公式（貝葉斯定理），其中稱為的全概率.春夏換季是流行性感冒爆發(fā)期，已知三個(gè)地區(qū)分別有的人患了流感，且這三個(gè)地區(qū)的人口數(shù)之比是，現(xiàn)從這三個(gè)地區(qū)中任意選取1人，若選取的這人患了流感，則這人來自地區(qū)的概率是（

）A．0.25 B．0.27 C．0.48 D．0.52【答案】C【分析】本題利用題目信息給出的貝葉斯公式，結(jié)合全概率公式即可求解.【詳解】記事件表示“這人患了流感”，事件分別表示“這人來自地區(qū)”，由題意可知：，，故.故選：C.二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)得0分）9．甲乙兩名同學(xué)參加系列知識(shí)問答節(jié)目，甲同學(xué)參加了5場(chǎng)，得分是3，4，5，5，8，乙同學(xué)參加了7場(chǎng)，得分是3，3，4，5，5，7，8，那么有關(guān)這兩名同學(xué)得分?jǐn)?shù)據(jù)下列說法正確的是（

）A．得分的中位數(shù)甲比乙要小 B．兩人的平均數(shù)相同C．兩人得分的極差相同 D．得分的方差甲比乙小【答案】BCD【分析】由中位數(shù)，極差的概念即可判斷AC，由平均數(shù)、方差計(jì)算公式可分別判斷BD.【詳解】對(duì)于A，甲的得分中位數(shù)是5，乙的得分中位數(shù)是5，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，甲的得分平均數(shù)是，乙的得分平均數(shù)是，故B正確；對(duì)于C，甲的得分極差是，乙的得極差是，故C正確；對(duì)于D，甲的得分方差是，乙的得方差是，故D正確.故選：BCD.10．已知展開式中共有8項(xiàng)．則該展開式結(jié)論正確的是（

）A．所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為128 B．所有項(xiàng)的系數(shù)和為C．系數(shù)最大項(xiàng)為第2項(xiàng) D．有理項(xiàng)共有4項(xiàng)【答案】AD【分析】先根據(jù)展開式的項(xiàng)數(shù)確定的值，根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)判斷A；令可得所有項(xiàng)的系數(shù)和從而判斷B，利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求解系數(shù)最大項(xiàng)及有理項(xiàng)可判斷CD．【詳解】A項(xiàng)，因?yàn)榈恼归_式共有8項(xiàng)，所以．故所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為，故A正確；B項(xiàng)，令，可得所有項(xiàng)的系數(shù)和為，故B錯(cuò)誤；因?yàn)槎?xiàng)展開式的通項(xiàng)公式為：．.C項(xiàng)，當(dāng)，設(shè)項(xiàng)系數(shù)最大，由，解得，則，且，第3項(xiàng)系數(shù)為.當(dāng)時(shí)，，系數(shù)為1；當(dāng)時(shí)，，系數(shù)為；由，故第3項(xiàng)的系數(shù)最大；故C錯(cuò)誤；D項(xiàng)，由為整數(shù)，且可知，的值可以為：0，2，4，6，所以二項(xiàng)展開式中，有理項(xiàng)共有4項(xiàng)，故D正確．故選：AD.11．隨機(jī)事件，滿足，，，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．【答案】CD【分析】根據(jù)題意由相互獨(dú)立事件的概率性質(zhì)分析可判斷，；由概率加法公式可分析；計(jì)算，驗(yàn)證是否正確即可判斷.【詳解】由已知，，因?yàn)椋?，所以，所以，故錯(cuò)誤；因?yàn)?，故錯(cuò)誤；，故正確；，又，，，所以，故正確.故選：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是概率的性質(zhì)和應(yīng)用，以及條件概率的計(jì)算.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12．某單位為了提高員工身體素質(zhì)，開展雙人投籃比寒，現(xiàn)甲?乙兩人為一組參加比賽，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若投中，則此人繼續(xù)投籃，若未投中，則換為對(duì)方投籃，無論之前投籃的情況如何，甲每次投籃的命中率均為，乙每次投籃的命中率均為.由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲?乙的概率各為.第2次投籃的人是甲的概率為；已知在第2次投籃的人是乙的情況下，第1次投籃的人是甲的概率為.【答案】【分析】設(shè)相應(yīng)事件，結(jié)合題意分析相應(yīng)事件的概率，結(jié)合全概率公式求；結(jié)合條件概率求.【詳解】設(shè)“第次是甲投籃”為事件，“投籃命中”為事件B，由題意可知：，，則，所以第2次投籃的人是甲的概率為；且在第2次投籃的人是乙的情況下，第1次投籃的人是甲的概率為.故答案為：；.13．已知某公司加工一種芯片的不合格率為p，其中，若加工后的30顆這種芯片中恰有6顆不合格的概率為，且各顆芯片是否為不合格品相互獨(dú)立，則當(dāng)取最大值時(shí)，．【答案】15/【分析】先根據(jù)獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)的概率求出，再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值.【詳解】由題意，設(shè)，，則，由得.所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.所以當(dāng)時(shí)，有極大值.即當(dāng)時(shí)，取得最大值.故答案為：14．若隨機(jī)變量X，Y分別服從成功概率為的兩點(diǎn)分布，則的取值范圍是．【答案】【分析】由兩點(diǎn)分布及期望公式求解即可．【詳解】解：因?yàn)殡S機(jī)變量，分別服從成功概率為，的兩點(diǎn)分布，則，，，，所以或1，所以或或，因?yàn)榛?，且或，所以或，所以或，即的取值范圍是．故答案為：．四、解答題（本題共5小題，共77分，其中15題13分，16題15分，17題15分，18題17分，19題17分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15．某班統(tǒng)計(jì)了全班50名同學(xué)在某一周內(nèi)到圖書館借閱次數(shù)的相關(guān)數(shù)據(jù)，結(jié)果如下表：借閱次數(shù)01234567合計(jì)男生人數(shù)2535512225女生人數(shù)4455321125合計(jì)人數(shù)69810833350若將該周內(nèi)到圖書館借閱次數(shù)不少于3次的學(xué)生，稱為“愛好閱讀生”；少于3次的學(xué)生稱為“一般閱讀生”．(1)請(qǐng)完成以下列聯(lián)表；問：能否有90％的把握認(rèn)為愛好閱讀與性別有關(guān)？性別閱讀合計(jì)一般愛好男生女生合計(jì)附：，．0.10.050.01k2.7063.8416.635(2)班主任從該周內(nèi)在圖書館借閱次數(shù)為0的同學(xué)中，一次性隨機(jī)抽取3人了解有關(guān)情況，求抽到的男生人數(shù)的概率分布和數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)列聯(lián)表見解析，沒有90％的把握認(rèn)為喜愛閱讀與性別有關(guān)(2)概率分布見解析，1【分析】（1）完成2×2列聯(lián)表，計(jì)算出即可得出判斷；（2）由題可知，隨機(jī)變量服從超幾何分布，由此求出的概率分布和數(shù)學(xué)期望．【詳解】（1）列聯(lián)表：性別閱讀合計(jì)一般愛好男生101525女生131225合計(jì)232750提出假設(shè)：是否喜愛閱讀與性別沒有關(guān)系，根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)，可以求得：，所以沒有90％的把握認(rèn)為喜愛閱讀與性別有關(guān)．（2）隨機(jī)變量服從超幾何分布，可能取0，1，2，，，，則的分布列為：012所以，故抽取男生人數(shù)的數(shù)學(xué)期望為1．16．某工廠生產(chǎn)一批機(jī)器零件，現(xiàn)隨機(jī)抽取100件對(duì)某一項(xiàng)性能指標(biāo)進(jìn)行檢測(cè)，得到一組數(shù)據(jù)，如下表:性能指標(biāo)6677808896產(chǎn)品件數(shù)102048193(1)求該項(xiàng)性能指標(biāo)的樣本平均數(shù)的值.若這批零件的該項(xiàng)指標(biāo)X近似服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)的值，，試求的值.(2)若此工廠有甲、乙兩臺(tái)機(jī)床加工這種機(jī)器零件，且甲機(jī)床的生產(chǎn)效率是乙機(jī)床的生產(chǎn)效率的2倍，甲機(jī)床生產(chǎn)的零件的次品率為0.02，乙機(jī)床生產(chǎn)的零件的次品率為0.03，現(xiàn)從這批零件中隨機(jī)抽取一件.①求這件零件是次品的概率；②若檢測(cè)出這件零件是次品，求這件零件是甲機(jī)床生產(chǎn)的概率；③在①的條件下，若從這批機(jī)器零件中隨機(jī)抽取300件，每次抽取的結(jié)果相互獨(dú)立，記抽出的零件是次品，且該項(xiàng)性能指標(biāo)恰好在內(nèi)的零件個(gè)數(shù)為，求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望（精確到整數(shù)）.參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，.【答案】(1)；0.1359(2)①；②；③1【分析】（1）計(jì)算出平均數(shù)后可得，結(jié)合正態(tài)分布的性質(zhì)計(jì)算即可得解；（2）①借助全概率公式計(jì)算即可得；②借助條件概率公式計(jì)算即可得；③借助二項(xiàng)分布期望公式計(jì)算即可得.【詳解】（1），因?yàn)?，所以，則；（2）①設(shè)“抽取的零件為甲機(jī)床生產(chǎn)”記為事件，“抽取的零件為乙機(jī)床生產(chǎn)”記為事件，“抽取的零件為次品”記為事件，則，，，，則；②；③由（1）及（2）①可知，這批零件是次品且性能指標(biāo)在內(nèi)的概率，且隨機(jī)變量，所以，所以隨機(jī)變量Y的數(shù)學(xué)期望為1.17．小金、小郅、小睿三人下圍棋，已知小金勝小郅、小睿兩人的勝率均為，小郅勝小睿的勝率為，比賽采用三局兩勝制，第一場(chǎng)比賽等概率選取一人輪空，剩余兩人對(duì)弈，勝者繼續(xù)與上一場(chǎng)輪空者比賽，另一人輪空.以此類推，直至某人贏得兩場(chǎng)比賽，則其為最終獲勝者.(1)若第一場(chǎng)比賽小金輪空，則需要下第四場(chǎng)比賽的概率為多少？(2)求最終小金獲勝的概率.(3)若已知小郅第一局未輪空且獲勝，在此條件下求小金最終獲勝的概率（請(qǐng)用兩種方法解答）.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)獨(dú)立事件概率乘法公式求解即可.（2）根據(jù)互斥事件概率加法公式和獨(dú)立事件概率乘法公式求解即可.（3）法一：利用條件概率求解即可；法二：根據(jù)事件的含義利用互斥事件概率加法公式和獨(dú)立事件概率乘法公式求解即可.【詳解】（1）第一場(chǎng)比賽小郅獲勝時(shí)，則第二場(chǎng)小金獲勝，第三場(chǎng)小睿獲勝，滿足題意；第一場(chǎng)比賽小睿獲勝時(shí)，則第二場(chǎng)小金獲勝，第三場(chǎng)小郅獲勝，滿足題意；所以需要下第四場(chǎng)比賽的概率為（2）由題意，最終小金獲勝的情況如下，當(dāng)小金第一場(chǎng)輪空，第一場(chǎng)小郅勝小睿輸，第二場(chǎng)小金勝小郅輸，第三場(chǎng)小金勝小睿輸，此時(shí)，第一場(chǎng)小睿勝小郅輸，第二場(chǎng)小金勝小睿輸，第三場(chǎng)小金勝小郅輸，此時(shí)，則小金獲勝，當(dāng)小金第一場(chǎng)不輪空，第一場(chǎng)小郅勝小金輸，第二場(chǎng)小睿勝小郅輸，第三場(chǎng)小金勝小睿輸，第三場(chǎng)小金勝小郅輸，此時(shí)，第一場(chǎng)小金勝小郅輸，第二場(chǎng)小睿勝小金輸，第三場(chǎng)小郅勝小睿輸，第三場(chǎng)小金勝小郅輸，此時(shí)，第一場(chǎng)小金勝小郅輸，第二場(chǎng)小金勝小睿輸，此時(shí)，所以第一場(chǎng)小郅與小金比賽，小金獲勝概率為，同理，第一場(chǎng)小睿與小金比賽，小金獲勝概率為，故小金獲勝概率為（3）法一：設(shè)A：小金最終獲勝；B：小郅第一場(chǎng)未輪空且獲勝，則，結(jié)合（2）知，法二：第一場(chǎng)小睿輪空時(shí)，小金最終獲勝概率為，第一場(chǎng)小金輪空時(shí)，小金最終獲勝概率為，18．已知甲口袋有個(gè)紅球和2個(gè)白球，乙口袋有個(gè)紅球和2個(gè)白球，小明從甲口袋有放回地連續(xù)摸球2次，每次摸出一個(gè)球，然后再從乙口袋有放回地連續(xù)摸球2次，每次摸出一個(gè)球.(1)當(dāng)時(shí)，（i）求小明4次摸球中，至少摸出1個(gè)白球的概率；（ii）設(shè)小明4次摸球中，摸出白球的個(gè)數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望；(2)當(dāng)時(shí)，設(shè)小明4次摸球中，恰有3次摸出紅球的概率為，則當(dāng)為何值時(shí)，最大？【答案】(1)（i）；（ii）(2)【分析】（1）（i）先根據(jù)題意求出小明從甲口袋摸出一個(gè)白球的概率和從乙口袋摸出一個(gè)白球的概率，然后求出小明4次摸球中，摸出的都是紅球的概率，然后利用對(duì)立事件的概率公式可求得答案；（ii）的所有可能取值為，求出相應(yīng)的概率，從而可求出的數(shù)學(xué)期望；（2）由，可視為小明從甲口袋中有放回地摸出一個(gè)球，連續(xù)摸4次，相當(dāng)于4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，則，然后利用導(dǎo)數(shù)可求得其最大值.【詳解】（1）小明從甲口袋有放回地摸出一個(gè)球，摸出白球的概率為，從乙口袋有放回地摸出一個(gè)球，摸出白球的概率為.（i）設(shè)“小明4次摸球中，至少摸出1個(gè)白球”為事件，則“小明4次摸球中，摸出的都是紅球”為事件，且，所以.（ii）的所有可能取值為，由（i），得，，，，，所以.（2）由，可視為小明從甲口袋中有放回地摸出一個(gè)球，連續(xù)摸4次，相當(dāng)于4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，設(shè)小明每次摸出一個(gè)紅球的概率為，則.因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，；當(dāng)1時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，最大，此時(shí)，解得，故當(dāng)時(shí)，最大.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查對(duì)立事件的概率公式的應(yīng)用，考查離散型隨機(jī)變量的期望，考查獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，第（2）問解題的關(guān)鍵是根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式表示出，然后利用導(dǎo)數(shù)可求出其結(jié)果，考查理解能力和計(jì)算能力，屬于較難題.19．現(xiàn)有一摸獎(jiǎng)游戲，其規(guī)則如下：設(shè)置1號(hào)和2號(hào)兩個(gè)保密箱，在1號(hào)保密箱內(nèi)共放有6張卡片，其中有4張卡片上標(biāo)有奇數(shù)數(shù)字，另外2張卡片上標(biāo)有偶數(shù)數(shù)字；2號(hào)保密箱內(nèi)共放有5張卡片，其中有3張卡片上標(biāo)有奇數(shù)數(shù)字，另外2張卡片上標(biāo)有偶數(shù)數(shù)字．摸獎(jiǎng)?wù)呦葟?號(hào)保密箱內(nèi)隨機(jī)摸出一張卡片放入2號(hào)保密箱內(nèi)，待把2號(hào)保密箱內(nèi)的卡片重新攪拌均勻后，再從2號(hào)保密箱內(nèi)隨機(jī)摸出一張卡片，即完成一次摸獎(jiǎng)，如果摸獎(jiǎng)?wù)邚?號(hào)保密箱和2號(hào)保密箱內(nèi)摸出的卡片上的數(shù)字均為偶數(shù)即中獎(jiǎng)．當(dāng)上一個(gè)人摸獎(jiǎng)結(jié)束后，需要將兩保密箱內(nèi)的卡片復(fù)原并攪拌均勻，下一個(gè)人才可摸獎(jiǎng)，所有卡片的外觀質(zhì)地都相同．(1)求摸獎(jiǎng)?wù)咄瓿梢淮蚊?jiǎng)就中獎(jiǎng)的概率；(2)若有3人依次摸獎(jiǎng)，且每人只完成一次摸獎(jiǎng)，求這3人摸獎(jiǎng)全部結(jié)束后中獎(jiǎng)人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)為了提高摸獎(jiǎng)?wù)叩闹歇?jiǎng)概率，現(xiàn)將游戲規(guī)則修改為：摸獎(jiǎng)?wù)呦葟?號(hào)保密箱內(nèi)隨機(jī)摸出一張卡片放入2號(hào)保密箱內(nèi)，待把2號(hào)保密箱內(nèi)的卡片重新攪拌均勻后，再從2號(hào)保密箱內(nèi)隨機(jī)摸出一張卡片，如果摸獎(jiǎng)?wù)邚?號(hào)保密箱內(nèi)摸出的卡片上的數(shù)字為偶數(shù)即中獎(jiǎng)．在修改游戲規(guī)則的同時(shí)，對(duì)1號(hào)和2號(hào)兩個(gè)保密箱內(nèi)的卡片重新進(jìn)行調(diào)整：已知標(biāo)有奇數(shù)、偶數(shù)的