微積分 (集合與函數(shù))學習課件

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培根3一、學科介紹及對數(shù)學的再認識1.特點：高度的抽象性；廣泛的應(yīng)用性.2.研究對象：變量和函數(shù).3.基本方法：極限方法.4二、話說微積分(Calculus)1.數(shù)學的三大分支分析(MathematicalAnalysis)代數(shù)(Algebra)幾何(Geometry)工科數(shù)學基礎(chǔ)微積分，常微分方程：連續(xù)變量幾何與代數(shù)：離散變量概率論與數(shù)理統(tǒng)計：隨機變量數(shù)學建模，數(shù)值計算，上機：實驗基礎(chǔ)52.對微積分作出巨大貢獻的科學家第一階段(十七世紀中葉)牛頓(Newton英國人,1642-1727)萊不尼茲(Leibniz德國人,1646-1716)阿基米德(古西臘數(shù)學家)—最早有微積分的基本思想.給出微積分基本定理---有了比較完整的微積分思想.6第二階段(十九世紀中葉)

柯西(Cauchy,1789-1857)

黎曼(Riemann)(德)

維爾斯特拉斯(Weierstrass)第三階段(二十世紀初)格拉斯曼(Grassman)嘉當(E.Cartan)

龐加萊(Poincare,法國人)

7三、教學目的(學好微積分的重要性)1.一般說，數(shù)學基礎(chǔ)堅實，今后無論做什么工作成功的機會都會大；

2.我們生活在變化的世界中。微積分既是描述變化的科學語言,也提供了研究變化的方法。微積分的發(fā)明是人類智慧的偉大成就。近350年來,微積分應(yīng)用的范圍不斷擴大。現(xiàn)在除了傳統(tǒng)的在物理學、工程科學的應(yīng)用中起到關(guān)鍵作用外,特別在化學、生物學、醫(yī)學、經(jīng)濟學、心理學和社會科學中起到了越來越大的作用。83.同學們的后繼課程中大量運用微積分的思想、基本概念和具體方法，以及線性代數(shù)和概率統(tǒng)計，甚至更深的數(shù)學和計算方法，例如，微分方程?最優(yōu)化?變分法和Fourier分析等等。因此，你不愿意學也得學，否則畢不了業(yè)!4.更重要的是今后工作中能否取得好成績，往往取決于你有沒有數(shù)學地思考和分析問題的能力，特別是用數(shù)學建模的思想和方法來觀察?分析和處理問題的能力，努力學好微積分你將獲得或體會到這種能力的重要性；95.為考研作準備.高等數(shù)學(82分)線性代數(shù)(34分)隨機數(shù)學(34分)考研數(shù)學150分(數(shù)學+外語+政治+專業(yè)課)10四、基本內(nèi)容和成績給定1.內(nèi)容一元微積分多元微積分級數(shù)常微分方程-----本學期學習-----下學期學習微積分微積分向量代數(shù)與空間解析幾何線性代數(shù)高等數(shù)學解析幾何與線性代數(shù)113.參考書：2.課時上學期16×6=96下學期16×5=806學分5學分4.本學期總評成績:平均40%(3次月考各占10%，作業(yè)+考勤占10%)期末考試60%答疑時間確定后再通知.《微積分》、《高等數(shù)學》輔導書都行125.教材的處理：微積分對開普勒問題的應(yīng)用部分內(nèi)容，不講,供有興趣的同學自學.13五、學習方法和要求(2)學習過程：理解——練習——綜合——再練習1.學會學習(1)聽課過程：預習——聽課——復習

(3)看書過程：先將書讀厚（加進自己的理解）；

再將書讀?。▽χR概括總結(jié)）學數(shù)學最好的方式是做數(shù)學.聰明在于學習,天才在于積累.學而優(yōu)則用,學而優(yōu)則創(chuàng).華羅庚142.要求每人準備一個筆記本，兩個練習本,練習本上寫上班級,姓名,學號,每周一交作業(yè),每班的科代表收齊后交給助教.3.科代表電話號碼.

學習方法：Learningmathematicsisdoingmathematics.要把腦、手、嘴和耳都調(diào)動起來。勤思考、多動手，多做題，學會和老師?同學交流討論(傾聽、提問、切磋).154.取消學生考核資格規(guī)定任課老師有權(quán)對該門課程中學習不認真、不辦理任何手續(xù)不到課堂聽課、不按要求完成實踐教學環(huán)節(jié)的學生取消該門課程考核資格.被取消考核資格的學生，該課程成績記為零分，同時失去對該課程任課教師評價的資格.

16§1.1集合與函數(shù)一、集合二、函數(shù)的概念三、函數(shù)的一些重要屬性四、函數(shù)的運算五、初等函數(shù)第1章函數(shù)171.集合:具有某種特定性質(zhì)的事物的總體.組成這個集合的事物稱為該集合的元素.分為：有限集，無限集.集合的表示：列舉法，描述法.一、集合用大寫字母表示集合，用小寫字母表示元素例18e.g.規(guī)定空集為任何集合的子集.集合間的關(guān)系:數(shù)集分類：Z----整數(shù)集Q----有理數(shù)集R----實數(shù)集N----自然數(shù)集不含任何元素的集合稱為空集.19例如，集合的運算：202.區(qū)間:是指介于某兩個實數(shù)之間的全體實數(shù).這兩個實數(shù)叫做區(qū)間的端點.稱為開區(qū)間,稱為閉區(qū)間,21稱為半開區(qū)間,稱為半開區(qū)間,有限區(qū)間無限區(qū)間區(qū)間長度的定義:兩端點間的距離(線段的長度)稱為區(qū)間的長度.223.鄰域:234.常量與變量:

在某過程中數(shù)值保持不變的量稱為常量,注意常量與變量是相對“過程”而言的.通常用字母a,b,c等表示常量,而數(shù)值變化的量稱為變量.用字母x,y,t等表示變量.24因變量自變量數(shù)集D叫做這個函數(shù)的定義域f的定義域也可記為Df.二、函數(shù)的概念如果對于每個數(shù)1.定義:設(shè)x和y是兩個變量,D是一個給定的數(shù)集

變量y按照一定法則f總有唯一確定的數(shù)值和它對應(yīng)，則稱y是x的函數(shù)，記作

25自變量因變量對應(yīng)法則f2.函數(shù)的兩要素:定義域與對應(yīng)法則.約定:

定義域是自變量所能取的使算式有意義的一切實數(shù)值.26例求下列函數(shù)的定義域:解定義域是定義域是3.函數(shù)的圖形:圖形為平面上的一條曲線27284.分段函數(shù)：在定義域的不同部分上要用不同的式子來表示的函數(shù)，稱為分段函數(shù).29

10

符號函數(shù)幾個特殊的分段函數(shù)舉例1-1xyo3020

取整函數(shù)

y=[x][x]表示不超過的最大整數(shù)12345-2-4-4-3-2-14321-1-3xyo階梯曲線31有理數(shù)點無理數(shù)點?1xyo30

狄利克雷函數(shù)3240

取最值函數(shù)yxoyxo取最大值函數(shù)取最小值函數(shù)331.函數(shù)的有界性:三、函數(shù)的一些重要屬性34M-Myxoy=f(x)X有界無界M-MyxoX35例f(x)在(0,1)上無界f(x)在(1,

)上有界f(x)在(0,

)上無界例有界，無界.36練習A.有上界無下界B.

有下界無上界C.有界,且解C[解題提示]將函數(shù)取絕對值,然后用不等式放縮法.37六個常見的有界函數(shù)382.函數(shù)的單調(diào)性:xyo39xyo403.函數(shù)的奇偶性:偶函數(shù)yxox-x41奇函數(shù)yxox-x42證作則偶奇43(1)不要把奇偶函數(shù)當作兩個完全相反的(2)奇偶性是對對稱區(qū)間而言的,否則無從談奇偶函數(shù)的運算性質(zhì):(1)奇(偶)函數(shù)的代數(shù)和仍為奇(偶)函數(shù);(2)偶數(shù)個奇(偶)函數(shù)之積為偶函數(shù);

奇數(shù)個奇函數(shù)的積為奇函數(shù).(3)一奇一偶的乘積為奇函數(shù).注概念.奇、偶.444.函數(shù)的周期性:（一般指最小正周期）.周期為

周期為注:周期函數(shù)不一定存在最小正周期.例如,常值函數(shù)45例解46471.反函數(shù)：四、函數(shù)的運算如果不同的x對應(yīng)不同的值，則函數(shù)f在其定義域D和f(D)之間建立了一個一一對應(yīng)的關(guān)系.稱為函數(shù)y=f(x)的反函數(shù),習慣上y=f(x)的反函數(shù)記為注意(1)y=f(x)的圖形與其反函數(shù)

x=f-1(y)的圖形y=f(x)的圖形與其反函數(shù)

y=f-1(x)的圖形關(guān)于直線對稱.重合;

yx48(2)只有一一對應(yīng)的函數(shù)才有反函數(shù).如函數(shù)定義域為值域為但對都有兩個和與之對應(yīng),x不是y的函數(shù),不存在反函數(shù).49如其反函數(shù)為指數(shù)函數(shù)定義域為值域為寫成并稱為對數(shù)函數(shù).求反函數(shù)的步驟求函數(shù)的反函數(shù)

y=f-1(x).(1)把x從方程y=f(x)中解出;(2)把剛才所得的表達式中的x與y對換,即得所定義域為5051反函數(shù)性質(zhì)反函數(shù)移項公式52定義:3.復合函數(shù)：53注意:(1)不是任何兩個函數(shù)都可以復合成一個復合函數(shù)的;(2)復合函數(shù)可以由兩個以上的函數(shù)經(jīng)過復合構(gòu)成.復合函數(shù)是有序的.54(3)

反過來,一個復雜的函數(shù)根據(jù)需要也可以分解為若干簡單函數(shù)的復合.

復合函數(shù)的分解(復合函數(shù)拆成幾個簡單函數(shù)),

由函數(shù)的最外層運算一層層剝到最里邊,切不可漏層.如剝皮法55由以上兩式可推測:由數(shù)學歸納法可證明上式成立.例設(shè)求解56例解故57例解設(shè)則故例解58綜上所述5960例解有界函數(shù),偶函數(shù),周期函數(shù)(無最小正周期)不是單調(diào)函數(shù),61例解求函數(shù)的定義域.6210冪函數(shù)五、初等函數(shù)1.五類基本初等函數(shù)6320指數(shù)函數(shù)特別6430對數(shù)函數(shù)特別65正弦函數(shù)定義域為值域為40三角函數(shù)66余弦函數(shù)定義域為值域為67正切函數(shù)余切函數(shù)定義域值域定義域值域68三角函數(shù)常用公式6970定義域值域

主值反正弦函數(shù)50反三角函數(shù)71定義域值域

主值反余弦函數(shù)72

主值定義域值域反正切函數(shù)反余切函數(shù)

主值定義域值域

冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù).73?742.初等函數(shù)

由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算和有限次的函數(shù)復合步驟所構(gòu)成并可用一個式子表示的函數(shù),稱為初等函數(shù).如都是初等函數(shù).注一般分段函數(shù)不叫初等函數(shù),不是用一個式子表達出來的.因為它75想一想

可看作分段函數(shù),是否又可看作是初等函數(shù)?答:故又可看作是初等函數(shù).是!由于76奇函數(shù).偶函數(shù).1)雙曲函數(shù)

疊加法3.雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)雙曲正弦雙曲余弦77奇函數(shù),有界函數(shù),雙曲正切78雙曲函數(shù)常用公式792)反雙曲函數(shù)奇函數(shù),可得

反雙曲正弦的反函數(shù),單調(diào)增加.80反雙曲余弦單調(diào)增加.81奇函數(shù),反雙曲正切單調(diào)增加.82小結(jié)復合函數(shù),初等函數(shù).函數(shù)函數(shù)的幾種特性反函數(shù),有界性,單調(diào)性,奇偶性