2021-2022學(xué)年上海交大附中高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷含詳解

第1頁（共1頁）2021-2022學(xué)年上海交大附中高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、填空題（本大題共12題，滿分54分）只要求直接填寫結(jié)果，第1～6題每個空格填對得4分，第7～12題每個空格填對得5分，否則一律得零分.1．（4分）已知集合A＝{m|1＜m＜4}，B＝{y|y＝3x+2，x∈R}，則A∩B＝．2．（4分）設(shè)α：x2﹣6x+8＞0，β：x≥k，若β是α的充分非必要條件，則實數(shù)k的取值范圍是．3．（4分）若復(fù)數(shù)z1＝3+4i，z2＝1﹣2i，其中i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部為．4．（4分）已知空間向量，，那么在上的投影向量為．5．（4分）圓錐的側(cè)面積是底面積的5倍，那么這個圓錐的母線與軸所成角的正弦值為．6．（4分）在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝4，則異面直線AB和A1C的距離為．7．（5分）正四棱錐P﹣ABCD的側(cè)棱長為2，∠APB＝30°，E、F、G分別是側(cè)棱PB、PC、PD上各一點，那么空間四邊形AEFG周長的最小值為．8．（5分）五條棱長為2，一條棱長為3的四面體的體積為．9．（5分）如圖，，AD＝1，BC＝2，AB＝3，那么直角梯形ABCD繞直線AB旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的體積為．10．（5分）如圖，半徑為R的半球內(nèi)接一個圓柱，這個圓柱表面積的最大值為．11．（5分）一種玻璃飾品外形是簡單多面體，表面是由三角形和平面八邊形兩種拼接而成．它共有24個頂點，每個頂點恰好在三條棱上．設(shè)該多面體表面有x個三角形，y個平面八邊形，則xy的值為．12．（5分）如圖，有一個半徑為15的半球，過球心O作底面的垂線l，l上一點O1滿足O1O＝12，過O1作平行于底面的截面將半球分成兩個幾何體，其中較大部分的體積為．二、選擇題（本大題共有4題，滿分20分）13．（5分）如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N、P分別是棱C1D1、AA1、BC的中點，則經(jīng)過M、N、P的平面與正方體ABCD﹣A1B1C1D1相交形成的截面是一個（）A．三角形 B．平面四邊形 C．平面五邊形 D．平面六邊形14．（5分）設(shè)z1、z2∈C，z12﹣2z1z2+4z22＝0，|z2|＝2，那么以|z1|為直徑的球的表面積為（）A．4π B．16π C． D．64π15．（5分）正項等比數(shù)列{an}中，存在兩項am、an使得，且a6＝2a5+3a4，則的最小值為（）A． B． C． D．216．（5分）定義域為[a，b]的函數(shù)y＝f（x）圖象的兩個端點為A，B，向量，M（x，y）是f（x）圖象上任意一點，其中x＝λ+（1﹣λ），λ∈[0，1]．若不等式|MN|≤k恒成立，則稱函數(shù)f（x）在[a，b]上滿足“k范圍線性近似”，其中最小的正實數(shù)k稱為該函數(shù)的線性近似閾值．下列定義在[1，2]上函數(shù)中，線性近似閾值最小的是（）A．y＝x2 B． C． D．三、解答題（本大題共有5題，滿分76分）17．（14分）如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中．（1）求異面直線A1C和BD所成角的大??；（2）求二面角B﹣A1C﹣D的大?。?8．（14分）已知函數(shù)y＝f（x）的反函數(shù)為y＝f﹣1（x），且f（x）＝2x．（1）若f﹣1（x）﹣f﹣1（1﹣x）＝1，求實數(shù)x的值；（2）若關(guān)于x的方程f（x）+f（1﹣x）＝m在區(qū)間[0，1]內(nèi)有解，求實數(shù)m的取值范圍．19．（14分）我校在一條水泥路邊安裝路燈，其中燈桿的設(shè)計如圖所示，AB為底面，CD、CE為路燈的燈桿，CD⊥AB，且，在E處安裝路燈，且路燈的照明張角為，已知CD＝5米，CE＝3米．（1）當(dāng)M與D重合時，求路燈在路面的照明寬度MN；（2）求此路燈在路面上的照明寬度MN的最小值．20．（16分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6，D、E分別是AC、AB上的點，滿足DE∥BC且DE經(jīng)過△ABC的重心，將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，M是A1D的中點，如圖所示．（1）求證：A1C⊥平面BCDE；（2）求CM與平面A1BE所成角的大?。唬?）在線段A1B上是否存在點N（N不與端點A1、B重合），使平面CMN與平面DEN垂直？若存在，求出A1N與BN的比值；若不存在，請說明理由．21．（18分）已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，我們把滿足條件an+1≤Sn（n為任意正整數(shù)）的所有數(shù)列{an}構(gòu)成的集合記為M．（1）若數(shù)列{an}的通項為，判斷{an}是否屬于M，并說明理由；（2）若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，且{an+n}∈M，求a2021的取值范圍；（3）若數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，且{an}∈M，數(shù)列中是否存在無窮多項依次成等差數(shù)列？若存在，給出一個數(shù)列{an}的通項；若不存在，說明理由．

2021-2022學(xué)年上海交大附中高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、填空題（本大題共12題，滿分54分）只要求直接填寫結(jié)果，第1～6題每個空格填對得4分，第7～12題每個空格填對得5分，否則一律得零分.1．解：集合A＝{m|1＜m＜4}＝（1，4），B＝{y|y＝3x+2，x∈R}＝（2，+∞），則A∩B＝（2，4）．故答案為：（2，4）．2．解：α：∵x2﹣6x+8＞0，∴x＜2或x＞4，∵β是α的充分非必要條件，且β：x≥k，∴{x|x≥k}?{x|x＜2或x＞4}，∴k＞4，∴實數(shù)k的取值范圍是（4，+∞）．故答案為：（4，+∞）．3．解：∵z1＝3+4i，z2＝1﹣2i，∴，，∴＝＝，∴復(fù)數(shù)的虛部為﹣3．故答案為：﹣3．4．解：因為空間向量，，所以在上的投影向量為＝＝（﹣1，0，1）．故答案為：（﹣1，0，1）．5．解：設(shè)圓錐母線與軸所成的角為α，因為圓錐的側(cè)面積是底面積的5倍，則，即圓錐的母線是圓錐底面半徑的5倍，所以sinα＝＝，則這個圓錐的母線與軸所成角的正弦值為．故答案為：．6．解：連接B1C，BC1，因為幾何體是正方體，AB∥DC，所以AB∥平面DCB1A1，異面直線AB和A1C的距離，轉(zhuǎn)化為B到平面DCB1A1的距離，所以異面直線AB和A1C的距離為BC1＝＝2，故答案為：2．7．解：將正四棱錐P﹣ABCD的四個側(cè)面展開，如圖所示：則當(dāng)E、F、G分別為AA1，與PB、PC、PD的交點時，四邊形AEFG的周長最小，易知∠APA1＝4∠APB＝120°，在△PAA1中，由余弦定理：＝2，所以四邊形AEFG周長的最小值為2．故答案為：2．8．解：如圖四面體P﹣ABC，PA＝PB＝PC＝AB＝BC＝2，AC＝3，取AC的中點O，連接PO、BO，則AC⊥PO，AC⊥BO，又PO?BO＝O，∴AC⊥平面POB，又，在△POB中，邊PB上的高為，∴．故答案為：．9．解：由題意，直角梯形ABCD繞直線AB旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體為圓臺，且該圓臺的上底面圓的面積為π×12＝π，下底面圓的面積為π×22＝4π，圓臺的高為3，所以該幾何體的體積為＝7π．故答案為：7π．10．解：設(shè)圓柱底面半徑為r，高為h，由截面圖可知，h＝Rsinθ，r＝Rcosθ，所以圓柱的表面積S＝2πr2+2πrh＝πR2?2cos2θ+πR2?2sinθcosθ＝πR2（sin2θ+2cos2θ）＝πR2（sin2θ+cos2θ+1）＝πR2，當(dāng)sin（2）＝1時，S有最大值πR2（1+），故答案為：πR2（1+）．11．解：設(shè)頂點數(shù)為V，面數(shù)為F，棱數(shù)為E．由題知F＝x+y，由歐拉公式得：V+F﹣E＝2，∵一個頂點連接3條棱，∴總棱數(shù)E＝＝36，∴24+F﹣36＝2，解得F＝x+y＝14，①三角形總邊數(shù)為3x，八邊形總邊數(shù)為8y，∴多面體的總棱數(shù)為＝36，②聯(lián)立①②，解得x＝8，y＝6，∴xy＝48．故答案為：48．12．解：設(shè)截面以上部分的體積為V1，截面以下部分的體積為V2，設(shè)r＝O1D，R＝OB＝OD＝15，則h＝OO1＝12，O1O2＝15﹣12＝3，將O1O2進行n等分，過這些等分點作平行于底面的平面，將截面以上部分切割成n層，每一層都是近似于圓柱形狀的小圓柱，這些小圓片的體積之和即為V1，由于小圓片近似于圓柱形狀，所以它的體積也近似于相應(yīng)圓柱的體積，它的高就是小圓片的厚度，底面就是小圓片的下底面，由勾股定理可知第i層（由下向上數(shù)）小圓片的下底面半徑為，于是，第i層小圓片的體積為，所以，＝＝，所以，V1≈243π﹣108π﹣9π＝126π，故．故答案為：2124π．二、選擇題（本大題共有4題，滿分20分）13．如圖，因為M，N，P為棱C1D1、AA1、BC的中點，故采用”補中點”的方法可確定截面，取A1D1，A1A，AB，CC1的中點，連接M，N，P與正方體相交即為所得截面，該截面為正六邊形，故選：D．14．解：∵z1、z2∈C，z12﹣2z1z2+4z22＝0，|z2|＝2，∴，解得＝＝，∴|z1|＝|z2|?||＝4，∴以|z1|為直徑的球的面積為4×22π＝16π．故選：B．15．解：設(shè)等比數(shù)列的公比為q（q＞0），因為a6＝2a5+3a4，所以a4?q2＝2a4?q+3a4，即q2﹣2q﹣3＝0，解得q＝3或﹣1（舍負(fù)），因為，即aman＝9，所以?＝9，即3m+n﹣2＝9＝32，所以m+n＝4，當(dāng)m＝1，n＝3時，＝，當(dāng)m＝2，n＝2時，＝，當(dāng)m＝3，n＝1時，＝，所以的最小值為．故選：A．16．解：由題意，M、N橫坐標(biāo)相等，不等式|MN|≤k對λ∈[0，1]恒成立，最小的正實數(shù)k應(yīng)為|MN|的最大值．①對于函數(shù)y＝x2，由A、B是其圖象上橫坐標(biāo)分別為a、b的兩點，則A（1，1），（2，4）∴AB方程為y﹣1＝（x﹣1），即y＝3x﹣2|MN|＝|x2﹣（3x﹣2）|＝|（x﹣）2﹣|≤，線性近似閾值為．②同樣對于函數(shù)，由A（1，2），（2，1），AB方程為y＝﹣x+3，|MN|＝﹣x+3﹣＝3﹣（x+）≤3﹣2，線性近似閾值為3﹣2．③同樣對于函數(shù)，A（1，），B（2，），AB方程為y＝，由三角函數(shù)圖象與性質(zhì)可知|MN|≤1﹣，線性近似閾值為1﹣，④同樣對于函數(shù)，得A（1，0），B（2，），∴直線AB方程為y＝（x﹣1）∴|MN|＝﹣（x﹣1）＝﹣（），線性近似閾值為．由于為＞3﹣2＞1﹣＞．所以線性近似閾值最小的是故選：D．三、解答題（本大題共有5題，滿分76分）17．解：（1）連結(jié)AC，交BD于O，正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，所以BD⊥AC，BD⊥AA1，所以BD⊥平面A1AC，所以A1C⊥BD，異面直線A1C和BD所成角的大小為90°．（2）作OE⊥A1C于E，連接EB，所以∠BEO為B﹣A1C﹣O的平面角，則B﹣A1C﹣D的平面角的大小為2∠BEO，設(shè)正方體的棱長為2，則AC＝2，OB＝，A1C＝2，△OEC∽△A1AC，可得OE＝＝＝，tan∠BEO＝＝＝，tan2∠BEO＝＝﹣．∴二面角B﹣A1C﹣D的大小為120°．18．解：（1）f（x）＝2x的反函數(shù)為f﹣1（x）＝log2x，由f﹣1（x）﹣f﹣1（1﹣x）＝1，可得log2x﹣log2（1﹣x）＝1，∴l(xiāng)og2＝1，∴＝2，解得x＝，經(jīng)檢驗符合題意；（2）∵關(guān)于x的方程f（x）+f（1﹣x）＝0在區(qū)間[0，1]內(nèi)有解，∴2x+21﹣x＝m在區(qū)間[0，1]內(nèi)有解，∴m的范圍即為函數(shù)y＝2x+21﹣x在[0，1]的值域，函數(shù)y＝2x+21﹣x＝2x+在（0，）單調(diào)遞減，在（，1）單調(diào)遞增，∴當(dāng)x＝時，函數(shù)取最小值2，當(dāng)x＝1時，函數(shù)取最大值3，∴實數(shù)m的取值范圍為[2，3]．19．解：（1）當(dāng)M，D重合時，由余弦定理知，，所以，因為，所以，因為cos∠EMN＞0所以，因為，所以＝，∴在△EMN中，由正弦定理可知，，解得MN＝．（2）易知E到地面的距離，由三角形面積公式可知，所以，又由余弦定理可知，，當(dāng)且僅當(dāng)EM＝EN時，等號成立，所以，解得；所以照明寬度MN的最小值為．20．證明：（1）由∠C＝90°，DE∥BC，所以DE⊥AD，DE⊥CD，因為折起前后對應(yīng)角相等，所以DE⊥A1D，所以DE⊥平面A1CD，DE⊥A1C，又A1C⊥CD，CD∩DE＝D，所以A1C⊥平面BCD，解：（2）因為DE經(jīng)過△ABC的重心，所以DE＝BC＝2，由（1）知A1C⊥平面BCDE，以CD為x軸，CB為y軸，CA1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由幾何關(guān)系可知，CD＝2，A1D＝4，，故C（0，0，0），D（2，0，0），E（2，2，0），B（0，3，0），A1（0，0，），M（1，0，），，，＝（2，2，），設(shè)平面A1BE的法向量為＝（x，y，z），則，即，令y＝2，則，，設(shè)CM與平面A1BE所成角的大小為θ，則有＝，故，即CM與平面A1BE所成角的大小為；（3）設(shè)，即，即x1＝0，y1＝3（1﹣λ），，則N（0，3（1﹣λ），），，＝（0，3（1﹣λ），），設(shè)平面CMN的法向量為＝（x2，y2，z2），則有，即，令，，＝，同理，設(shè)平面DEN的法向量為，，＝（﹣2，3（1﹣λ），λ），則，即，令x＝，則，故，若平面CMN與平面DEN垂直，則滿足，即，故存在這樣的點，，所以．．21．解：（1）因為，所以Sn＝，所以Sn﹣an+1＝﹣qn＝＝＞0，所以?n∈N*，an+1＜Sn恒成立，所以{an}∈M．（2）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差d，則數(shù)列{an+n}是等差數(shù)列，首項為a1+1，公差為d+1，令Tn為{an+n}的前n項和，因{an+n}∈M，則?n∈N*，an+1+n+1≤Tn，當(dāng)n＝1時，a2+2≤T1＝a1+1，于是得d≤﹣1，?n∈N*，a1+1+n（d+1）≤n（a1+1）+?（d+1）??n2+（a1﹣d﹣）n﹣（a1+1）≥0，當(dāng)＜0時，二次函數(shù)y＝?x2+（a1﹣d﹣）n﹣（a1+1）開口向下，則必存在某個正數(shù)A，當(dāng)x＞A時，y＜0，于是有?n2+（a1﹣d﹣）n﹣（a1+1）≥0對?n∈N*成立，必有≥0，即d≥﹣1，因此，d＝﹣1，則有（a1+l）（n﹣1）≥0對?n