電路理論基礎(chǔ)（第三版） 課件 第5章 動(dòng)態(tài)元件及動(dòng)態(tài)電路導(dǎo)論

第五章動(dòng)態(tài)元件及動(dòng)態(tài)電路導(dǎo)論

本書(shū)前幾章討論了電阻電路的分析方法,電阻電路是用代數(shù)方程描述的。電阻電路在任一時(shí)刻t的響應(yīng)只與同一時(shí)刻的激勵(lì)有關(guān),與過(guò)去的激勵(lì)無(wú)關(guān),因此,電阻電路是“無(wú)記憶”的,或者說(shuō)是“即時(shí)的”。從本章起開(kāi)始討論動(dòng)態(tài)電路,動(dòng)態(tài)電路中包含電容和電感元件,其約束關(guān)系由微分方程描述。

由于電容、電感元件的伏安關(guān)系都涉及對(duì)電流、電壓的微分或積分,因此稱(chēng)這樣的元件為動(dòng)態(tài)元件。至少包含一個(gè)動(dòng)態(tài)元件的電路稱(chēng)為動(dòng)態(tài)電路。動(dòng)態(tài)電路在任一時(shí)刻的響應(yīng)與初始時(shí)刻以前的全部激勵(lì)有關(guān),這是和電阻電路完全不同的概念。

第五章動(dòng)態(tài)元件及動(dòng)態(tài)電路導(dǎo)論

電路中為什么要有動(dòng)態(tài)元件呢?原因如下:(1)實(shí)現(xiàn)某種功能的需要。例如,電阻電路不能完成濾波,必須利用動(dòng)態(tài)元件才能實(shí)現(xiàn)這一功能我們常說(shuō)的關(guān)于電容的隔直功能和旁路功能都是電阻電路不能實(shí)現(xiàn)的。(2)當(dāng)信號(hào)變化很快時(shí),一些實(shí)際器件已不能簡(jiǎn)單地用電阻模型來(lái)表示了。例如,電阻器不能用理想的電阻元件來(lái)表示,而要考慮電場(chǎng)和磁場(chǎng)的變化,因而需在模型中增添電感和電容等動(dòng)態(tài)元件。本書(shū)前面已指出,電路分析的基本依據(jù)是兩類(lèi)約束:拓?fù)浼s束和元件約束。電路的拓?fù)浼s束即基爾霍夫定律只取決于電路的連接方式,而與構(gòu)成電路的元件性質(zhì)無(wú)關(guān)。不論電阻電路還是動(dòng)態(tài)電路,都要服從這一定律。為解決動(dòng)態(tài)電路的分析問(wèn)題,還需補(bǔ)充動(dòng)態(tài)元件的元件約束,也就是電容、電感元件的電壓、電流約束關(guān)系。本章將討論電容、電感元件的定義、伏安關(guān)系,并引入記憶、狀態(tài)等概念,同時(shí)介紹暫態(tài)、穩(wěn)態(tài)、換路、原始狀態(tài)、初始狀態(tài)等概念,為動(dòng)態(tài)電路的分析奠定基礎(chǔ)。第五章動(dòng)態(tài)元件及動(dòng)態(tài)電路導(dǎo)論

5.1電容元件5.2電感元件5.3動(dòng)態(tài)電路導(dǎo)論5.4一階線(xiàn)性常系數(shù)微分方程的求解5.5二階線(xiàn)性常系數(shù)微分方程的求解5.1電容元件5.1.1(理想)電容元件的定義電路理論中的電容元件是實(shí)際電容器的理想化模型。

電容器的物理結(jié)構(gòu)是兩塊金屬極板,中間用電介質(zhì)隔開(kāi)。由于理想介質(zhì)是不導(dǎo)電的,因此在外電源的作用下,電容器兩塊極板上能分別存貯等量的異性電荷。外電源撤走后,由于介質(zhì)的絕緣作用,電荷不能中和,因而能長(zhǎng)久地存貯下去。在電荷建立的電場(chǎng)中自然貯藏著能量,因此,電容器是一種能夠存貯電場(chǎng)能量的器件。理想的電容器具有存貯電荷從而在其中建立電場(chǎng)的作用,因此理想電容器應(yīng)該是一種電荷與電壓相約束的器件。

電容元件：一個(gè)二端元件,如果在任一時(shí)刻t,它的電荷q(t)與它的端電壓u(t)之間的關(guān)系可以用uq平面上的一條曲線(xiàn)來(lái)確定,則此二端元件稱(chēng)為電容元件。5.1電容元件在某一時(shí)刻t，q(t)和u(t)所取的值分別稱(chēng)為電荷和電壓在該時(shí)刻的瞬時(shí)值。因此,我們說(shuō)電容元件的電荷瞬時(shí)值和電壓瞬時(shí)值之間存在著一種代數(shù)關(guān)系。電容元件的符號(hào)如圖5-1所示,圖中所示為關(guān)聯(lián)參考方向,即假定為正電位的極板上電荷也為正。圖5-1電容元件符號(hào)如果u-q平面上的特性曲線(xiàn)是一條通過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn),且不隨時(shí)間而變,則此電容元件稱(chēng)為線(xiàn)性非時(shí)變電容元件,即：q（t）=Cu（t）

（5-1）式中,C為正值常數(shù),稱(chēng)為電容。在國(guó)際單位中,電容的單位為法拉(簡(jiǎn)稱(chēng)為法,符號(hào)為F)。其他常用的電容單位有皮法(pF)和微法(μF),1pF=10ˉ12F,1μF=10ˉ?F。習(xí)慣上,我們也常把電容元件簡(jiǎn)稱(chēng)為電容,并且,如不加說(shuō)明,電容都指線(xiàn)性非時(shí)變電容。5.1電容元件在實(shí)際使用中,一個(gè)電容器除了標(biāo)明它的電容量外,還需標(biāo)明它的額定工作電壓。由于介質(zhì)的絕緣強(qiáng)度有限,因此每個(gè)電容器允許承受的電壓是有限的,電壓過(guò)高,介質(zhì)就會(huì)被擊穿從而變成導(dǎo)電體,喪失電容器的作用。所以,使用電容器時(shí)不應(yīng)超過(guò)它的額定工作電壓。實(shí)際的電容都存在漏電現(xiàn)象。這是因?yàn)榻橘|(zhì)不可能是理想的,都具有一定的導(dǎo)電能力。在這種情況下,電容器模型中除了上述的理想電容元件外,還應(yīng)包含電阻元件。5.1電容元件5.1.2電容元件的伏安特性雖然電容是根據(jù)u-q關(guān)系來(lái)定義的,但在電路分析中我們更關(guān)心元件的伏安關(guān)系(VAR),本節(jié)推導(dǎo)電容的VAR。

電容如圖5-1所示,在關(guān)聯(lián)參考方向下,設(shè)電流依圖方向注入極板,電荷量增加,有：（5-2）將(5-1)式代入(5-2)式得：（5-3）這就是電容的VAR,電流與電壓是微分關(guān)系。若u與i的參考方向不一致,則需在(5-3)式右邊加一負(fù)號(hào)。(5-3)式表明:在某一時(shí)刻,電容的電流取決于該時(shí)刻電容電壓的變化率,而非電容電壓本身。如果電壓不變,那么du/dt=0,即雖有電壓,但電流為零,因此,電容有隔直流的作用,因?yàn)橹绷麟妷菏遣浑S時(shí)間變化的。5.1電容元件我們也可以把電容的電壓u表示為電流i的函數(shù)。對(duì)(5-3)式積分可得：（5-4）如果只需要了解某一任意選定的初始時(shí)刻t0以后電容電壓的情況,則可以把(5-4)式寫(xiě)為：（5-5）(5-5)式是電容VAR的另一種表達(dá),它表明：某一時(shí)刻t,電容電壓的數(shù)值并不取決于該時(shí)刻的電流值,而是取決于從-∞到t所有時(shí)刻的電流值,也就是說(shuō),與過(guò)去注入電容器的全部電流有關(guān)。這是因?yàn)殡娙蓦妷喝Q于極板上聚集電荷的多少,而電荷的聚集是電流從-∞到t長(zhǎng)期作用的結(jié)果。當(dāng)我們?cè)O(shè)定一個(gè)初始時(shí)刻t0

時(shí),那么t0時(shí)刻以前的電流作用對(duì)未來(lái)(t>t0

時(shí))產(chǎn)生的效果可由u(t0),即電容的初始電壓來(lái)反映。也就是說(shuō),如果我們知道了從初始時(shí)刻t0開(kāi)始作用的電流i(t)以及電容的初始電壓u(t0),就能確定t≥t0時(shí)的電容電壓u(t)了。電容是聚集電荷的元件,(5-3)式和(5-4)式分別從電荷變化的角度和電荷積累的角度描述了電容的伏安關(guān)系。5.1電容元件例5-1電容C=1μF,其電流和電壓的參考方向一致,加在其上的電壓uC的波形如圖5-2(a)所示,試求電流并畫(huà)出波形。解當(dāng)0≤t≤0.5時(shí)，uC=2tV；當(dāng)0.5≤t≤1.5時(shí)，uC=1V；

當(dāng)1.5≤t≤2時(shí)，uC=-2t+4V；當(dāng)2≤t≤3時(shí)，uC=t-2V；當(dāng)3≤t≤4時(shí)，uC=-t+4V其他時(shí)刻，uC=0。將以上uC的表達(dá)式代入得：當(dāng)0≤t<0.5時(shí)，iC=2μA；當(dāng)0.5≤t<1.5時(shí)，iC=0；當(dāng)1.5≤t<2時(shí)，iC=-2μA；當(dāng)2≤t<3時(shí)，iC=1μA；當(dāng)3≤t<4時(shí)，iC=-1μA;其他時(shí)刻,iC=0。iC的波形如圖5-2(b)所示。圖5-2例5-1題圖及求解5.1電容元件5.1.3電容電壓的連續(xù)性質(zhì)和記憶性質(zhì)電容的VAR(5-5)式反映了電容電壓的兩個(gè)重要特性,即電容電壓的連續(xù)性質(zhì)和記憶性質(zhì)。

假定作用于1μF電容的電流波形如圖5-4(a)所示,若u(0)=0,則根據(jù)電容的VAR可以得到電容電壓如圖5-4(b)所示。從圖中可以看出,電容電流波形不連續(xù)而電容電壓波形卻是連續(xù)的,這是電容電壓連續(xù)性質(zhì)的表現(xiàn)。對(duì)例5-1所示的電容電流和電容電壓加以比較,也不難看出這點(diǎn)。圖5-41μF電容的電流及電壓波形電容電壓的連續(xù)性質(zhì)可陳述如下：

若電容電流i(t)在閉區(qū)間[ta，tb]內(nèi)為有界的,則電容電壓uC(t)在開(kāi)區(qū)間(ta，tb)內(nèi)為時(shí)間變量t的連續(xù)函數(shù),即在有限電容電流的前提下,電容電壓不可能發(fā)生突然跳變。在動(dòng)態(tài)電路分析中常常用到這一結(jié)論,但需要注意應(yīng)用的前提,即當(dāng)電容電流為無(wú)界時(shí)就不能運(yùn)用。

(5-4)式還反映出電容電壓的另一特性——記憶性質(zhì)。因?yàn)殡娙蓦妷喝Q于電流的全部歷史,所以我們說(shuō)電容電壓有“記憶”電流的性質(zhì),電容是一種記憶元件。通常(5-5)式更具有實(shí)用價(jià)值,在含電容的動(dòng)態(tài)電路分析中,知道電容的初始電壓是一個(gè)常需具備的條件。

5.1電容元件電容的初始電壓可用附加電壓源表示。設(shè)電容的初始電壓u(t0)=U,如圖5-5(a)所示,由(5-5)式可得：

由此可知：一個(gè)已被充電的電容,若已知u(t0)=U，則在t≥t0時(shí)可等效為一個(gè)未充電的電容與電壓源相串聯(lián)的電路,電壓源的電壓值即為t0時(shí)電容兩端的電壓U，如圖5-5(b)所示。圖5-5具有初始電壓U的電容及其等效電路(a)具有初始電壓U的電容;(b)等效電路5.1電容元件5.1.4電容元件的儲(chǔ)能如前所述,電容是一種儲(chǔ)能元件。本節(jié)討論電容的儲(chǔ)能公式。

我們知道,任何元件的瞬時(shí)功率p可以計(jì)算如下：p(t)=u(t)·

i(t)（5-6）

當(dāng)u、i采用關(guān)聯(lián)參考方向時(shí),上式代表元件吸收的功率。實(shí)際中,若p為正值,則表明該元件消耗或吸收功率;若p為負(fù)值,則表明該元件產(chǎn)生或釋放功率。

如例5-1所示電容,把同一瞬間的電壓和電流相乘可逐點(diǎn)繪出功率隨時(shí)間變化的曲線(xiàn),稱(chēng)為功率波形圖,如圖5-2(c)所示。從功率波形圖可見(jiàn),功率可為正也可為負(fù)這和電阻的功率總為正值是大不相同的。電容功率的這個(gè)特點(diǎn)表明:電容有時(shí)吸收功率,有時(shí)卻又放出功率。考慮到能量與功率的關(guān)系：（5-7）5.1電容元件因而,電容的能量EC(t)應(yīng)為功率對(duì)時(shí)間t的積分，并由此繪出EC的波形圖，如圖5-2(a)中虛線(xiàn)所示(與u繪在一起)。我們可以看到,電容的能量總是為正值,但有時(shí)增長(zhǎng),有時(shí)減少。功率p為正值時(shí)能量增長(zhǎng),亦即電容吸收能量；功率p為負(fù)值時(shí)能量減少,亦即電容放出能量。在一段時(shí)期電容吸收了能量,但在另一段時(shí)期,卻又把能量退還給了電源(或電路的其他部分),由此表明電容僅僅是一種儲(chǔ)能元件。

下面我們具體分析與電容的儲(chǔ)能有關(guān)的因素。在t1到t2期間對(duì)電容C充電,電容電壓為u(t),電流為i(t),則在此期間,供給電容的能量為：（5-8）由(5-8)式可知:在t1到t2期間,供給電容的能量只與兩個(gè)時(shí)間端點(diǎn)的電壓值u(t1)和u(t2)有關(guān),與在此期間的其他電壓值無(wú)關(guān)。電容吸收的能量反映了電容儲(chǔ)能的變化,若t1時(shí)刻電容尚未充電,其電壓和儲(chǔ)能均為零,則由(5-8)式可得t2時(shí)刻電容的儲(chǔ)能為：5.1電容元件即電容C在某一時(shí)刻t的儲(chǔ)能只與該時(shí)刻t的電壓有關(guān),有：（5-9）此為電容儲(chǔ)能公式。電容電壓反映了電容的儲(chǔ)能狀態(tài)。由上述可知,正是電容的儲(chǔ)能本質(zhì)使電容電壓具有記憶性質(zhì);正是在電容電流有界的條件下儲(chǔ)能不能躍變,使電容電壓具有連續(xù)性質(zhì)。如果儲(chǔ)能躍變（可理解為在無(wú)窮小的時(shí)間里,能量EC

從一個(gè)值跳變到另一個(gè)值）,那么能量變化的速率,即功率p=dE/dt將為無(wú)限大,這在電容電流為有界的條件下是不可能的。5.1電容元件5.1.5電容元件的串并聯(lián)1.電容元件的串聯(lián)及等效電容初始電壓分別為u1(0-),u2(0-),…,un(0-)的n個(gè)電容器,在t=0時(shí)串聯(lián),并與電壓為u(t)（u(t)為任意波形）的電源相接,設(shè)電路中的電流為i(t),如圖5-6(a)所示。圖5-6n個(gè)電容器串聯(lián)及其等效電路

(a)n個(gè)電容器串聯(lián)；(b)等效電路5.1電容元件這樣，應(yīng)用KCL有：ik(t)=i(t)（k=1,2,…,n）

（5-10）應(yīng)用KVL，有：

u(t)=u1(t)+u2(t)+…+un(t)（5-11）其中，一電容器的特性方程為：（5-12）將(5-10)式、(5-12)式代入(5-11)式，得：（5-13）5.1電容元件定義（5-14）為等效初始電壓，使（5-15）C稱(chēng)為等效電容(這個(gè)關(guān)系與電阻并聯(lián)相似)。將(5-14)式、(5-15)式代入(5-13)式得：（5-16）由此可得圖5-6(a)電路的等效電路如圖5-6(b)所示。在電路分析中,常會(huì)遇到兩個(gè)電容器串聯(lián)的電路,這時(shí)其等效電容由(5-15)式得：（5-17）5.1電容元件如果圖5-6(a)電路中電容器的初始電壓都為零,則這時(shí)(5-16)式為：其中,任一電容器的特性方程為比較上兩式得（5-18）

(5-18)式指出,在所有串聯(lián)電容器都是零初始電壓的情況下,第k個(gè)電容器上分配到的電壓與自身電容Ck成反比,這個(gè)關(guān)系與電阻分流公式相似。對(duì)于兩個(gè)電容器串聯(lián)的電路,其分壓公式由(5-18)式獲得（5-19）5.1電容元件例5-3兩個(gè)電容器,C1=1F,u1(0_)=0V,C2=2F,u2(0_)=2V,在t=0時(shí)串聯(lián),并與一電壓源模型相接,如圖5-7(a)所示。已知當(dāng)電路達(dá)穩(wěn)態(tài)后,有i(t)=0。如果Us=20V,試計(jì)算穩(wěn)態(tài)電壓u1(t)與u2(t)。解將u2(0_)用電壓源U=2V替代后的電路如圖5-7(b)所示,圖5-7(b)中,C1、C2均為零初始電壓,注意到a、b間的電壓是u2(t)。設(shè)C2上的電壓為u'2(t)。在穩(wěn)態(tài)時(shí)有i(t)=0,于是有uce=Us-U=20-2=18VC1、C2上的電壓由(5-19)式的分壓公式獲得于是,非零初始電容器C2上的電壓為圖5-7例5-3題圖u2(t)=u'2(t)+U=6+2=8V5.1電容元件2.電容元件的并聯(lián)及等效電容具有相同初始電壓u1(0_)=u2(0_)=…=un(0_)=u(0_)的n個(gè)電容器,在t=0時(shí)并聯(lián),并與端電壓為u(t)(u(t)為任意波形)的電源相接,如圖5-8(a)所示。圖5-8n個(gè)電容并聯(lián)及其等效電路

(a)n個(gè)電容并聯(lián);(b)等效電路

在圖示參考方向下,應(yīng)用KVL,有uk(t)=u(t)（k=1,2,…,n）

（5-20）5.1電容元件應(yīng)用KCL，有i(t)=i1(t)+i2(t)+…+in(t)（5-21）考慮到(5-20)式,其中任一電容器的特性方程為（5-22）將(5-22)式代入(5-21)式得（5-23）定義（5-24）5.1電容元件為等效電容(這個(gè)關(guān)系與電阻串聯(lián)相似)。將(5-24)式代入(5-23)式后得（5-25）由此得到圖5-8(a)電路的等效電路如圖5-8(b)所示。將(5-25)式中的du(t)/dt代入(5-22)式后,有（5-26）(5-26)式指出：自總電流i(t)中分入k支路的電流,與該支路電容成正比(這個(gè)關(guān)系與電阻分壓相似)。對(duì)于兩個(gè)電容器并聯(lián)的電路,其分流公式由(5-26)式獲得（5-27）5.1電容元件5.2.1(理想)電感元件的定義電路理論中的電感元件是實(shí)際電感器的理想化模型。當(dāng)導(dǎo)線(xiàn)中有電流流過(guò)時(shí),在其周?chē)唇⒋艌?chǎng)。通常所說(shuō)的電感線(xiàn)圈就是把導(dǎo)線(xiàn)繞成線(xiàn)圈,以增強(qiáng)線(xiàn)圈內(nèi)部的磁場(chǎng)。磁場(chǎng)能夠存儲(chǔ)能量,因而電感線(xiàn)圈是一種能存貯磁場(chǎng)能量的器件。按集總假設(shè),理想的電感器只具有產(chǎn)生磁通的作用而無(wú)其他作用,也就是說(shuō),理想電感器應(yīng)是一種電流與磁鏈相約束的器件。

電感元件：一個(gè)二端元件,如果在任一時(shí)刻t,它的電流i(t)同它的磁鏈ψ(t)之間的關(guān)系可用i-ψ平面上的一條曲線(xiàn)來(lái)確定,則此二端元件稱(chēng)為電感元件。5.2電感元件電感元件的符號(hào)如圖5-9所示。在討論i(t)與ψ(t)的關(guān)系時(shí),通常采用關(guān)聯(lián)的參考方向,即兩者的參考方向應(yīng)符合右手螺旋法則。我們假定電流的流入處標(biāo)以磁鏈的+號(hào),這就表示,與則。在圖5-9中,+、-號(hào)既表示磁鏈也表示電壓的參考方向。圖5-9電感的符號(hào)如果i-ψ平面上的特性曲線(xiàn)是一條通過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn),且不隨時(shí)間而變,則此電感元件稱(chēng)為線(xiàn)性非時(shí)變電感元件,即ψ(t)=Li(t)（5-28）式中,L為正值常數(shù),稱(chēng)為電感。在國(guó)際單位中,電感的單位為亨利(簡(jiǎn)稱(chēng)為亨,符號(hào)為H)。習(xí)慣上,我們也常把電感元件簡(jiǎn)稱(chēng)為電感,并且,如不加說(shuō)明,電感都系線(xiàn)性非時(shí)變電感。5.2電感元件實(shí)際的電感器除了具備上述的存貯磁能的主要性質(zhì)外,還有一些能量損耗。這是因?yàn)闃?gòu)成電感器的導(dǎo)線(xiàn)并非理想,多少有點(diǎn)電阻。此時(shí)電感器的模型中除了上述的理想電感元件外,還應(yīng)增添電阻元件。

在實(shí)際應(yīng)用中,一個(gè)電感線(xiàn)圈除了標(biāo)明它的電感值外,還應(yīng)標(biāo)明它的額定工作電流。電流過(guò)大,會(huì)使線(xiàn)圈過(guò)熱或使線(xiàn)圈受到過(guò)大電磁力的作用而產(chǎn)生機(jī)械變形,甚至燒毀線(xiàn)圈。為了使每單位電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)增加,常在線(xiàn)圈中加入鐵磁物質(zhì),其結(jié)果可以使同樣的電流產(chǎn)生的磁鏈比不用鐵磁物質(zhì)時(shí)成百上千倍地增加,但這時(shí)i-ψ關(guān)系變?yōu)榉蔷€(xiàn)性的。5.2電感元件5.2.2電感元件的伏安特性雖然電感是根據(jù)i-ψ關(guān)系來(lái)定義的,但在電路分析中我們感興趣的往往是它的伏安關(guān)系(VAR)。當(dāng)通過(guò)電感的電流發(fā)生變化時(shí),磁鏈也發(fā)生變化,根據(jù)電磁感應(yīng)定律,電感兩端將出現(xiàn)感應(yīng)電壓;當(dāng)通過(guò)電感的電流不變時(shí),磁鏈不發(fā)生變化,進(jìn)而不會(huì)出現(xiàn)感應(yīng)電壓。這和電阻、電容元件完全不同,電阻是有電壓就一定有電流;電容是電壓變化才有電流;電感則是電流變化才有電壓。

電磁感應(yīng)定律：感應(yīng)電壓等于磁鏈的變化率。當(dāng)電壓的參考方向與磁鏈的參考方向符合右手螺旋法則時(shí),可得（5-29）若電流與磁鏈的參考方向也符合右手螺旋法則,則可將(5-28)式的i-ψ關(guān)系代入(5-29)式,得（5-30）5.2電感元件這就是電感的VAR,其中涉及對(duì)電流的微分。(5-30)式必須在電流、電壓參考方向一致時(shí)才能使用,若參考方向不一致,則需在該式前面加一負(fù)號(hào)。

(5-30)式表明:在某一時(shí)刻,電感的電壓取決于該時(shí)刻電流的變化率,而不是電流本身。如果電流不變,那么di/dt為零,電感上的電壓也為零,因此,電感對(duì)直流起著短路的作用。電感電流變化越快,即di/dt越大,感應(yīng)電壓就越大。

我們也可以把電感的電流i表示為電壓u的函數(shù)。對(duì)(5-30)式積分,可得（5-31）在任選初始時(shí)刻t0以后,(5-31)式可表示為（5-32）上式告訴我們,在某一時(shí)刻t的電感電流值取決于其初始值i(t0)以及在[t0，t]區(qū)間內(nèi)所有的電壓值。(5-30)式和(5-32)式是電感VAR的兩種表達(dá)式。5.2電感元件5.2.3電感電流的連續(xù)性質(zhì)和記憶性質(zhì)

由上述電感的VAR可以看到,它與電容的VAR有極大的相似性,它們是對(duì)偶方程。電感和電容是對(duì)偶元件,電感的電流(電壓)與電容的電壓(電流)是對(duì)偶變量,L和C是對(duì)偶參數(shù)。因此,電感電流與電容電壓有許多相似的性質(zhì),如連續(xù)性與記憶性。在動(dòng)態(tài)電路的諸電壓、電流變量中,電容電壓uC(t)和電感電流iL(t)占有特殊重要的地位,通常我們把這一對(duì)變量稱(chēng)為動(dòng)態(tài)電路的狀態(tài)變量。

與電容相似,電感的VAR(5-32)式反映了電感電流的連續(xù)性質(zhì)和記憶性質(zhì)。電感電流的連續(xù)性質(zhì)可陳述如下：

若電感電壓u(t)在閉區(qū)間[ta,tb]內(nèi)為有界的,則電感電流iL(t)在開(kāi)區(qū)間(ta,tb)內(nèi)為時(shí)間t的連續(xù)函數(shù),即在有限電感電壓的前提下,電感電流不可能發(fā)生跳變。“電感電流不能躍變”在動(dòng)態(tài)電路的分析中常常用到,但需注意應(yīng)用的前提,即電感電壓有界。5.2電感元件(5-31)式反映了電感電流的記憶性質(zhì)。電感電流有“記憶”電壓的性質(zhì),電感是一種記憶元件。(5-32)式是一個(gè)更具有實(shí)際意義,反映電感電流記憶性質(zhì)的關(guān)系式。在該式中利用了初始電流iL(t0)對(duì)t<t0時(shí)電壓的記憶作用,使我們不需要知道t<t0時(shí)電壓的具體情況,卻能在確定t≥t0

的iL(t)時(shí)考慮到過(guò)去全部電壓對(duì)它的影響。在含電感的動(dòng)態(tài)電路分析中,知道電感的初始電流是一個(gè)重要的條件。電感的初始電流可用附加電流源表示。設(shè)電感的初始電流為i(t0)=I,如圖5-10(a)所示,由(5-32)式可得由此可知,一個(gè)具有初始電流的電感在t≥t0

時(shí)可等效為一個(gè)初始電流為零的電感與電流源的并聯(lián)電路,電流源的電流值即為t0

時(shí)電感的電流I,如圖5-10(b)所示。5.2電感元件5.2.4電感元件的儲(chǔ)能電感是存儲(chǔ)磁能的元件,儲(chǔ)能公式的推導(dǎo)與5.1節(jié)中電容儲(chǔ)能公式的推導(dǎo)類(lèi)似(讀者也可自行推導(dǎo))。在關(guān)聯(lián)方向下,電感吸收的瞬時(shí)功率為

p(t)=u(t)·i(t)（5-33）因此,在t1到t2期間所供給電感的能量可表示為（5-34）對(duì)于線(xiàn)性電感,可將(5-30)式代入,得（5-35）此即為在t1到t2期間電感儲(chǔ)能的改變量。由此可知電感的儲(chǔ)能公式為（5-36）上式表明,電感L在某一時(shí)刻t的儲(chǔ)能只與該時(shí)刻的電流有關(guān),電感電流反映了電感的儲(chǔ)能狀態(tài)。5.2電感元件5.2.4電感元件的串并聯(lián)電感元件串聯(lián)與并聯(lián)公式的推導(dǎo)與電容元件相似,這里省略,僅給出電感串聯(lián)、并聯(lián)的公式(讀者也可利用對(duì)偶關(guān)系推出)。電感串聯(lián)公式L1,L2,…,Ln這n個(gè)電感相串聯(lián),其等效電感為L(zhǎng)=L1+L2+…+Ln（5-37）

分壓公式為（5-38）上式表明,第k個(gè)電感器上分到的電壓uk與其自身的電感Lk成正比(這個(gè)關(guān)系與電阻分壓相似)。5.2電感元件2.電感并聯(lián)公式L1,L2,…,Ln這n個(gè)電感相并聯(lián),其等效電感為（5-39）分流公式為（5-40）上式表明,在所有電感器都是零初始電流的情況下,第k個(gè)電感器中分到的電流與自身電感Lk成反比(這個(gè)關(guān)系與電阻分流相似)。對(duì)于兩個(gè)電感器并聯(lián)的電路,分流公式由(5-40)式獲得（5-41）5.2電感元件5.3.1動(dòng)態(tài)電路的基本概念在電阻電路的分析中,電路響應(yīng)與激勵(lì)之間的關(guān)系可用代數(shù)方程表征,其特點(diǎn)是響應(yīng)僅與當(dāng)時(shí)的激勵(lì)有關(guān)。由上兩節(jié)介紹的電容、電感性質(zhì)知,當(dāng)電路接有電容、電感等儲(chǔ)能元件時(shí),電路的響應(yīng)與電路的歷史狀態(tài)有關(guān),而且儲(chǔ)能元件的電壓和電流的約束關(guān)系是對(duì)時(shí)間變量t的微分或積分,因此含儲(chǔ)能元件電路的方程都是微分方程。當(dāng)電路元件都是線(xiàn)性非時(shí)變?cè)r(shí),電路方程是線(xiàn)性常系數(shù)微分方程。

動(dòng)態(tài)電路是指包含至少一個(gè)動(dòng)態(tài)元件(電容或電感)的電路。動(dòng)態(tài)電路中若含有一個(gè)獨(dú)立的動(dòng)態(tài)元件,則稱(chēng)為一階電路,表征該一階動(dòng)態(tài)電路的電路方程為一階常系數(shù)微分方程;動(dòng)態(tài)電路中若含有兩個(gè)獨(dú)立的動(dòng)態(tài)元件,則稱(chēng)為二階電路(電路方程為二階常系數(shù)微分方程);若動(dòng)態(tài)電路中含有三個(gè)或三個(gè)以上獨(dú)立的動(dòng)態(tài)元件,則稱(chēng)為高階電路(電路方程為高階常系數(shù)微分方程)。5.3動(dòng)態(tài)電路導(dǎo)論動(dòng)態(tài)電路的一個(gè)特征是當(dāng)電路的結(jié)構(gòu)或元件的參數(shù)發(fā)生改變時(shí),如電路中電源或者無(wú)源元件斷開(kāi)或信號(hào)突然注入等,可能使電路改變?cè)瓉?lái)的工作狀態(tài),而轉(zhuǎn)變到另一個(gè)工作狀態(tài)。這種轉(zhuǎn)變往往需要經(jīng)歷一個(gè)過(guò)程,稱(chēng)為暫態(tài),在工程上稱(chēng)為過(guò)渡過(guò)程。隨著時(shí)間的推移,當(dāng)電路中各個(gè)元件的電壓和電流都不隨時(shí)間改變,或都是與電源同頻率的正弦量時(shí),稱(chēng)這時(shí)的電路狀態(tài)為穩(wěn)態(tài)。根據(jù)電路的激勵(lì)不同,可分為直流穩(wěn)態(tài)電路和正弦穩(wěn)態(tài)電路兩類(lèi)。在直流穩(wěn)態(tài)電路中,各支路電壓和電流均為恒定量,由于電感與電容的伏安關(guān)系為微分形式,因此直流穩(wěn)態(tài)情況下,由iL與uC為恒定量,可得uL=0,iC=0,即電感相當(dāng)于短路,電容相當(dāng)于開(kāi)路。正弦穩(wěn)態(tài)電路是指電路中電流、電壓均為正弦交流量,本書(shū)第9章將介紹正弦穩(wěn)態(tài)電路的求解。把電路結(jié)構(gòu)或者參數(shù)的改變所引起的電路變化統(tǒng)稱(chēng)為“換路”,若換路是在t=0時(shí)刻進(jìn)行的(當(dāng)然也可以設(shè)t=t0時(shí)刻進(jìn)行),則為了敘述的方便,把換路前趨近于換路的一瞬間記為t=0-,把換路后的初始瞬間記為t=0+,換路所經(jīng)歷的時(shí)間記為0-到0+。5.3動(dòng)態(tài)電路導(dǎo)論把動(dòng)態(tài)電路中各電容電壓和各電感電流在t=0+時(shí)的數(shù)值集合稱(chēng)為電路的初始狀態(tài);把各電容電壓和各電感電流在t=0-時(shí)的數(shù)值集合稱(chēng)為電路的原始狀態(tài)。如果在t=0+時(shí),各電容電壓和電感電流均為零,則稱(chēng)為零初始狀態(tài),簡(jiǎn)稱(chēng)零狀態(tài)。下面以圖5-12為例說(shuō)明上述概念。在圖5-12(a)中,設(shè)電容原來(lái)沒(méi)有充電,在t=0時(shí)刻,開(kāi)關(guān)向上連到a點(diǎn),電路進(jìn)行了換路;在t=t1時(shí)刻,開(kāi)關(guān)又移到b點(diǎn),電路又進(jìn)行換路。圖5-12(b)為電容電壓uC隨時(shí)間t變化的曲線(xiàn)。從圖(b)可以看到,由于在t=0時(shí)刻之前電容沒(méi)有充電,因此電容電壓的原始狀態(tài)為0,在t=0換路瞬間,即t=0+時(shí),電容電壓的初始狀態(tài)也為0,即為零狀態(tài)。隨后電容被充電,電容電壓隨時(shí)間t增大,該過(guò)程即為暫態(tài)。當(dāng)t=t'時(shí),電容電壓被充電到電源電壓值并保持不變,這時(shí)電路達(dá)到穩(wěn)態(tài)。由于在t=t1時(shí)刻,電路又進(jìn)行換路,電容電壓又隨時(shí)間變化,因此電路又進(jìn)入暫態(tài)。圖5-12電路的暫態(tài)與穩(wěn)態(tài)5.3動(dòng)態(tài)電路導(dǎo)論5.3.1換路定律及電路初始值的確定用經(jīng)典法求解常微分方程時(shí),必須根據(jù)電路的初始條件來(lái)確定解答中的積分常數(shù)(定解)。設(shè)描述電路動(dòng)態(tài)過(guò)程的微分方程為n階,所謂初始條件,就是指電路中所求變量(電壓或電流)及其n-1階導(dǎo)數(shù)在t=0+時(shí)的值,也稱(chēng)初始值。其中除獨(dú)立電源的初始值外,電容電壓uC和電感電流iL的初始值,即uC(0+)和iL(0+)稱(chēng)為獨(dú)立的初始條件,其余稱(chēng)為非獨(dú)立的初始條件。初始值的確定需要應(yīng)用換路定律。1.換路定律1）換路定律1若電路在t0時(shí)刻換路,換路瞬間電容電流iC為有限值,則uC(t0+)=uC(t0-)（5-42a）qC(t0+)=qC(t0-)（5-42b）

5.3動(dòng)態(tài)電路導(dǎo)論證明:對(duì)于線(xiàn)性電容來(lái)說(shuō),在任意時(shí)刻t,它的電荷和電壓可寫(xiě)為式中，q，uC分別為電容的電荷和電壓。令t1=t0-,t=t0+,得（5-43a）（5-43b）從(5-43a)式和(5-43b)式可以看出,如果在換路前后,即t0-到t0+的瞬間,電流iC(t)為有限值,則式中右方的積分項(xiàng)將為零。也即在t0-到t0+的瞬間,電容上的電荷和電壓不發(fā)生躍變。(5-42a)式和(5-42b)式得證。對(duì)于一個(gè)t=t0-時(shí)不帶電荷的電容來(lái)說(shuō),在換路瞬間電壓不發(fā)生躍變的情況下,有uC(t0+)=uC(t0-)=0?？梢?jiàn),該瞬間電容相當(dāng)于短路。5.3動(dòng)態(tài)電路導(dǎo)論2）換路定律2若換路瞬間電感電壓uL為有限值,則iL(t0+)=iL(t0-)（5-44a）ψL(t0+)=ψL(t0-)（5-44b）證明：對(duì)于一個(gè)線(xiàn)性電感,其磁通鏈和電流可寫(xiě)為令t1=t0-,t=t0+,得（5-45a）（5-45b）5.3動(dòng)態(tài)電路導(dǎo)論從(5-45a)、(5-45b)式可看出,如果在換路前后,從t0-到t0+的瞬間,電壓u(t)為有限值,則式中右方積分項(xiàng)為零。也即在t0-到t0+的瞬間,電感中的磁通鏈和電流不發(fā)生躍變。(5-44a)式和(5-44b)式得證。

對(duì)于一個(gè)t=t0-時(shí)電流為零的電感來(lái)說(shuō),在換路瞬間電流不發(fā)生躍變的情況下,有iL(t0+)=iL(t0-)=0?？梢?jiàn),該瞬間電感相當(dāng)于開(kāi)路。應(yīng)指出,電路在換路時(shí),僅電容電壓和電感電流受換路定律的約束不能躍變,而電容電流和電感電壓以及電路中其他的電壓、電流是可以躍變的。5.3動(dòng)態(tài)電路導(dǎo)論2.初始值(初始條件)的確定根據(jù)換路定律,計(jì)算獨(dú)立初始條件uC(0+)和iL(0+),一般可以通過(guò)求解換路前的電路在t=0-時(shí)刻的uC(0-)和iL(0-)來(lái)確定。對(duì)于電路中其他一些電壓和電流的初始值(非獨(dú)立初始條件),如電阻上的電壓和電流、電容電流、電感電壓等,由于這些量不滿(mǎn)足換路定律所描述的0-與0+時(shí)刻的等值規(guī)律,因此這些初始值的確定需由電路中的獨(dú)立初始條件和t=0+時(shí)刻的激勵(lì)值確定,此時(shí)有必要引入t=0+時(shí)刻等效電路的概念。具體步驟如下：(1)根據(jù)換路前的電路求出uC(0-)和iL(0-),依據(jù)換路定律確定uC(0+)和iL(0+)。(2)畫(huà)出t=0+時(shí)刻的等效電路。即將每一電感用一電流源替換,其值為iL(0+);每一電容用一電壓源替換,其值為uC(0+);電路中其他元件參數(shù)取0+時(shí)刻的數(shù)值。(3)求解t=0+時(shí)刻的等效電路即可得出所需要的初始電流和電壓。這里需要明確指出,t=0+時(shí)刻的等效電路僅在0+時(shí)刻有效,也即僅僅為了求取非獨(dú)立初始條件。5.3動(dòng)態(tài)電路導(dǎo)論例5-5如圖5-13(a)所示電路,t=0時(shí)刻開(kāi)關(guān)S閉合,換路前電路處于穩(wěn)態(tài),求各支路電流和各元件電壓的初始值。解(1)根據(jù)圖5-13(a),計(jì)算出換路前的電感電流：圖5-13例5-5電路圖(a)電路圖;(b)t=0+時(shí)刻的等效電路5.3動(dòng)態(tài)電路導(dǎo)論根據(jù)換路定律,電感電流的初始值為iL(0+)=iL(0-)=2mA(2)作出t=0+時(shí)刻的等效電路,如圖5-13(b)所示,這時(shí)電感相當(dāng)于一個(gè)2mA電流源。(3)根據(jù)t=0+時(shí)刻的等效電路,計(jì)算各支路電流和各元件電壓的初始值。由于

iL(0+)=2mA因此

uR2(0+)=R2·iL(0+)=2×103×2×10ˉ3=4V根據(jù)網(wǎng)孔法,有

(R1+R3)i(0+)-R3iL(0+)=6所以則

uR1(0+)=i(0+)·R1=4×1=4V根據(jù)KCL,有

i1(0+)=i(0+)-iL(0+)=4-2=2mA故

uR3(0+)=i1(