高三數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí) 專題綜合檢測(cè)一 新人教A版

時(shí)間：120分鐘滿分：150分

一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分s,共60分；在每小題給出四個(gè)選項(xiàng)中，

只有一項(xiàng)是符合題目要求的)

1.(文)己知全集V=Z,/={-2,-1,1,2},8={了|/-3入+2=0},則/n［/為

()

A.{—1,—2}B.{1,2}

C.{-2,1}D.{-1,2}

［答案］A

［解析］；8={1,2},1,-2),故選A.

(理)設(shè)集合〃={-1},7V={l+cos^,log(),2(|ffl1+1)},若蛇兒則集合N等于

()

A.{2}B.{-2,2}

C.{0}D.{-1,0}

［答案］D

［解析］因?yàn)樽?V且l+cos悌-20,logo,2(|ffl|+1)<0,所以logo,2(|加+1)=—1,可

得㈤+1=5,故0=±4,N={-1,0}.

2.下列關(guān)于命題的說(shuō)法中錯(cuò)誤的是()

A.對(duì)于命題p：3xGR,使得x"+x+1<0,則P：VxGR,均有x?+x+120

B.“x=l”是4x+3=0”的充分不必要條件

C.命題“若4x+3=0,則x=l”的逆否命題為“若xWl,則4x+3W0”

D.若0A°為假命題，則0、。均為假命題

［答案］D

［解析］若。A<7為假命題，則0、°中至少有一個(gè)為假命題，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.

3.(文)(2012?哈九中模擬)奇函數(shù)f(x)在(0,+8)上的解析式是f(x)=x(l—x),

則在(一8,0)上，函數(shù)/<x)的解析式是()

A.f(x)=—x(l—x)B.1"(rx)=x(l+x)

C.f(x)=—x(l+x)D.f(x)=x(x—1)

［答案］B

［解析］當(dāng)xd(—8,0)時(shí)，一xd(0,+8),

—x)=-x(l+x),

,.,/■(X)為奇函數(shù)，f(x)=x(l+x),故選B.

(理)對(duì)于函數(shù)f(x)=ax'+6x+c(其中a,6GR,cez),選取a,b,c的一組值計(jì)算

f(l)和f(—1),所得出的正確結(jié)果一定不可能的是()

A.4和6B.3和1

C.2和4D.1和2

［答案］D

［解析］"."/'(I)—a-Yb+c,/"(—1)――a—b+c,

/./■(I)+A—1)=2c,是偶數(shù)，f(l),『(一1)不可能是一奇一偶，故選D項(xiàng).

4.(文)a是/'(x)=2x—log|x的零點(diǎn)，若k>a,則f(A)的值滿足()

A.式3=0B.f(1)〈0

C./(A)>0D.fG)的符號(hào)不確定

［答案］C

［解析］函數(shù)/■(x)=2x+log?x在(0,+8)上是單調(diào)遞增的，這個(gè)函數(shù)有零點(diǎn)，且這

個(gè)零點(diǎn)是唯一的.根據(jù)函數(shù)的單調(diào)遞增性，在(a,+8)上這個(gè)函數(shù)的函數(shù)值大于零，即

/(A)>0.

士，g(x)=lnx,劉是函數(shù)爾x)=f(x)+g(x)的一個(gè)零點(diǎn)，若

(理)已知函數(shù)f(x)

為￡(1,xo),劉￡(劉，+8),貝|()

A.h{x\)<0,h(x2)<0B.A(TI)>0,力(X2)>O

C.h{xi)>0,h{x2)<0D.A(xi)<0,力(X2)>O

［答案］D

［解析］

令祗)=占+皿=0,從而有13占，此方程的解即為函數(shù)爾X)的零點(diǎn).在同

一坐標(biāo)系中作出函數(shù)g(x)=lnx與F(x)=T｝的圖象，如圖所示.

由圖象易知”>lnx”從而1.一占〈。,

故lrw+士<0,即力㈤<0.同理力(均>0.

5.(文)(2012?北京東城示范校訓(xùn)練)設(shè)a=log13,6=(:嚴(yán)，c=lnJI,貝)

A.水伙cB.a《c《b

C.c〈a<bD.Z?<5<c

［答案］A

［解析］a=log^3<log^l=0,0<b=(^)°'3<(^)°=1,c=lnJi>lne=l,故水伙c.

(理)設(shè)a=log12,6=log1［,c=(I)0,3，則己、b、c的大小關(guān)系為()

A.a〈c〈bB.水伙c

C.欣a<cD.Z?<c<a

［答案］A

［解析］因?yàn)閍=log12<0,6=log1|〉log1|=l,0<c=(1)03<l,

所以a〈c〈b.

6.(2013?呼和浩特市調(diào)研)已知p=F(x)為R上的連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)xWO時(shí)，f(x)

fx1

+--->0,則函數(shù)g(x)=F(x)+1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

A.1B.2

C.0D.0或2

［答案］C

-pv\y-pv

［解析］由條件知，f(x)+——=-—:----->0.令7?(x)=xf(x),則當(dāng)x>0時(shí)，

XX

h'(jr)>0,當(dāng)x<0時(shí)，h'(x)<0,在(一8,0)上單調(diào)遞減，在(0,+8)上單調(diào)遞

增，且方(0)=0.,則為(x)20對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立.函數(shù)g(x)的零點(diǎn)即為尸爾x)與了=—1

的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，所以函數(shù)g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為0.

7..(文)(2012?安徽江南十校聯(lián)考)函數(shù)f(x)=以1的圖象是()

1+1^1

［答案］C

［解析］易知函數(shù)/<x)的定義域?yàn)镽,

且-x)~1IIr~II__r—f{x}，

1十|一x|1十|x|

???f(x)為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，排除A、B、D,選C.

(理)函數(shù)y=2x—4sinx,［—―,5］的圖象大致是()

［答案］D

［解析］因?yàn)閥=2x—4sinx是奇函數(shù)，可排除A、B兩項(xiàng)；令寸=2—4cosx=0,故

JI

當(dāng)為=±彳時(shí)函數(shù)取得極值，故選D項(xiàng).

8.將函數(shù)尸f(2x—1)的圖象向右平移1個(gè)單位后得到曲線G如果曲線C與函數(shù)尸

2、的圖象關(guān)于直線尸x或軸對(duì)稱，則/"(5)等于()

A.-2B.0

C.2D.4

［答案］C

［解析］因?yàn)榍€，與函數(shù)y=2*的圖象關(guān)于直線尸x對(duì)稱，所以曲線C的方程為y

=log2X,把曲線C的圖象向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度可得/<2x—1)=log2(x+l),所以/'(5)=

f(2X3-l)=log2(3+l)=2.

9.(文)(2012?哈師大附中模擬)已知函數(shù)/1(x)是定義在R上的奇函數(shù)，其最小正周期

31

為3,當(dāng)xe(—0)時(shí)，f(x)=lo叼(1—x),則3(2011)+『(2013)=()

A.1B.2

C.-1D.-2

［答案］A

［解析］A2011)=r(670X3+i)=r(i)=-A-D=-iog|2=i,A2013)=

f(671X3)=f(0)=0,

...F(20n)+f(2013)=1,故選A.

(理)設(shè)函數(shù)尸/'(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且滿足f(x—2)=一F(x)對(duì)一切xdR恒成

立，當(dāng)一后1時(shí)，/Xx)=/則下列四個(gè)命題：①/<x)是以4為周期的周期函數(shù)；②f(x)

在［1,3］上的解析式為F(x)=(2—X”；③f(x)在(|,F(|))處的切線方程為3x+4y—5=0；

④/<x)的圖象的對(duì)稱軸中有x=±l.其中正確的命題是()

A.①②③B.②③④

C.①③④D.①②③④

［答案］D

［解析］???/?(X—2)=一f(x)對(duì)一切xGR恒成立，

F(x)=—F(x—2)=—［—f(x—2—2)］=F(x—4),

.?.F(x+4)=f(x+4—4)=F(x),因此/1(x)是以4為周期的周期函數(shù)，①正確；當(dāng)xd

3

［1,3］時(shí)，2—［―1,1］,「因此f(x)=-F(x—2)=廣(2—x)=(2—X)：②正確；由］￡

3331133

［1,3］,知_f(x)=(2—(-)=-又f(5)=d，故切線方程為P—d=—I(x—R，

f'Z4Zoo4Z

即3x+4y—5=0,③正確；由F(x—2)=—_f(x)=F(—x)得/'(一1一X)=_f(—l+x),所以

F(x)的圖象有對(duì)稱軸x=~l,由F(x+2)=—_f(x+2—2)=一廣(x)得，f(l—x)=_f(l+

x),所以F(x)的圖象有對(duì)稱軸x=l,所以④正確，選擇D.

10.若函數(shù)f(x)在(0,+8)上可導(dǎo)，且滿足(x),則一定有()

fX

A.函數(shù)b(x)=—:—在(0,+8)上為增函數(shù)

X

B.函數(shù)G(x)="(x)在(0,+8)上為增函數(shù)

fV

C.函數(shù)/(x)=------在(0,+8)上為減函數(shù)

x

D.函數(shù)G(x)=xf(x)在(0,+8)上為減函數(shù)

［答案］C

fvv-Fv—fV

［解析］對(duì)于b(x)=------，F(xiàn)'?=---------------------—<0,故尸(X)在(0,+8)

XX

上為減函數(shù).

用3

11.(文)若函數(shù)F(x)=lnx+-在區(qū)間［1,e］上的最小值為5,則實(shí)數(shù)a的值為()

x2

31—

A.-B.yje

P

C.-D.非上述答案

［答案］B

［解析］f'(x)=’一芻=口，

XXX

令F'(X)=0,則x=a,

3

若a<l,則A^)min=/(1)=a=->lf不合題意.

a3

若a>e,則廣(x)min=F(e)=1+-=-,

e2

則a=|<e,不合題意.

3

所以IWaWe,/*(x)min=F(。)=lna+l=5，則片水.

(理)若函數(shù)F(x)=(乃才3+［61+0犬+"(乃，b,c>0)沒(méi)有極值點(diǎn)，且導(dǎo)函數(shù)為g(x),則

的取值范圍是()

A.(1,+°°)B.［1,+00)

C.(2,+8)D.［2,+8)

［答案］D

［解析］因?yàn)楹瘮?shù)g(x)=23+6匠+°,函數(shù)廣(X)沒(méi)有極值點(diǎn)，也就是函數(shù)g(x)與X軸

/2

至多有一個(gè)交點(diǎn)，故八二層一4acW0,即女。三了

—=^^=4+1邛+1+1=2,

bbbbb

故的取值范圍是［2,+8).

b

12.(文)函數(shù)f(x)=xe，-a有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()

A.—~<a<0B.—~<a

ee

C.—e〈水0D.0<a<e

［答案］D

［解析］

構(gòu)造函數(shù)_7=勝t則_/=e*(x+l),因?yàn)閑*>0,令/=0,解得x=-1.

當(dāng)x>—1時(shí)，/>0,函數(shù)為增函數(shù)；當(dāng)水一1時(shí)，/<0,函數(shù)為減函數(shù)，所以當(dāng)x=

—1時(shí)函數(shù)有最小值，y最小=一底1=一」.畫出函數(shù)尸'的圖象如圖所示，顯然當(dāng)一4a〈0

ee

時(shí)，函數(shù)F(x)=xe“一a有兩個(gè)零點(diǎn).

2e~x

(理)函數(shù)f(x)=看的圖象大致是()

「x

［答案］B

9p-x

［解析］(x)=----------L(XW2),令廣(X)<0,得水1.故Ax)的減區(qū)間是(一

-x

8,1),增區(qū)間為(1,2),(2,+8),f(x)在x=i處取得極小值，且極小值為/(I)

2

->0,故排除C、D兩項(xiàng)；當(dāng)x>2時(shí)，f(x)<Q,排除A項(xiàng)，故選B項(xiàng).

e

二、填空題(本大題共4小題，每小題4分，共16分，將答案填寫在題中橫線上.)

13.(2013?北京海淀期中)己知命0：2xdR,ax~+2x+lW0.若命題0是假命題，則

實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

［答案］(1,+8)

［解析］根據(jù)原命題是假命題，則其否定是真命題，結(jié)合二次函數(shù)圖象求解.命題P

.仿>0,

的否定㈱P：VxWR,ax?+2x+1>0是真命題，故《解得a>l.

［A=4—4a<0,

I-2啟0

14.(文)已知函數(shù)/'(x)=<,則f(2012)=.

fx~+1x>0

［答案］1005

［解析］A2012)=/-(2010)+1=/(2008)+2=f(2006)+3=-=/(2)+1005=/(0)+

1006=(jj"-2+1006=1005.

(理)函數(shù)f{x)^ax—2ax+(a+l)x—log2(a'—1)不存在極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍

是.

［答案］"aW3

［解析］因?yàn)橐灰?>0,a>l或a<—1；

f'(x)=3ax2一4ax+a+l,

:函數(shù)f(x)不存在極值點(diǎn)，

(x)=0不存在兩不等實(shí)根，

A=16a"—4X3a(a+l)=4a(a—3)WO,

所以0WaW3,綜上可知：l〈aW3.

15.(文)己知函數(shù)/<x)uaf+Z^+cx,其導(dǎo)函數(shù)'(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,0),

(2,0),如圖所示，則下列說(shuō)法中不正確的是.

3

①當(dāng)x=］時(shí)函數(shù)取得極小值；

②『(X)有兩個(gè)極值點(diǎn)；

③當(dāng)x=2時(shí)函數(shù)取得極小值；

④當(dāng)x=l時(shí)函數(shù)取得極大值.

［答案］①

［解析］從圖象上可以看到：當(dāng)xe(0,1)時(shí)，f'(x)〉0；當(dāng)xe(1,2)時(shí)，

f'W<0；當(dāng)xe(2,+8)時(shí)，f'(不)〉0,所以f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)1和2,且當(dāng)x=2時(shí)

函數(shù)取得極小值，當(dāng)x=l時(shí)函數(shù)取得極大值.只有①不正確.

(理)已知AA)=X~6X+9x—abc,a<b<c,且f(a)=f(6)=f(c)=0.現(xiàn)給出如下結(jié)

論：

①f(0)f(l)>0；②f(0)f(l)<0；③f(0)f(3)〉0；

④f(o)r(3)<o.

其中正確結(jié)論的序號(hào)是.

［答案］②③

［解析］/(0)=—abc,/(I)=4：—abc,f(3)=27—54+27—aZ?c=—aZ)c=/(0),

又尸(x)=3(x—l)(x—3),所以F(x)在(-8,1)和(3,+8)上單調(diào)遞增，在(1,3)

上單調(diào)遞減,故a〈l〈伙3<c,/(0)A3)>0.

16.如果『'(x)是二次函數(shù)，且f'(x)的圖象開(kāi)口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,一小),

那么曲線尸/"(X)上任一點(diǎn)的切線的傾斜角a的取值范圍是.

JI2兀

［答案］［o,y)U”)

［解析］由題意f'(x)=a(x—1尸一小,

\'a>0,：.f'(x)^~y［3,因此曲線y=f(x)上任一點(diǎn)的切線斜率4=tanaN—

*JI2兀

?傾斜角ae［0,m),a〈萬(wàn)或不一〈a<n.

三、解答題(本大題共6小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)

17.(本小題滿分12分)(文)已知命題"/={a|關(guān)于x的不等式V+2ax+4>0在R上

方+k

恒成立},命題3B={a\1<~<2).

(1)若A=l,求20(心而；

(2)若“非夕”是“非的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)4的取值范圍.

［解析］依題意,可得4={a|4才一16<0}={x|—2〈水2},B={a\2-k<a<4：—Jc\.

(1)當(dāng)k=l時(shí)，由于B={a\1〈水3},

則［R8={a|aWl或a23}，所以A0(［R8)—{a|—2〈乃Wl}.

(2)由“非p”是“非q"的充分不必要條件，可知q是。的充分不必要條件.只需

—AN—2,

14一AW2,解得2W4W4.

所以實(shí)數(shù)A的取值范圍是［2,4］.

2

(理)(2013?浙江五校聯(lián)考)設(shè)命題夕：f(x)=——在區(qū)間(1,+8)上是減函數(shù)；命題

x—m

q：xi、入2是方程?一ax—2=0的兩個(gè)實(shí)根，不等式/+5以一32|荀一生|對(duì)任意實(shí)數(shù)［―

1,1］恒成立；若(㈱夕)八,為真，試求實(shí)數(shù)〃的取值范圍.

［解析］命題夕：mWl.

命題。：IX1—X21~xi+x2~2-4矛1酎=d-+8W3,

???好+5%-323,:?自+3m—620,

ni^-1或勿W—6.

若(㈱而A。為真，則夕假。真,

???力＞1.

〃21或勿忘一6,

18.(本小題滿分12分)(文)已知集合4={x|—3<x<l},B={x\----<0}.

x—3

⑴求IG8,ZU8；

(2)在區(qū)間(—4,4)上任取一個(gè)實(shí)數(shù)x,求“x￡/n夕的概率；

(3)設(shè)(46)為有序?qū)崝?shù)對(duì)，其中乃是從集合/中任取的.一個(gè)整數(shù)，6是從集合6中任

取的一個(gè)整數(shù)，求“b—aGAUB”的概率.

［解析］(1)由已知B={x|-2<水3},

/n6={x|—2<水1},AUB={x\~3<x<3］.

(2)設(shè)事件的概率為2，

3

這是一個(gè)幾何概型，則X=d.

o

(3)因?yàn)榕?、bRZ,且bGB,

所以，基本事件共12個(gè)：(-2,—1),(—2,0),(—2,1),(—2,2),(―1,—1),

(—1,0),(―1,1),(―1,2),(0,—1),(0,0),(0,1),(0,2).

設(shè)事件￡為“6—，則事件￡中包含9個(gè)基本事件，

93

事件￡的概率戶㈤=訪=］

3

(理)已知函數(shù)f(x)=女系十萬(wàn)加“己力。，a、6￡R)的圖象在點(diǎn)(2,f(2))處的切線與x軸

平行.

(1)求函數(shù)Hx)的單調(diào)遞減區(qū)間；

(2)若已知己方,求函數(shù)f(x)在［6,司上的最大值.

［解析］⑴-'(X)=3af+36x(aW0,a、Z?FR),

由題意可知f'(2)=0,.?.12a+66=0,

整理得6=—24

f'(x)=3aV-6ax=3Ex(x—2).

當(dāng)a>0時(shí)，由f,(x)<0,得0</2,???F(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,2)；

當(dāng)水0時(shí)，由/(x)<0,得/0或入>2,?,?廣(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-8,0)和(2,+

8).

(2),.,於6且6=—24?,?力0,灰0.

3

f(^x)=ax+'加=ax-3ax=ax(才一3),

由/'(x)=0得為=0,用=3.

①當(dāng)0<dW3時(shí)，_f(x)max=F(0)=0；

②當(dāng)a>3時(shí)，/*(x)max=f(a)=a~3a.

綜上所述，當(dāng)0<aW3時(shí)，F(xiàn)(x)的最大值為0；當(dāng)H>3時(shí)，丹父的最大值為］—?/

［點(diǎn)評(píng)］考查函數(shù)及其性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查分類討論的數(shù)

學(xué)思想方法，以及運(yùn)算求解能力和創(chuàng)新意識(shí).

19.(本小題滿分12分)(文)設(shè)函數(shù)f{x}=ax+bx+\{a.8為實(shí)數(shù))，/(x)=

r；x’

XX

(1)若A-1)=0且對(duì)任意實(shí)數(shù)X均有Hx)20成立，求尸(X)的表達(dá)式；

(2)在⑴的條件下，當(dāng)不￡［—2,2］時(shí)，g(x)=F(x)—而是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)A的取值

范圍.

［解析］⑴—1)=0,.?.6=a+L

由廣(由20恒成立,知

p>0,

［/=Z?2-4己=a+2—4a=a—2^0,

a=1,從而f{x}=x+2x+1,

\x+2X，

???尸(X)=J2

［—X十X

(2)由(1)可知,f{x}=x+2JT+1,

g{x)=_f(x)~kx=x+(2—A)x+1,

由于g(x)在［—2,2］上是單調(diào)函數(shù)，

2—k2—k

~~-W—2或22,得k&—2或A26.

(理)(2013?青島模擬)設(shè)函數(shù)f(x)=lnx—ax+口―1.

X

(1)當(dāng)a=l時(shí)，求曲線f(x)在x=l處的切線方程；

(2)當(dāng)a=［時(shí)，求函數(shù)F(x)的單調(diào)區(qū)間；

5

(3)在⑵的條件下，設(shè)函數(shù)g(x)=/-26匠一記，若Vxi￡［l,2］,三至￡［0,1］,使

F(xi)2g(⑹成立，求實(shí)數(shù)6的取值范圍.

11——O

［解析］由題知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+8),f'(x)=—-a——

XX

(1)當(dāng)女=1時(shí)，f{x)=ln^—x—1,/./(I)=-2,f'{x)1,.\f'(1)=0,

x

???Hx)在x=1處的切線方程為y=-2.

???當(dāng)0〈水1,或x>2時(shí)，“UX0,當(dāng)1〈水2時(shí)，"(x)>0,

故當(dāng)a=5寸，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1,2)；

單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1),(2,+8).

1

--時(shí)x2

3ln口+￡T'由⑵可知函數(shù)?(X)在(1，2)上為增函數(shù)，..?函

9

數(shù)f(x)在［1,2］上的最小值為Al)=-f.

若Vxi￡［l,2］,三至￡［0,1］使f(xi)2g(x2)成立，貝!Jg(x)在［0,1］上的最小值不大于

9

f(x)在［1,2］上的最小值一［(*)

55

又g(x)=x—2bx——=—［0,1］.

52

①當(dāng)6<0時(shí)，g(x)在［0,1］上為增函數(shù)，［g(x)］min=g(0)=—訪>一與(*)矛盾；

5

②當(dāng)0W6W1時(shí)，［g(x)］min=g("=一4一記，

521

由一4一正4一§及0W6W1得，

7172

③當(dāng)b>l時(shí)，g(x)在［0,1］上為減函數(shù)，［g(x)］min=g(l)=石一2伏一行V一可，此時(shí)

■141.4O

b>l.

綜上，人的取值范圍是山，+8).

20.(本小題滿分12分)經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查，某旅游城市在過(guò)去的一個(gè)月內(nèi)(以30天計(jì))，旅游

人數(shù)廣&)(萬(wàn)人)與時(shí)間乂天)的函數(shù)關(guān)系近似滿足『(：)=4+1人均消費(fèi)(元)與時(shí)間

t(天)的函數(shù)關(guān)系近似滿足g(t)=115—"―151.

(1)求該城市的旅游日收益獷(。(萬(wàn)元)與時(shí)間M1W1W3O,力eN)的函數(shù)關(guān)系式；

(2)求該城市旅游日收益的最小值(萬(wàn)元).

［解析］(1)依題意得，

獷=f(t)?g(t)=(4+^)(115—|t—15|).

+-t+f<15,teN*

(2)因?yàn)閣(,t)=<

力W30,teN*

①當(dāng)1W《15時(shí)，t)=(4+^)(t+100)=4(t+y)+401^4X2^25+401=441,

95

當(dāng)且僅當(dāng)t=~,即力=5時(shí)取等號(hào).

②當(dāng)15WZW30時(shí)，〃(力)=(4+；)(13011)=519+4()，可證〃(%)在te

［15,30］上單調(diào)遞減，所以當(dāng)力=30時(shí)，/(外取最小值為403，.

由于403；〈441,所以該城市旅游日收益的最小值為40苗萬(wàn)元.

21.(本小題滿分12分)(文)(2013?汕頭測(cè)評(píng))設(shè)函數(shù)F(x)=lnx+(x—a),,aGR.

⑴若a=0,求函數(shù)f(x)在［1,e］上的最小值;

(2)若函數(shù)/"(X)在［；,2］上存在單調(diào)遞增區(qū)間，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

［解析］(l)f(x)的定義域?yàn)?0,+-).

因?yàn)?王)=工+2*>0,

X

所以/'(x)在［1,e］上是增函數(shù)，

當(dāng)x=l時(shí)，f(x)取得最小值f(l)=1.

所以f(x)在［1,e］上的最小值為1.

上12x—2ax~\-1

(2)法一：f(x)=一+2(x—a)=-----------

xx

設(shè)g(x)=2x—2ax+l,

依題意得，在區(qū)間七，2］上存在子區(qū)間使得不等式g(x)>0成立.

注意到拋物線g{x)=2x—2ax+\的圖象開(kāi)口向上，

所以只要g(2)>0,或g(；)〉0即可.

9

由g(2)>0,即8—4a+l>0,得水?

由g(g)>0，即；一女+1>0,得水號(hào)

9

所以水？

9

所以實(shí)數(shù)〃的取值范圍是(一8,-).

、j___，/、1,/、2y—2zx+l

法二：f(x)=-+2(x-a)=----------------,

xx

依題意得，在區(qū)間該，2］上存在子區(qū)間使不等式2f—2ax+l〉0成立.

又因?yàn)閤>0,所以2水(2x+g.

x

設(shè)g(x)=2x+J,所以2a小于函數(shù)g(x)在區(qū)間［；,2］的最大值.

又因?yàn)間'(x)=2—

由g'(x)=2—5〉0,解得x〉半；

1、歷

由H(x)=2—-2<0,解得0〈x〈拳.

X乙

所以函數(shù)g(x)在區(qū)間(坐，2］上單調(diào)遞增，在區(qū)間/，手)上單調(diào)遞減.

所以函數(shù)g(x)在出，或x=2處取得最大值.

又g(2)=|,g(^)=3,

所以2a<1,即a號(hào)，

9

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(一8,-).

(S)(2013?溫州檢測(cè))若集合力具有以下性質(zhì):

①Oe/,u；

②若x、y^A,則,且xWO時(shí)，一64

則稱集合/是“好集”.

(1)分別判斷集合8={-1,0,1},有理數(shù)集Q是否是“好集”，并說(shuō)明理由；

⑵設(shè)集合4是“好集”，求證：若x、片4則葉片小

(3)對(duì)任意的一個(gè)“好集”4分別判斷下面命題的真假，并說(shuō)明理由.

命題。：若x、*4則必有0G/；

命題仍若x、y^A,且x#0,則必有

［解析］(1)集合8不是“好集”.理由是：假設(shè)集合6是“好集”，因?yàn)橐籰eqie

B,所以一1—1=—2nB.

這與一248矛盾.

有理數(shù)集Q是“好集”.因?yàn)镺GQ,1GQ,

對(duì)任意的x,yGQ,有x—yGQ,且xWO時(shí)，:GQ.

所以有理數(shù)集Q是“好集”.

(2)證明：因?yàn)榧狭κ恰昂眉?，所?G4

若X、yE.A,則0—yG4即一yd/.

所以x—(一力G4即x+yG4

(3)命題0、g均為真命題.理由如下：

對(duì)任意一個(gè)“好集”4任取x、片4

若x、y中有0或1時(shí)，顯然盯G4

下設(shè)x、y均不為0,1.由定義可知x—1、二7、一G4

x-1x

所以一即--------64

X—1XXX一

所以X(X—1)￡4

由(2)可得x(x—l)+x￡Z,即*￡4同理可得/￡4

若x+y=0或x+y=l,則顯然(x+y)2￡4

若x+y7^0且x+yT^l,貝U(X+T)2￡4

所以2盯={x-\-y)2—x—yEiA.

所以上￡4

2盯

由⑵可得，="+；晝4

xyLxyLxy

所以xy^A.

綜上可知，xy^A,即命題,為真命題.

若X,*4且40,則*4

所以yVy1即命題。為真命題.

22.(本小題滿分14分)(文)(2013?廈門質(zhì)檢)已知函數(shù)/U)=3+2alnx.

⑴若函數(shù)f(x)的圖象在(2,/"(2))處的切線斜率為1,求實(shí)數(shù)a的值;

(2)求函數(shù)F(x)的單調(diào)區(qū)間;

9

(3)若函數(shù)g(x)=：+f(x)在［1,2］上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

「Ewi/x,/x12a2x+2a

［解析］(1)f(x)=2x+―=-------.

xx

由已知(2)=1,解得a=—3.

(2)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+8).

①當(dāng)220時(shí)，fr(x)>0,F(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+8)；

②/、當(dāng)r,a〈。時(shí)r,(ZxX)=———a—X—\」—a

當(dāng)X變化時(shí)，f1(X),/'(X)的變化情況如下:

X(0,yj—a)V-a+°0)

f'(x)一0+

Mx)\極小值/

由上表可知，函數(shù)F(X)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,JF);單調(diào)遞增區(qū)間是(產(chǎn)^+

8).

999o

(3)由g(分=一+3+2alnx,得g’(x)=—X一,

xxx2+2+

由已知函數(shù)g(x)為［1,2］上的單調(diào)減函數(shù)，

則g'(x)W0在［1,2］上恒成立，

92a

即一p+2x+—W0在［1,2］上恒成立.

xx

即aW,一￥在［1,2］上恒成立.

x

令力(才)=1一/，x￡［l,2］,則〃(x)=-2—2^=—(―+2^r)<0,

xxx

7

???力(才)在［1,2］上為減函數(shù).力(X)min=7?(2)=—亍

故a的取值范圍為(一8,—.

(理)(2。12.河北保定市模擬)已知函數(shù)f(x)=T^一言—2x,(a〉。).

(1)若函數(shù)f(x)在x=0處取得極值，求a的值；

(2)如圖，設(shè)直線x=—1,y=—2x,將坐標(biāo)平面分成I、II、III、IV四個(gè)區(qū)域(不含

邊界)，若函數(shù)尸f(x)的圖象恰好位于其中一個(gè)區(qū)域內(nèi)，試判斷其所在的區(qū)域，并求其對(duì)

應(yīng)的a的取值范圍.

(3)試比較2O122011與2011^2的大小，并說(shuō)明理由.

［解析］⑴一缶―2x

,/、x+—x+x+,a

：.ff(x)=----------------------------i---------------+—T-2-2,

X十x+

?"(x)在x=0處取得極值，

f'(0)=1+2—2=0,

???a=L(經(jīng)檢驗(yàn)己=1符合題意)

⑵因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?-1,+8),且當(dāng)x=0時(shí)，

/(0)=一水0,

又直線P=-2x恰好通過(guò)原點(diǎn)，所以函數(shù)y=f(x)的圖象應(yīng)位于區(qū)域HI內(nèi),

*.*x>~\,???可得F(x)<-2x,即?..,

X十X十1

_x±_

V^+l>0,a)'

x+1

/\x+，/、1—x+

令A(yù)°⑸=x+1，°(X)=一不—7

令0'(才)=0得￡=8—1,'/X>—\,

??x^.(—1,e—1)時(shí)，O'(x)>0,0(x)單調(diào)遞增,

x￡(e—l,+8)時(shí)，(!)'(x)<0,O(x)單調(diào)遞減.

1

Omax(x)=。(^―1)

e

的取值范圍是：

V--I—

⑶法1：由⑵知函數(shù)在xe(e—1,+8)時(shí)單調(diào)遞減.

1nx

???函數(shù)o(x)=丁在+8)時(shí)單調(diào)遞減,

x+Inx

■<-----，.?.xln(x+l)<(x+1)Inx,

x+1x

???In(x+1)、<ln/+D,即(x+l)\xu+1)，

???令x=2011,貝!J20122011<20112012.

2011

沙o“2OW

20122°"_________2011r=0

2012

法2：2oii2012=201120ll2012

VC2on<2Ollr,

.e.aoii2Oll2°11_r<2Oll2011

2011

ECJou2Oll2O11-r

r=0

20112012

C2OII2O112O11+C2OII2O112O1°H——卜C瑞;201發(fā)+船2011+

20112012

<1,

.,.20122011<20112012.

」c2O122011,2012、2°u1

X

法3：20n犯尸(2011)2011

2011201123

9ni1)=(1+7777)—1+1+C2011X()+C2011X()dFCJon(9ni1)

乙UJLJ_乙UJLJ.乙UJ,JL乙U_LJL乙UJLJL

H-------I-C201；(A..)2011<2+T—+7-1111

9----------<2+-------+-------

乙UJLJL乙<J2011丁2X1丁2義3

<3,

2O122011

??.201220nCOIF

2017^0-

反饋練習(xí)/

一、選擇題

1.(2013?濟(jì)寧模擬)設(shè)集合/={x［(?<3,8=31og|x>—1},貝等于()

A.{x|求-2}B.{x|2<x<3}

C.{x|x〉3}D.5|水一2或2cx<3}

［答案］B

［解析］因?yàn)?={x|x>2},8={x|0〈矛〈3},所以/C8={x|2<x<3}.

2.(2013?福州檢測(cè))“a〃方”是“a在6的方向上的投影為|a1"的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

［答案］B

［解析］若@〃6且a、6方向相反，則a在6的方向上的投影為|a|cos五=一|a|,即

“a〃6”=/“a在6的方向上的投影為㈤”；a在6的方向上的投影為|a|今a〃方.故“a

〃/是“a在6的方向上的投影為|a|”的必要而不充分條件.

「2",K0

3.設(shè)函數(shù)f(x)=若/'(x)是奇函數(shù)，則g⑵的值是()

\gx,x>0.

A-4

B.

1

c-4

4D.

［答案］A

［解析］解法1：???/(X)是奇函數(shù)，；"(一x)=-f(x)；

［2,x，

：f(x)=，

［gXX

當(dāng)x〉0時(shí)，一水0,/.f{~x)—2A,

?；/(一x)=—f(x)=—g(x),；.g(x)=-2一"(入〉0),

解法2：g(2)=A2)=-/,