2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《二次函數(shù)與角度》同步測(cè)試題-附答案

第第頁(yè)2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《二次函數(shù)與角度》同步測(cè)試題-附答案學(xué)校:___________班級(jí)：___________姓名：___________考號(hào)：___________一、已知兩角之比例1．（2024?香坊區(qū)三模）1．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線分別交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為2,0．AI(1)求拋物線解析式；(2)如圖1，點(diǎn)Q、點(diǎn)P分別在第一、第二象限內(nèi)的拋物線上，軸于點(diǎn)D，點(diǎn)F在第四象限內(nèi)，連接交x軸于點(diǎn)E，連接、，且，若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為，，求d與t之間的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫(xiě)出自變量的取值范圍）；(3)如圖2，在（2）的條件下，點(diǎn)N在線段上，連接，作平分交線段于點(diǎn)M，連接，若與的度數(shù)比為，，求Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)．二、含特殊角例2．2．如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A坐標(biāo)為，點(diǎn)B坐標(biāo)為．(1)求此拋物線的函數(shù)解析式．(2)點(diǎn)P是直線上方拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線交直線于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)P作y軸的垂線，垂足為點(diǎn)E，請(qǐng)?zhí)骄渴欠裼凶畲笾?？若有最大值，求出最大值及此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)；若沒(méi)有最大值，請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)點(diǎn)M為該拋物線上的點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)．對(duì)應(yīng)練習(xí)：（2024春?江北區(qū)校級(jí)期末）3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)B4,0，與軸交于點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作交軸于點(diǎn)，連接．(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)如圖1，點(diǎn)在第一象限內(nèi)的拋物線上，連接、，當(dāng)四邊形的面積最大時(shí)，求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)以及的最大值；(3)如圖2，將拋物線先向左平移3個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位得到新拋物線，若新拋物線與軸交于點(diǎn)，連接、，點(diǎn)在新拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上，滿足：，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)．（2024?單縣三模）4．已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)P為第二象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)為軸負(fù)半軸上的一點(diǎn)，，連接，若，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；三、等角例3．（2024?沂源縣一模）5．如圖，已知拋物線經(jīng)過(guò)A(，0)，B(，)兩點(diǎn)，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C，頂點(diǎn)為D，連接CD．（1）求該拋物線的表達(dá)式；（2）點(diǎn)P為該拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)B，C不重合），設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t．①當(dāng)點(diǎn)P在直線BC的下方運(yùn)動(dòng)時(shí)，求的面積的最大值及點(diǎn)P的坐標(biāo)；②該拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得∠PBC=∠BCD？若存在，求出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．對(duì)應(yīng)練習(xí)：（2024?萊蕪區(qū)模擬）6．拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，與x軸交于，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．(1)求這條拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)如圖，點(diǎn)P在第四象限的拋物線上，連接與相交于點(diǎn)Q，與x軸交于點(diǎn)G，是否存在點(diǎn)P，使．若存在，請(qǐng)求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（2024?濟(jì)南一模）7．如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，其對(duì)稱(chēng)軸與線段交于點(diǎn)E，與x軸交于點(diǎn)F．連接．(1)若，求B點(diǎn)和C點(diǎn)坐標(biāo)；(2)若，求m的值；8．如圖①，拋物線與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P是直線下方拋物線上的點(diǎn)，于點(diǎn)D，軸于點(diǎn)F，交線段于點(diǎn)E，(1)求拋物線的解析式；(2)當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最大時(shí)，求P點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)如圖（2），點(diǎn)M是在直線上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．（2020春?云夢(mèng)縣期中）9．如圖，拋物線過(guò)點(diǎn)軸上的和點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，點(diǎn)是該拋物線上第一象限內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，且．(1)拋物線的解析式為：；(2)若，在對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)的拋物線上是否存在點(diǎn)，使？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（2024春?昆都侖區(qū)校級(jí)月考）10．如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B（點(diǎn)A在原點(diǎn)的左側(cè)，點(diǎn)B在原點(diǎn)的右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，．(1)求該拋物線的函數(shù)解析式；(2)在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使．若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案：1．(1)(2)(3)9【分析】（1）把A的坐標(biāo)，點(diǎn)B的坐標(biāo)2,0代入解方程組即可解答；（2）設(shè)，則，，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，求得，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可解答；（3）設(shè)，則，由與的度數(shù)比為得到，求得，設(shè)，則，過(guò)N作于G，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，延長(zhǎng)交于點(diǎn)H，過(guò)H作于R，則，，求得，根據(jù)勾股定理得到，得到，求得，根據(jù)勾股定理得到，過(guò)點(diǎn)N作交的延長(zhǎng)線于T，則，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，，根據(jù)勾股定理得到，求得，得到，得到，求得，代入，得，得到或（舍），于是得到，代入（2）中的結(jié)論得，代入即可解得．【詳解】（1）解：把A的坐標(biāo)與點(diǎn)B的坐標(biāo)2,0代入可得：，解得，∴拋物線的解析式為．（2）解：設(shè)，則，，∵且，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴，在中，，∴；（3）解：∵平分，∴，設(shè)，∴，∵與的度數(shù)比為，∴，∴，∵，∴，∴，設(shè)，則，如圖2：過(guò)N作于G，∵軸于點(diǎn)D，∴，∵，，∴，∴，延長(zhǎng)交于點(diǎn)H，過(guò)H作于R，則，，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，在中，，∴，∵，∴，∴，在中，，∴，∴，過(guò)點(diǎn)N作交的延長(zhǎng)線于T，則，∵，∴四邊形是矩形，∴，，∴，∵，，，∴，∴，∴，∴，∴，將代入，得，解得：或（舍），∴，把代入（2）中的結(jié)論可得，把代入得，∴Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)為9．【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)的綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、平行四邊形的判斷與性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．2．(1)(2)有最大值為，(3)點(diǎn)M的坐標(biāo)為或【分析】（1）把點(diǎn)A坐標(biāo)為，點(diǎn)B坐標(biāo)為分別代入拋物線，后利用待定系數(shù)法確定解析式即可．（2）先確定直線的解析式為．設(shè)，則，則；從而得到，解得即可．（3）利用平移思想，三角函數(shù)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，分類(lèi)想想計(jì)算即可．【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)∴，∴，故拋物線的解析式為．（2）解：有最大值為，且．理由如下：設(shè)直線的解析式為，將，代入直線的解析式得：，解得，∴直線的解析式為，設(shè)，則，則，，∴，∵點(diǎn)P在直線上方的拋物線上，∴，∵，∴有最大值，且當(dāng)時(shí)，取得最大值，∴時(shí)，；故．∴有最大值為，且．（3）解：如圖，以為對(duì)角線作正方形，∴，∴直線與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)即為M，如圖，過(guò)T作x軸的平行線交y軸于Q，過(guò)B作于G，則，∴，∴，∴，∵，∴，∴，設(shè)，則，∴，∴，由可得，解得，∴，設(shè)直線的解析式為，∴，解得，故直線的解析式為，∴，解得，，∴，，，，正方形．同理可證，設(shè)直線的解析式為，∴，解得，故直線的解析式為，同理可得直線為，∴，解得，，∴，綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，構(gòu)造二次函數(shù)求最值，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，一次函數(shù)解析式確定，解方程組，熟練掌握待定系數(shù)法，解方程組是解題的關(guān)鍵．3．(1)(2)，(3)，【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法求解即可；（2）先求出直線為，直線AD為，進(jìn)而得，過(guò)點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，設(shè)，則，利用面積公式構(gòu)造二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；（3）利用平移性質(zhì)求得新函數(shù)為，對(duì)稱(chēng)軸為，進(jìn)而求得，在軸上取，則，利用待定系數(shù)法求得直線為，進(jìn)而利用證明，從而分當(dāng)點(diǎn)在的下方和點(diǎn)在的上方時(shí)兩種情況分類(lèi)討論求解即可．【詳解】（1）解：把點(diǎn)和點(diǎn)B4,0代入二次函數(shù)得，，解得，∴二次函數(shù)為；（2）解：當(dāng)x=0時(shí)，，∴，設(shè)直線為，把，B4,0代入得，，解得，∴直線為，∵，∴設(shè)直線AD為，把代入得，解得，∴直線AD為，當(dāng)x=0時(shí)，，∴過(guò)點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，設(shè)，則，，∴當(dāng)時(shí)，的最大值為，當(dāng)x=2時(shí)，，∴，的最大值為；（3）解：∵，∴拋物線先向左平移個(gè)單位，再向上平移個(gè)單位得到新拋物線，得，即，∴新函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為，當(dāng)x=0時(shí)，，∴，在軸上取，則，設(shè)直線為，把，代入，得，解得，∴直線為，∵軸，∴，∵，∴，∵，∴，∴，當(dāng)點(diǎn)在的下方時(shí)，令交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，∵，∴，∵B4,0，，∴，∴，∵，∴，∴，∴即，∴，設(shè)直線為，把，B4,0代入，得，，解得，∴直線為，當(dāng)時(shí)，，∴，當(dāng)點(diǎn)在的上方時(shí)，∵，∴，∵直線為，∴設(shè)直線為，把B4,0代入，得，解得，∴直線為，當(dāng)時(shí)，，∴，綜上可得，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)，一次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的平移，全等三角形的判定及性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)等，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)等是解題的關(guān)鍵．4．(1)；(2)．【分析】本題主要考查了二次函數(shù)綜合、三角形外角的性質(zhì)．根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，可得關(guān)于、的方程組，解方程組得到、的值，即可求出拋物線的解析式；根據(jù)，可得，根據(jù)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和可得，從而可得：，可知點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線的解析式，解方程組求出點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，，解得：，拋物線解析式為；（2）解：如下圖所示，設(shè)直線交軸于點(diǎn)，，，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)直線的解析式為，把點(diǎn)、的坐標(biāo)代入解析式，可得：，解得：，直線的解析式為，解方程組，得：，解得：，，，，點(diǎn)在軸左側(cè)，應(yīng)舍去，當(dāng)時(shí)，可得：點(diǎn)的坐標(biāo)是．5．（1）；（2）①，P(，)，②存在，P(，)或(0，5)【分析】（1）將點(diǎn)A、B坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式，即可求解；（2）①根據(jù)S△PBC=PG（xC-xB），即可求解；②分點(diǎn)P在直線BC下方、上方兩種情況，分別求解即可．【詳解】解：（1）將點(diǎn)A、B坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式得：，解得：，故拋物線的表達(dá)式為：y=x2+6x+5…①，令y=0，則x=-1或-5，即點(diǎn)C（-1，0）；（2）①如圖1，過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交BC于點(diǎn)G，將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式并解得：直線BC的表達(dá)式為：y=x+1…②，設(shè)點(diǎn)G（t，t+1），則點(diǎn)P（t，t2+6t+5），，∵?＜0，∴S△PBC有最大值，當(dāng)t=-時(shí)，其最大值為；②設(shè)直線BP與CD交于點(diǎn)H，當(dāng)點(diǎn)P在直線BC下方時(shí)，∵∠PBC=∠BCD，∴點(diǎn)H在BC的中垂線上，線段BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為（-，-），過(guò)該點(diǎn)與BC垂直的直線的k值為-1，設(shè)BC中垂線的表達(dá)式為：y=-x+m，將點(diǎn)（-，-）代入上式并解得：直線BC中垂線的表達(dá)式為：y=-x-4…③，同理直線CD的表達(dá)式為：y=2x+2…④，聯(lián)立③④并解得：x=-2，即點(diǎn)H（-2，-2），同理可得直線BH的表達(dá)式為：y=x-1…⑤，聯(lián)立①⑤并解得：x=-或-4（舍去-4），故點(diǎn)P（-，-）；當(dāng)點(diǎn)P（P′）在直線BC上方時(shí)，∵∠PBC=∠BCD，∴BP′∥CD，則直線BP′的表達(dá)式為：y=2x+s，將點(diǎn)B坐標(biāo)代入上式并解得：s=5，即直線BP′的表達(dá)式為：y=2x+5…⑥，聯(lián)立①⑥并解得：x=0或-4（舍去-4），故點(diǎn)P（0，5）；故點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（-，-）或（0，5）．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到一次函數(shù)、等腰三角形性質(zhì)、圖形的面積計(jì)算等，其中（2），要注意分類(lèi)求解，避免遺漏．6．(1)(2)存在，【分析】本題主要考查了求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，掌握轉(zhuǎn)化思想是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)這條拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，將點(diǎn)代入求得a的值即可解答；（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)D作y軸的平行線交過(guò)點(diǎn)C與x軸的平行線于點(diǎn)E，則，易得，過(guò)點(diǎn)Q作軸于點(diǎn)T，易得，進(jìn)而得到；過(guò)點(diǎn)P作軸交過(guò)點(diǎn)D與x軸的平行線于點(diǎn)N，可證，由正切的定義可得；設(shè)點(diǎn)，則，然后求出t的值即可解答．【詳解】（1）解：∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴設(shè)拋物線的解析式為，將點(diǎn)代入，得：，解得：，∴，∴該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為．（2）解：存在點(diǎn)P，使．理由如下：如圖2，過(guò)點(diǎn)D作y軸的平行線交過(guò)點(diǎn)C與x軸的平行線于點(diǎn)E，則，即，則，∴；過(guò)點(diǎn)Q作軸于點(diǎn)T，則，∴，若，則，過(guò)點(diǎn)P作軸交過(guò)點(diǎn)D與x軸的平行線于點(diǎn)N，∵軸，軸，∴，∴，在中，，設(shè)點(diǎn)，則，解得：（舍去）或，經(jīng)檢驗(yàn)，是方程的根，∴．7．(1)(2)【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，掌握數(shù)形結(jié)合思想成為解題的關(guān)鍵．（1）當(dāng)時(shí)，，令，求得x的值可確定點(diǎn)B的坐標(biāo)；令可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）由題意可得、，進(jìn)而得到，可推出；連接，然后說(shuō)明可得，即、；由正切的定義可得，，即，最后求得m的值即可解答．【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，令，得，解得：，∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，∴，令，得，∴．（2）解：當(dāng)時(shí)，，解得：，∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，且，∴，∵當(dāng)時(shí)，，∴，∴，∵，∴，如圖1中，連接，∵，∴，∴，∵A、B關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸直線對(duì)稱(chēng)，∴，∴，∴，∵，∴，即，∵，，∴，解得：或，經(jīng)檢驗(yàn)，是方程的根，∵，∴．8．(1)(2)(3)【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）求出，由，得到，則，證明，得到，則，即可推出當(dāng)最大時(shí)，的周長(zhǎng)最大；求出直線解析式為，設(shè)，則，則，則當(dāng)時(shí)，有最大值，即此時(shí)的周長(zhǎng)最大，此時(shí)；（3）如圖所示，設(shè)直線交y軸于D，證明，得到，則，同理可得直線解析式為，聯(lián)立，解得或，則．【詳解】（1）解：把代入中得：，∴，∴拋物線解析式為；（2）解：在中，當(dāng)時(shí)，，∴，∵，∴，∴，∵，軸，∴，又∵，∴，∴，∴，∴的周長(zhǎng)，∴當(dāng)最大時(shí)，的周長(zhǎng)最大，設(shè)直線解析式為，∴，∴，∴直線解析式為，設(shè)，則，∴，∵，∴當(dāng)時(shí)，有最大值，即此時(shí)的周長(zhǎng)最大，此時(shí)；（3）解：如圖所示，設(shè)直線交y軸于D，∵，，∴，∴，∴，同理可得直線解析式為，聯(lián)立，解得或，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，解直角三角形，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，一次函數(shù)與幾何綜合，全等三角形的性質(zhì)與判定等等，數(shù)量掌握二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．9．(1)；(2)存在，．【分析】（1）根據(jù)可以求出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可以求出拋物線的解析式；（2）解方程求出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)，可得：，所以可知，利用可證，可得，得到點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線的解析式，再與拋物線的解析式聯(lián)立，解方程組求出點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：點(diǎn)的坐標(biāo)