矩形的性質與判定 北師大版初中數(shù)學九年級上冊同步練習（含詳細答案解析） (一)

1.2矩形的性質與判定北師大版初中數(shù)學九年級上冊同步練習

一、選擇題：本題共12小題，每小題3分，共36分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.如圖，在△力中，點D,E分別是邊AB,4c的中點，點尸是線段DE上的一點.連接力F,BF,^AFB=

90S且48=8,BC=14,則EF的長是（）

C.4D.5

2.如圖，在△/BC中，/-ABC=90°,48=8,BC=12,。為4C邊上的一個動點，連接

BD,E為80上的一個動點，連接4E,CE,當418。=4BCE時，線段4E的最小值是（

A.3

B.4

C.5

D.6

3.已知四邊形ABCD的對角線相交于點。，則下列條件中不能判定它是矩形的是（）

\.AB=CD,AB//CD,Z.BAD=90°

B.AO=CO,BO=DO,AC=BD

C.LBAD=乙ABC=90°,乙BCD+乙ADC=180°

D.LBAD=乙BCD,LABC=Z.ADC=90°

4.如圖，在△ABC中，Z-BAC=90°,AB=8,AC=6,M為8C上的一動點，ME_L48于E,MF1ACf

F,N為EF的中點，則MN的最小值為（）

A.4.8B.2.4C.2.5D.2.6

5.如圖，四邊形04BC是矩形，4(2,1),8(0,5),點C在第二象限，則點。的坐標是()

A.(-1,3)B.(-1,2)C.(-2,3)D.(-2,4)

6.如圖，矩形力BCD中，AD=12.Z.DAC=30。，點P、E分別在4C、4。上，則A________E八

PE+PO的最小值是()

A.6

BI....—

B.6/3

C.12

D.8/3

7.如圖，在四邊形48G9中，AB//CD,ZC=90°,AB=8,AD=CD=5,點M為BC上異于B、C的一定

點，點N為48上的一動點，E、尸分別為DM、MN的中點，當N隊4到B的運動過程中，線段“掃過圖形的

ANB

A.4B.4.5C.5D.6

8.如圖所示，點M是矩形ABC。的對角線力C上一點，過點M作E0/4B,分別交AD,BC于點E,F,連接

MD,MB若DE=2,EM=5,則陰影部分的面積為().

f

AT---------沏

A.5B.10C.12D.14

9.如圖，在矩形48CD中，AB>BC,點E,F,G,”分別是邊D4AB,BC,G）的中點，連接EG,HF,

則圖中的矩形共有（）

A.5個B.8個C.9個D.11個

1（）.已知矩形718co的邊長48=6,對角線力C,8。交于點。且乙/1。3=60。，則"的長為（）

A.6B.12C.6/3D.1273

11.如圖，矩形/8C。中，連接力C，延長BC至點E,使BE=4C,連接

DE,若NE=70。，則，力C8的度數(shù)是（）

A.40°

B.450

C.50°

D.60°

12.三角形△48C中，AB=AC=4,BC=2,E,尸分別是邊4E,AC上的動點，且4E=C凡則CE+8打

的最小值為（）

A.3/2B.2/6C.5.4D.5.6

二、填空題：本題共4小題，每小題3分，共12分。

13.如圖，在RCA48C中，4c=90。，AC=3cm,BC=4cm,D是AB上一點，DE14c于點E,DF1

BC于點、F,連接E幾則的最小值為________cm.

14.如圖是一張矩形紙片ABC。，點M是對角線AC的中點，點E在BC邊上，把△DCE沿直線DE折疊，使點C

落在對角線4C上的點F處，連接。入EF.若MF=AB,則乙。”=一度.

15.如圖，矩形48CD中，AD=12,AB=8,E是A8上一點，且￡8=3,F是BC上一動點，若將ZkEB產(chǎn)沿

EF對折后，點8落在點P處，則點P到點。的最短距離為.

16.已知四邊形/BCD,其中皿/BC,AB1BC,將。已沿。E折疊,C落于C',DC咬CB于G,且ABG。為長

方形（如圖1）；再將紙片展開，將4。沿。尸折疊，使A點落在DC延長線上一點4（如圖2）,在兩次折疊過程

三、解答題：本題共9小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

17.（本小題8分）

如圖，在△48C中，AB=AC,AD1BC,垂足為0,AN是△48C外角4。4M的平分線，CE工AN,垂足為

￡求證：四邊形力OCE是矩形.

V

18.(本小題8分)

如圖，在四邊形48。。中，AD//BC,48=90。，AD=24cm,AB=8cm,BC=26cm,動點P從A開始沿

AO邊向。以Icm/s的速度運動；Q從點C開始沿C8邊向B以3cm/s的速度運動.P、Q分別從點人C同時出

發(fā)，當其中一點到達端點時，另外一點也隨之停止運動.

(1)當運動時間為t秒時，用含珀勺代數(shù)式表示以下線段的長：AP=,BQ=；

(2)當運動時間為多少秒時，四邊形PQCD為平行四邊形？

(3)當運動時間為多少秒時，四邊形4BQP為矩形？

19.(本小題8分)

四邊形4BCD中，立力==90。，點E在邊AB上，點F在力。的延長線上，且點E與點尸關于直線CD對稱,

過點E作EG〃/1廣交CD于點G,連接/G,DE.

(1)求證：四邊形DEG"是菱形；

(2)若=10,AF=BC=8,求四邊形。EGF的面積.

20.(本小題8分)

如圖，在矩形A8CD中，AB=5,BC=7,點E是AD上一個動點,把18AE沿BE向矩形內部折疊，點A的

對應點4恰好落在4BCD的平分線上.

(2)在圖②中求線段C4'的長.

21.(本小題8分)

如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，E為AB上一點.

(1)如圖①，只用無刻度直尺在CD上作出點F,使得四邊形AECF為平行四邊形；

(2)如圖②，用直尺和圓規(guī)作出矩形EFGH,使得點F、G、H分別在BC、CD、DA上.(保留作圖痕跡)

22.(本小題8分)

在CL48co中，E、尸、G、”分別是48、BC、CD、40的中點，連接4/、CH、4G、CE,AF、CE相交于點

M,4G、C”相交于點N.

(1)求證：四邊形AMCN是平行四邊形：

(2)若四邊形AMC7V是矩形，連接A。、BD,則4C、80滿足的數(shù)量關系是

23.（本小題8分）

如圖，在矩形4BCD中，BC=6,AB=9,E為4）的中點，連接CE,過點E作CE的垂線交48于點入交

CD的延長線于點G,連接C".

（2）求E/的長.

24.（本小題8分）

25.（本小題8分）

點0為矩形4BCD的中心.

(1)命題1：如圖①，過點。的直線EFJLAC,分別交ND,BC于點E,F,則四邊形AFCE是菱形.

命題2：如圖②，P,Q兩點在AB,CO上，且線段PQ過點。，過點0的直線E尸1PQ,分別交4),8c于點

E,F,則四邊形P/QE是菱形.

請先判斷兩個命題的真假，并選擇?個真命題進行證明.

(2)若把圖①的四邊形力FCE的面積記為Si，圖②的四邊形PFQE的面積記為S2，則Si________S2.(ffi

“>”或或“=”)

答案和解析

1.【答案】B

【解析】本題考查了三角形的中位線定理，直角三角形斜邊上的中線，熟練掌握三角形中位線定理是解題

的關鍵.

根據(jù)三角形中位線定理求得長度，再利用直角三角形斜邊上的中線求得。戶長度，即可得到結論.

解：???點E分別是邊力從AC的中點,

:CE是A/IB。的中位線，

???BC=14,

ADE=』BC=7,

VZ.AFB=90°,AB=8,

ADF=\AB=4,

?.EF=DE-DF=7-4=3,

故選：B.

2.【答案】B

【解析】解：如圖，取8c的中點T,連接AT,ET.

:.Z.ABD+乙CBD=90。，

,:Z.ABD=乙BCE,

Z.CBD+乙BCE=90°,

乙CEB=90°,

CT=TB=6,

ET=；BC=6,AT=AB2+BT2=V82+62=10,

VAE>AT-ET,

：-AE>4,

???AE的最小值為4,

故選:B.

如圖，取BC的中點丁，連接AT,￡T.首先證明乙CE8=90。，求出47,ET,根據(jù)AE2AT-ET,可得結

論.

本題考查宜角三角形斜邊中線的性質，勾股定理等知識，解題的關鍵是求出力T,ET的長，屬「中考?？?/p>

題型.

3.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查的是矩形的判定定理，但考生應注意的是由矩形的判定引申出來的各圖形的判定.難度一般.矩

形的判定定理有：（1）有一個角是直角的平行四邊形是矩形.（2）有三個角是直角的四邊形是矩形.（3）對角

線耳相平分H.相等的四功形顯矩形.據(jù)此判斷.

【解答】

解：4一個角為直角的平行四邊形為矩形，故4正確；B-AO=CO,8。=。。，則四邊形/BCD是平行四

邊形，又AC=BD,則四邊形ABCD是矩形，故B正確;

C.LBCD+^ADC=180°,但乙BCD不一定與相等，根據(jù)矩形的判定定理，故。不正確;

。.因為四邊形內角和為360。，且=^ABC=LADC=90°,故可得到四個內角都是90。，根

據(jù)矩形的判定（有三個角是直角的四邊形是矩形），故。正確.

故選C.

4.【答案】B

【解析】解：過點A作力M1BC于點M',

???在△4BC中，ABAC=90°,AB=8,AC=6,

:.BC=V82+62=10，

MM=1T=T-

???MEJ.4B于E,MFlAC^F,

匹邊形4EMF是矩形，

AAM=EF,MN=^AM,

.??當MN最小時，AM最短，此時點M與W重合，

iIo

MN=差=2.4.

故選:B.

過點A作/M18C于點M',根據(jù)勾股定理求出BC的長，再由三角形的面積公式求出AM'的長.根據(jù)題意得

出四邊形力EM戶是矩形，故可得出/1M=EF,MN=：AM,當MN最小時，4M最短，此時M與M'重合，據(jù)

此可得出結論.

本題考查了矩形的性質的運用，勾股定理的運用，三角形的面積公式的運用，垂線段最短的性質的運用，

解答時求出AM的最小值是關鍵.

5.【答案】D

【解析】【分析】

本題考查了矩形的性質，全等三角形的判定和性質，坐標與圖形的性質，正確的作出輔助線是解題的關

鍵.

過C作CEly軸于E,過4作力尸ly軸于心得至Ij/CE。==90。，根據(jù)矩形的性質得到48=OC,

AB//OC,根據(jù)全等三角形的性質得到CE=A尸，OE=BF,BE=OF,十是得到結論.

【解答】

解：過。作軸于E,過力作/r軸于F,

卯邊形力"。是矩形，

AB=0C,AB//OC,

???Z.ABF=乙COE,

.?.△OCE?z\6AF(/L4S),

同理ZiBCE@△OAF,

CE=AF,OE=BF,BE=OF,

???力(2,1),B(0,5),

.?.AF=CE=2,BE=OF=1,OB=5,

???OE=4,

.??點C的坐標是（一2,4）,

故選：D.

6.【答案】B

【解析】解：如圖，將線段4。沿AC翻折得到線段AF,過點F作FH1A。于H,連接PE

vZ.DAC=30°,AD=12,

由翻折可知，Z-CAF=Z.DAC=30°,AF=AD=12,PF=PD,

?；PD+PE=FP+PE,

又???FP+PE>FH,

??.PD+PD的最小值就是線段FH的長，

vZ/1/7F=90°,Z.HAF=60°,AF=12,

AAH=6,FH=6/3?

:.PE+P。的最小值為6門，

故選:B.

如圖，將線段40沿4c翻折得到線段4/，過點尸作尸，14。于H,連接P凡證明PF=PD,推出PD+PE=

FP+PE>FH,求出FH即可解法問題.

本題考查軸對稱最短問題，垂線段最短，矩形的性質，解直角三角形等知識，解題的關鍵是學會利用軸對

稱解決最值問題，屬于中考?？碱}型.

7.【答案】4

【解析】【分析】

本題考杳的是三角形中位線定理、勾股定理的應用，根據(jù)中位線定理得到點F的運動軌跡是解題關鍵.首先

作出輔助線，得到點F的運動考L跡是A/IBM的中位線，從而得到線段EF掃過圖形即為AEF”,由中位線定

理求得EH長，再結合勾股定理中位線定理求得邊上的高EL即可.

【解答】

解：如圖，連接4M,取AM,中點H,G,連接EH,EG,過E作EK1CO于K,過”作HT_LAB于7,作

DS1ABTS,作ELJ.HF于L.

???E為DM中點,尸為NM中點，且N在A,3之間運動，貝U尸的運動軌跡是線段“G,即線段￡尸掃過圖形為△

EHG,

???AG是△48M的中位線，

AHG=^AB=4,

???“=90。，AB//CD,

:.4B=90°,

??坦邊形CCBS為矩形，

BS=CD=5,BC=DS,

AS=AB-BS=3,

由勾股定理OS=BC=V52-32=4，

???EH分別為DM,4M中點，

:.EK,HT分別為△OCM,△/IBM的中位線，

:.EK=\CM,HT=：BM,

:.EK+HT=1(CM+BM)=^BC=2,

4La

:.EL—2,

EHr的面積為:x4x2=4.

故選A.

8.【答案】B

【解析】解：如圖所示，作MP148于點P,并延長PM,交DC于點Q,則四邊形DEMQ、四邊形QM?

四邊形4EMP、四邊形MPBr都是矩形，

VDE=2,EM=5,

S^DEM=SUMFB=2X2X5=5.

S陰膨=5+5=10,

9.【答案】C

【解析】【分析】

本題主要考查矩形的判定，難度一般.矩形是指有一個內角是直角的平行四邊形.

設EG和HF相交于。，找出圖中四邊形OE。"、EAFO.HOGC.OFBG、DAFH.HFBC、DEGC、EABG.

488為矩形.

【解答】

解：設EG與”?相交于點0,

?.?矩形ABCD中，點、E,F,G,"分別是邊DA,AB,BC,CD的中點，

DC//EG//AB,AD//FH//BC,

Z.DAF=乙DEG=乙HOG=乙HFB=90°

亞邊形DEOH,EAFO,HOGC,OFBG,DAFH,HFBC,DEGC,EABG,ABC。為矩形；

則圖中矩形有矩形DE。"，EAFO,HOGC,OFBG,DAFH,HFBC,DEGC,EABG,ABCD,共9個.

故選C.

10.【答案】B

【解析】【分析】

本題考查了矩形的性質，等邊三角形的判定和性質，掌握矩形的性質是解題的關鍵.

由矩形的性質可得AC=BD?AO=BO=CO=DO?可證△A08是等邊三角形，可得A。=BO=AB=

6,即可求解.

【解答】

解：???四邊形力BCD是矩形，

，AC=BD,AO=BO=CO=DO,

???Z.AOB=60°,

.??△A08是等邊二角形,

AO=BO=AB=6,

???AC=2A0=12,

故選:B.

11.【答案】A

:.BD=ACfOB=OC,

???BE=AC,

???BD=BE,

???乙BDE=乙BED=70°,

...乙CBD=180°-乙BDE-乙BED=40°,

vOB=OC,

:.Z.ACB=乙CBD=40°.

故選：A.

連接8D,交AC于。，由矩形的性質得8。=AC,OB=OC,從而得出=BE,利用等邊對等角求得

乙BDE=乙BED=70。，從而由三侑形內角和定理求得乙C8D=40。，即可由等邊對等角求解.

本題考查矩形的性質，等腰三角形的性質，三角形內角和定理.正確作出輔助線，構造等腰三角形是解題

的關鍵.

12.【答案】B

【解析】【分析】

本題主要考查的是平行線的性質，全等三角形的判定與性質，兩點之間線段最短，矩形的判定和性質等有

關知識.

忤AGI/BC,截取AG=BC,連接GE,GC,作GHJ.8C,AMLBC,證明aGAE也△8C",推出8尸=

EG,可得當G,E,C在同一直線上時，GE+CE=CG,此時值最小，即CE+8F的值最小，求出CG的

長，可得結論.

【解答】

解：忤AGHBC,截取AG=8C,連接GE,GC,作GH18C交CB延長線于H,4MlBC與M,

vAB=AC=4

:.Z.ACB=Z.ABC

???AG//BC

/.GAB=Z.ABC

???￡GAE=LBCF

AG=BC=2,Z-GAE=乙BCF,AE=CF

:.&GAE出2BCF

GE=BF

當G,E,C在同一直線上時，GE+CE=CG,此時值最小，即CE+8r的值最小

???GH1BC,AM1BC,AG//BC

匹邊形AMHG是矩形

AMH=AG=2,AM=GH

AB=AC=4,BC=2,AM1BC

???CM=1,AM=/15

CH=3

：.CG=J15+32=2/6

??.CE+BF的最小值為2小

13.【答案】2.4

【解析】【分析】

本題考查了矩形的判定與性質，垂線段最短的性質，勾股定理，判斷出時，線段EF的值最小是解

題的關鍵.連接CD,根據(jù)勾股定理求出力8的長，然后證明四邊形CFDE是矩形，得到EF=CD,得到當

CD線段EF的值最小，然后利用面積法求出CD的長即可.

【解答】

解：如圖，連接CD.

vZ.ACB—90°,AC=3cm,BC=4cm,

:.AB=5/32+42=5cm，

???DE1AC,DF1BC,^ACB=90°,

.??匹邊形6DE是矩形，

EF=CD.

由垂線段最短口」得，當CD_LA8時，線段CD的值最小，即線段EF的值最小,

此時，^ABC=^BCAC=^AB-CD,

即：x4x3=；x5S,

解得CD=2.4cm,

；?EF最小=2.4cm.

14.【答案】18

【解析】解：連接。M,如圖:

?.?匹邊形力BCD是矩形,

???Z.ADC=90°.

是4c的中點，

DM=AM=CM,

Z.FAD=Z.MDC=Z.MCD.

vDC,DF關于DE對稱,

ADF=DC,

???Z.DFC=乙DCF.

-MF=AB,AB=CD,DF=DC,

MF=FD.

:.Z.FMD=乙FDM.

vZ.DFC=乙FMD+乙FDM,

AZDFC=2乙FMD.

vZ.DMC=Z.FAD+Z.ADM,

:.Z.DMC=2^FAD.

設/FAZ)=x°,則4OFC=4x°,

KMCD=Z.MDC=4x°.

vZ.DMC+乙MCD+乙MDC=180°,

:.2x4-4%+4x=180.

:.x=18.

故答案為：18.

連接。M,利用斜邊上的中線等于斜邊的一半可得△4MD和aMCD為等腰三角形，Z.DAF=^MDA,

乙MCD=々MDC；由折疊可知DF=DC,可得乙DFC=4DCF；[hMF=AB,AB=CD,DF=DC,可得

FM=FD,進而得到/"MO=NFDM：利用三角形的外角等于和它不相鄰的兩個內角的和，口?得，=

2LFMD：最后在△MOC中，利用三角形的內角和定理列出方程，結論可得.

本題主要考查了矩形的性質，折疊問題，三角形的內角和定理及其推論，利用三角形內角和定理列出方程

是解題的關鍵.

15.【答案】10

【解析】【分析】

先根據(jù)勾股定理“算ED的K,當E、P、。共線時，。戶最小，即最短距離是此時P。的K.

本題考查了矩形的性質，勾股定理，翻折變換的性質，利用數(shù)形結合的思想，根據(jù)圖形確定點P到點。的最

短距離解決問題.

【解答】

解：如圖，連接PD,DE,

?.?匹邊形48。。是矩形,

二Z/1=90°,

vAB=8,BE=3,

???AE=5,

vAD=12,

DE=V52+122=13,

由折疊得：￡B=EP=3,

vEP+DP>ED,

.?.蘭E、P、。共線時，OP最小，

:.DP=DE-EP=13-3=10；

故答案為：10.

16.【答案】45

【解析】解：設乙EDC=%,乙GDF=y,

由折疊性質可知，Z.EDG=x,Z.ADF=

Z.CDF=2x+y,

由/40G=90。，得2x+y+y=90。，

x+y=45°,

故乙EDF=x+y=45°,

故答案為：45.

設4￡。。二人，乙GDF=y,根據(jù)折疊性質可知，乙EDG=x,ZLADF=^-CDF=2x+y,然后利用乙40G二

90c列出2x+y+y=90。求得x+y的值即可求得答案.

本題考查了長方形的性質及折疊的性質，解題的關健是了解折置不變量，并根據(jù)題意得到2%+y+y=

90S難度中等.

17.【答案】證明：?.?在△A8C中，AB=AC,40是8C邊的中線,

:，AD1BC,Z-BAD=Z.CAD,

乙ADC=90",

?：AN為&力BC的外角N&4M的平分線,

:.￡MAN=4CAN,

/.DAE=90°,

???CE1AN,

:.LAEC=90°,

匹邊形ADCE為矩形.

【解析】本題是以開放型試題，主要考查了對矩形的判定，等腰三角形的性質，及角平分線的定義等知識

點的綜合運用.

根據(jù)等腰三角形的性質可得AD1BC,乙BAD=乙C/W,又由角平分線的定義結合平角定義可得，ZX4E=

90%利用已知條件和矩形判定的條件即可求證.

18.【答案】解：(l)tcm；(26-3t)cm；

(2)由潁意可得：PD=4O-4P=(24-t)C7n,QC=3tcm,

'：AD//BC,

PD//QC,

設當運動時間為t秒時PD=QC,比時四邊形PQCD為平行四邊形.

由PD=QC得，24-￡=33

解得t=6,

???*運動時間為6秒時，四邊形PQCO為平行四邊形.

⑶?：AD/IBC,

/.AP//BQ,

設當運動時間為￡秒時4P=BQ,四邊形48QP為平行四邊形.

由4P=BQ得：t=26-3t,

解得：t=M

又?.△8=90°

???平行四邊形力BQP為矩形.

.?.當運動時間為:秒時，四邊形力BQ0為矩形.

【解析】【分析】

此題考查了平行四邊形的判定與性質以及矩形的判定與性質.此題難度適中，注意掌握數(shù)形結合思想與方

程思想的應用.

(1)根據(jù)題意可直接得出；

(2)由在四邊形A8CD中，AD//BC,可得當PD=CQ時，四邊形PQCD是平行四邊形，即可得方程：24-

￡=33解此方程即可求得答案：

⑶由在四邊形A8CD中，AD//BC,=90°,可得當AP=8Q時，四邊形4BQP是矩形，即可得方程：

t=26-3t,解此方程即可求得答案.

【解答】

解：(1)由題意知4P=tcm,BQ=(26-3t)C7n,

故答案為tsn；(26-3t)cm；

(2)見答案;

(3)見答案.

19.【答案】證明：(1)?.?點E與點F關于直線CO對稱，

:.FD=ED,FG=EG,HOG=DG,

.??△FOG々△EOG(SSS),

AZ.EDG=Z.FDG,

???EG//AF,

.??乙EGD=乙FDG,

???乙EGD=乙EDG,

ED—EG,

FD=ED=FG=EG,

匹邊形DEGF是菱形；

(2)連接FC,EC,

vZi4=ZF=90°,

:.AF"CB,且4尸=8。=8,

??M邊形ABC尸是平行四邊形，且“=90°,

.?M邊形48。r是矩形，

.?.CE=CF=AB=10,

:.BE=6?

???AE=4.

設F0=ED=FG=EG=x,則力。=8-x,

在RtA/lOE中，42+(8-X)2=X2,

x-5?

.-.5=5x4=20.

【解析】（1）由折疊的性質可得尸。=ED,FG=EG,可證△/￡）&四ZkEDG,可得上EDG=zFUG,由平行

線的性質可得ZEGD=乙FDG=乙EDG,可得ED=EG,可得結論：

（2）先證四邊形48。/是矩形，可得力8=CF,由折疊的性質可得CE=C?=10,由勾股定理可求

AE,DF的長，即可求解.

本題考查了菱形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理，折疊的性質等知識，靈活運用這些

性質解決是本題的關鍵.

20.【答案】解：（1）如圖所示，點力'即為所求；

圖②

???點A的對應點Af恰落在乙BCD的平分線上,

:.設CM=AM=%,則8M=7—x,

又由折疊的性質知AB=ArB=5,

在直角△4M8中，由勾股定理得到：A'M2=A'B2-BM2=25-(7-x)2,

:.25-(7-x)2=%2,

，％=3或x=4,

在等腰Rt△A'CM中，CAf=y[2ArM,

ACA'=3/2或.

【解析】本題考查了矩形的性質，翻折變換(折疊問題).解題的關鍵是作出輔助線，構建直角和等

腰直角△/VCM,利用勾股定理將所求的線段與已知線段的數(shù)量關系聯(lián)系起來.

(1)先作/BCD的角平分線，再以點B為圓心，以為半徑畫弧，以E為圓心，以力E為半徑畫弧與前

弧交于點4,此時點A!在乙BCD的平分線上；

(2)過點A'作AM1BC于點M.設CM=ArM=x,則8M=7-x.在直角^A'MB中，由勾股定理得

到：A'M2=A'B2-RM2=2S-(7-r)2.由此求得x的值,然后在等腰Rt.AA'CM中由CAr=\[2A'M求

解即可.

21.【答案】解：(1)如圖①，點F,四邊形AECF即為所求作.

(2)如圖②，四邊形EFGH即為所求作.

【解析】(1)連接4C,80交于點0,連接。E,延長E0交C0于點尸，點尸即為所求作.

(2)連接AC,8。交于點。，連接0E,延長E。交CD于點G,以0為圓心0G為半徑作弧交8c于點C延長產(chǎn)。

交AD于點H,連接EF,FG,GH,EH,四邊形EFGH即為所求.

本題考查作圖-復雜作圖，平行匹邊形的性質，矩形的判定和性質等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活

運用所學知識解決問題.

22.【答案】解：(1)?.?四邊形ABCD為平行四邊形，

AB=CD,AB//CD,

???E是4B的中點,

AEAB,

同理CG=^CD,

:.AE=CG,

vAE//CG,AE=CG,

???扎邊形4ECG為平行四邊形，

EC//AG.

同理力廠//CH.

?:EC]/AG,AF//CH,

二匹邊形4MCN為平行四邊形.

(2)8。=3AC.

【解析】【分析】

本題考查了平行四邊形的判定與性質，矩形的性質，三角形重心性質的運用，解題的關鍵是掌握平行四邊

形的判定方法以及三角形重心性質.

(1)證明四邊形AFCH是平行四邊形，可得AM〃CN,證明四邊形AECG是平行四邊形，可得EC//AG.,進

而得出四邊形力MGV是平行四邊形；

(2)連接8D,AC,根據(jù)三角形重心的知識即可解答.

【解答】

解：(1)見答案；

(2)連接BD,AC,

在O4BCD中，AC,80互相平分，則。為4C,80的中點

vM,N分別是△48C,△40C的重心

：.B,M,N,。在同一直線上，且BM=20M,DN=20N

?.?匹邊形AMCN是矩形

A0A=0C=0M=0N

???BD=30M+30N=3MN=3AC

23.【答案】解：(1)證明：根據(jù)題意，在矩形中，則

AB=CD,BC=AD,￡A=Z.EDG=90°,

???￡為力。的中點，

:.AE=DE,

vZ.AEF=乙DEG,

AEF=^DEG,

EF=EG,DG=AF=^:

???CE1FG,

CG=CF；

(2)、?四邊形4BCD是矩形，

CD=AB=9,AE=^AB=\BC=3,

乙B=90°,

設=x,

由(1)得:DEG,

DG=AF=x,

BF=9-x,CF=CG=9+x,

在RCACBF中：BC2+BF2=CF2,

A62+(9-x)2=(9+x)2,

解得：x=l,

=1,

在Rt△E4F中：EF=yjAF2+EF2=Vl2+32=/10.

【解析】本題考查了矩形的性質，全等三角形的判定與性質，垂直平分線的性質，勾股定理等知識，解得

關鍵是熟練根據(jù)所學的知識，正確得到CG=CF

⑴由題意，先證明△店/—△DEG,則Er=EG,DG=AF=^f利用等腰三角形的性質，求出CG=

CF：

(2)設可得DG=AF=x,BF=9—x,CF=CG=