2024高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第12章選修4-4第2節(jié)參數(shù)方程教學(xué)案理北師大版

PAGEPAGE1其次節(jié)參數(shù)方程[最新考綱]1.了解參數(shù)方程，了解參數(shù)的意義.2.能選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)寫出直線、圓和橢圓曲線的參數(shù)方程．1．曲線的參數(shù)方程一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，假如曲線上隨意一點的坐標(biāo)x，y都是某個變數(shù)t的函數(shù)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ft，,y＝gt))并且對于t的每一個允許值，由這個方程組所確定的點M(x，y)都在這條曲線上，那么這個方程組就叫做這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系變數(shù)x，y的變數(shù)t叫做參變數(shù)，簡稱參數(shù)．2．常見曲線的參數(shù)方程和一般方程點的軌跡一般方程參數(shù)方程直線y－y0＝tanα(x－x0)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝x0＋tcosα，,y＝y(tǒng)0＋tsinα))(t為參數(shù))圓x2＋y2＝r2eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝rcosθ，,y＝rsinθ))(θ為參數(shù))橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝acosφ，,y＝bsinφ))(φ為參數(shù))eq\a\vs4\al([常用結(jié)論])依據(jù)直線的參數(shù)方程的標(biāo)準式中t的幾何意義，有如下常用結(jié)論：過定點M0的直線與圓錐曲線相交，交點為M1，M2，所對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2.(1)弦長l＝|t1－t2|；(2)弦M1M2的中點?t1＋t(3)|M0M1||M0M2|＝|t1一、思索辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)參數(shù)方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ft，,y＝gt))中的x，y都是參數(shù)t的函數(shù)．()(2)過M0(x0，y0)，傾斜角為α的直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝x0＋tcosα，,y＝y(tǒng)0＋tsinα))(t為參數(shù))．參數(shù)t的幾何意義表示：直線l上以定點M0為起點，任一點M(x，y)為終點的有向線段eq\o(M0M,\s\up8(→))的數(shù)量．()(3)方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ，,y＝1＋2sinθ))表示以點(0,1)為圓心，以2為半徑的圓．()(4)已知橢圓的參數(shù)方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2cost，,y＝4sint))(t為參數(shù))，點M在橢圓上，對應(yīng)參數(shù)t＝eq\f(π,3)，點O為原點，則直線OM的斜率為eq\r(3).()[答案](1)√(2)√(3)√(4)×二、教材改編1．曲線eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1＋cosθ，,y＝2＋sinθ))(θ為參數(shù))的對稱中心()A．在直線y＝2x上 B．在直線y＝－2x上C．在直線y＝x－1上 D．在直線y＝x＋1上B[由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1＋cosθ，,y＝2＋sinθ，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(cosθ＝x＋1，,sinθ＝y(tǒng)－2，))所以(x＋1)2＋(y－2)2＝1.曲線是以(－1,2)為圓心，1為半徑的圓，所以對稱中心為(－1,2)，在直線y＝－2x上．]2．直線eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋\f(1,2)t，,y＝－3\r(3)＋\f(\r(3),2)t))(t為參數(shù))和圓x2＋y2＝16交于A，B兩點，則線段AB的中點坐標(biāo)為()A．(3，－3) B．(－eq\r(3)，3)C．(eq\r(3)，－3) D．(3，－eq\r(3))D[將直線方程代入圓的方程，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)t))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3\r(3)＋\f(\r(3),2)t))2＝16，整理，得t2－8t＋12＝0，則t1＋t2＝8，eq\f(t1＋t2,2)＝4，故其中點坐標(biāo)滿意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋\f(1,2)×4，,y＝－3\r(3)＋\f(\r(3),2)×4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝－\r(3).))]3．曲線C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝sinθ，,y＝cos2θ＋1))(θ為參數(shù))，則曲線C的一般方程為________．y＝2－2x2(－1≤x≤1)[由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝sinθ，,y＝cos2θ＋1))(θ為參數(shù))消去參數(shù)θ，得y＝2－2x2(－1≤x≤1)．]4．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若直線l：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝t，,y＝t－a))(t為參數(shù))過橢圓C：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3cosφ，,y＝2sinφ))(φ為參數(shù))的右頂點，則a＝________.3[直線l的一般方程為x－y－a＝0，橢圓C的一般方程為eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1，∴橢圓C的右頂點坐標(biāo)為(3,0)，若直線l過(3,0)，則3－a＝0，∴a＝3.]考點1參數(shù)方程與一般方程的互化將參數(shù)方程化為一般方程的方法(1)將參數(shù)方程化為一般方程，須要依據(jù)參數(shù)方程的結(jié)構(gòu)特征，選取適當(dāng)?shù)南麉⒎椒ǎＲ姷南麉⒎椒ㄓ校捍胂麉⒎ā⒓訙p消參法、平方消參法等，對于含三角函數(shù)的參數(shù)方程，常利用同角三角函數(shù)關(guān)系式消參，如sin2θ＋cos2θ＝1等．(2)將參數(shù)方程化為一般方程時，要留意兩種方程的等價性，不要出現(xiàn)增解．1.將下列參數(shù)方程化為一般方程．(1)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,t)，,y＝\f(1,t)\r(t2－1)))(t為參數(shù))；(2)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋sin2θ，,y＝－1＋cos2θ))(θ為參數(shù))；(3)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2t2,1＋t2)，,y＝\f(4－2t2,1＋t2)))(t為參數(shù))．[解](1)∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,t)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,t)\r(t2－1)))2＝1，∴x2＋y2＝1.∵t2－1≥0，∴t≥1或t≤－1.又x＝eq\f(1,t)，∴x≠0.當(dāng)t≥1時，0＜x≤1；當(dāng)t≤－1時，－1≤x＜0，∴所求一般方程為x2＋y2＝1，其中eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0＜x≤1，,0≤y≤1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1≤x＜0，,－1＜y≤0.))(2)∵y＝－1＋cos2θ＝－1＋1－2sin2θ＝－2sin2θ，sin2θ＝x－2，∴y＝－2x＋4，∴2x＋y－4＝0.∵0≤sin2θ≤1，∴0≤x－2≤1，∴2≤x≤3，∴所求的一般方程為2x＋y－4＝0(2≤x≤3)．(3)因為x＝eq\f(2t2,1＋t2)，y＝eq\f(4－2t2,1＋t2)＝eq\f(41＋t2－6t2,1＋t2)＝4－3×eq\f(2t2,1＋t2)＝4－3x.又x＝eq\f(2t2,1＋t2)＝eq\f(21＋t2－2,1＋t2)＝2－eq\f(2,1＋t2)∈[0,2)，所以所求的一般方程為3x＋y－4＝0(x∈[0,2))．2.如圖所示，以過原點的直線的傾斜角θ為參數(shù)，求圓x2＋y2－x＝0的參數(shù)方程．[解]圓的半徑為eq\f(1,2)，記圓心為Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，連接CP，則∠PCx＝2θ，故xP＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)cos2θ＝cos2θ，yP＝eq\f(1,2)sin2θ＝sinθcosθ(θ為參數(shù))．所以圓的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝cos2θ，,y＝sinθcosθ))(θ為參數(shù))．將參數(shù)方程化為一般方程時，要留意防止變量x和y取值范圍的擴大或縮小，必需依據(jù)參數(shù)的取值范圍，確定函數(shù)f(t)和g(t)的值域，即x和y的取值范圍．考點2參數(shù)方程的應(yīng)用1.應(yīng)用直線參數(shù)方程的留意點在運用直線參數(shù)方程的幾何意義時，要留意參數(shù)前面的系數(shù)應(yīng)當(dāng)是該直線傾斜角的正、余弦值，否則參數(shù)不具備該幾何含義．2．圓和圓錐曲線參數(shù)方程的應(yīng)用有關(guān)圓或圓錐曲線上的動點距離的最大值、最小值以及取值范圍的問題，通常利用它們的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最大值、最小值求解．(1)(2024·全國卷Ⅰ)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1－t2,1＋t2)，,y＝\f(4t,1＋t2)))(t為參數(shù))，以坐標(biāo)原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為2ρcosθ＋eq\r(3)ρsinθ＋11＝0.①求C和l的直角坐標(biāo)方程；②求C上的點到l距離的最小值．(2)(2024·全國卷Ⅲ)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙O的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝cosθ，,y＝sinθ))(θ為參數(shù))，過點(0，－eq\r(2))且傾斜角為α的直線l與⊙O交于A，B兩點．①求α的取值范圍；②求AB中點P的軌跡的參數(shù)方程．[解](1)①因為－1<eq\f(1－t2,1＋t2)≤1，且x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,2)))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－t2,1＋t2)))2＋eq\f(4t2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋t2))2)＝1，所以C的直角坐標(biāo)方程為x2＋eq\f(y2,4)＝1(x≠－1)．l的直角坐標(biāo)方程為2x＋eq\r(3)y＋11＝0.②由①可設(shè)C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝cosα，,y＝2sinα))(α為參數(shù)，－π<α<π)．C上的點到l的距離為eq\f(|2cosα＋2\r(3)sinα＋11|,\r(7))＝eq\f(4cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3)))＋11,\r(7)).當(dāng)α＝－eq\f(2π,3)時，4coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3)))＋11取得最小值7，故C上的點到l距離的最小值為eq\r(7).(2)①⊙O的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＝1.當(dāng)α＝eq\f(π,2)時，l與⊙O交于兩點．當(dāng)α≠eq\f(π,2)時，記tanα＝k，則l的方程為y＝kx－eq\r(2).l與⊙O交于兩點當(dāng)且僅當(dāng)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),\r(1＋k2))))＜1，解得k＜－1或k＞1，即α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))或α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,4))).綜上，α的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(3π,4))).②l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝tcosα，,y＝－\r(2)＋tsinα))(t為參數(shù)，eq\f(π,4)＜α＜eq\f(3π,4))．設(shè)A，B，P對應(yīng)的參數(shù)分別為tA，tB，tP，則tP＝eq\f(tA＋tB,2)，且tA，tB滿意t2－2eq\r(2)tsinα＋1＝0.于是tA＋tB＝2eq\r(2)sinα，tP＝eq\r(2)sinα.又點P的坐標(biāo)(x，y)滿意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝tPcosα，,y＝－\r(2)＋tPsinα，))所以點P的軌跡的參數(shù)方程是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(\r(2),2)sin2α，,y＝－\f(\r(2),2)－\f(\r(2),2)cos2α))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α為參數(shù)，\f(π,4)＜α＜\f(3π,4))).(1)對于形如eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝x0＋at，,y＝y(tǒng)0＋bt))(t為參數(shù))，當(dāng)a2＋b2≠1時，應(yīng)先化為標(biāo)準形式后才能利用t的幾何意義解題；(2)橢圓的參數(shù)方程實質(zhì)是三角代換求點到直線距離的最大值，一般利用曲線的參數(shù)方程及點到直線的距離公式把距離最值轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最大值．[老師備選例題]已知曲線C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,9)＝1，直線l：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋t，,y＝2－2t))(t為參數(shù))．(1)寫出曲線C的參數(shù)方程，直線l的一般方程；(2)過曲線C上隨意一點P作與l夾角為30°的直線，交l于點A，求|PA|的最大值與最小值．[解](1)曲線C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ，,y＝3sinθ))(θ為參數(shù))．直線l的一般方程為2x＋y－6＝0.(2)曲線C上隨意一點P(2cosθ，3sinθ)到l的距離為d＝eq\f(\r(5),5)|4cosθ＋3sinθ－6|.則|PA|＝eq\f(d,sin30°)＝eq\f(2\r(5),5)|5sin(θ＋α)－6|，其中α為銳角，且tanα＝eq\f(4,3).當(dāng)sin(θ＋α)＝－1時，|PA|取得最大值，最大值為eq\f(22\r(5),5).當(dāng)sin(θ＋α)＝1時，|PA|取得最小值，最小值為eq\f(2\r(5),5).1.(2024·全國卷Ⅱ)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ，,y＝4sinθ))(θ為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋tcosα，,y＝2＋tsinα))(t為參數(shù))．(1)求C和l的直角坐標(biāo)方程；(2)若曲線C截直線l所得線段的中點坐標(biāo)為(1,2)，求l的斜率．[解](1)曲線C的直角坐標(biāo)方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,16)＝1.當(dāng)cosα≠0時，l的直角坐標(biāo)方程為y＝tanα·x＋2－tanα，當(dāng)cosα＝0時，l的直角坐標(biāo)方程為x＝1.(2)將l的參數(shù)方程代入C的直角坐標(biāo)方程，整理得關(guān)于t的方程(1＋3cos2α)t2＋4(2cosα＋sinα)t－8＝0.①因為曲線C截直線l所得線段的中點(1,2)在C內(nèi)，所以①有兩個解，設(shè)為t1，t2，則t1＋t2＝0.又由①得t1＋t2＝－eq\f(42cosα＋sinα,1＋3cos2α)，故2cosα＋sinα＝0，于是直線l的斜率k＝tanα＝－2.2．(2024·全國卷Ⅰ)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3cosθ，,y＝sinθ))(θ為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝a＋4t，,y＝1－t))(t為參數(shù))．(1)若a＝－1，求C與l的交點坐標(biāo)；(2)若C上的點到l的距離的最大值為eq\r(17)，求a.[解](1)曲線C的一般方程為eq\f(x2,9)＋y2＝1.當(dāng)a＝－1時，直線l的一般方程為x＋4y－3＝0.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋4y－3＝0，,\f(x2,9)＋y2＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(21,25)，,y＝\f(24,25)，))從而C與l的交點坐標(biāo)是(3,0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(21,25)，\f(24,25))).(2)直線l的一般方程是x＋4y－4－a＝0，故C上的點(3cosθ，sinθ)到l的距離為d＝eq\f(|3cosθ＋4sinθ－a－4|,\r(17)).當(dāng)a≥－4時，d的最大值為eq\f(a＋9,\r(17)).由題設(shè)得eq\f(a＋9,\r(17))＝eq\r(17)，所以a＝8；當(dāng)a<－4時，d的最大值為eq\f(－a＋1,\r(17)).由題設(shè)得eq\f(－a＋1,\r(17))＝eq\r(17)，所以a＝－16.綜上，a＝8或a＝－16.考點3極坐標(biāo)、參數(shù)方程的綜合應(yīng)用處理極坐標(biāo)、參數(shù)方程綜合問題的方法(1)涉及參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程的綜合題，求解的一般方法是分別化為一般方程和直角坐標(biāo)方程后求解．當(dāng)然，還要結(jié)合題目本身特點，確定選擇何種方程．(2)數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用，即充分利用參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，或者利用ρ和θ的幾何意義，干脆求解，能達到化繁為簡的解題目的．(1)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝tcosα，,y＝tsinα))(t為參數(shù)，t≠0)，其中0≤α≤π，在以O(shè)為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2：ρ＝2sinθ，曲線C3：ρ＝2eq\r(3)cosθ.①求C2與C3交點的直角坐標(biāo)；②若C1與C2相交于點A，C1與C3相交于點B，求AB的最大值．(2)(2024·全國卷Ⅲ)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l1的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋t，,y＝kt))(t為參數(shù))，直線l2的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2＋m，,y＝\f(m,k)))(m為參數(shù))．設(shè)l1與l2的交點為P，當(dāng)k改變時，P的軌跡為曲線C.①寫出C的一般方程；②以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)l3：ρ(cosθ＋sinθ)－eq\r(2)＝0，M為l3與C的交點，求M的極徑．[解](1)①曲線C2的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－2y＝0，曲線C3的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－2eq\r(3)x＝0.聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－2y＝0，,x2＋y2－2\r(3)x＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(\r(3),2)，,y＝\f(3,2).))所以C2與C3交點的直角坐標(biāo)為(0,0)和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(3,2))).②曲線C1的極坐標(biāo)為方程θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤α≤π.因此A的極坐標(biāo)為(2sinα，α)，B的極坐標(biāo)為(2eq\r(3)cosα，α)，所以AB＝|2sinα－2eq\r(3)cosα|＝4eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3))))).當(dāng)α＝eq\f(5π,6)時，AB取得最大值，最大值為4.(2)①消去參數(shù)t，得l1的一般方程l1：y＝k(x－2)；消去參數(shù)m，得l2的一般方程l2：y＝eq\f(1,k)(x＋2)．設(shè)P(x，y)，由題設(shè)得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－2，,y＝\f(1,k)x＋2，))消去k得x2－y2＝4(y≠0)，所以C的一般方程為x2－y2＝4(y≠0)．②C的極坐標(biāo)方程為ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4(0<θ<2π，θ≠π)，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ρ2cos2θ－sin2θ＝4，,ρcosθ＋sinθ－\r(2)＝0))得cosθ－sinθ＝2(cosθ＋sinθ)．故tanθ＝－eq\f(1,3)，從而cos2θ＝eq\f(9,10)，sin2θ＝eq\f(1,10).代入ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4得ρ2＝5，所以交點M的極徑為eq\r(5).(1)求交點坐標(biāo)、距離、線段長．可先求出直角坐標(biāo)方程，然后求解；(2)推斷位置關(guān)系．先轉(zhuǎn)化為平面直角坐標(biāo)方程，然后再作出推斷；(3)求參數(shù)方程與極坐標(biāo)綜合的問題．一般是先將方程化為直角坐標(biāo)方程，利用直角坐標(biāo)方程來探討問題．[老師備選例題]在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝tcosα，,y＝1＋tsinα))(t為參數(shù)，α∈[0，π))．以原點O為極點，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系．設(shè)曲線C的極坐標(biāo)方程為ρcos2θ＝4sinθ.(1)設(shè)M(x，y)為曲線C上隨意一點，求x＋y的取值范圍；(2)若直線l與曲線C交于不同的兩點A，B，求|AB|的最小值．[解](1)將曲線C的極坐標(biāo)方程ρcos2θ＝4sinθ，化為直角坐標(biāo)方程，得x2＝4y.∵M(x，y)為曲線C上隨意一點，∴x＋y＝x＋eq\f(1,4)x2＝eq\f(1,4)(x＋2)2－1，∴x＋y的取值范圍是[－1，＋∞)．(2)將eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝tcosα，,y＝1＋tsinα))代入x2＝4y，得t2cos2α－4tsinα－4＝0.∴Δ＝16sin2α＋16cos2α＝16>0，設(shè)方程t2cos2α－4tsinα－4＝0的兩個根為t1，t2，則t1＋t2＝eq\f(4sinα,cos2α)，t1t2＝eq\f(－4,cos2α)，∴|AB|＝|t1－t2|＝eq\r(t1＋t22－4t1t2)＝eq\f(4,cos2α)≥4，當(dāng)且僅當(dāng)α＝0時，取等號．故當(dāng)α＝0時，|AB|取得最小值4.1.(2024·鄭州摸底考試)以直角坐標(biāo)系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸．已知點P的直角坐標(biāo)為(1，－5)，點M的極坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(π,2))).若直線l過點P，且傾斜角為eq\f(π,3)，圓C以M為圓心、4為半徑．(1)求直線l的參數(shù)方程和圓C的極坐標(biāo)方程；(2)試判定直線l和圓C的位置關(guān)系．[解](1)直線l的參數(shù)方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋cos\f(π,3)·t，,y＝－5＋sin\f(π,3)·t))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋\f(1,2)t,y＝－5＋\f(\r(3),2)t))(t為參數(shù))，M點的直角坐標(biāo)為(0,4)，圓C的半徑為4，∴圓C的方程為x2＋(y－4)2＝16，將eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ,y＝ρsinθ))代入，得圓C的極坐標(biāo)方程為ρ2cos2θ＋(ρsinθ－4)2＝16，即ρ＝8sinθ.(2)直線l的一般方程為eq\r(3)x－y－5－eq\r(3)＝0，圓心M到l的距離為d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－4－5－\r(3))),2)＝eq\f(9＋\r(3),2)>4，∴直線l與圓C相離．2．(2024·衡水第三次大聯(lián)考)在直角坐標(biāo)系中，直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1＋tcosα，,y＝1＋tsinα))(t為參數(shù)，0<α<π)，以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸，取相同的長度單位建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2＝eq\f(4,1＋sin2θ).(1)當(dāng)α＝eq\f(π,6)時，寫出直線l的一般方程及曲線C的直角坐標(biāo)方程；(2)已知點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，1))，設(shè)直線l與曲線C交于A，B兩點，試確定eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PA))·eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PB))的取值范圍．[解](1)當(dāng)α＝eq\f(π,6)時，直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1＋tcos\f