2025版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第七章不等式第4講基本不等式高效演練分層突破文新人教A版

PAGEPAGE1第4講基本不等式[基礎(chǔ)題組練]1．(2024·安徽省六校聯(lián)考)若正實(shí)數(shù)x，y滿意x＋y＝2，則eq\f(1,xy)的最小值為()A．1 B．2C．3 D．4解析：選A.因?yàn)檎龑?shí)數(shù)x，y滿意x＋y＝2，所以xy≤eq\f(（x＋y）2,4)＝eq\f(22,4)＝1，所以eq\f(1,xy)≥1.2．下列選項(xiàng)中，正確的是()A．x＋eq\f(1,x)的最小值為2B．sinx＋eq\f(4,sinx)的最小值為4，x∈(0，π)C．x2＋1的最小值為2D．4x(1－x)的最大值為1解析：選D.對(duì)于A，當(dāng)x<0時(shí)，x＋eq\f(1,x)<0，錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)x∈(0，π)時(shí)，0<sinx≤1，由基本不等式可得sinx＋eq\f(4,sinx)≥2eq\r(sinx·\f(4,sinx))＝4，當(dāng)且僅當(dāng)sinx＝eq\f(4,sinx)，即當(dāng)sinx＝2時(shí)，等號(hào)成立，這與0<sinx≤1沖突，錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)閤2≥0，x2＋1≥1，當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時(shí)取等號(hào)，所以，x2＋1的最小值為1；對(duì)于D，由基本不等式可得4x(1－x)≤4·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋1－x,2)))eq\s\up12(2)＝1，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1－x時(shí)，即當(dāng)x＝eq\f(1,2)時(shí)，等號(hào)成立，正確．3．設(shè)x>0，則函數(shù)y＝x＋eq\f(2,2x＋1)－eq\f(3,2)的最小值為()A．0 B.eq\f(1,2)C．1 D．eq\f(3,2)解析：選A.y＝x＋eq\f(2,2x＋1)－eq\f(3,2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))＋eq\f(1,x＋\f(1,2))－2≥2eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))·\f(1,x＋\f(1,2)))－2＝0，當(dāng)且僅當(dāng)x＋eq\f(1,2)＝eq\f(1,x＋\f(1,2))，即x＝eq\f(1,2)時(shí)等號(hào)成立．所以函數(shù)的最小值為0.故選A.4．若a>0，b>0，a＋b＝ab，則a＋b的最小值為()A．2 B．4C．6 D．8解析：選B.法一：由于a＋b＝ab≤eq\f(（a＋b）2,4)，因此a＋b≥4或a＋b≤0(舍去)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝2時(shí)取等號(hào)，故選B.法二：由題意，得eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝1，所以a＋b＝(a＋b)(eq\f(1,a)＋eq\f(1,b))＝2＋eq\f(a,b)＋eq\f(b,a)≥2＋2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝2時(shí)取等號(hào)，故選B.法三：由題意知a＝eq\f(b,b－1)(b>1)，所以a＋b＝eq\f(b,b－1)＋b＝2＋b－1＋eq\f(1,b－1)≥2＋2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝2時(shí)取等號(hào)，故選B.5．某公司一年購(gòu)買某種貨物600噸，每次購(gòu)買x噸，運(yùn)費(fèi)為6萬(wàn)元/次，一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為4x萬(wàn)元．要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，則x的值是．解析：一年購(gòu)買eq\f(600,x)次，則總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和為eq\f(600,x)×6＋4x＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(900,x)＋x))≥8eq\r(\f(900,x)·x)＝240，當(dāng)且僅當(dāng)x＝30時(shí)取等號(hào)，故總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小時(shí)x的值是30.答案：306．函數(shù)y＝eq\f(x2,x＋1)(x>－1)的最小值為．解析：因?yàn)閥＝eq\f(x2－1＋1,x＋1)＝x－1＋eq\f(1,x＋1)＝x＋1＋eq\f(1,x＋1)－2(x>－1)，所以y≥2eq\r(1)－2＝0，當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時(shí)，等號(hào)成立．答案：07．(2024·湖南岳陽(yáng)期末改編)若a>0，b>0，且a＋2b－4＝0，則ab的最大值為，eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)的最小值為．解析：因?yàn)閍>0，b>0，且a＋2b－4＝0，所以a＋2b＝4，所以ab＝eq\f(1,2)a·2b≤eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋2b,2)))eq\s\up12(2)＝2，當(dāng)且僅當(dāng)a＝2b，即a＝2，b＝1時(shí)等號(hào)成立，所以ab的最大值為2，因?yàn)閑q\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(2,b)))·eq\f(a＋2b,4)＝eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋\f(2b,a)＋\f(2a,b)))≥eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋2·\r(\f(2b,a)·\f(2a,b))))＝eq\f(9,4)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)等號(hào)成立，所以eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)的最小值為eq\f(9,4).答案：2eq\f(9,4)8．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求(1)xy的最小值；(2)x＋y的最小值．解：(1)由2x＋8y－xy＝0，得eq\f(8,x)＋eq\f(2,y)＝1，又x>0，y>0，則1＝eq\f(8,x)＋eq\f(2,y)≥2eq\r(\f(8,x)·\f(2,y))＝eq\f(8,\r(xy)).得xy≥64，當(dāng)且僅當(dāng)x＝16，y＝4時(shí)，等號(hào)成立．所以xy的最小值為64.(2)由2x＋8y－xy＝0，得eq\f(8,x)＋eq\f(2,y)＝1，則x＋y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,x)＋\f(2,y)))·(x＋y)＝10＋eq\f(2x,y)＋eq\f(8y,x)≥10＋2eq\r(\f(2x,y)·\f(8y,x))＝18.當(dāng)且僅當(dāng)x＝12且y＝6時(shí)等號(hào)成立，所以x＋y的最小值為18.[綜合題組練]1．設(shè)a>0，若關(guān)于x的不等式x＋eq\f(a,x－1)≥5在(1，＋∞)上恒成立，則a的最小值為()A．16 B．9C．4 D．2解析：選C.在(1，＋∞)上，x＋eq\f(a,x－1)＝(x－1)＋eq\f(a,x－1)＋1≥2eq\r(（x－1）×\f(a,（x－1）))＋1＝2eq\r(a)＋1(當(dāng)且僅當(dāng)x＝1＋eq\r(a)時(shí)取等號(hào))．由題意知2eq\r(a)＋1≥5，所以a≥4.2．(2024·福建龍巖一模)已知x>0，y>0，且eq\f(1,x＋1)＋eq\f(1,y)＝eq\f(1,2)，則x＋y的最小值為()A．3 B．5C．7 D．9解析：選C.因?yàn)閤>0，y>0.且eq\f(1,x＋1)＋eq\f(1,y)＝eq\f(1,2)，所以x＋1＋y＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x＋1)＋\f(1,y)))(x＋1＋y)＝2(1＋1＋eq\f(y,x＋1)＋eq\f(x＋1,y))≥2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋2\r(\f(y,x＋1)·\f(x＋1,y))))＝8，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(y,x＋1)＝eq\f(x＋1,y)，即x＝3，y＝4時(shí)取等號(hào)，所以x＋y≥7，故x＋y的最小值為7，故選C.3．已知正實(shí)數(shù)x，y滿意x＋y＝1，①則x2＋y2的最小值為；②若eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)≥a恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．解析：因?yàn)閤＋y＝1，所以xy≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋y,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,4)，所以x2＋y2＝(x＋y)2－2xy≥1－eq\f(1,4)×2＝eq\f(1,2)，所以x2＋y2的最小值為eq\f(1,2).若a≤eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)恒成立，則a小于等于eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(4,y)))的最小值，因?yàn)閑q\f(1,x)＋eq\f(4,y)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(4,y)))(x＋y)＝5＋eq\f(y,x)＋eq\f(4x,y)≥5＋2eq\r(\f(y,x)×\f(4x,y))＝9，所以eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)的最小值為9，所以a≤9，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，9]．答案：eq\f(1,2)(－∞，9]4．(2024·洛陽(yáng)市統(tǒng)考)已知x>0，y>0，且eq\f(1,x)＋eq\f(2,y)＝1，則xy＋x＋y的最小值為