微積分 (函數(shù)的連續(xù)性和間斷點(diǎn))學(xué)習(xí)課件

1§2.7函數(shù)的連續(xù)性和間斷點(diǎn)一、函數(shù)的連續(xù)性(continuity)二、函數(shù)的間斷點(diǎn)(discontinuouspoint)2時(shí)間變化很小時(shí),生物生長的也很少.現(xiàn)象在函數(shù)關(guān)系上的反映就是函數(shù)的連續(xù)性.在自然界中,許多事物的變化是連續(xù)的,如氣溫變化很小時(shí),單擺擺長變化也很小.

在高等數(shù)學(xué)中,主要的研究對(duì)象就是連續(xù)函數(shù).這種從直觀上不妨這樣說,連續(xù)函數(shù)的特征就是它的圖形是連續(xù)的,也就是說,可以一筆畫成.3一、函數(shù)的連續(xù)性增量增量.41.函數(shù)的增量5連續(xù),定義1設(shè)函數(shù)f(x)在內(nèi)有定義,若則稱函數(shù)f(x)在x0處并稱x0為函數(shù)f(x)的連續(xù)點(diǎn).定義2若則稱函數(shù)f(x)在x0處連續(xù).

把極限與連續(xù)性聯(lián)系起來了,且提供了連續(xù)函數(shù)求極限的簡(jiǎn)便方法——只需求出該點(diǎn)函數(shù)特定值.充分必要條件2.連續(xù)的定義采用了無窮小定義法6連續(xù)性的三種定義形式不同,這三種定義中都含有但本質(zhì)相同.f(x)在內(nèi)有定義;(1)(2)(3)三個(gè)要素:定義3

把極限定義嚴(yán)密化,便于分析論證.存在;極限與連續(xù)之間的關(guān)系:

f(x)在x0點(diǎn)連續(xù)

f(x)在x0點(diǎn)存在極限78oyx幾何意義函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)，則其圖形在該點(diǎn)不斷開.9例證由定義2知103.單側(cè)連續(xù)左連續(xù)右連續(xù)(continuityfromtheleft);(continuityfromtheright);定理1112例解右連續(xù)但不左連續(xù)

,13解練一練設(shè)解因?yàn)樗约醇淳氁痪?4154.連續(xù)函數(shù)(continousfunction)與連續(xù)區(qū)間連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線.上的或稱函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù).

在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù),稱為該區(qū)間在開區(qū)間右連續(xù)左端點(diǎn)右端點(diǎn)這時(shí)也稱該區(qū)間為continuous左連續(xù)連續(xù)函數(shù),連續(xù)區(qū)間.內(nèi)連續(xù)161718例證oyx函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)，則其圖形在該點(diǎn)不斷開.19201.間斷點(diǎn)的定義二、函數(shù)的間斷點(diǎn)f(x)在無定義;21oyxoyxoyxoyx間斷點(diǎn)圖形：函數(shù)在一點(diǎn)間斷，其圖形在該點(diǎn)斷開.22可能是連續(xù)點(diǎn),初等函數(shù)無定義的點(diǎn)是間斷點(diǎn).分段函數(shù)的分段點(diǎn)可能是間斷點(diǎn),也需要判定.23跳躍間斷點(diǎn)與可去間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第一類間斷點(diǎn).特點(diǎn)第一類間斷點(diǎn)2.間斷點(diǎn)的分類(discontinuitypointofthefirstkind)24第二類間斷點(diǎn)(discontinuitypointofthesecondkind)若其中有一個(gè)為振蕩,若其中有一個(gè)為稱x0為無窮間斷點(diǎn).稱x0為振蕩間斷點(diǎn).25例解(Jumpdiscontinuity).解例2627例解(removablediscontinuity).28則可使x0變?yōu)檫B續(xù)點(diǎn).注對(duì)可去間斷點(diǎn)x0,如果于A,

(這就是為什么將這種間斷點(diǎn)稱為使之等可去間斷點(diǎn)的理由.)補(bǔ)充

x0的函數(shù)值,或改變2930例解31例解注意不要以為函數(shù)的間斷點(diǎn)只是個(gè)別的幾個(gè)點(diǎn).狄利克雷函數(shù)

在定義域R內(nèi)每一點(diǎn)處都間斷,且都是第二類間斷點(diǎn).★32總結(jié)兩類間斷點(diǎn):第一類間斷點(diǎn):跳躍型,第二類間斷點(diǎn):無窮型,可去型無窮次振蕩型33判斷下列間斷點(diǎn)類型:34例解35例解1.求的間斷點(diǎn),并判別其類型.解

x=–1為第一類可去間斷點(diǎn)

x=1為第二類無窮間斷點(diǎn)

x=0為第一類跳躍間斷點(diǎn)練一練36解函數(shù)無定義,是函數(shù)的間斷點(diǎn).由于所以是函數(shù)的第二類間斷點(diǎn),且是無窮型.由于所以是函數(shù)的第一類間斷點(diǎn),且是跳躍型.并指出其類型.2.37有無窮間斷點(diǎn)及可去間斷點(diǎn)解為無窮間斷點(diǎn),所以為可去間斷點(diǎn),極限存在3.

設(shè)函數(shù)試確定常數(shù)a

及b.3839小結(jié)左連續(xù)右連續(xù)在點(diǎn)連續(xù)的等價(jià)形式有402、函數(shù)間斷點(diǎn)的定義.(見下圖)第一類間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)左右極限都存在第二類間斷點(diǎn)無窮間斷點(diǎn)振蕩間斷點(diǎn)左右極限至少有一個(gè)不存在3、在點(diǎn)間斷的類型:41可去型第一類間斷點(diǎn)oyx跳躍型無窮型振蕩型第二類間斷點(diǎn)oyxoyxoyx42作業(yè)習(xí)題2.7(P45)(2)2.(5)(6)(7)(8)(9)3.(2)