【二輪復(fù)習(xí)】高考數(shù)學(xué) 重難點(diǎn)10 數(shù)列的通項、求和及綜合應(yīng)用（新高考專用）（解析版）

重難點(diǎn)10數(shù)列的通項、求和及綜合應(yīng)用【九大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1等差、等比數(shù)列的基本量的求解】 3【題型2等差、等比數(shù)列的判定與證明】 5【題型3數(shù)列通項公式的求解】 8【題型4等差、等比數(shù)列的綜合問題】 11【題型5數(shù)列性質(zhì)的綜合問題】 14【題型6數(shù)列求和】 16【題型7數(shù)列問題的實際應(yīng)用】 18【題型8數(shù)列不等式問題】 22【題型9以數(shù)列為載體的新定義或情境題】 26數(shù)列是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容，命題形式多種多樣，大小均有，屬于高考的必考內(nèi)容之一.從近幾年的高考情況來看，小題重點(diǎn)考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識、性質(zhì)以及數(shù)列的遞推關(guān)系，主要以選擇題、填空題的形式考查，難度較易；解答題的難度中等或稍難，往往在解決數(shù)列基本問題后考查數(shù)列求和，在求和后往往與不等式、函數(shù)、最值等問題綜合，與不等式結(jié)合時“放縮”思想及方法尤為重要，需要靈活求解.【知識點(diǎn)1判斷數(shù)列類型的技巧方法】1.證明數(shù)列是等差數(shù)列的主要方法：(1)定義法：對于n≥2的任意自然數(shù)，驗證an-an-1為同一常數(shù).即作差法，將關(guān)于an-1的an代入an-an-1，在化簡得到定值.(2)等差中項法：驗證2an-1=an+an-2（n≥3，n∈N*）都成立.2.判定一個數(shù)列是等差數(shù)列還常用到的結(jié)論：(1)通項公式：an=pn+q（p,q為常數(shù)）是等差數(shù)列.(2)前n項和公式：Sn=An2+Bn（A,B為常數(shù)）是等差數(shù)列.問題的最終判定還是利用定義. 3.證明數(shù)列是等比數(shù)列的主要方法：(1)定義法：（常數(shù)）為等比數(shù)列；(2)中項法：為等比數(shù)列；(3)通項公式法：（k，q為常數(shù)）為等比數(shù)列；證明一個數(shù)列為等比數(shù)列常用定義法與等比中項法，其他方法只用于選擇題、填空題中的判定；若證明某數(shù)列不是等比數(shù)列，則只要證明存在連續(xù)三項不成等比數(shù)列即可；在利用遞推關(guān)系判定等比數(shù)列時，要注意對n=1的情形進(jìn)行驗證.【知識點(diǎn)2數(shù)列通項公式的求解策略】1.含，的式子求通項的方法：在處理含，的式子時，一般情況下利用公式，消去，進(jìn)而求出的通項公式；但是有些題目雖然要求的通項公式，但是并不便于運(yùn)用，這時可以考慮先消去，得到關(guān)于的遞推公式，求出后再求解．2.形如的遞推關(guān)系式求通項的方法：遇到形如的遞推關(guān)系式，可利用累加法求的通項公式，遇到形如的遞推關(guān)系式，可利用累乘法求的通項公式，注意在使用上述方法求通項公式時，要對第一項是否滿足進(jìn)行檢驗．3.構(gòu)造數(shù)列求通項的方法：遇到下列遞推關(guān)系式，我們通過構(gòu)造新數(shù)列，將它們轉(zhuǎn)化為熟悉的等差數(shù)列、等比數(shù)列，從而求解該數(shù)列的通項公式：(1)形如（，），可變形為，則是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，由此可以求出；(2)形如（，），此類問題可兩邊同時除以，得，設(shè)，從而變成，從而將問題轉(zhuǎn)化為第(1)個問題；(3)形如，可以考慮兩邊同時除以，轉(zhuǎn)化為的形式，設(shè)，則有，從而將問題轉(zhuǎn)化為第(1)個問題．【知識點(diǎn)3數(shù)列的單調(diào)性與最值問題的解題策略】1.判斷數(shù)列單調(diào)性的方法(1)比較法（作差或作商）；(2)函數(shù)化（要注意擴(kuò)展定義域）．2.求數(shù)列最值的方法(1)利用數(shù)列的單調(diào)性；(2)設(shè)最大值項為，解方程組，再與首項比較大?。ㄒ宰畲笾淀棡槔?，最小值項同理）．【知識點(diǎn)4數(shù)列求和的幾種方法】1.公式法：公式法是數(shù)列求和的最基本的方法，也是數(shù)列求和的基礎(chǔ)；其他一些數(shù)列的求和可以轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列的求和，然后利用等差或等比數(shù)列的求和公式進(jìn)行求解.注意利用等比數(shù)列求和公式時，當(dāng)公比是用字母表示時，應(yīng)對其是否為1進(jìn)行討論．2.裂項相消法求和：用裂項相消法求和時，要對通項進(jìn)行變換，如：，，裂項后產(chǎn)生可以連續(xù)相互抵消的項．抵消后并不一定只剩下第一項和最后一項，也有可能前面剩兩項，后面也剩兩項，但是前后所剩項數(shù)一定相同．3.錯位相減法求和：用錯位相減法求和時的注意點(diǎn)：(1)在寫出“”與“”的表達(dá)式時應(yīng)特別注意將兩式“錯項對齊”，以便下一步準(zhǔn)確寫出“”的表達(dá)式；(2)在應(yīng)用錯位相減法求和時，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況討論．4.分組（并項）法求和：分組（并項）法求和的常見類型：(1)若，且，為等差或等比數(shù)列，可采用分組（并項）法求的前項和；(2)若通項公式為，其中數(shù)列，是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采用分組（并項）法求和.【題型1等差、等比數(shù)列的基本量的求解】【例1】（2023·江西新余·統(tǒng)考二模）記Sn是公差不為0的等差數(shù)列an的前n項和，若a2=S3，a1a3=S4，則數(shù)列an的公差為（A．-2 B．-1 C．2 D【解題思路】由等差數(shù)列和等差數(shù)列的前n項和公式代入求解即可得出答案.【解答過程】由a2=S3由a1a3=由①②可得：d=-2或d=0(故選：A.【變式1-1】（2023·全國·模擬預(yù)測）記Sn為等差數(shù)列an的前n項和，已知a2=1，S4=8．若A．5 B．6 C．7 D．8【解題思路】設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式列方程組，解方程求出a1,d，即可求出a【解答過程】設(shè)等差數(shù)列an的公差為d．由條件可知a1所以an=-1+2n由Sn-2an=6，得n2故選：B．【變式1-2】（2023·四川攀枝花·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知等比數(shù)列an的前n項和為Sn,a1A．1 B．2 C．3 D．1或3【解題思路】由a2+a4【解答過程】因為a1+a3=30,故選：C.【變式1-3】（2023·全國·模擬預(yù)測）已知正項等比數(shù)列an滿足2a2a5=aA．12 B．32 C．2 D【解題思路】設(shè)出等比數(shù)列的公比q，利用2a2a5=a3【解答過程】設(shè)等比數(shù)列an的公比為q由2a2a解得q=又log====10得a1故選：A.【題型2等差、等比數(shù)列的判定與證明】【例2】（2023·陜西咸陽·?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列an的前n項和為Sn，a1=1，a2=2，且對于任意n≥2A．a(chǎn)n是等差數(shù)列 B．a(chǎn)C．S9=81 D【解題思路】推導(dǎo)出an+1-an=2n≥2【解答過程】因為對于任意n≥2，n∈N所以Sn+1-Sn所以，數(shù)列an不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，A錯B當(dāng)n≥2時，a所以，an所以，S9=1+2+4+6+?+16S10=S9故選：D.【變式2-1】（2023·江蘇淮安·統(tǒng)考模擬預(yù)測）設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn.記命題p：“數(shù)列an為等比數(shù)列”，命題q：“Sn，S2n-Sn，SA．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【解題思路】根據(jù)充分條件、必要條件的定義、等比數(shù)列的定義計算可得.【解答過程】若數(shù)列an為等比數(shù)列，設(shè)公比為q則當(dāng)q=1時S所以S2n-顯然a1≠0，所以Sn，S當(dāng)q≠1時S所以S2n-所以S2但是當(dāng)q=-1且當(dāng)n為正偶數(shù)時，此時Sn=0，則Sn，S2n若Sn，S2n當(dāng)n=1時S1=a1當(dāng)n=2時S2，S4不妨令a1=mm≠0，a2=2m，顯然滿足S2，S4-S2，S6-S4成等比數(shù)列，但是a1，所以p是q的既不充分也不必要條件.故選：D.【變式2-2】（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中校考模擬預(yù)測）已知數(shù)列an滿足a1=(1)求證：數(shù)列1a(2)若1a1+【解題思路】（1）由已知得1a（2）由（1）求出1an=12n+1，再由等比數(shù)列的求和公式可得【解答過程】（1）1an+1a1=21an-1是以（2）由（1）：1an-1a令bn因為y=x+1,所以fx=x∴bn單調(diào)遞增，b可得n≤99，所以滿足條件的最大整數(shù)為99【變式2-3】（2023·安徽合肥·合肥一中?？寄M預(yù)測）設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn，已知Sn+2+3(1)證明：數(shù)列an(2)記(an+1)bn=n+2n【解題思路】（1）由Sn+2+3Sn=4S（2）由（1）得an+1=2an+1，得出{an+1}為公比為1的等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的通項公式得出a【解答過程】（1）因為Sn所以Sn+2所以a==a所以數(shù)列an（2）由（1）知an+1-所以an所以{an+1}又a1所以an因為(a所以bn所以數(shù)列bn的前n項和為：=21【題型3數(shù)列通項公式的求解】【例3】（2023·四川綿陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列an的公差為2，且a(1)求數(shù)列an的前n項和S(2)若數(shù)列bn的首項b1=1,【解題思路】（1）利用等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式，即可進(jìn)行基本量的計算求解；（2）對數(shù)列bn+bn【解答過程】（1）因為a1,a又等差數(shù)列an的公差為d所以a可解得a1所以數(shù)列an的前n項和S（2）bn+當(dāng)n=1時，b1+可得bn+1由②式減①式，得bn所以b=2且b2=1符合上式，所以【變式3-1】（2023·山東·沂水縣第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列an的前n項和為Sn，S2(1)求數(shù)列an(2)證明：Sn【解題思路】（1）解法一：由已知等式變形可得an+1an=解法二：由已知條件計算出a1的值，推導(dǎo)出數(shù)列ann為等比數(shù)列，確定該數(shù)列的首項和公比，即可求得數(shù)列a（2）利用錯位相減法求出Sn，進(jìn)而可證得結(jié)論成立【解答過程】（1）解：解法一：由題a1+a2=1①，2a2=由2an+1所以當(dāng)n≥2時，aa1=1所以數(shù)列an的通項公式為a解法二：由題，a1+a2=1①，2a2=由an+1=所以數(shù)列ann是以12為首項，1所以數(shù)列的通項公式為an（2）證明：由（1）知Sn所以12兩式作差得12所以Sn【變式3-2】（2023·山東·山東校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列an前n項和為Sn，且對任意的正整數(shù)n,n與(1)求數(shù)列an(2)證明：n2【解題思路】（1）根據(jù)an與S（2）根據(jù)題意分析可得akak+1【解答過程】（1）由題意可得：2an=1時，2a1n≥2時，2an兩式相減得：2an-可得an+1=2a可知an+1是以2為首項，2所以an+1=2（2）因為ak所以a1又因為a=1所以a1綜上所述：n2【變式3-3】（2023·廣西南寧·?？寄M預(yù)測）數(shù)列an滿足2a2k+1=a2k-1(1)求數(shù)列an(2)求數(shù)列an的前n項和S【解題思路】（1）由題意可得奇數(shù)項成等差數(shù)列，設(shè)公差為d，且偶數(shù)項成等比數(shù)列，公比為q(q>0)，運(yùn)用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式，解方程可得公差d和公比（2）討論n為偶數(shù)和奇數(shù)，由等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式，計算可得所求和.【解答過程】（1）數(shù)列an滿足2a2可得a2k-1,且偶數(shù)項成等比數(shù)列,公比為q(q>0),且a2=2可得(1+d)2解得d=3,則an=1+3?（2）當(dāng)n為偶數(shù)時,數(shù)列an的前nS=1=3當(dāng)n為奇數(shù)時(nS=當(dāng)n=1時S1綜上:Sn【題型4等差、等比數(shù)列的綜合問題】【例4】（2023·四川德陽·統(tǒng)考一模）已知首項為12的等比數(shù)列an的前n項和為Sn，且(1)求數(shù)列an(2)求數(shù)列Sn+【解題思路】（1）設(shè)出公比，分q=1和q（2）根據(jù)等比數(shù)列求和公式得到Sn+【解答過程】（1）由題意得2S設(shè)公比為q，若q=1，此時S4=2,若q≠1，則S故1-q41-由于q≠0，故2q2-3故an（2）Sn=1所以Sn令1-12由對勾函數(shù)可知y=t+故當(dāng)t=12時，y故數(shù)列Sn+1【變式4-1】（2023·四川南充·統(tǒng)考一模）已知數(shù)列an是首項為2的等比數(shù)列,且a4是6a(1)求an(2)若數(shù)列an的公比q>0,設(shè)數(shù)列bn滿足bn=1log2【解題思路】(1)設(shè)數(shù)列an的公比為qq≠0,根據(jù)題意得2a4=6(2)根據(jù)題意得an=2n,代入bn【解答過程】（1）設(shè)數(shù)列an的公比為qq≠0∵a4是6a2和a3的等差中項,∴2a4=6a2∴當(dāng)q=2時,當(dāng)q=-32（2）∵q>0,由(1)知an∴∴故bn的前2023項和T2023【變式4-2】（2023·廣東·東莞市東華高級中學(xué)校聯(lián)考一模）已知數(shù)列an為等差數(shù)列，數(shù)列bn為等比數(shù)列，b2(1)求數(shù)列bn(2)設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn，若S6=b【解題思路】（1）應(yīng)用等比數(shù)列的基本量運(yùn)算即可；（2）應(yīng)用等差數(shù)列的前n項和公式計算即可.【解答過程】（1）數(shù)列bn為等比數(shù)列，設(shè)公比為qb2-b1=2則b1(q-1)=2則bn（2）數(shù)列an為等差數(shù)列，設(shè)公差為d由（1）知S6=bS6=6a則Sn【變式4-3】（2023·全國·模擬預(yù)測）已知公差不為0的等差數(shù)列an和等比數(shù)列bn中，a1=1，b1(1)求數(shù)列an，b(2)若Tn為數(shù)列1anan+1的前n【解題思路】（1）利用等差數(shù)列等比數(shù)列求解公差d=-4與公比q（2）裂項相消法求和Tn=-n4n-【解答過程】（1）設(shè)等差數(shù)列an的公差為dd≠0，等比數(shù)列b由題意可得1+2d+2又因為d≠0，所以d所以an（2）由（1）知1a所以Tn因為Tn+nb3=-n所以滿足題意的n的取值范圍為1,2,3,4.【題型5數(shù)列性質(zhì)的綜合問題】【例5】（2023·四川雅安·統(tǒng)考一模）已知數(shù)列an是等差數(shù)列，數(shù)列bn是等比數(shù)列，若a1+aA．2 B．3 C．32 D．【解題思路】根據(jù)等差、等比數(shù)列的性質(zhì)分析求解.【解答過程】由題意可得a1+a所以a2故選：C.【變式5-1】（2023·上?！そy(tǒng)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列an的各項均為實數(shù)，Sn為其前n項和，若對任意k>2022，都有SA．a(chǎn)1,aB．a(chǎn)1,aC．a(chǎn)1,aD．a(chǎn)1,a【解題思路】令f(n)=|Sn|(Sn是等差數(shù)列的前n項和【解答過程】解：令f(n)=|Sn|≥0對于首項為a1，公差為d則前n項和Tn=na此時f(由二次函數(shù)的性質(zhì)知：當(dāng)n足夠大時，f(所以，A中奇數(shù)項及B中偶數(shù)項為等差數(shù)列均不合題意；對于C，當(dāng)前2022項為等差數(shù)列，從第2022項開始為等比數(shù)列且公比q∈(0,1)時，滿足f對于D，當(dāng)前2022項為等比數(shù)列，從第2022項為等差數(shù)列時，同A、B分析：當(dāng)n足夠大時，不滿足f(n)>故選：C.【變式5-2】（2023·寧夏石嘴山·石嘴山市第三中學(xué)?？家荒＃┰O(shè)等差數(shù)列an的公差為d，共前n項和為Sn，已知S16>0，SA．a(chǎn)1>0，d<0 B．S8與C．a(chǎn)8+a【解題思路】由等差中項性質(zhì)與等差數(shù)列前n項和公式即可求解.【解答過程】依題意，因為S16S17所以a8+a由a8+a所以d=a9由a8=a所以a1>0，所以對于B：因為S9=S因此，S8與S9不可能同為S故選：B.【變式5-3】（2023·山東濰坊·山東?？寄M預(yù)測）設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，其前n項和為Sn，前n項積為Tn，并滿足條件a1>1，a2019A．S2019<S2020

C．T2020是數(shù)列Tn中的最大值

D．?dāng)?shù)列【解題思路】根據(jù)a1>1，a2019a2020>1，a2019-1【解答過程】根據(jù)題意，等比數(shù)列an中，a2019a2020>1，則有又由a2019-1a2020-1＜0，即對于A，S2020-S2019=a2020對于B，等比數(shù)列an中，a1>1，0<q<1，則S2021>S2019>1對于C，a2020<1<a2019，則T2019是數(shù)列對于D，由C的結(jié)論，D錯誤；故選：A.【題型6數(shù)列求和】【例6】（2023·重慶沙坪壩·重慶八中?？寄M預(yù)測）已知等差數(shù)列an的首項a1≠0，公差為d，Sn為an(1)求a1與d(2)若a1=1，Tn為數(shù)列1anan【解題思路】（1）由Snan為等差數(shù)列可得2S2（2）由裂項相消法得到Tn，再解不等式即可求得n的最大值【解答過程】（1）因為Snan為等差數(shù)列，所以從而得到22a所以a1-（2）當(dāng)d=0，a1=1時，an=1，1an當(dāng)a1-d=0，a1所以Tn=1-12所以n的最大值3.【變式6-1】（2023·河北·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx滿足fx+f1-(1)求數(shù)列an(2)若數(shù)列bn滿足b1=23，bn=1an?an+1（n【解題思路】（1）由fx（2）由（1）可得bn的通項公式，由數(shù)列的裂項相消求和可得Sn【解答過程】（1）因為f(由an則an所以①+②可得：故an=n（2）由（1）知，an=n+1，則所以S

=

=1-1又由Sn<λan+1對一切n即有λ>1n+2當(dāng)n=1時,-1n+2-故實數(shù)λ的取值范圍是29【變式6-2】（2023·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列an是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且a1=4,a2+18是a1與a(1)求數(shù)列an，b(2)記cn=log2bn+1（其中，符號x表示不超過x【解題思路】（1）求出等比數(shù)列an的公比即可求得通項，再利用累加法求出bn（2）求出cn的表達(dá)式，再利用分組求和法及錯位相減法求和即得【解答過程】（1）設(shè)等比數(shù)列an的公比為q(q>0)，依題意，而q>0，解得q=4，則an得當(dāng)n≥2時，bn=所以bn（2）由（1）得bn+1=4n于是bn?c令Tn=1?41+2?①-②得-3Tn所以Sn【變式6-3】（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列an的首項為1，公差為2．正項數(shù)列bn的前n項和為Sn(1)求數(shù)列an和數(shù)列b(2)若cn=an,【解題思路】（1）直接得到an的通項公式，由bn=S1（2）由（1）可得cn=【解答過程】（1）依題意可得an∵2Sn當(dāng)n≥2時，2S①-?bn+∵bn∴bn且在①式中令n=1?b1=1或b綜上可得an=2n（2）由（1）可得cn∴c==4【題型7數(shù)列問題的實際應(yīng)用】【例7】（2023·廣東潮州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有如下問題：“今有人持金出五關(guān)，前關(guān)二稅一，次關(guān)三而稅一，次關(guān)四而稅一，次關(guān)五而稅一，次關(guān)六而稅一，并五關(guān)所稅，適重一斤．問本持金幾何？”其意思為“今有人持金出五關(guān)，第1關(guān)收稅金為持金的12，第2關(guān)收稅金為剩余金的13，第3關(guān)收稅金為剩余金的14，第4關(guān)收稅金為剩余金的15，第5關(guān)收稅金為剩余金的16，5關(guān)所收稅金之和恰好重1斤．問原來持金多少？”．記這個人原來持金為a斤，設(shè)fA．-5 B．7 C．13 D．【解題思路】根據(jù)題意求得每次收的稅金，結(jié)合題意得到12a+1【解答過程】由題意知：這個人原來持金為a斤，第1關(guān)收稅金為：12a斤；第2關(guān)收稅金為第3關(guān)收稅金為14以此類推可得的，第4關(guān)收稅金為14×5?a斤，第5所以12即(1-12+又由fx=10故選：C.【變式7-1】（2023·陜西榆林·統(tǒng)考三模）現(xiàn)有17匹善于奔馳的馬，它們從同一個起點(diǎn)出發(fā)，測試它們一日可行的路程．已知第i（i=1，2，…，16）匹馬的日行路程是第i+1匹馬日行路程的1.05倍，且第16匹馬的日行路程為A．7750里 B．7752里C．7754里 D．7756里【解題思路】由等比數(shù)列的前n項和公式計算.【解答過程】3151.05=300，依題意可得，第17匹馬、第16匹馬、……、第1匹馬的日行路程里數(shù)依次成等比數(shù)列，且首項為300，公比為故這17匹馬的日行路程之和為300×1-故選：B.【變式7-2】（2023·上海金山·統(tǒng)考一模）近兩年，直播帶貨逐漸成為一種新興的營銷模式，帶來電商行業(yè)的新增長點(diǎn).某直播平臺第1年初的啟動資金為500萬元，由于一些知名主播加入，平臺資金的年平均增長率可達(dá)40%，每年年底把除運(yùn)營成本a萬元，再將剩余資金繼續(xù)投入直播平合(1)若a=100，在第3(2)每年的運(yùn)營成本最多控制在多少萬元，才能使得直播平臺在第6年年底?除運(yùn)營成本后資金達(dá)到3000萬元？（結(jié)果精確到0.1萬元）【解題思路】（1）用an表示第n年年底扣除運(yùn)營成本后直播平臺的資金，然后根據(jù)已知計算a（2）由已知寫出a1,a2,【解答過程】（1）記an為第n則a1aa故第3年年底扣除運(yùn)營成本后直播平臺的資金為936萬元.（2）a1a?a=500×由a6≥3000，得故運(yùn)營成本最多控制在46.8萬元，才能使得直播平臺在第6年年底扣除運(yùn)營成本后資金達(dá)到3000萬元.【變式7-3】（2023·湖南郴州·統(tǒng)考三模）“現(xiàn)值”與“終值”是利息計算中的兩個基本概念，掌握好這兩個概念，對于順利解決有關(guān)金融中的數(shù)學(xué)問題以及理解各種不同的算法都是十分有益的.所謂“現(xiàn)值”是指在n期末的金額，把它扣除利息后，折合成現(xiàn)時的值，而“終值”是指n期后的本利和.它們計算的基點(diǎn)分別是存期的起點(diǎn)和終點(diǎn).例如，在復(fù)利計息的情況下，設(shè)本金為A，每期利率為r，期數(shù)為n，到期末的本利和為S，則S=A(1+r)n其中，S稱為n期末的終值，A稱為n期后終值S的現(xiàn)值，即現(xiàn)有如下問題：小明想買一座公寓有如下兩個方案方案一：一次性付全款25萬元；方案二：分期付款，每年初付款3萬元，第十年年初付完；(1)已知一年期存款的年利率為2.5%(2)若小明把房子租出去，第一年年初需交納租金2萬元，此后每年初漲租金1000元，參照第（1））問中的存款年利率2.5%，預(yù)計第十年房租到期后小明所獲得全部租金的終值.參考數(shù)據(jù)：(1+2.5【解題思路】（1）解法1（從終值來考慮），分別求出若全款購置，則25萬元10年后的價值和若分期付款，每年初所付金額3萬元，10年后的總價值，兩者比較即可得出答案.解法2（從現(xiàn)值來考慮）每年初付租金3萬元的10年現(xiàn)值之和與購置一次付款25萬元相比，即可得出答案.（2）設(shè)小明第十年房租到期后小明所獲得全部租金的終值為T萬元，T=2(1+2.5%【解答過程】（1）解法1（從終值來考慮）若全款購置，則25萬元10年后的價值25(1+2.5%若分期付款，每年初所付金額3萬元，10年后的總價值為S=3(1+2.5因此，付全款較好.解法2（從現(xiàn)值來考慮）每年初付租金3萬元的10年現(xiàn)值之和為Q??Q比購置一次付款25萬元多，故購置設(shè)備的方案較好.（2）由題意，設(shè)小明第十年房租到期后小明所獲得全部租金的終值為T萬元，T記1+2.5%TqT作差可得：1-??T=3?【題型8數(shù)列不等式問題】【例8】（2023·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列{an}中，a1=5，且2(1)求數(shù)列{a(2)求滿足不等式|Sn-(3)設(shè)bm=(m-3)2+λ2，Cn【解題思路】（1）構(gòu)造等比數(shù)列的形式即可求解；（2）數(shù)列分組求和后代入已知條件即可求解；（3）恒成立轉(zhuǎn)化為最值即可求解【解答過程】（1）因為2an+1=而a1-2=3≠0，所以{an所以an-2=3×（2）Sn=3×(12所以|S由6×(12)n<12023（3）bm-cn>因為(bm)min=所以cn+1=(由23(n+1)n>1得所以λ2-4因為λ>0，所以解得λ【變式8-1】（2023·海南·海南華僑中學(xué)校考模擬預(yù)測）數(shù)列an中，a1=49(1)求an(2)設(shè)an的前n項和為S①an②Sn【解題思路】（1）根據(jù)題意化簡得n+3an+1n（2）①易得an②由①得Sn<231+【解答過程】（1）解：因為3n所以3n+3a又因為1+2a11+12=13從而n+2an（2）①因為an=n②由①得Sn設(shè)Tn則13兩式相減得23即23從而Tn=5【變式8-2】（2023·天津和平·耀華中學(xué)校考二模）已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，a1=1，S4=10，數(shù)列(1)證明：bn(2)證明：S2(3)設(shè)數(shù)列cn滿足：cn=【解題思路】（1）根據(jù)等比數(shù)列的定義，結(jié)合遞推公式，即可證明；（2）根據(jù)條件求Sn和b（3）根據(jù)數(shù)列cn的通項公式，分別求奇數(shù)項和偶數(shù)項的和，再分別利用裂項相消法和錯位相減法求和，即可證明【解答過程】（1）由bn+1=2bn-1，得bn+1（2）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，S4=4a所以an=1+nS2n+1S=(n（3）當(dāng)n為奇數(shù)時，cnc=1當(dāng)n為偶數(shù)時，cnc2設(shè)Qn14兩式相減得3得Qn所以c2所以k=1【變式8-3】（2023·廣西南寧·?？寄M預(yù)測）函數(shù)fx=ax2+bx+(1)求實數(shù)a，b，c的值；(2)已知各項均為正數(shù)的數(shù)列an的前n項和為Sn，且點(diǎn)an,4Sn在函數(shù)fx的圖象上，若不等式【解題思路】（1）根據(jù)已知條件，可推得a=bc（2）由已知可得，2Sn=an2+an，進(jìn)而可推得an是等差數(shù)列，求出an【解答過程】（1）因為，f0f-x-又f0=0，所以有c=02a-b=b因為函數(shù)fx=ax2則f'x0即2ax0+a=-2ax0所以fx（2）由（1）知，4Sn=2當(dāng)n=1時，2S1=a當(dāng)n≥2時，有2Sn所以有2Sn-因為an+an-所以，an是以a1=1為首項，所以，an=a則不等式Sn+8>(-1)nn即-1n?λ①當(dāng)n為偶數(shù)時，即有λ<因為n2當(dāng)且僅當(dāng)n2=8n，即②當(dāng)n為奇數(shù)時，即有-λ令hx=x當(dāng)0<x<4時，h'當(dāng)x>4時，h'x>0又h3=3所以當(dāng)n為奇數(shù)時，hx=x所以，-λ<23綜上所述，-23【題型9以數(shù)列為載體的新定義或情境題】【例9】（2023·北京西城·北師大實驗中學(xué)?？既＃┤繇棓?shù)為NN≥3的數(shù)列AN:a1,a2,?,a(1)①若N=3，寫出所有具有性質(zhì)P的數(shù)列A②若N=4,a4=3，寫出一個具有性質(zhì)(2)若N=2024，數(shù)列A2024具有性質(zhì)P，求(3)已知數(shù)列AN:a1,a2,?,aN,BN:b1【解題思路】（1）直接根據(jù)性質(zhì)P的概念一一列舉即可；（2）根據(jù)性質(zhì)P及累加法得aM≥M（3）根據(jù)性質(zhì)P及累加法得aM≤2N-【解答過程】（1）①A3：1，2，1或1，3，1或1，3，2②A4：1，2，4，3（或1，3，4，3或1，3，5，3（2）當(dāng)N=2024時，M由a1=1,a又由a2024≥1,a相加得2aM≥2025，又a所以數(shù)列A2024的最大項aM的最小值為一個滿足條件的數(shù)列為an（3）由a1=1,a又M≤N-1，所以所以T1因為cardT所以cardT所以T1∩Ta此時T1【變式9-1】（2023·北京海淀·中央民族大學(xué)附屬中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知有限數(shù)列an，從數(shù)列an中選取第i1項、第i2項、?、第im項（i1<i2<?<im），順次排列構(gòu)成數(shù)列bk，其中bk=aik，1≤k≤m，則稱新數(shù)列b(1)判斷下面數(shù)列an數(shù)列①：3，5，7，9，11；數(shù)列②：2，4，8，16．(2)數(shù)列an的子列bk長度為m，且bk為完全數(shù)列，證明：m(3)數(shù)列an的子列bk長度m=5，且b【解題思路】（1）根據(jù)題意逐項分析判斷即可；（2）根據(jù)題意利用反證法結(jié)合等差數(shù)列求和分析說明；（3）根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為求b1,【解答過程】（1）數(shù)列①不是完全數(shù)列，數(shù)列②是完全數(shù)列，理由如下：數(shù)列①：因為3+9=5+7=12，所以數(shù)列①不是完全數(shù)列；數(shù)列②：因為2+4=6,2+8=10,2+16=18,4+8=12,4+16=20,8+16=24，2+4+8=14,2+4+16=22,2+8+16=26,4+8+16=28,2+4+8+16=30，即每一子列的所有項的和都不相同，所以數(shù)列②是完全數(shù)列.（2）假設(shè)存在完全數(shù)列bk，其長度為7≤m≤25則長度為m的數(shù)列bk的每一子列的所有項的和有2設(shè)其所有項的和的最小值為a=b1則b=25+24+???+28-可得2m整理得2m當(dāng)m=7時，2當(dāng)m=8時，2當(dāng)m=9時，2當(dāng)10≤m≤25，則2m所以2m綜上所述：當(dāng)7≤m≤25時，不存在m∈N所以假設(shè)不成立，則m≤6，且12,18,21,23,24,25所以m的最大值為6.（3）因為bk長度m=5，且bk可知b1的最小值為1，b2的最小值為2，取因為b1+b2=3，則b因為b1+b3=5,b2因為b1b1則b5的最小值為16，取b此時b1,b則1b所以1b1+【變式9-2】（2023·北京朝陽·統(tǒng)考一模）已知有窮數(shù)列A:a1,a2,?,aNN∈N*,N≥3滿足(1)判斷數(shù)列A:-1,1,0,1,0,1,-1是否為3-連續(xù)等項數(shù)列？是否為4-(2)若項數(shù)為N的任意數(shù)列A都是2-連續(xù)等項數(shù)列，求N的最小值；(3)若數(shù)列A:a1,a2,?,aN不是4-連續(xù)等項數(shù)列，而數(shù)列A1:【解題思路】（1）根據(jù)新定義直接驗證數(shù)列A:-1，1，0，1，0，1，-（2）先根據(jù)新定義證明N≥11時，數(shù)列A一定是2-連續(xù)等項數(shù)列，再驗證n≤10時，A不是（3）由A1,A2Aaj=aN-2,a【解答過程】（1）數(shù)列A是3-連續(xù)等項數(shù)列，不是4-連續(xù)等項數(shù)列，理由如下:因為a2+k=a4+k因為a1,aa2,aa3,aa4,a所以不存在正整數(shù)s,t(所以A不是4-連續(xù)等項數(shù)列.（2）設(shè)集合S=(x,y因為在數(shù)列A中ai∈{-1,0,1}(i若N≥11，則N所以在(a1,至少有兩個有序數(shù)對相同，即存在正整數(shù)s,t(所以當(dāng)項數(shù)N≥11時，數(shù)列A一定是2-連續(xù)等項數(shù)列若N=3，數(shù)列0,0,1不是2-連續(xù)等項數(shù)列若N=4，數(shù)列0,0,1,1不是2-連續(xù)等項數(shù)列若N=5，數(shù)列0,0,1,1,0不是2-連續(xù)等項數(shù)列若N=6，數(shù)列0,0,1,1,0,-1不是2-連續(xù)等項數(shù)列若N=7，數(shù)列0,0,1,1,0,-1,1不是2-連續(xù)等項數(shù)列若N=8，數(shù)列0,0,1,1,0,-1,1,-1不是2-連續(xù)等項數(shù)列若N=9，數(shù)列0,0,1,1,0,-1,1,-1,-1不是2-連續(xù)等項數(shù)列若N=10,數(shù)列0,0,1,1,0,-1,1,-1,-1,0不是2-連續(xù)等項數(shù)列所以N的最小值為11.（3）因為A1,A2與所以存在兩兩不等的正整數(shù)i,使得aiaa下面用反證法證明mini假設(shè)mini因為ai所以ai-不妨設(shè)ai-所以A是4-連續(xù)等項數(shù)列，與題設(shè)矛盾.所以mini所以aN【變式9-3】（2023·全國·鄭州中學(xué)?？寄M預(yù)測）若一個數(shù)列的奇數(shù)項為公差為正的等差數(shù)列，偶數(shù)項為公比為正的等比數(shù)列，且公差公比相同，則稱數(shù)列為“搖擺數(shù)列”，其表示為an=a1+n-12d,n=2k-1(1)求{a(2)若bn=nan，求數(shù)列bn的前【解題思路】（1）根據(jù)題意列出關(guān)于d的方程，結(jié)合等差等比數(shù)列通項公式的概念即可得結(jié)果.（2）求出數(shù)列bn【解答過程】（1）由題意，設(shè)“搖擺數(shù)列”{an}的奇數(shù)項的公差為d則a2=a由a1=1，a1可得1+q即a1=1，a2則an=2（2）bn先求奇數(shù)項的和：bn=2n2-n引入Wn=22再求偶數(shù)項的和：bn=n?2n4S故-=8×所以S'∴T=81．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）已知數(shù)列an滿足an+1A．當(dāng)a1=3時，an為遞減數(shù)列，且存在常數(shù)MB．當(dāng)a1=5時，an為遞增數(shù)列，且存在常數(shù)MC．當(dāng)a1=7時，an為遞減數(shù)列，且存在常數(shù)MD．當(dāng)a1=9時，an為遞增數(shù)列，且存在常數(shù)M【解題思路】利用數(shù)列歸納法可判斷ACD正誤，利用遞推可判斷數(shù)列的性質(zhì)，故可判斷B的正誤.【解答過程】因為an+1=對于A，若a1=3，可用數(shù)學(xué)歸納法證明：an證明：當(dāng)n=1時，a1-設(shè)當(dāng)n=k時，則ak+1-由數(shù)學(xué)歸納法可得an≤3而an14an-62-故an為減數(shù)列，注意故an+1-所以6-an+1≥9若存在常數(shù)M≤0，使得an>故6-M3>94n，故故A不成立.對于B，若a1=5,可用數(shù)學(xué)歸納法證明：-1≤證明：當(dāng)n=1時，-1≤a設(shè)當(dāng)n=k時，則ak+1-由數(shù)學(xué)歸納法可得5≤ak而an14an-62-1<0，若M=6，則an<6恒成立，故對于C，當(dāng)a1=7時，可用數(shù)學(xué)歸納法證明：0<a證明：當(dāng)n=1時，0<設(shè)當(dāng)n=k時，則ak+1-6=由數(shù)學(xué)歸納法可得6<an而an+1-an又an+1-6=an-若an+1≤6+14則M-6≤14n恒成立，故n≤對于D，當(dāng)a1=9時，可用數(shù)學(xué)歸納法證明：an證明：當(dāng)n=1時，a設(shè)當(dāng)n=k時，則ak+1-由數(shù)學(xué)歸納法可得an≥9而an+1-an又an+1-6=an-若存在常數(shù)M>0，使得an<故M>6+394n-1，故n故選：B.2．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）記Sn為數(shù)列an的前n項和，設(shè)甲：an為等差數(shù)列；乙：{A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【解題思路】利用充分條件、必要條件的定義及等差數(shù)列的定義，再結(jié)合數(shù)列前n項和與第n項的關(guān)系推理判斷作答.，【解答過程】方法1，甲：an為等差數(shù)列，設(shè)其首項為a1，公差為則Sn因此{(lán)S反之，乙：{Snn}為等差數(shù)列，即即nan+1-S兩式相減得：an=nan因此an所以甲是乙的充要條件，C正確.方法2，甲：an為等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列an的首項a1，公差為d則Snn=反之，乙：{Snn即Sn=n當(dāng)n≥2時，上兩式相減得：Sn-于是an=a因此an所以甲是乙的充要條件.故選：C.3．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)等比數(shù)列an的各項均為正數(shù)，前n項和Sn，若a1=1，S5A．158 B．658 C．15 D【解題思路】根據(jù)題意列出關(guān)于q的方程,計算出q,即可求出S4【解答過程】由題知1+q即q3+q4=4q+4由題知q>0,所以q所以S4故選:C.4．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）我國度量衡的發(fā)展有著悠久的歷史，戰(zhàn)國時期就已經(jīng)出現(xiàn)了類似于砝碼的、用來測量物體質(zhì)量的“環(huán)權(quán)”．已知9枚環(huán)權(quán)的質(zhì)量（單位：銖）從小到大構(gòu)成項數(shù)為9的數(shù)列an，該數(shù)列的前3項成等差數(shù)列，后7項成等比數(shù)列，且a1=1,a5=12,a9=192，則a7【解題思路】方法一：根據(jù)題意結(jié)合等差、等比數(shù)列的通項公式列式求解d,q，進(jìn)而可求得結(jié)果；方法二：根據(jù)等比中項求a【解答過程】方法一：設(shè)前3項的公差為d，后7項公比為q>0則q4=a9a則a3=1+2d=a空1：可得a3空2：a方法二：空1：因為an,3≤n且an>0，所以又因為a52=空2：設(shè)后7項公比為q>0，則q2=可得a1+a故答案為：48；384.5．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）已知數(shù)列an各項均為正數(shù)，其前n項和Sn滿足①an的第2項小于3；

②a③an為遞減數(shù)列；

④an中存在小于其中所有正確結(jié)論的序號是①③④．【解題思路】推導(dǎo)出an=9an-9an-【解答過程】由題意可知，?n∈N當(dāng)n=1時，a12當(dāng)n≥2時，由Sn=9a所以，9an-1=因為a2>0，解得a2假設(shè)數(shù)列an為等比數(shù)列，設(shè)其公比為q，則a22所以，S22=S1故數(shù)列an不是等比數(shù)列，②當(dāng)n≥2時，an=9an-假設(shè)對任意的n∈N*，a所以，a100000=9S故答案為：①③④.6．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）已知數(shù)列an,bn的項數(shù)均為m(m>2)，且an,bn∈{1,2,?,m},an,bn(1)若a1=2,a(2)若a1≥b1，且(3)證明：存在p,q,s,t【解題思路】（1）先求A0（2）根據(jù)題意題意分析可得ri+1-（3）討論Am,【解答過程】（1）由題意可知：A0當(dāng)k=0時，則B0=當(dāng)k=1時，則B0<當(dāng)k=2時，則Bi≤當(dāng)k=3時，則Bi≤綜上所述：r0=0，r1=1，（2）由題意可知：rn≤m因為an≥1,bn≥1，且a所以r0又因為2ri≤ri可得ri反證：假設(shè)滿足rn+1-當(dāng)i≥j時，則ri+1-則rm=r又因為0≤j≤m假設(shè)不成立，故rn即數(shù)列rn是以首項為1，公差為1的等差數(shù)列，所以r（3）因為an,b（ⅰ）若Am=Bm，則可取t=q（ⅱ）若Am<B構(gòu)建Sn=Brn反證，假設(shè)存在正整數(shù)K，使得SK則BrK-這與brK+1∈1,2,???,①若存在正整數(shù)N，使得SN=B可取t=滿足p>q,②若不存在正整數(shù)N，使得SN因為Sn∈-所以必存在1≤X<Y即BrX-可取p=滿足p>q,（ⅲ）若Am定義Rk=max構(gòu)建Sn=ARn反證，假設(shè)存在正整數(shù)K,1≤K≤則ARK-這與aRK+1∈1,2,???,①若存在正整數(shù)N，使得SN=A可取q=即滿足p>q,②若不存在正整數(shù)N，使得SN因為Sn∈-所以必存在1≤X<Y即ARX-可取p=滿足p>q,綜上所述：存在0≤q<p7．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)Sn為數(shù)列an的前n項和，已知(1)求an(2)求數(shù)列an+12n的前【解題思路】（1）根據(jù)an（2）根據(jù)錯位相減法即可解出．【解答過程】（1）因為2S當(dāng)n=1時，2a1當(dāng)n=3時，21+a當(dāng)n≥2時，2Sn化簡得：n-2an=n-當(dāng)n=1,2時都滿足上式，所以a（2）因為an+1212兩式相減得，12=1-1+n2128．（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）已知an是等差數(shù)列，a(1)求an的通項公式和i(2)設(shè)bn是等比數(shù)列，且對任意的k∈N*，當(dāng)（Ⅰ）當(dāng)k≥2時，求證：2（Ⅱ）求bn的通項公式及前n【解題思路】(1)由題意得到關(guān)于首項、公差的方程，解方程可得a1=3,d=2，據(jù)此可求得數(shù)列的通項公式，然后確定所給的求和公式里面的首項和項數(shù)，結(jié)合等差數(shù)列前(2)(Ⅰ)利用題中的結(jié)論分別考查不等式兩側(cè)的情況，當(dāng)2k-1取n=2k-1，當(dāng)2(Ⅱ)結(jié)合(Ⅰ)中的結(jié)論，利用極限思想確定數(shù)列的公比，進(jìn)而可得數(shù)列的通項公式，最后由等比數(shù)列前n項和公式即可計算其前n項和.【解答過程