江蘇專用2025版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第八章立體幾何微專題三立體幾何中的實(shí)際應(yīng)用問題教案含解析

PAGEPAGE1微專題三立體幾何中的實(shí)際應(yīng)用問題例1(2024·南通、泰州模擬)如圖，銅質(zhì)六角螺帽毛坯是由一個(gè)正六棱柱挖去一個(gè)圓柱所構(gòu)成的，已知正六棱柱的底面邊長(zhǎng)、高都為4cm，圓柱的底面積為9eq\r(3)cm2.若將該螺帽熔化后鑄成一個(gè)高為6cm的正三棱柱零件，則該正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為________cm.(不計(jì)損耗)答案2eq\r(10)解析由題意知，銅質(zhì)六角螺帽毛坯的體積V＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6×\f(1,2)×42×sin60°－9\r(3)))×4＝60eq\r(3)(cm3)．設(shè)正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為acm，則eq\f(1,2)×a2×sin60°×6＝60eq\r(3)，解得a＝2eq\r(10)，所以正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為2eq\r(10)cm.例2如圖，一個(gè)倒圓錐形容器，它的軸截面是正三角形，在容器內(nèi)放一個(gè)半徑為r的鐵球，并向容器內(nèi)注水，使水面恰好與鐵球面相切．將球取出后，容器內(nèi)的水深是多少？解鐵球取出后，容器內(nèi)水的體積不變，設(shè)球被取出后容器內(nèi)水深為h，∵△ABC為正三角形，O為△ABC的中心，∴AO1＝3OM＝3r，注水后圓錐的底面半徑O1C＝eq\f(\r(3),3)×3r，∵球取出后的水深為h，則此時(shí)圓錐底面半徑為eq\f(\r(3),3)h.∴球的體積與球被取出后圓錐的體積之和等于注水后圓錐的體積，即eq\f(4,3)πr3＋eq\f(1,3)π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)h))2·h＝eq\f(1,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)·3r))2·3r，解得h＝eq\r(3,15)r.∴球取出后，容器內(nèi)的水深為eq\r(3,15)r.例3現(xiàn)須要設(shè)計(jì)一個(gè)倉(cāng)庫(kù)，它由上、下兩部分組成，上部的形態(tài)是正四棱錐P－A1B1C1D1，下部的形態(tài)是正四棱柱ABCD－A1B1C1D1(如圖所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱錐的高PO1的4倍．(1)若AB＝6m，PO1＝2m，則倉(cāng)庫(kù)的容積是多少？(2)若正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為6m，則當(dāng)PO1為多少時(shí)，倉(cāng)庫(kù)的容積最大？解(1)由PO1＝2知，O1O＝4PO1＝8.因?yàn)锳1B1＝AB＝6，所以正四棱錐P－A1B1C1D1的體積V錐＝eq\f(1,3)·A1Beq\o\al(2,1)·PO1＝eq\f(1,3)×62×2＝24(m3)；正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的體積V柱＝AB2·O1O＝62×8＝288(m3)．所以倉(cāng)庫(kù)的容積V＝V錐＋V柱＝24＋288＝312(m3)．(2)設(shè)A1B1＝am，PO1＝hm，則0<h<6，O1O＝4h.連結(jié)O1B1.因?yàn)樵赗t△PO1B1中，O1Beq\o\al(2,1)＋POeq\o\al(2,1)＝PBeq\o\al(2,1)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2)a,2)))2＋h2＝36，即a2＝2(36－h(huán)2)，于是倉(cāng)庫(kù)的容積V＝V柱＋V錐＝a2·4h＋eq\f(1,3)a2·h＝eq\f(13,3)a2h＝eq\f(26,3)(36h－h(huán)3)，0<h<6，從而V′＝eq\f(26,3)(36－3h2)＝26(12－h(huán)2)．令V′＝0，得h＝2eq\r(3)或h＝－2eq\r(3)(舍)．當(dāng)0<h<2eq\r(3)時(shí)，V′>0，V是單調(diào)增函數(shù)；當(dāng)2eq\r(3)<h<6時(shí)，V′<0，V是單調(diào)減函數(shù)．故當(dāng)h＝2eq\r(3)時(shí)，V取得極大值，也是最大值．因此，當(dāng)PO1＝2eq\r(3)m時(shí)，倉(cāng)庫(kù)的容積最大．跟蹤訓(xùn)練(1)某農(nóng)場(chǎng)擬建一座如圖所示的糧倉(cāng)，該糧倉(cāng)由上、下兩部分組成，上部分是底面半徑為rm，高為eq\f(3r,4)m的無底圓錐，下部分是底面半徑為rm，高為hm的無蓋圓柱．設(shè)圓柱側(cè)面和底面的建立成本分別為100元/m2和160元/m2，圓錐側(cè)面的建立成本是72元/m2，該糧倉(cāng)的總建立成本為27000π元(π為圓周率)．記該糧倉(cāng)下部分(圓柱)的體積為Vm3.①試將V表示成r的函數(shù)V(r)，并求其定義域；②當(dāng)r為何值時(shí)，該糧倉(cāng)下部分(圓柱)的體積最大？解①設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l，則l＝eq\r(r2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3r,4)))2)＝eq\f(5,4)r.該糧倉(cāng)上部分的建立成本為72×eq\f(1,2)l×2πr＝72×eq\f(1,2)×eq\f(5,4)r×2πr＝90πr2(元)．下部分的建立成本為160×πr2＋100×2πr×h＝(160πr2＋200πrh)(元)．由于該糧倉(cāng)的總建立成本為27000π元，所以90πr2＋160πr2＋200πrh＝27000π，即5r2＋4rh＝540，所以h＝eq\f(5108－r2,4r)，故V(r)＝πr2h＝πr2×eq\f(5108－r2,4r)＝eq\f(5π108r－r3,4).由r>0，h＝eq\f(5108－r2,4r)>0，得0<r<6eq\r(3)，所以V(r)＝eq\f(5π108r－r3,4)，其定義域?yàn)閧r|0<r<6eq\r(3)}．②因?yàn)閂(r)＝eq\f(5π108r－r3,4)，0<r<6eq\r(3)，所以V′(r)＝eq\f(5π108－3r2,4).令V′(r)＝eq\f(5π108－3r2,4)＝0，解得r＝±6，又0<r<6eq\r(3)，所以r＝6.當(dāng)0<r<6時(shí)，V′(r)>0，所以V(r)在(0,6)上單調(diào)遞增；當(dāng)6<r<6eq\r(3)時(shí)，V′(r)<0，所以V(r)在(6,6eq\r(3))上單調(diào)遞減．因此當(dāng)r＝6時(shí)，V(r)取得最大值，故當(dāng)r為6時(shí)，該糧倉(cāng)下部分(圓柱)的體積最大．(2)(2024·南京、鹽城模擬)有一矩形硬紙板材料(厚度忽視不計(jì))，一邊AB長(zhǎng)為6分米，另一邊足夠長(zhǎng)．現(xiàn)從中截取矩形ABCD(如圖甲所示)，再剪去圖中陰影部分，用剩下的部分恰好能折卷成一個(gè)底面是弓形的柱體包裝盒(如圖乙所示，重疊部分忽視不計(jì))，其中OEMF是以O(shè)為圓心、∠EOF＝120°的扇形，且弧，分別與邊BC，AD相切于點(diǎn)M，N.①當(dāng)BE長(zhǎng)為1分米時(shí)，求折卷成的包裝盒的容積；②當(dāng)BE的長(zhǎng)是多少分米時(shí)，折卷成的包裝盒的容積最大？解①在圖甲中，連結(jié)MO交EF于點(diǎn)T.設(shè)OE＝OF＝OM＝R，在Rt△OET中，因?yàn)椤螮OT＝eq\f(1,2)∠EOF＝60°，所以O(shè)T＝eq\f(R,2)，則MT＝OM－OT＝eq\f(R,2).從而BE＝MT＝eq\f(R,2)，即R＝2BE＝2.故所得柱體的底面積S＝S扇形OEF－S△OEF＝eq\f(1,3)πR2－eq\f(1,2)R2sin120°＝eq\f(4π,3)－eq\r(3).又所得柱體的高EG＝4，所以V＝S×EG＝eq\f(16π,3)－4eq\r(3).答當(dāng)BE長(zhǎng)為1分米時(shí)，折卷成的包裝盒的容積為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16π,3)－4\r(3)))立方分米．②設(shè)BE＝x，則R＝2x，所以所得柱體的底面積S＝S扇形OEF－S△OEF＝eq\f(1,3)πR2－eq\f(1,2)R2sin120°＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4π,3)－\r(3)))x2.又所得柱體的高EG＝6－2x，所以V＝S×EG＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8π,3)－2\r(3)))(－x3＋3x2)