專題06解三角形重難點題型專訓(xùn)（11大題型15道提優(yōu)訓(xùn)練）-2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下冊重難點專題提升（2020）（原卷版）

專題06解三角形重難點題型專訓(xùn)（11大題型+15道提優(yōu)訓(xùn)練）題型一正弦定理及辨析題型二余弦定理及辨析題型三正弦定理解三角形題型四余弦定理解三角形題型五正弦定理判定三角形解的個數(shù)題型六正弦定理求外接圓半徑題型七射影公式題型八正弦定理邊角互化的應(yīng)用題型九三角形面積公式及其應(yīng)用題型十余弦定理邊角互化的應(yīng)用題型十一三角形幾何的綜合應(yīng)用知識點01正弦定理知識點02余弦定理對于任意三角形，任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的兩倍積。若三邊為a，b，c，三角為A，B，C，則余弦定理表述為：其中c2=a2+b2是c角的對邊，而a和b是c角的鄰邊。知識點03三角形的面積公式已知三角形的兩邊及其夾角，可以通過公式來計算三角形的面積，其中a、b是兩邊的長度，C是它們的夾角.若已知三角形的三邊長度a、b、c，則可以使用海倫公式來求面積，先計算半周長，然后面積.知識點04射影公式在直角三角形中，斜邊上的高是兩條直角邊在斜邊射影的比例中項，每一條直角邊又是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項；設(shè)Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，D為垂足，射影定理如下:【經(jīng)典例題一正弦定理及辨析】【例1】（2024高一下·上海虹口·課后作業(yè)）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，則（

）A．1:2:3 B．1:2: C．1::2 D．2::11．（2324高一下·上海寶山·階段練習(xí)）已知，在三角形ABC中，三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，且b＝7，則a＋c＝（

）A．7 B．8 C．9 D．102．（2324高一下·上海靜安·期中）銳角的三內(nèi)角的對邊分別為在上的射影長等于的外接圓半徑，則的值是.3．（2425高一下·上海奉賢·課前預(yù)習(xí)）在中，，在銳角三角形或鈍角三角形中，上述關(guān)系是否成立？如何證明呢？【經(jīng)典例題二余弦定理及辨析】【例2】（2024高一下·上?！ｎ}練習(xí)）已知的內(nèi)角，，的對邊分別為a，b，c，且，若，則角不可能（

）A．為直角 B．為銳角 C．為鈍角 D．在之間1．（2324高一下·上海徐匯·階段練習(xí)）秦九韶是我國南宋時期的著名數(shù)學(xué)家，他在著作《數(shù)書九章》中提出，已知三角形三邊長計算三角形面積的一種方法“三斜求積術(shù)”，其公式為：.若，，，則利用“三斜求積術(shù)”求的面積為（

）A． B． C． D．2．（2324高一下·上海嘉定·階段練習(xí)）在中，角，，所對的邊分別為，，，若，且，，則的值為.3．（2324高一下·上海虹口·期末）已知a，b，c分別為△ABC內(nèi)角A，B，C的對邊，且．(1)證明：；(2)若△ABC的面積S＝2，，求角C．【經(jīng)典例題三正弦定理解三角形】【例3】（2425高一下·上海閔行·階段練習(xí)）在中，為邊的中點，若，則的最大值為（

）A． B． C． D．1．（2425高一下·上海長寧·階段練習(xí)）如圖所示的鐘樓是馬鞍山二中的標(biāo)志性建筑之一.某同學(xué)為測量鐘樓的高度，在鐘樓的正西方向找到一座建筑物，高為米，在地面上點處（三點共線）測得建筑物頂部，鐘樓頂部的仰角分別為和，在處測得鐘樓頂部的仰角為，則鐘樓的高度為（

）米.A． B．C． D．2．（2425高一下·上海·階段練習(xí)）設(shè)是滿足以下條件的的集合：對任意一個單位圓，點，，至少有一個在圓外，已知是直角三角形，且不是中的元素，則周長的取值范圍是．3．（2324高一下·上海崇明·階段練習(xí)）在中，，且，，為內(nèi)一點，．(1)若，求的長；(2)若，求．【經(jīng)典例題四余弦定理解三角形】【例4】（2025·上海青浦·一模）如圖，已知，，，，則（

）

A． B． C．或 D．1．（2425高一下·上海楊浦·階段練習(xí)）在三角形內(nèi)到其三個頂點的距離之和最小的點稱為“費馬點”.意大利數(shù)學(xué)家托里拆利發(fā)現(xiàn)：當(dāng)?shù)娜齻€內(nèi)角均小于時，使得的點即為費馬點；當(dāng)有一個內(nèi)角大于或等于時，最大內(nèi)角的頂點即為費馬點，在中，若，且，則該三角形的費馬點到各頂點的距離之和為（

）A． B．C． D．2．（2025高一下·全國·專題練習(xí)）在中，是邊的中點，若，，，則．3．（2425高一下·上海長寧·階段練習(xí)）在中，已知，(1)求；(2)的周長為9，再從以下條件中選擇一個，使三角形存在且唯一確定，并求的面積．①；②；③．注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．【經(jīng)典例題五正弦定理判定三角形解的個數(shù)】【例5】（2324高一下·上海嘉定·開學(xué)考試）在中，內(nèi)角、、的對邊分別為、、，根據(jù)下列條件解三角形，其中有兩個解的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，1．（2024·上海長寧·模擬預(yù)測）命題：“若與滿足：，則”．已知命題是真命題，則的值不可以是（

）A．1 B．2 C． D．2．（2024高一下·上海寶山·專題練習(xí)）中，已知，，.（1）若恰有一解，則實數(shù)的取值范圍是；（2）若有兩解，則實數(shù)的取值范圍是；（3）若無解，則實數(shù)的取值范圍是；3．（2425高一下·全國·課堂例題）下列三角形是否有解？有解的作出解答，已知.(1)，，；(2)，，；(3)，，.【經(jīng)典例題六正弦定理求外接圓半徑】【例6】（2024·上海寶山·三模）在中，若，，，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．

1．（2324高一下·上海閔行·期中）如圖，四邊形四點共圓，其中為直徑，，，，則的長度為（

）

A． B． C． D．2．（2425高一下·上海松江·階段練習(xí)）布羅卡爾點（Brocard’spoint）是三角形幾何中的一個特殊點.羅卡爾點的發(fā)現(xiàn)可以追溯到1816年.由德國數(shù)學(xué)家克雷爾（A．L.Crelle）首次發(fā)現(xiàn)，但當(dāng)時并未受到廣泛關(guān)注.直到1875年，法國軍官布羅卡爾重新發(fā)現(xiàn)了這個點，并用自己的名字命名，從而引起了數(shù)學(xué)界的廣泛關(guān)注.它的定義是：若內(nèi)一點P滿足，則稱P為的布羅卡爾點.若設(shè)，則稱為布羅卡爾角.已知中，，，若P為的布羅卡爾點，并記、、的外接圓面積分別為、、，則.3．（2324高一下·上海徐匯·期中）在中，內(nèi)角所對的邊分別為，已知，.(1)求的外接圓面積；(2)若為的內(nèi)心，求周長的最大值.【經(jīng)典例題七射影公式】【例7】（2324高一下·上海寶山·階段練習(xí)）已知ΔABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，且，，則（

）A． B． C．3 D．1．（2024·上海金山·模擬預(yù)測）等邊的邊長為5，點在平面上，點在的同一側(cè)，且邊在上的射影長分別為3，4，則邊在上的射影長為（

）A． B． C． D．2．（2024·上海徐匯·一模）已知圓的直徑，為圓上一點，，垂足為，且，則.3．（2324高一下·上海長寧·期中）已知函數(shù).(1)求方程在區(qū)間的解集；(2)在中，角的對邊分別是，且滿足，求的取值范圍.【經(jīng)典例題八正弦定理邊角互化的應(yīng)用】【例8】（2425高一下·上海崇明·階段練習(xí)）已知的三個角的對邊分別是，若，，則（

）A． B． C． D．1．（2324高一下·上海寶山·階段練習(xí)）我國南宋時期著名的數(shù)學(xué)家秦九韶在其著作《數(shù)書九章》中，提出了已知三角形三邊長求其面積的公式，求法是：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實．一為從隅，開平方得積”翻譯成公式，即，其中，，分別為中角，，的對邊，為的面積．現(xiàn)有面積為的滿足，則其內(nèi)切圓的半徑是（

）A． B． C． D．2．（2324高一下·上海虹口·階段練習(xí)）在中，角的對邊分別是，已知，點在邊上，是內(nèi)角的角平分線，且，則面積的最小值是．3．（2425高一下·上海靜安·期末）在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，.(1)求角的大?。?2)若，，求的面積.【經(jīng)典例題九三角形面積公式及其應(yīng)用】【例9】（2425高一下·上海長寧·階段練習(xí)）如圖為一塊三角形鐵片，已知，，，現(xiàn)在這塊鐵片中間發(fā)現(xiàn)一個小洞，記為點，，.過點作一條直線分別交的邊，于點，，并沿直線裁掉，則裁掉的面積的最小值為（

）A． B． C． D．1．（2024·上海金山·模擬預(yù)測）在中，，D為邊BC上一點，若，且，則面積的最小值為（

）A． B． C． D．2．（2024·上海虹口·模擬預(yù)測）如圖，中，，且的面積為，點在邊上，，則的長度等于．3．（2024·上海靜安·二模）已知的內(nèi)角的對邊分別為.(1)求的值；(2)若的面積為，且，求的周長.【經(jīng)典例題十余弦定理邊角互化的應(yīng)用】【例10】（2324高一下·上海徐匯·階段練習(xí)）如圖，是等腰直角斜邊的三等分點，則等于（

）

A． B． C． D．1．（2324高一下·上海寶山·階段練習(xí)）在中，角，，的對邊分別為，，，為的面積，且滿足，，則角=（

）A．30° B．45° C．60° D．90°2．（2324高一下·上海嘉定·期末）在中，分別為內(nèi)角的對邊，若，，且，則.3．（2425高一下·上海徐匯·階段練習(xí)）在銳角中，內(nèi)角的對邊分別為．(1)求角；(2)若的面積為，求的周長．【經(jīng)典例題十一三角形幾何的綜合應(yīng)用】【例11】（2324高一下·上海嘉定·期末）幾何定理：以任意三角形的三條邊為邊，向外構(gòu)造三個等邊三角形，則這三個等邊三角形的外接圓圓心恰為另一個等邊三角形（稱為拿破侖三角形）的頂點．在中，已知，，外接圓的半徑為，現(xiàn)以其三邊向外作三個等邊三角形，其外接圓圓心依次記為，，，則的面積為（

）A．3 B．2 C． D．

1．（2024·上海閔行·二模）尺規(guī)作圖三等分角是古希臘三大幾何難題之一，現(xiàn)今已證明該問題無解．但借助有刻度的直尺、其他曲線等，可將一個角三等分．古希臘數(shù)學(xué)家帕普斯曾提出以下作法：如圖，以的頂點C為圓心作圓交角的兩邊于A，B兩點；取線段三等分點O，D；以B為焦點，A，D為頂點作雙曲線，與圓弧交于點E，連接，則．若圖中交于點P，，則（

）A． B． C． D．2．（2324高一下·上海虹口·階段練習(xí)）小明同學(xué)在一次數(shù)學(xué)課外興趣小組活動中，探究知函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．于是小明進(jìn)一步探究求解以下問題：法國著名的軍事家拿破侖．波拿巴最早提出的一個幾何定理：“以任意三角形的三條邊為邊向外構(gòu)造三個等邊三角形，則這三個三角形的外接圓圓心恰為另一個等邊三角形的頂點”．在三角形中，角，以為邊向外作三個等邊三角形，其外接圓圓心依次為，若三角形的面積為，則三角形的周長最小值為．3．（2324高一下·上海寶山·期中）法國著名軍事家拿破侖·波拿巴最早提出的一個幾何定理：“以任意三角形的三條邊為邊向外構(gòu)造三個等邊三角形，則這個三個三角形的外接圓圓心恰為另一個等邊三角形的頂點”．如圖，在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，以AB，BC，AC為邊向外作三個等邊三角形，其外接圓圓心依次為，，．(1)證明：為等邊三角形；(2)若求m的最小值．1．（2425高一下·上海徐匯·階段練習(xí)）已知邊長為3等邊三角形中，點為邊上一點，，，則下列結(jié)論一定正確的為（

）A． B．C． D．2．（2324高一下·上海靜安·階段練習(xí)）我們定義：“”為向量與向量的“外積”，若向量與向量的夾角為，它的長度規(guī)定，現(xiàn)已知：在中，若，則的最大值為（

）A． B． C． D．3．（2425高一下·上海徐匯·階段練習(xí)）如圖，為了測量河對岸兩點間的距離，現(xiàn)在沿岸相距的兩點處分別測得，則間的距離為（

）

A． B． C． D．4．（2425高一下·上海虹口·期中）已知四邊形的外接圓半徑為，若，四邊形的周長記為，則當(dāng)取最大值時，四邊形的面積為（

）A． B． C． D．5．（2425高一下·上海閔行·階段練習(xí)）某同學(xué)用3個全等的小三角形拼成如圖所示的等邊△，已知，，則（

）A． B． C． D．6．（2425高一下·上海長寧·期中）已知在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，c=2，則的值為7．（2425高一下·上海寶山·階段練習(xí)）已知銳角的內(nèi)角的對邊分別為，若且，則的面積的取值范圍為．8．（2024高一下·上海松江·專題練習(xí)）若三角形的兩個內(nèi)角和滿足，則稱該三角形為“準(zhǔn)互余三角形”．在中，，，，點是邊上一點，若是準(zhǔn)互余三角形，則；的面積為．9．（2425高一下·上海金山·期末）某海濱浴場平面圖是如圖所示的半圓，其中O是圓心，直徑MN為400米，P是弧MN的中點．一個急救中心A在棧橋OP中點上，計劃在弧NP上設(shè)置一個瞭望臺B，并在AB間修建浮橋．已知越大，瞭望臺B處的視線范圍越大，則B處的視線范圍最大時，AB的長度為米．（結(jié)果精確到1米）10．（2425高一下·上海徐匯·期中）為測量某塔的高度，在塔旁的水平地面上共線的三點A，B，C處測得其頂點P的仰角分別為30°，60°，45°，且米，則塔的高度米.

11．（2024·上海長寧·模擬預(yù)測）在三角形中，已知，為的內(nèi)角平分線，已知，(1)求角C的值；(2)求三角形的面積.12．（2425高一下·上海金山·期末）在中，，，為邊上一點，且平分.

(1)若，求；(2)若，求線段的長.13．（2