信息必刷卷02（北京專用）-2025年高考數(shù)學(xué)考前信息必刷卷含解析

信息必刷卷02（北京專用）-2025年高考數(shù)學(xué)考前信息必刷卷絕密★啟用前2025年高考考前信息必刷卷02（北京專用）數(shù)學(xué)考情速遞高考·新動(dòng)向：如第9題，第10題新文化題與立體幾何和數(shù)列相結(jié)合，體現(xiàn)新動(dòng)向高考·新考法：如第21題考查數(shù)列新定義，提升學(xué)子的理解和變通能力高考·新情境：如第14題，18題涉足生活情境，借助實(shí)際生活考查函數(shù)及統(tǒng)計(jì)與概率命題·大預(yù)測(cè)：整套試題對(duì)知識(shí)和能力的考查相當(dāng)靈活和寬泛，體現(xiàn)了北京高考教考銜接的理念和特點(diǎn)。測(cè)試卷突出考查學(xué)生的思維品質(zhì)和核心概念，引導(dǎo)高中數(shù)學(xué)教學(xué)遵循課程標(biāo)準(zhǔn)，突出基本目標(biāo)，注重教材基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能考查、分析解決問(wèn)題能力考查（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫(xiě)在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共40分）一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，則（

）A． B． C． D．3．已知單位向量和，若，則（

）A．2 B．1 C． D．4．下列函數(shù)中，是偶函數(shù)且在上單調(diào)遞減的是（

）A． B．C． D．5．在的展開(kāi)式中，項(xiàng)的系數(shù)為（

）A． B． C．16 D．1446．已知拋物線的焦點(diǎn)為F、點(diǎn)M在拋物線上，MN垂直y軸于點(diǎn)N，若，則的面積為（

）A．8 B． C． D．7．已知的三個(gè)內(nèi)角、、所對(duì)的邊分別為、、，且，則（

）A． B． C． D．8．已知直線與圓，則“，直線與圓有公共點(diǎn)”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件9．公元前344年，先秦法家代表人物商鞅督造一種標(biāo)準(zhǔn)量器——商鞅銅方升，開(kāi)創(chuàng)了秦朝統(tǒng)一度量衡的先河.如圖，升體是長(zhǎng)方體，手柄近似空心的圓柱.已知銅方升總長(zhǎng)是，內(nèi)口長(zhǎng)，寬，高（忽略壁的厚度，取圓周率），若手柄的底面半徑為，體積為，則銅方升的容積約為（小數(shù)點(diǎn)后保留一位有效數(shù)字）（

）

A． B． C． D．10．為公差不為零的等差數(shù)列，是其前項(xiàng)和，是等比數(shù)列，是其前項(xiàng)和，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．對(duì)任意，，如果，那么B．存在，，滿足，且C．對(duì)任意，，如果，那么D．存在，，滿足，且第二部分（非選擇題共110分）二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分。11．已知，若，則.12．已知雙曲線，則的離心率為；以的一個(gè)焦點(diǎn)為圓心，且與雙曲線的漸近線相切的圓的方程為.（寫(xiě)出一個(gè)即可）13．已知，，若對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有恒成立，則滿足條件的一組有序數(shù)對(duì)為.14．李明自主創(chuàng)業(yè)，經(jīng)營(yíng)一家網(wǎng)店，每售出一件商品獲利8元．現(xiàn)計(jì)劃在“五一”期間對(duì)商品進(jìn)行廣告促銷，假設(shè)售出商品的件數(shù)（單位：萬(wàn)件）與廣告費(fèi)用（單位：萬(wàn)元）符合函數(shù)模型．若要使這次促銷活動(dòng)獲利最多，則廣告費(fèi)用應(yīng)投入萬(wàn)元．15．已知函數(shù)，下面命題正確的是.①存在，使得；②存在，使得；③存在常數(shù)，使得恒成立；④存在，使得直線與曲線有無(wú)窮多個(gè)公共點(diǎn).三、解答題：本題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步棸。16．（13分）如圖所示，在四棱錐中，，，．

(1)若平面，證明：平面；(2)若底面，，二面角的正弦值為，求的長(zhǎng)．17．（14分）已知函數(shù)的最小正周期為.(1)求的值；(2)在銳角中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.c為在上的最大值，再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求的取值范圍.條件①：；條件②：；條件③：的面積為S，且.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)條件計(jì)分.18．（13分）某地區(qū)教育研究部門(mén)為了解當(dāng)前本地區(qū)中小學(xué)教師在教育教學(xué)中運(yùn)用人工智能的態(tài)度、經(jīng)驗(yàn)、困難等情況，從該地區(qū)2000名中小學(xué)教師中隨機(jī)抽取100名進(jìn)行了訪談．在整理訪談結(jié)果的過(guò)程中，統(tǒng)計(jì)他們對(duì)“人工智能助力教學(xué)”作用的認(rèn)識(shí)，得到的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示：假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且每位教師對(duì)“人工智能助力教學(xué)”作用的認(rèn)識(shí)相互獨(dú)立．(1)估計(jì)該地區(qū)中小學(xué)教師中認(rèn)為人工智能對(duì)于教學(xué)“沒(méi)有幫助”的人數(shù)；(2)現(xiàn)按性別進(jìn)行分層抽樣，從該地區(qū)抽取了5名教師，求這5名教師中恰有1人認(rèn)為人工智能對(duì)于教學(xué)“很有幫助”的概率；(3)對(duì)受訪教師關(guān)于“人工智能助力教學(xué)”的觀點(diǎn)進(jìn)行賦分：“沒(méi)有幫助”記0分，“有一些幫助”記2分，“很有幫助”記4分．統(tǒng)計(jì)受訪教師的得分，將這100名教師得分的平均值記為，其中年齡在40歲以下（含40歲）教師得分的平均值記為，年齡在40歲以上教師得分的平均值記為，請(qǐng)直接寫(xiě)出的大小關(guān)系．（結(jié)論不要求證明）19．（15分）已知橢圓，的下頂點(diǎn)為，左、右焦點(diǎn)分別為和，離心率為，過(guò)的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)．若直線垂直于，則的周長(zhǎng)為．(1)求橢圓的方程；(2)若直線與坐標(biāo)軸不垂直，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，試判斷直線是否過(guò)定點(diǎn)，并說(shuō)明理由．20．（15分）設(shè)函數(shù)．(1)若m＝－1，①求曲線在點(diǎn)處的切線方程；②當(dāng)時(shí)，求證：.(2)若函數(shù)在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.21．（15分）給定正整數(shù)，設(shè)數(shù)列是的一個(gè)排列，對(duì)，表示以為首項(xiàng)的遞增子列的最大長(zhǎng)度，表示以為首項(xiàng)的遞減子列的最大長(zhǎng)度.(1)若，，，，，求和；(2)求證：，；(3)求的最小值.2025年高考考前信息必刷卷02（北京專用）數(shù)學(xué)·參考答案一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．12345678910ADBDCCCBAC二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分。11．或12．或（）13．（答案不唯一）14．15．①③三、解答題：本題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步棸。16．（13分）【詳解】（1）證明：∵，，，即，∴，即，∵平面，平面，∴，（4分）∴，又平面，平面，∴平面；（6分）（2）∵底面，底面，∴，，又，以點(diǎn)為原點(diǎn)，以所在的直線為軸，過(guò)點(diǎn)作的平行線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示：（8分）

令，則，，則，，設(shè)平面的法向量為n1=∴，令，則，∴，設(shè)平面的法向量為，∴，令，則，∴，∵二面角的正弦值為，則余弦值為，又二面角為銳角，∴，解得，所以.（13分）17．（14分）【詳解】（1）由題意可知：，因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期為，且，所以.（4分）（2）由（1）可知：，因?yàn)?，則，可知當(dāng)，即時(shí)，取到最大值3，即.（6分）若條件①：因?yàn)?，由正弦定理可得，又因?yàn)?，可得，且，則，可得，所以，（10分）由正弦定理可得，可得，則，因?yàn)殇J角三角形，則，解得，可得，則，可得所以的取值范圍為；（14分）若條件②；因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻茫?，則，因?yàn)?，則，可得，即，且，所以，（10分）由正弦定理可得，可得，則，因?yàn)殇J角三角形，則，解得，可得，則，可得所以的取值范圍為；（14分）若選③：因?yàn)椋瑒t，整理得，且，所以，（10分）由正弦定理可得，可得，則，因?yàn)殇J角三角形，則，解得，可得，則，可得所以的取值范圍為.（14分）18．（13分）【詳解】（1）根據(jù)表格中數(shù)據(jù)，完善表格，可以得到100名教師中，認(rèn)為人工智能對(duì)于教學(xué)“沒(méi)有幫助”的頻率為，（2分）用頻率估計(jì)概率，估計(jì)該地區(qū)中小學(xué)教師中認(rèn)為人工智能對(duì)于教學(xué)“沒(méi)有幫助”的人數(shù)為；（4分）（2）男女比例為，故抽取的5名教師，有1名男教師，4名女教師，用頻率估計(jì)概率，估計(jì)該地區(qū)中小學(xué)教師中男教師認(rèn)為對(duì)于教學(xué)“很有幫助”的概率為，女教師認(rèn)為對(duì)于教學(xué)“很有幫助”的概率為，（6分）抽取的5名教師中，恰有1人認(rèn)為人工智能對(duì)于教學(xué)“很有幫助”，則1名男教師認(rèn)為人工智能對(duì)于教學(xué)“很有幫助”的概率為，1名女教師認(rèn)為人工智能對(duì)于教學(xué)“很有幫助”的概率為，故這5名教師中恰有1人認(rèn)為人工智能對(duì)于教學(xué)“很有幫助”的概率為；（10分）（3），，，因?yàn)?，所?（13分）19．（15分）【詳解】（1）由題意可知，因?yàn)殡x心率為，所以，（2分）所以，故是正三角形，如圖所示：若直線，則直線垂直平分線段，所以，由于的周長(zhǎng)為，故的周長(zhǎng)為，（4分）由定義可知：，所以的周長(zhǎng)為，故，所以，故，所以橢圓的方程：.（6分）（2）由題意可設(shè)直線的方程為，，則，如圖所示：可得直線的方程為：，因?yàn)?，將其代入直線方程，可得，（8分）可整理得：，聯(lián)立方程得，則，所以，即，將其代入式中，可得直線方程為：，（13分）可見(jiàn)直線過(guò)定點(diǎn)，所以直線過(guò)定點(diǎn)，坐標(biāo)為.（15分）20．（15分）【詳解】（1）①當(dāng)時(shí)，，可得，則，（2分）可得曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即．（4分）②令，則，當(dāng)時(shí)，可得在上單調(diào)遞減，又因?yàn)椋?，即，即，即?dāng)時(shí)，.（6分）（2）由函數(shù)，可得，令，當(dāng)時(shí)，，即在區(qū)間0,1上單調(diào)遞增．因?yàn)?，所以，所以函?shù)在區(qū)間0,1上沒(méi)有零點(diǎn)，不符合題意；（10分）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖像開(kāi)口向上，且對(duì)稱軸為直線，由，解得，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間0,1上恒成立，即在區(qū)間0,1上單調(diào)遞減．因?yàn)?，所以，所以函?shù)在區(qū)間0,1上沒(méi)有零點(diǎn)，不符合題意．（12分）綜上可得，，設(shè)使得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，因?yàn)椋沟煤瘮?shù)在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn)，則滿足，解得，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為．（15分）21．（15分）【詳解】（1）以為首項(xiàng)的最長(zhǎng)遞增子列是，以為首項(xiàng)的最長(zhǎng)遞減子列是和.所以，.（3分）（2）對(duì)，由于是的一個(gè)排列，故.若，則每個(gè)以為首項(xiàng)的遞增子列都可以在前面加一個(gè)，得到一個(gè)以為首項(xiàng)的更長(zhǎng)的遞增子列，所以；而每個(gè)以為首項(xiàng)的遞減子列都不包含，且，故可將替換為，得到一個(gè)長(zhǎng)度相同的遞減子列，所以.（5分）這意味著；若，同理有，，故.總之有，從而和不能同時(shí)為零，故.（7分）（3）根據(jù)小問(wèn)2的證明過(guò)程知和不能同時(shí)為零，故.情況一：當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，設(shè)，則一方面有；（8分）另一方面，考慮這樣一個(gè)數(shù)列：，.則對(duì)，有，.故此時(shí).（10分）結(jié)合以上兩方面，知的最小值是.情況二：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，設(shè)，則一方面有；（12分）另一方面，考慮這樣一個(gè)數(shù)列：，.則對(duì)，有，.故此時(shí).（14分）結(jié)合以上兩方面，知的最小值是.綜上，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，的最小值是；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，的最小值是.（15分）絕密★啟用前2025年高考考前信息必刷卷02（北京專用）數(shù)學(xué)考情速遞高考·新動(dòng)向：如第9題，第10題新文化題與立體幾何和數(shù)列相結(jié)合，體現(xiàn)新動(dòng)向高考·新考法：如第21題考查數(shù)列新定義，提升學(xué)子的理解和變通能力高考·新情境：如第14題，18題涉足生活情境，借助實(shí)際生活考查函數(shù)及統(tǒng)計(jì)與概率命題·大預(yù)測(cè)：整套試題對(duì)知識(shí)和能力的考查相當(dāng)靈活和寬泛，體現(xiàn)了北京高考教考銜接的理念和特點(diǎn)。測(cè)試卷突出考查學(xué)生的思維品質(zhì)和核心概念，引導(dǎo)高中數(shù)學(xué)教學(xué)遵循課程標(biāo)準(zhǔn)，突出基本目標(biāo)，注重教材基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能考查、分析解決問(wèn)題能力考查（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫(xiě)在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共40分）一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】，又，所以，故選：A．2．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，所以，，所以.故選：D．3．已知單位向量和，若，則（

）A．2 B．1 C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)?，，所以，所以，所以，所以，故選：B4．下列函數(shù)中，是偶函數(shù)且在上單調(diào)遞減的是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】對(duì)于A，因，則函數(shù)為偶函數(shù)，且顯然在0,+∞上先減后增，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因，則函數(shù)為偶函數(shù)，且，顯然函數(shù)在0,+∞上為增函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，函數(shù)的定義域?yàn)?,+∞，故是非奇非偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，即函數(shù)是偶函數(shù)，且在0,+∞上單調(diào)遞減,即D正確.故選：D.5．在的展開(kāi)式中，項(xiàng)的系數(shù)為（

）A． B． C．16 D．144【答案】C【詳解】，其展開(kāi)式通項(xiàng)公式為，，所以所求項(xiàng)的系數(shù)為，故選：C．6．已知拋物線的焦點(diǎn)為F、點(diǎn)M在拋物線上，MN垂直y軸于點(diǎn)N，若，則的面積為（

）A．8 B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為F1,0，準(zhǔn)線方程為，所以，故，不妨設(shè)在第一象限，故，所以.故選：C.7．已知的三個(gè)內(nèi)角、、所對(duì)的邊分別為、、，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)?，由正弦定理可得，、，則，所以，，所以，，故.故選：C.8．已知直線與圓，則“，直線與圓有公共點(diǎn)”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【詳解】易知圓的圓心為，半徑為，當(dāng)，直線與圓有公共點(diǎn)時(shí)，恒成立，即恒成立，則且，解得，即或（舍去）所以“，直線與圓有公共點(diǎn)”是“”的必要不充分條件，故選：B.9．公元前344年，先秦法家代表人物商鞅督造一種標(biāo)準(zhǔn)量器——商鞅銅方升，開(kāi)創(chuàng)了秦朝統(tǒng)一度量衡的先河.如圖，升體是長(zhǎng)方體，手柄近似空心的圓柱.已知銅方升總長(zhǎng)是，內(nèi)口長(zhǎng)，寬，高（忽略壁的厚度，取圓周率），若手柄的底面半徑為，體積為，則銅方升的容積約為（小數(shù)點(diǎn)后保留一位有效數(shù)字）（

）

A． B． C． D．【答案】A【詳解】依題意手柄的底面半徑為，體積為，則手柄的底面積為，所以手柄的長(zhǎng)度為，所以長(zhǎng)方體的內(nèi)口長(zhǎng)，所以升體的容積為，即銅方升的容積約為.故選：A10．為公差不為零的等差數(shù)列，是其前項(xiàng)和，是等比數(shù)列，是其前項(xiàng)和，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．對(duì)任意，，如果，那么B．存在，，滿足，且C．對(duì)任意，，如果，那么D．存在，，滿足，且【答案】C【詳解】對(duì)于A：是首項(xiàng)為，公差為，則滿足，但不滿足，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：若，則可得或或或，不妨取，由等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式可得，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：若，則或或或，顯然公比，由等比數(shù)列前項(xiàng)和公式可得，故，所以必為偶數(shù)，可得，所以，故C正確；對(duì)于D：，則等比數(shù)列的公比為，則，故，故D錯(cuò)誤.故選：C.【點(diǎn)睛】考查等比數(shù)列，等差數(shù)列的項(xiàng)和公式的應(yīng)用，以及等比，等差數(shù)列的性質(zhì)，靈活運(yùn)用是關(guān)建,第二部分（非選擇題共110分）二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分。11．已知，若，則.【答案】或【詳解】因?yàn)榍?，所以或，解得?故答案為：或12．已知雙曲線，則的離心率為；以的一個(gè)焦點(diǎn)為圓心，且與雙曲線的漸近線相切的圓的方程為.（寫(xiě)出一個(gè)即可）【答案】或（）【詳解】的離心率為，又漸近線為，即，故焦點(diǎn)與到的距離均為，則以的一個(gè)焦點(diǎn)為圓心，且與雙曲線的漸近線相切的圓的方程為或，故答案為：；或（）13．已知，，若對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有恒成立，則滿足條件的一組有序數(shù)對(duì)為.【答案】（答案不唯一）【詳解】，若對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有恒成立，則，或，由，得，因?yàn)椋?，得，由，得，因?yàn)?，令，得，所以滿足條件的一組有序數(shù)對(duì)為或.故答案為：（答案不唯一）14．李明自主創(chuàng)業(yè)，經(jīng)營(yíng)一家網(wǎng)店，每售出一件商品獲利8元．現(xiàn)計(jì)劃在“五一”期間對(duì)商品進(jìn)行廣告促銷，假設(shè)售出商品的件數(shù)（單位：萬(wàn)件）與廣告費(fèi)用（單位：萬(wàn)元）符合函數(shù)模型．若要使這次促銷活動(dòng)獲利最多，則廣告費(fèi)用應(yīng)投入萬(wàn)元．【答案】【詳解】設(shè)李明獲得的利潤(rùn)為萬(wàn)元，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)，因?yàn)?，即?dāng)時(shí)，等號(hào)成立.故答案為：.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.15．已知函數(shù)，下面命題正確的是.①存在，使得；②存在，使得；③存在常數(shù)，使得恒成立；④存在，使得直線與曲線有無(wú)窮多個(gè)公共點(diǎn).【答案】①③【詳解】函數(shù)，定義域.由于知其為偶函數(shù).，令，與同正負(fù)..對(duì)于①，當(dāng)，，則單調(diào)遞增，則，故存在，，即存在，使得.故①正確.對(duì)于②，與①同理，當(dāng)，，則單調(diào)遞減，則，故，，即，單調(diào)遞減.任意，，故②錯(cuò)誤.對(duì)于③，由于為偶函數(shù)，根據(jù)對(duì)稱性，我們只需要考慮即可.令，則，即在上單調(diào)遞減，故，即，故，故存在常數(shù)，使得，故③正確.對(duì)于④，將代入，得，由于為偶函數(shù)，根據(jù)對(duì)稱性，我們只需要考慮即可.由①②知，，單調(diào)遞減，，單調(diào)遞減，，單調(diào)遞增.一直往復(fù)下去.圖象如下.則與不能有無(wú)數(shù)個(gè)交點(diǎn)，即與不能有無(wú)窮多個(gè)公共點(diǎn).故④錯(cuò)誤.綜上所得，只有①③正確.故答案為：①③.三、解答題：本題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步棸。16．（13分）如圖所示，在四棱錐中，，，．

(1)若平面，證明：平面；(2)若底面，，二面角的正弦值為，求的長(zhǎng)．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）證明：∵，，，即，∴，即，∵平面，平面，∴，∴，又平面，平面，∴平面；（2）∵底面，底面，∴，，又，以點(diǎn)為原點(diǎn)，以所在的直線為軸，過(guò)點(diǎn)作的平行線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示：

令，則，，則，，設(shè)平面的法向量為n1=∴，令，則，∴，設(shè)平面的法向量為，∴，令，則，∴，∵二面角的正弦值為，則余弦值為，又二面角為銳角，∴，解得，所以.17．（14分）已知函數(shù)的最小正周期為.(1)求的值；(2)在銳角中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.c為在上的最大值，再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求的取值范圍.條件①：；條件②：；條件③：的面積為S，且.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)條件計(jì)分.【答案】(1)1(2)【詳解】（1）由題意可知：，因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期為，且，所以.（2）由（1）可知：，因?yàn)椋瑒t，可知當(dāng)，即時(shí)，取到最大值3，即.若條件①：因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻?，又因?yàn)?，可得，且，則，可得，所以，由正弦定理可得，可得，則，因?yàn)殇J角三角形，則，解得，可得，則，可得所以的取值范圍為；若條件②；因?yàn)?，由正弦定理可得：，則，因?yàn)?，則，可得，即，且，所以，由正弦定理可得，可得，則，因?yàn)殇J角三角形，則，解得，可得，則，可得所以的取值范圍為；若選③：因?yàn)?，則，整理得，且，所以，由正弦定理可得，可得，則，因?yàn)殇J角三角形，則，解得，可得，則，可得所以的取值范圍為.18．（13分）某地區(qū)教育研究部門(mén)為了解當(dāng)前本地區(qū)中小學(xué)教師在教育教學(xué)中運(yùn)用人工智能的態(tài)度、經(jīng)驗(yàn)、困難等情況，從該地區(qū)2000名中小學(xué)教師中隨機(jī)抽取100名進(jìn)行了訪談．在整理訪談結(jié)果的過(guò)程中，統(tǒng)計(jì)他們對(duì)“人工智能助力教學(xué)”作用的認(rèn)識(shí)，得到的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示：假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且每位教師對(duì)“人工智能助力教學(xué)”作用的認(rèn)識(shí)相互獨(dú)立．(1)估計(jì)該地區(qū)中小學(xué)教師中認(rèn)為人工智能對(duì)于教學(xué)“沒(méi)有幫助”的人數(shù)；(2)現(xiàn)按性別進(jìn)行分層抽樣，從該地區(qū)抽取了5名教師，求這5名教師中恰有1人認(rèn)為人工智能對(duì)于教學(xué)“很有幫助”的概率；(3)對(duì)受訪教師關(guān)于“人工智能助力教學(xué)”的觀點(diǎn)進(jìn)行賦分：“沒(méi)有幫助”記0分，“有一些幫助”記2分，“很有幫助”記4分．統(tǒng)計(jì)受訪教師的得分，將這100名教師得分的平均值記為，其中年齡在40歲以下（含40歲）教師得分的平均值記為，年齡在40歲以上教師得分的平均值記為，請(qǐng)直接寫(xiě)出的大小關(guān)系．（結(jié)論不要求證明）【答案】(1)140(2)(3)【詳解】（1）根據(jù)表格中數(shù)據(jù)，完善表格，可以得到100名教師中，認(rèn)為人工智能對(duì)于教學(xué)“沒(méi)有幫助”的頻率為，用頻率估計(jì)概率，估計(jì)該地區(qū)中小學(xué)教師中認(rèn)為人工智能對(duì)于教學(xué)“沒(méi)有幫助”的人數(shù)為；（2）男女比例為，故抽取的5名教師，有1名男教師，4名女教師，用頻率估計(jì)概率，估計(jì)該地區(qū)中小學(xué)教師中男教師認(rèn)為對(duì)于教學(xué)“很有幫助”的概率為，女教師認(rèn)為對(duì)于教學(xué)“很有幫助”的概率為，抽取的5名教師中，恰有1人認(rèn)為人工智能對(duì)于教學(xué)“很有幫助”，則1名男教師認(rèn)為人工智能對(duì)于教學(xué)“很有幫助”的概率為，1名女教師認(rèn)為人工智能對(duì)于教學(xué)“很有幫助”的概率為，故這5名教師中恰有1人認(rèn)為人工智能對(duì)于教學(xué)“很有幫助”的概率為；（3），，，因?yàn)?，所?19．（15分）已知橢圓，的下頂點(diǎn)為，左、右焦點(diǎn)分別為和，離心率為，過(guò)的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)．若直線垂直于，則的周長(zhǎng)為．(1)求橢圓的方程；(2)若直線與坐標(biāo)軸不垂直，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，試判斷直線是否過(guò)定點(diǎn)，并說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)，理由見(jiàn)詳解.【詳解】（1）由題意可知，因?yàn)殡x心率為，所以，所以，故是正三角形，如圖所示：若直線，