2020年 數(shù)學高考題全國Ⅲ卷(文科)

PAGE1一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.（2020·全國Ⅲ卷）已知集合A＝{1，2，3，5，7，11}，B＝{x｜3＜x＜15}，則A∩B中元素的個數(shù)為（）A.2 B.3C.4 D.5解析：選B∵集合A＝{1，2，3，5，7，11}，集合B＝{x｜3＜x＜15}，∴A∩B＝{5，7，11}，A∩B中有3個元素，故選B.2.（2020·全國Ⅲ卷）若z（1＋i）＝1－i，則z＝（）A.1－i B.1＋iC.－i D.i解析：選D∵z（1＋i）＝1－i，∴z＝1－i1+i＝（1－i）2（1+3.（2020·全國Ⅲ卷）設一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差為0.01，則數(shù)據(jù)10x1，10x2，…，10xn的方差為（）A.0.01 B.0.1C.1 D.10解析：選C∵樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差為0.01，D（aX）＝a2D（X），∴樣本數(shù)據(jù)10x1，10x2，…，10xn的方差為102×0.01＝1，故選C.4.（2020·全國Ⅲ卷）Logistic模型是常用數(shù)學模型之一，可應用于流行病學領(lǐng)域.有學者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計確診病例數(shù)I（t）（t的單位：天）的Logistic模型：I（t）＝K1+e－0.23（t－53），其中K為最大確診病例數(shù).當I（t*）＝0.95K時，標志著已初步遏制疫情，則tA.60 B.63C.66 D.69解析：選C由題意可得，當I（t*）＝0.95K時，K1+e－0.23（t*－53）＝0.95K，∴119＝e－0.23（t*－53），∴l(xiāng)n19＝5.（2020·全國Ⅲ卷）已知sinθ＋sinθ＋π3＝1，則sinθA.12 B.C.23 D.解析：選B∵sinθ＋sinθ＋π3＝32sinθ＋32cosθ＝3sinθ＋π6＝16.（2020·全國Ⅲ卷）在平面內(nèi)，A，B是兩個定點，C是動點，若AC·BC＝1，則點C的軌跡為（）A.圓 B.橢圓C.拋物線 D.直線解析：選A以AB所在直線為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系，設A（－a，0），B（a，0），C（x，y），∵AC·BC＝1，∴（x＋a）（x－a）＋y·y＝1，∴x2＋y2＝a2＋1，∴點C的軌跡為圓，故選A.7.（2020·全國Ⅲ卷）設O為坐標原點，直線x＝2與拋物線C：y2＝2px（p＞0）交于D，E兩點，若OD⊥OE，則C的焦點坐標為（）A.14，0C.（1，0） D.（2，0）解析：選B法一聯(lián)立拋物線方程y2＝2px與直線方程x＝2，可得點D（2，2p），E（2，－2p）或D（2，－2p），E（2，2p），∵OD⊥OE，∴2×2＋2p×（－2p）＝0，即4－4p＝0，∴p＝1，∴拋物線C的方程為y2＝2x，其焦點坐標為12，0法二根據(jù)拋物線的對稱性可知D（2，2）或E（2，2），代入拋物線方程y2＝2px，得p＝1，∴拋物線C的方程為y2＝2x，其焦點坐標為12，08.（2020·全國Ⅲ卷）點（0，－1）到直線y＝k（x＋1）距離的最大值為（）A.1 B.2C.3 D.2解析：選B法一由點到直線的距離公式知點（0，－1）到直線y＝k（x＋1）的距離d＝｜k·0+(-1）·(-1）＋k｜k2+1＝｜k+1｜k2+1＝k2+2k+1k2+1＝1+2kk2+1.當k＝0時，d＝1；當k≠0時，d＝1+2kk法二記點A（0，－1），直線y＝k（x＋1）恒過點B（－1，0），當AB垂直于直線y＝k（x＋1）時，點A（0，－1）到直線y＝k（x＋1）的距離最大，且最大值為｜AB｜＝2，故選B.9.（2020·全國Ⅲ卷）如圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積是（）A.6＋42 B.4＋42C.6＋23 D.4＋23解析：選C由三視圖可知該幾何體為三棱錐，記為三棱錐P-ABC，將其放入正方體中，如圖，易知PA＝AB＝AC＝2，PB＝PC＝BC＝22，故其表面積為S△ABC＋S△PAB＋S△PAC＋S△PBC＝12×2×2＋12×2×2＋12×2×2＋12×22×22×32＝6＋10.（2020·全國Ⅲ卷）設a＝log32，b＝log53，c＝23，則（A.a＜c＜b B.a＜b＜cC.b＜c＜a D.c＜a＜b解析：選A∵23＜32，∴2＜323，∴l(xiāng)og32＜log3323＝23，∴a＜c.∵33＞52，∴3＞523，∴l(xiāng)og53＞log5523＝23，∴b＞c11.（2020·全國Ⅲ卷）在△ABC中，cosC＝23，AC＝4，BC＝3，則tanB＝（A.5 B.25C.45 D.85解析：選C法一在△ABC中，cosC＝23，則sinC＝53＞22，所以C∈π4，π2.由余弦定理知AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cosC＝16＋9－2×4×3×23＝9，所以AB＝3.由正弦定理ACsinB＝ABsinC，得sinB＝459，易知B∈0，π2法二在△ABC中，cosC＝23，AC＝4，BC＝3，所以由余弦定理知AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cosC＝16＋9－2×4×3×23＝9，所以AB＝3，所以△ABC是等腰三角形.過點B作BD⊥AC于點D，則BD＝BC2－CD2＝32－422＝5，tanB2＝212.（2020·全國Ⅲ卷）已知函數(shù)f（x）＝sinx＋1sinx，則（A.f（x）的最小值為2B.f（x）的圖象關(guān)于y軸對稱C.f（x）的圖象關(guān)于直線x＝π對稱D.f（x）的圖象關(guān)于直線x＝π2解析：選D由題意得sinx∈[－1，0）∪（0，1].對于A，當sinx∈（0，1]時，f（x）＝sinx＋1sinx≥2sinx·1sinx＝2，當sinx∈[－1，0）時，f（x）＝sinx＋1sinx＝－－sinx＋1－sinx≤－2－sinx·1－sinx＝－2，當且僅當sinx＝－1時取等號，所以A錯誤；對于B，f（－x）＝sin（－x）＋1sin(-x）＝－sinx＋1sinx＝－f（x），所以f（x）是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，所以B錯誤；對于C，f（x＋π）＝sin（x＋π）＋1sin（x＋π）＝－sinx＋1sinx，f（π－x）＝sin（π－x）＋1sin（π－x）＝sinx＋1sinx，則f（x＋π）≠f（π－x），f（x）的圖象不關(guān)于直線x＝π對稱，所以C錯誤；對于D，fx＋π2＝sinx＋π2＋二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.（2020·全國Ⅲ卷）若x，y滿足約束條件x＋y≥0，2x－y≥0，x解析：法一作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，畫出直線3x＋2y＝0，平移該直線，由圖可知當平移后的直線經(jīng)過點A（1，2）時，z＝3x＋2y取得最大值，zmax＝3×1＋2×2＝7.法二易知z＝3x＋2y的最大值在可行域的頂點處取得，只需求出可行域的頂點坐標，分別將各頂點坐標代入z＝3x＋2y，即可求得最大值.聯(lián)立得x＋y=0，2x－y=0，解得x=0，y=0，代入z＝3x＋2y中可得z＝0；聯(lián)立得x＋y=0，x=1，解得x=1.y＝－1，代入z＝3x答案：714.（2020·全國Ⅲ卷）設雙曲線C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的一條漸近線為y＝2x解析：由雙曲線的一條漸近線為y＝2x可知，ba＝2，即b＝2a.在雙曲線中，c2＝a2＋b2，所以c2＝3a2，所以e＝ca＝答案：315.（2020·全國Ⅲ卷）設函數(shù)f（x）＝exx＋a.若f'（1）＝e4，解析：由于f'（x）＝ex（x＋a)-ex（x＋a）2，答案：116.（2020·全國Ⅲ卷）已知圓錐的底面半徑為1，母線長為3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為.解析：法一如圖，在圓錐的軸截面ABC中，CD⊥AB，BD＝1，BC＝3，圓O內(nèi)切于△ABC，E為切點，連接OE，則OE⊥BC.在Rt△BCD中，CD＝BC2－BD2＝22.易知BE＝BD＝1，則CE＝2.設圓錐的內(nèi)切球半徑為R，則OC＝22－R，在Rt△COE中，OC2－OE2＝CE2，即（22－R）2－R2＝4，所以R＝22，圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為法二如圖，記圓錐的軸截面為△ABC，其中AC＝BC＝3，AB＝2，CD⊥AB，在Rt△BCD中，CD＝BC2－BD2＝22，則S△ABC＝22.設△ABC的內(nèi)切圓O的半徑為R，則R＝2×S△ABC3+3+2答案：23三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分17.（本小題滿分12分）（2020·全國Ⅲ卷）設等比數(shù)列{an}滿足a1＋a2＝4，a3－a1＝8.（1）求{an}的通項公式；（2）記Sn為數(shù)列{log3an}的前n項和.若Sm＋Sm＋1＝Sm＋3，求m.解：（1）設{an}的公比為q，則an＝a1qn－1.由已知得a1＋a1q=4，a1所以{an}的通項公式為an＝3n－1.（2）由（1）知log3an＝n－1.故Sn＝n（由Sm＋Sm＋1＝Sm＋3得m（m－1）＋（m＋1）m＝（m＋3）（m＋2），即m2－5m－6＝0.解得m＝－1（舍去），m＝6.18.（本小題滿分12分）同（2020·全國Ⅲ卷）理數(shù)18題一樣.19.（本小題滿分12分）（2020·全國Ⅲ卷）如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，點E，F(xiàn)分別在棱DD1，BB1上，且2DE＝ED1，BF＝2FB1.證明：（1）當AB＝BC時，EF⊥AC；（2）點C1在平面AEF內(nèi).證明：（1）如圖，連接BD，B1D1.因為AB＝BC，所以四邊形ABCD為正方形，故AC⊥BD.又因為BB1⊥平面ABCD，于是AC⊥BB1.所以AC⊥平面BB1D1D.由于EF?平面BB1D1D，所以EF⊥AC.（2）如圖，在棱AA1上取點G，使得AG＝2GA1，連接GD1，F(xiàn)C1，F(xiàn)G.因為D1E＝23DD1，AG＝23AA1，DD1AA1，所以ED1AG，于是四邊形ED1GA為平行四邊形，故AE∥GD因為B1F＝13BB1，A1G＝13AA1，BB1AA1，所以FGA1B1，F(xiàn)GC1D1，四邊形FGD1C1為平行四邊形，故GD1∥FC于是AE∥FC1.所以A，E，F(xiàn)，C1四點共面，即點C1在平面AEF內(nèi).20.（本小題滿分12分）（2020·全國Ⅲ卷）已知函數(shù)f（x）＝x3－kx＋k2.（1）討論f（x）的單調(diào)性；（2）若f（x）有三個零點，求k的取值范圍.解：（1）f'（x）＝3x2－k.當k＝0時，f（x）＝x3，故f（x）在（－∞，＋∞）單調(diào)遞增.當k＜0時，f'（x）＝3x2－k＞0，故f（x）在（－∞，＋∞）單調(diào)遞增.當k＞0時，令f'（x）＝0，得x＝±3k當x∈－∞,-3k3時，f'（x）當x∈－3k3，3k3時，當x∈3k3，＋∞時，f'（x）故f（x）在－∞,-3k3，3k3，＋∞（2）由（1）知，當k≤0時，f（x）在（－∞，＋∞）單調(diào)遞增，f（x）不可能有三個零點.當k＞0時，x＝－3k3為f（x）的極大值點，x＝3k3為f（x）的極小值點.此時，－k－1＜－3k3＜3k3＜k＋1且f（－k－1）＜0，f（k＋1）＞0，f－3k3＞0.根據(jù)f（x）的單調(diào)性，當且僅當f3k3＜0，即k2－2k3k9＜0時21.（本小題滿分12分）同（2020·全國Ⅲ卷）理數(shù)20小題一樣.（二）選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做一題計分.22.（本小題滿分10分）同（2020·全國Ⅲ卷）理數(shù)22題一樣.23.（本小題滿分10分）同（2020·全國Ⅲ卷）理數(shù)23題一樣.前沿熱點——新高考數(shù)學考情分析2024年新高考真題（含考情分析）及高考最新動向?qū)崟r更新請掃碼獲取縱觀近年來新高考數(shù)學試題，試題貫徹落實了高考改革的總體要求，實施“德智體美勞”全面發(fā)展的教育方針，聚焦核心素養(yǎng)，突出關(guān)鍵能力考查，落實立德樹人根本任務，充分發(fā)揮考試的引導作用.試題突出數(shù)學本質(zhì)、重視理性思維、堅持素養(yǎng)導向、能力為重的命題原則.通過設計真實問題情境，體現(xiàn)數(shù)學的應用價值；穩(wěn)步推進改革，科學把握必備知識與關(guān)鍵能力的關(guān)系，體現(xiàn)了對基礎性、綜合性、應用性和創(chuàng)新性的高考考查要求.一、突出主干知識、筑牢能力基礎以2023年新高考Ⅰ、Ⅱ卷為例，對各試題所考查的主干知識分析如下：題型題號各試題所考查的知識點分布及考查角度2023年新高考Ⅰ卷2023年新高考Ⅱ卷單選題1集合的交集運算復數(shù)的乘法及幾何意義2復數(shù)運算、共軛復數(shù)由集合間的關(guān)系求參數(shù)3向量垂直、數(shù)量積運算分層隨機抽樣、計數(shù)原理4由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)由函數(shù)的奇偶性求參數(shù)5橢圓的離心率問題由直線與橢圓的位置關(guān)系求參數(shù)6圓的切線問題由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)7等差數(shù)列充要條件的判定半角公式8三角函數(shù)中和、差、倍角公式的應用等比數(shù)列的概念、前n項和及性質(zhì)多選題9樣本數(shù)字特征圓錐的體積、側(cè)面積和截面面積10以實際問題為背景考查對數(shù)大小比較直線與拋物線的位置關(guān)系、拋物線的概念及性質(zhì)11抽象函數(shù)的函數(shù)性質(zhì)函數(shù)的極值及應用12以正方體內(nèi)嵌入某幾何體考查對稱性、空間位置關(guān)系獨立事件的概率、二項分布模型填空題13計數(shù)原理向量的數(shù)量積、模14四棱臺的體積四棱臺的體積15三角函數(shù)中由零點個數(shù)求ω范圍直線與圓的位置關(guān)系16雙曲線幾何性質(zhì)、平面向量三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)解答題17正弦定理、三角恒等變換正、余弦定理、三角恒等變換18線線平行的證明及由二面角求線段長度等差數(shù)列、數(shù)列的奇偶項問題19利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、證明不等式統(tǒng)計圖表、概率統(tǒng)計與函數(shù)交匯問題20等差數(shù)列的概念、性質(zhì)及前n項和空間線面位置關(guān)系、二面角的正弦值21概率與數(shù)列的交匯問題直線與雙曲線的位置關(guān)系、定直線問題22以拋物線為背景，考查不等式及函數(shù)的最值以三角函數(shù)、對數(shù)函數(shù)為載體，考查導數(shù)的應用從上表可以看出，試題所考查知識范圍及思想方法90％以上都源于教材主干知識，由此在一輪復習備考中更應重視必備知識的系統(tǒng)梳理、基本能力的逐點夯實.二、注重試題情境創(chuàng)設、牢記育人宗旨1.關(guān)注社會熱點2023年新高考Ⅰ卷第10題以當今社會熱點“噪聲污染問題”為背景命制試題，目的是引導學生關(guān)注社會、關(guān)注民生，用所學知識解決生活實踐情境下的實際問題.（多選）（2023·新高考Ⅰ卷）噪聲污染問題越來越受到重視.用聲壓級來度量聲音的強弱，定義聲壓級Lp＝20×lgpp0，其中常數(shù)p0（p0＞0）是聽覺下限閾值，p是實際聲壓.聲源與聲源的距離/m聲壓級/dB燃油汽車1060～90混合動力汽車1050～60電動汽車1040已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車10m處測得實際聲壓分別為p1，p2，p3，則（）A.p1≥p2 B.p2＞10p3C.p3＝100p0 D.p1≤100p22.弘揚優(yōu)秀傳統(tǒng)文化2022年新高考Ⅱ卷第3題以中國古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)為背景命制出以等差數(shù)列為考查點的試題，此類試題不但能考查學生的閱讀理解能力、直觀想象能力及知識運用能力，而且還能以優(yōu)秀傳統(tǒng)文化精髓陶冶情操.（2022·新高考Ⅱ卷）圖①是中國古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)，AA'，BB'，CC'，DD'是桁，相鄰桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉.圖②是某古代建筑屋頂截面的示意圖，其中DD1，CC1，BB1，AA1是舉，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為DD1OD1＝0.5，CC1DC1＝k1，BB1CB1＝k2，AA1BA1＝k3.已知k1，A.0.75 B.0.8C.0.85 D.0.93.展示現(xiàn)代科學技術(shù)水平2021年新高考Ⅱ卷第4題以我國航天事業(yè)的重要成果北斗三號全球衛(wèi)星導航系統(tǒng)為試題情境命制立體幾何問題，在考查學生的空間想象能力和閱讀理解、數(shù)學建模等素養(yǎng)的同時，引導學生關(guān)注我國社會現(xiàn)實與經(jīng)濟、科技進步與發(fā)展，增強民族自豪感與自信心.（2021·新高考Ⅱ卷）北斗三號全球衛(wèi)星導航系統(tǒng)是我國航天事業(yè)的重要成果.在衛(wèi)星導航系統(tǒng)中，地球靜止同步衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面，軌道高度為36000km（軌道高度是指衛(wèi)星到地球表面的距離）.將地球看作是一個球心為O，半徑r為6400km的球，其上點A的緯度是指OA與赤道平面所成角的度數(shù).地球表面上能直接觀測到一顆地球靜止同步軌道衛(wèi)星點的緯度最大值為α，記衛(wèi)星信號覆蓋地球表面的表面積為S＝2πr2（1－cosα）（單位：km2），則S占地球表面積的百分比約為（）A.26％ B.34％C.42％ D.50％4.體現(xiàn)數(shù)學應用價值2022年新高考Ⅰ卷第4題以我國的重大建設成就“南水北調(diào)”工程為背景命制出以四棱臺體積公式為考查點的立體幾何試題，體現(xiàn)了數(shù)學的應用價值.（2022·新高考Ⅰ卷）南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題，其中一部分水蓄入某水庫.已知該水庫水位為海拔148.5m時，相應水面的面積為140.0km2；水位為海拔157.5m時，相應水面的面積為180.0km2.將該水庫在這兩個水位間的形狀看作一個棱臺，則該水庫水位從海拔148.5m上升到157.5m時，增加的水量約為（7≈2.65）（）A.1.0×109m3 B.1.2×109m3C.1.4×109m3 D.1.6×109m3三、重視能力考查、使素養(yǎng)評價科學有據(jù)高中數(shù)學課程標準對培養(yǎng)學生能力的要求是數(shù)學“六大核心素養(yǎng)”的集中展示.要檢驗學生核心素養(yǎng)高低，必須通過解決數(shù)學問題來體現(xiàn).（多選）（2023·新高考Ⅰ卷）下列物體中，能夠被整體放入棱長為1（單位：m）的正方體容器（容器壁厚度忽略不計）內(nèi)的有（）A.直徑為0.99m的球體B.所有棱長均為1.4m的四面體C.底面直徑為0.01m，高為1.8m的圓柱體D.底面直徑為1.2m，高為0.01m的圓柱體素養(yǎng)評價本題為多選題，以正方體內(nèi)嵌入其他幾何體為背景考查學生不同的素養(yǎng)層級，由A、B、C、D四個選項設計的問題不同，對應解決問題所需核心素養(yǎng)也逐漸提升，本題真正體現(xiàn)了“入口容易全分難”的多選題考查特征.四、秉承創(chuàng)新、引導探究性學習新高考試卷中開放性試題的增設，促進了考查的靈活性，思維方式的多樣性.同時引導了學生重視探究性學習，逐步培養(yǎng)學生創(chuàng)新思維的良好習慣.1.舉例題（2023·新高考Ⅱ卷）已知直線x－my＋1＝0與☉C：（x－1）2＋y2＝4交于A，B兩點，寫出滿足“△ABC面積為85”的m的一個值試題評析本類題目屬于結(jié)論開放型，利用所學知識選擇數(shù)學模型，使之滿足題目所具有的結(jié)論可能不唯一，選其之一作為答案即可.2.結(jié)構(gòu)不良題（2022·新高考Ⅱ卷）已知雙曲線C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的右焦點為F（2，0），（1）求C的方程；（2）過F的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點，點P（x1，y1），Q（x2，y2）在C上，且x1＞x2＞0，y1＞0.過P且斜率為－3的直線與過Q且斜率為3的直線交于點M.從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立.①M在AB上；②PQ∥AB；③｜MA｜＝｜MB｜.注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一