高等數(shù)學(xué)（慕課版）教案 教學(xué)設(shè)計(jì)-1.3 極限的運(yùn)算法則；1.4 極限存在準(zhǔn)則與兩個(gè)重要極限

《高等數(shù)學(xué)》教學(xué)設(shè)計(jì)授課內(nèi)容：極限的運(yùn)算法則授課教師：授課單位：完成時(shí)間：授課信息授課內(nèi)容授課時(shí)長(zhǎng)1.3.極限的運(yùn)算法則2學(xué)時(shí)授課形式授課時(shí)間理論課授課對(duì)象授課地點(diǎn)內(nèi)容分析極限的運(yùn)算法則前接基礎(chǔ)極限概念，后為導(dǎo)數(shù)、積分運(yùn)算奠基。四則運(yùn)算法則讓極限計(jì)算更簡(jiǎn)便，復(fù)合函數(shù)極限運(yùn)算法則處理復(fù)雜函數(shù)極限。它們助學(xué)生構(gòu)建完整極限運(yùn)算體系，提升運(yùn)算與邏輯思維能力。學(xué)情分析1.知識(shí)基礎(chǔ)：已完成極限概念的學(xué)習(xí)，會(huì)用觀察法求簡(jiǎn)單函數(shù)的極限；2.認(rèn)知能力：具備基本的數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)；3.學(xué)習(xí)特點(diǎn)：動(dòng)手能力強(qiáng)，但學(xué)習(xí)積極性不高；獨(dú)立思考能力較弱，團(tuán)隊(duì)合作意識(shí)有待提高。教學(xué)目標(biāo)知識(shí)目標(biāo)：1、掌握極限的運(yùn)算法則和推論；2、掌握特殊類型的函數(shù)極限的求解方法。能力目標(biāo)：1.運(yùn)用極限的運(yùn)算法則及法則的推論求函數(shù)極限。2.會(huì)求常見(jiàn)的特殊類型的函數(shù)極限。素質(zhì)目標(biāo)：通過(guò)學(xué)習(xí)極限的運(yùn)算方法，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維和創(chuàng)新思維能力。引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成獨(dú)立思考和深度思考的良好習(xí)慣；樹(shù)立學(xué)生實(shí)事求是、一絲不茍的科學(xué)精神。教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：1.極限的運(yùn)算法則2.幾種常見(jiàn)的特殊類型的函數(shù)極限的求解教學(xué)難點(diǎn)：幾種常見(jiàn)的特殊類型的函數(shù)極限的求解教學(xué)方法任務(wù)驅(qū)動(dòng)法、講授法、引導(dǎo)探究法、練習(xí)法教學(xué)設(shè)計(jì)課前任務(wù)→導(dǎo)入新課（5min）→講授新課（53min）→鞏固提高（27min）→歸納總結(jié)（3min）→布置作業(yè)（2min）→課后拓展課程思政設(shè)計(jì)極限的運(yùn)算的重點(diǎn)在“算”，在這一過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維和創(chuàng)新思維能力；引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成獨(dú)立思考和深度思考的良好習(xí)慣；樹(shù)立學(xué)生實(shí)事求是、一絲不茍的科學(xué)精神。教學(xué)過(guò)程課前環(huán)節(jié)教學(xué)環(huán)節(jié)課前任務(wù)教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖課前導(dǎo)學(xué)預(yù)習(xí)新課，完成課前小測(cè)試。1、發(fā)布任務(wù)：課前兩天學(xué)習(xí)通發(fā)布任務(wù)，并提醒學(xué)生接收任務(wù)；2、跟蹤提醒：通過(guò)學(xué)習(xí)通觀測(cè)任務(wù)完成情況，及時(shí)督促提醒，把握學(xué)生學(xué)習(xí)難點(diǎn)；3、課前評(píng)價(jià)：根據(jù)學(xué)習(xí)通上傳及互評(píng)結(jié)果，遴選課中展評(píng)的優(yōu)秀任務(wù)，有機(jī)融入課中教學(xué)活動(dòng)。按時(shí)完成課前任務(wù)，明確本節(jié)課個(gè)人學(xué)習(xí)難點(diǎn)。1、鍛煉自學(xué)能力：自主預(yù)習(xí)，掌握易點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)難點(diǎn)；2、優(yōu)化教學(xué)策略：依據(jù)課前任務(wù)完成情況掌握學(xué)情，調(diào)整優(yōu)化教學(xué)策略。課中環(huán)節(jié)教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖導(dǎo)入新課回顧復(fù)習(xí)：《極限的概念》重點(diǎn)內(nèi)容復(fù)習(xí)。帶領(lǐng)學(xué)生回顧上節(jié)課重點(diǎn)知識(shí)：極限的概念、簡(jiǎn)單函數(shù)極限的求解。積極思考復(fù)習(xí)，為學(xué)習(xí)極限的四則運(yùn)算法則奠定基礎(chǔ)。承前啟后，為學(xué)習(xí)新知奠定基礎(chǔ)。引入新知：由已有方法求函數(shù)極限的不便利性引出新知。先練習(xí)觀察法求簡(jiǎn)單函數(shù)的極限；題目進(jìn)階，引發(fā)學(xué)生思考，已有方法能否求解？積極動(dòng)手、積極思考積極回答。教師為主導(dǎo)，學(xué)生為主體，創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引發(fā)學(xué)生的思考和探究欲望，循序漸進(jìn)地引出新知。探究新知極限的四則運(yùn)算法則介紹極限的四則運(yùn)算法則及推論；2、重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)法則及其推論的應(yīng)用條件。認(rèn)真聆聽(tīng)教師的講解，掌握極限的四則運(yùn)算法則及其推論。教師主導(dǎo)，學(xué)生主體，引導(dǎo)探究與講授相結(jié)合，高效講解本節(jié)課核心新知。常規(guī)類型函數(shù)極限求解引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用剛剛所講的運(yùn)算法則及推論求解例題；引導(dǎo)學(xué)生觀察并思考所求極限與函數(shù)值的關(guān)系，并總結(jié)該類型（常規(guī)類型）極限的求解技巧。積極思考，認(rèn)真求解；認(rèn)真觀察，用心思考，與老師一起總結(jié)求解方法。特殊類型函數(shù)極限求解（“00“∞-∞“∞∞分類例題引出；分析求解：提出思考問(wèn)題，能否直接用運(yùn)算法則求解？組織討論。講授并總結(jié)求解方法。積極思考，分析所給極限能否用法則直接計(jì)算；若不能，如何求解？2、認(rèn)真聆聽(tīng)教師關(guān)于這些特殊極限的求解分析，并認(rèn)真總結(jié)方法。復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則1.寫(xiě)下兩個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)，引導(dǎo)學(xué)生思考當(dāng)趨近于某個(gè)值時(shí)，如何求復(fù)合函數(shù)的極限。提問(wèn)學(xué)生：“我們已經(jīng)知道了基本函數(shù)的極限求法，那對(duì)于這種復(fù)合函數(shù)，能不能把趨近的值直接代入關(guān)于的表達(dá)式來(lái)求極限呢？”激發(fā)學(xué)生的思考，引出復(fù)合函數(shù)極限運(yùn)算法則的探討。2.教師在黑板上清晰地寫(xiě)出復(fù)合函數(shù)極限運(yùn)算法則，結(jié)合之前引入的例子，詳細(xì)推導(dǎo)法則成立的原理。3.給出多個(gè)不同類型的復(fù)合函數(shù)極限計(jì)算實(shí)例，強(qiáng)調(diào)應(yīng)用法則時(shí)要先判斷是否滿足法則的條件。1.結(jié)合已學(xué)的基本函數(shù)極限求法，在腦海中初步探索復(fù)合函數(shù)極限求解思路，積極回應(yīng)老師的提問(wèn)，分享自己的想法，如猜測(cè)能否直接代入計(jì)算等，從而開(kāi)啟對(duì)復(fù)合函數(shù)極限運(yùn)算法則的探究。2.仔細(xì)觀察老師在黑板上書(shū)寫(xiě)的復(fù)合函數(shù)極限運(yùn)算法則以及推導(dǎo)過(guò)程，結(jié)合數(shù)軸和函數(shù)圖像展示，理解推導(dǎo)過(guò)程中的關(guān)鍵步驟，如換元依據(jù)、條件使用等，積極提問(wèn)，與老師互動(dòng)，確保自己完全理解法則的原理和各個(gè)條件的意義。讓學(xué)生理解復(fù)雜函數(shù)極限的求解方法，將不同類型的函數(shù)極限知識(shí)串聯(lián)起來(lái)，形成完整的極限知識(shí)架構(gòu)，從簡(jiǎn)單函數(shù)極限延伸到復(fù)合函數(shù)，深化對(duì)極限概念的整體認(rèn)知。鞏固提高常規(guī)類型極限求解練習(xí)；特殊類型函數(shù)極限求解練習(xí)。分類型、分層次設(shè)置練習(xí)題，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)所學(xué)的求函數(shù)極限的方法進(jìn)行鞏固練習(xí)，已達(dá)到真正內(nèi)化的效果。認(rèn)真聆聽(tīng)教師對(duì)例題的講解；獨(dú)立完成練習(xí)題，并積極回答，并做好總結(jié)整理。使學(xué)生及時(shí)鞏固所學(xué)。課堂小結(jié)本節(jié)課重點(diǎn)、要點(diǎn)內(nèi)容總結(jié)。和學(xué)生一起回顧與強(qiáng)調(diào)本節(jié)課重點(diǎn)知識(shí)，強(qiáng)化學(xué)生學(xué)習(xí)效果。認(rèn)真總結(jié)，從整體上把握本節(jié)課。診斷、強(qiáng)化課堂學(xué)習(xí)效果。課后環(huán)節(jié)教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)活動(dòng)教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖拓展任務(wù)課后思考：含三角函數(shù)的“00”1、發(fā)布任務(wù)2、指導(dǎo)協(xié)助了解情況并給予指導(dǎo)。接受任務(wù)，查閱課本與資料，認(rèn)真完成。延拓本次課內(nèi)容，承接下節(jié)課新知；既鞏固所學(xué)，又起到預(yù)習(xí)作用。教學(xué)評(píng)價(jià)（1）評(píng)價(jià)構(gòu)成課程堅(jiān)持強(qiáng)化過(guò)程性評(píng)價(jià)、探索增值性評(píng)價(jià)的評(píng)價(jià)改革要求，著眼于學(xué)生長(zhǎng)期發(fā)展需要的滿足，將終結(jié)性評(píng)價(jià)與過(guò)程性評(píng)價(jià)相結(jié)合，側(cè)重過(guò)程性評(píng)價(jià)。（2）評(píng)價(jià)要素過(guò)程性評(píng)價(jià)主要依托學(xué)習(xí)通平臺(tái)，完成課前、課中和課后全過(guò)程學(xué)習(xí)軌跡記錄和評(píng)價(jià)。主要包括：課前任務(wù)完成、課堂學(xué)習(xí)活動(dòng)、課后任務(wù)完成情況等要素。（3）評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)在評(píng)價(jià)學(xué)生時(shí)注重“三個(gè)結(jié)合”：學(xué)習(xí)過(guò)程與學(xué)習(xí)結(jié)果結(jié)合、理論知識(shí)與實(shí)踐能力結(jié)合、課程學(xué)習(xí)成績(jī)與學(xué)生日常行為素質(zhì)表現(xiàn)結(jié)合.教學(xué)反思本節(jié)課的核心在運(yùn)算，重練習(xí)，一定要留給學(xué)生足夠的練習(xí)時(shí)間，并及時(shí)地講評(píng)。板書(shū)設(shè)計(jì)1.3.1極限的四則運(yùn)算法則（一）（主板）四則運(yùn)算法則定理1設(shè)，，則有（1）；（2）；（3）()．推論推論1若為常數(shù)，則．推論2若為正整數(shù)，則3.復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則（副板）例題重點(diǎn)步驟《高等數(shù)學(xué)》教學(xué)設(shè)計(jì)授課內(nèi)容：極限存在準(zhǔn)則與兩個(gè)重要極限授課教師：授課單位：完成時(shí)間：授課信息授課內(nèi)容授課時(shí)長(zhǎng)1.4極限存在準(zhǔn)則與兩個(gè)重要極限4學(xué)時(shí)授課形式授課時(shí)間理論課授課對(duì)象授課地點(diǎn)內(nèi)容分析極限存在準(zhǔn)則與兩個(gè)重要極限是高等數(shù)學(xué)極限理論的關(guān)鍵部分。其前承數(shù)列與函數(shù)極限基礎(chǔ)，后啟導(dǎo)數(shù)、積分知識(shí)。在體系中打破定義局限，靈活判定極限，助力復(fù)雜極限求解。同時(shí)，能培養(yǎng)學(xué)生邏輯和抽象思維，是從基礎(chǔ)向微積分過(guò)渡的關(guān)鍵。學(xué)情分析1.知識(shí)基礎(chǔ)：已完成極限概念和極限的四則運(yùn)算的學(xué)習(xí)；2.認(rèn)知能力：具備基本的數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)；3.學(xué)習(xí)特點(diǎn)：動(dòng)手能力強(qiáng)，但學(xué)習(xí)積極性不高；獨(dú)立思考能力較弱，團(tuán)隊(duì)合作意識(shí)有待提高。教學(xué)目標(biāo)知識(shí)目標(biāo)：1.學(xué)生能夠理解并掌握夾逼準(zhǔn)則和單調(diào)有界準(zhǔn)則。2.熟練運(yùn)用兩個(gè)重要極限進(jìn)行極限計(jì)算。能力目標(biāo)：1.通過(guò)對(duì)準(zhǔn)則和極限的推導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力。2.在解題練習(xí)中，提升學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力。素質(zhì)目標(biāo)：1.體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的嚴(yán)謹(jǐn)性和邏輯性，激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。2.培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和創(chuàng)新意識(shí)。教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：1.夾逼準(zhǔn)則、單調(diào)有界準(zhǔn)則的理解與應(yīng)用。2.兩個(gè)重要極限的證明及應(yīng)用。教學(xué)難點(diǎn)：1.夾逼準(zhǔn)則和單調(diào)有界準(zhǔn)則應(yīng)用中條件的把握。2.兩個(gè)重要極限在復(fù)雜函數(shù)極限計(jì)算中的靈活運(yùn)用。教學(xué)方法任務(wù)驅(qū)動(dòng)法、講授法、引導(dǎo)探究法、練習(xí)法教學(xué)設(shè)計(jì)課前任務(wù)→導(dǎo)入新課（5min）→講授新課（53min）→鞏固提高（27min）→歸納總結(jié)（3min）→布置作業(yè)（2min）→課后拓展課程思政設(shè)計(jì)在回顧數(shù)列極限和函數(shù)極限定義，引出極限存在準(zhǔn)則與兩個(gè)重要極限時(shí)，提及數(shù)學(xué)發(fā)展歷程中無(wú)數(shù)數(shù)學(xué)家對(duì)極限理論的探索與完善，如柯西、魏爾斯特拉斯等。他們經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期的鉆研和不懈的努力，才構(gòu)建起如今嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臉O限理論體系，以此激勵(lì)學(xué)生在學(xué)習(xí)中要具備堅(jiān)持不懈、勇于探索的精神，面對(duì)困難不輕易放棄。教學(xué)過(guò)程課前環(huán)節(jié)教學(xué)環(huán)節(jié)課前任務(wù)教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖課前導(dǎo)學(xué)預(yù)習(xí)新課，完成課前小測(cè)試。1、發(fā)布任務(wù)：課前兩天學(xué)習(xí)通發(fā)布任務(wù)，并提醒學(xué)生接收任務(wù)；2、跟蹤提醒：通過(guò)學(xué)習(xí)通觀測(cè)任務(wù)完成情況，及時(shí)督促提醒，把握學(xué)生學(xué)習(xí)難點(diǎn)；3、課前評(píng)價(jià)：根據(jù)學(xué)習(xí)通上傳及互評(píng)結(jié)果，遴選課中展評(píng)的優(yōu)秀任務(wù)，有機(jī)融入課中教學(xué)活動(dòng)。按時(shí)完成課前任務(wù)，明確本節(jié)課個(gè)人學(xué)習(xí)難點(diǎn)。1、鍛煉自學(xué)能力：自主預(yù)習(xí)，掌握易點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)難點(diǎn)；

2、優(yōu)化教學(xué)策略：依據(jù)課前任務(wù)完成情況掌握學(xué)情，調(diào)整優(yōu)化教學(xué)策略。課中環(huán)節(jié)教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖導(dǎo)入新課回顧復(fù)習(xí)：極限的四則運(yùn)算；特殊類型極限的求解方法。帶領(lǐng)學(xué)生回顧上節(jié)課重點(diǎn)知識(shí)：極限的四則運(yùn)算法則、特殊類型極限的求解。積極復(fù)習(xí)，為學(xué)習(xí)本節(jié)新課打下基礎(chǔ)。承前啟后，為學(xué)習(xí)新知奠定基礎(chǔ)。引入新知：通過(guò)回顧數(shù)列極限和函數(shù)極限的定義，提出問(wèn)題：如何更簡(jiǎn)便地判斷極限是否存在以及求解極限？1.給出數(shù)列和函數(shù)形式的夾逼準(zhǔn)則，結(jié)合數(shù)軸和具體的函數(shù)圖像，直觀地解釋準(zhǔn)則的含義：當(dāng)一個(gè)函數(shù)（或數(shù)列）被另外兩個(gè)函數(shù)（或數(shù)列）夾住，且在某一變化過(guò)程中，這兩個(gè)夾住的函數(shù)（或數(shù)列）極限相等，那么中間函數(shù)（或數(shù)列）的極限也存在且等于這個(gè)相等的值。2. 闡述單調(diào)有界準(zhǔn)則：?jiǎn)握{(diào)遞增有上界的數(shù)列必有極限，單調(diào)遞減有下界的數(shù)列必有極限。通過(guò)生活中的實(shí)例，如存錢(qián)罐存錢(qián)（存錢(qián)數(shù)單調(diào)遞增且有存錢(qián)罐容量這個(gè)上界）來(lái)幫助學(xué)生理解。1.認(rèn)真觀察圖像和數(shù)軸，跟隨老師的思路，思考函數(shù)（或數(shù)列）被夾住以及極限相等的情況，理解準(zhǔn)則的幾何意義。2.結(jié)合生活經(jīng)驗(yàn)，積極思考并舉例，分享自己生活中遇到的類似單調(diào)有界的情況，加強(qiáng)對(duì)準(zhǔn)則的感性認(rèn)識(shí)。1.首先是豐富學(xué)生判斷極限存在的手段，讓學(xué)生明白除了利用極限定義，還能從函數(shù)（或數(shù)列）的相互關(guān)系入手判斷極限。2.通過(guò)生活實(shí)例幫助學(xué)生理解，能拉近數(shù)學(xué)知識(shí)與生活的距離，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的實(shí)用性，增強(qiáng)學(xué)習(xí)興趣。引入新知：給出一特殊類型的極限，讓學(xué)生們判斷類型，并思考上節(jié)課所學(xué)的方法適用與否；類似地，再給出同種類型的其他極限。2、指出求解像這種含三角函數(shù)的“0/0”型的極限需要學(xué)習(xí)——第一個(gè)重要極限。積極動(dòng)手、積極思考積極回答。教師為主導(dǎo)，學(xué)生為主體，創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引發(fā)學(xué)生的思考和探究欲望，循序漸進(jìn)地引出新知。探究新知第一重要極限介紹第一個(gè)重要極限，以及第一個(gè)重要極限的等價(jià)形式、一般形式，強(qiáng)調(diào)一個(gè)重要極限的適用情形；2、引導(dǎo)學(xué)生們應(yīng)用第一個(gè)重要極限及其推論求解例題。認(rèn)真學(xué)習(xí)第一個(gè)重要極限，清楚適用場(chǎng)景，邊聽(tīng)邊記；在教師的引導(dǎo)下應(yīng)用所學(xué)完成例題求解。教師主導(dǎo)，學(xué)生主體，引導(dǎo)探究與講授相結(jié)合，高效講解本節(jié)課核心新知。第二重要極限詳細(xì)講解復(fù)利計(jì)算原理，通過(guò)PPT展示不同結(jié)算周期下本息和的變化過(guò)程。引導(dǎo)學(xué)生觀察結(jié)算次數(shù)不斷增加時(shí)，本息和的變化趨勢(shì)，引出極限。提問(wèn)學(xué)生：“生活