《分式的加減》講義

《分式的加減》講義一、教材版本與章節(jié)我們今天講解的內(nèi)容來(lái)自華東師大版（2012）初中數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)，第16章分式中的16.2分式的運(yùn)算，具體是分式的加減這部分內(nèi)容。二、教學(xué)目標(biāo)1、知識(shí)與技能目標(biāo)同學(xué)們要理解分式加減法的法則，就像我們之前學(xué)過(guò)的分?jǐn)?shù)加減法一樣。分式的加減法也有它自己的一套規(guī)則，咱們得好好掌握。比如說(shuō)，同分母分式相加減，分母不變，分子相加減，這就和同分母分?jǐn)?shù)加減法類似，這個(gè)規(guī)則得牢牢記住，就像把自己的小寶貝放在最安全的地方一樣。能夠熟練地進(jìn)行簡(jiǎn)單分式的加減運(yùn)算。這里的簡(jiǎn)單分式呢，就是那些分母不是特別復(fù)雜，分子也比較容易計(jì)算的分式。我們要像熟練的小工匠一樣，看到分式的加減運(yùn)算，就能麻溜地算出結(jié)果。2、過(guò)程與方法目標(biāo)通過(guò)類比分?jǐn)?shù)加減法的法則來(lái)探究分式加減法的法則，培養(yǎng)大家類比和歸納的數(shù)學(xué)思維能力。類比這個(gè)方法可厲害了，就像我們找東西的時(shí)候，找相似的地方，這樣就能更快地發(fā)現(xiàn)規(guī)律。在這個(gè)過(guò)程中，大家要學(xué)會(huì)自己去發(fā)現(xiàn)、去總結(jié)，可不能總是等著老師告訴答案哦。提高同學(xué)們的運(yùn)算能力和解決實(shí)際問(wèn)題的能力。數(shù)學(xué)運(yùn)算就像一場(chǎng)小戰(zhàn)斗，每一個(gè)數(shù)字和符號(hào)都是我們的小戰(zhàn)士，我們要合理地安排它們，讓它們發(fā)揮最大的作用，算出正確的結(jié)果。而且分式的加減運(yùn)算在很多實(shí)際問(wèn)題中都能用到，學(xué)會(huì)了就能解決這些問(wèn)題啦。3、情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)培養(yǎng)同學(xué)們嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)態(tài)度。數(shù)學(xué)是一門很嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，一個(gè)小符號(hào)或者一個(gè)小數(shù)字的錯(cuò)誤都可能導(dǎo)致結(jié)果的大不同。就像蓋房子，一塊小磚頭放錯(cuò)了位置，可能整座房子都不穩(wěn)了。所以在做分式加減運(yùn)算的時(shí)候，我們要特別仔細(xì)，不能馬虎。增強(qiáng)同學(xué)們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心。當(dāng)大家掌握了分式的加減運(yùn)算，成功地解決了一個(gè)又一個(gè)問(wèn)題的時(shí)候，就會(huì)覺(jué)得自己超級(jí)厲害，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心也就越來(lái)越足啦。三、教學(xué)重難點(diǎn)1、教學(xué)重點(diǎn)分式加減法的法則及其應(yīng)用。這個(gè)法則可是我們這堂課的核心內(nèi)容，就像一顆大樹(shù)的樹(shù)干一樣重要。我們所有的分式加減運(yùn)算都要依據(jù)這個(gè)法則來(lái)進(jìn)行，所以大家一定要理解透徹，并且能夠熟練運(yùn)用。異分母分式加減法中的通分。通分就像給分式們找一個(gè)共同的“家”，只有找到了這個(gè)共同的“家”，我們才能進(jìn)行加減運(yùn)算。這可是異分母分式加減法的關(guān)鍵步驟，也是一個(gè)比較容易出錯(cuò)的地方，大家要特別小心。2、教學(xué)難點(diǎn)通分過(guò)程中最簡(jiǎn)公分母的確定。最簡(jiǎn)公分母就像一把特殊的鑰匙，找到了它才能順利地進(jìn)行通分。有時(shí)候分母比較復(fù)雜，要確定最簡(jiǎn)公分母可不容易，需要大家仔細(xì)觀察分母的因式分解情況，這就考驗(yàn)大家的觀察力和分析能力啦。分式加減運(yùn)算結(jié)果的化簡(jiǎn)。分式運(yùn)算的結(jié)果要化為最簡(jiǎn)形式，就像我們要把自己打扮得漂漂亮亮的一樣。這需要大家對(duì)因式分解、約分等知識(shí)掌握得很好，才能把結(jié)果化簡(jiǎn)到最簡(jiǎn)。四、教學(xué)方法1、講授法老師會(huì)直接給大家講解分式加減法的法則、通分的概念、最簡(jiǎn)公分母的確定方法等基礎(chǔ)知識(shí)。這些就像數(shù)學(xué)世界里的基本規(guī)則，老師先把規(guī)則告訴大家，這樣大家才能在這個(gè)規(guī)則下去玩耍（做練習(xí)）。2、類比教學(xué)法通過(guò)類比分?jǐn)?shù)加減法的法則來(lái)學(xué)習(xí)分式加減法的法則。分?jǐn)?shù)我們都很熟悉了，分式和分?jǐn)?shù)有很多相似的地方，我們就利用這些相似點(diǎn)來(lái)幫助我們理解分式的加減法。這樣大家就不會(huì)覺(jué)得分式加減法很陌生，而是像見(jiàn)到老朋友一樣親切。3、練習(xí)法大家都知道，數(shù)學(xué)光聽(tīng)不練可不行。所以我們會(huì)做很多分式加減運(yùn)算的練習(xí)題，從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，一步一步地提高大家的運(yùn)算能力。就像學(xué)走路一樣，先從慢慢走開(kāi)始，然后再跑起來(lái)。五、教學(xué)過(guò)程（一）導(dǎo)入（5分鐘）1、先給大家出一道簡(jiǎn)單的分?jǐn)?shù)加法題：\frac{1}{2}+\frac{1}{3}。同學(xué)們肯定很快就能算出結(jié)果，是\frac{3+2}{6}=\frac{5}{6}。那老師再問(wèn)一個(gè)問(wèn)題，我們是怎么計(jì)算的呢？對(duì)啦，先通分，找到2和3的最小公倍數(shù)6作為分母，然后分子再相加。2、然后老師再寫一個(gè)分式的式子，比如\frac{1}{x}+\frac{1}{y}。這個(gè)式子和剛才的分?jǐn)?shù)加法題很像吧？那我們今天就來(lái)學(xué)習(xí)分式的加減法，看看分式的加減法和分?jǐn)?shù)的加減法有哪些相同和不同的地方。（二）新課講授（25分鐘）1、同分母分式加減法老師在黑板上寫幾個(gè)同分母分式相加的例子，比如\frac{a}+\frac{c}。同學(xué)們看，同分母分式相加減，分母不變，分子相加減，所以這個(gè)式子的結(jié)果就是\frac{a+c}。很簡(jiǎn)單吧？就像同分母分?jǐn)?shù)加減法一樣。再給大家出幾道練習(xí)題，比如\frac{2}{x}+\frac{3}{x}，\frac{m}{n}-\frac{n}{n}，讓同學(xué)們?cè)诰毩?xí)本上做一下，做完后同桌之間互相檢查。2、異分母分式加減法老師寫一個(gè)異分母分式相加的例子，比如\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}。這個(gè)時(shí)候我們不能直接把分子相加了，因?yàn)榉帜覆灰粯?。那怎么辦呢？我們要先通分。通分就是把分母變成一樣的。那怎么找這個(gè)一樣的分母呢？這個(gè)一樣的分母就是最簡(jiǎn)公分母。對(duì)于這個(gè)式子，最簡(jiǎn)公分母就是x^{2}。把\frac{1}{x}通分變成\frac{x}{x^{2}}，這樣原來(lái)的式子就變成了\frac{x}{x^{2}}+\frac{1}{x^{2}}=\frac{x+1}{x^{2}}。那怎么確定最簡(jiǎn)公分母呢？老師來(lái)給大家總結(jié)一下方法。如果分母是單項(xiàng)式，就取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與字母因式的最高次冪的積作最簡(jiǎn)公分母。比如說(shuō)\frac{1}{2x}和\frac{1}{3x^{2}}，最簡(jiǎn)公分母就是6x2。如果分母是多項(xiàng)式，要先對(duì)分母進(jìn)行因式分解，然后再確定最簡(jiǎn)公分母。比如\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x^{2}-1}，先把x^{2}-1分解成(x+1)(x-1)，那么最簡(jiǎn)公分母就是(x+1)(x-1)。給大家出幾道異分母分式加減法的練習(xí)題，如\frac{1}{x}-\frac{1}{2x}，\frac{2}{x^{2}+x}+\frac{3}{x^{2}-1}，讓同學(xué)們自己做一下，老師在教室里巡視，看看大家的掌握情況。（三）課堂練習(xí)（20分鐘）1、布置一些分式加減法的練習(xí)題，有同分母的，也有異分母的。同分母的練習(xí)題：\frac{3}{a}+\frac{2}{a}；\frac{5}{m}-\frac{1}{m}。異分母的練習(xí)題：\frac{1}{x}+\frac{1}{2x}；\frac{2}{x-1}-\frac{1}{x+1}；\frac{3}{x^{2}+2x}+\frac{1}{x^{2}-4}。2、同學(xué)們?cè)诰毩?xí)本上認(rèn)真做這些練習(xí)題，老師巡視的時(shí)候如果發(fā)現(xiàn)有同學(xué)有問(wèn)題，就及時(shí)給予指導(dǎo)。比如有的同學(xué)在確定最簡(jiǎn)公分母的時(shí)候可能會(huì)出錯(cuò)，老師就可以提醒他按照之前講的方法再仔細(xì)看一下分母的情況。3、做完練習(xí)后，老師找?guī)孜煌瑢W(xué)到黑板上把自己的答案寫出來(lái)，然后大家一起檢查對(duì)錯(cuò)。如果有錯(cuò)誤，就一起討論錯(cuò)在哪里，應(yīng)該怎么改正。（四）課堂小結(jié)（10分鐘）1、請(qǐng)一位同學(xué)起來(lái)總結(jié)一下今天學(xué)習(xí)的內(nèi)容。分式加減法包括同分母分式加減法和異分母分式加減法，同分母分式相加減分母不變分子相加減，異分母分式相加減要先通分再按照同分母分式加減法的法則進(jìn)行計(jì)算，通分的關(guān)鍵是確定最簡(jiǎn)公分母。2、老師再補(bǔ)充一些同學(xué)沒(méi)有說(shuō)到的重點(diǎn)內(nèi)容。比如說(shuō)分式加減運(yùn)算結(jié)果一定要化簡(jiǎn)到最簡(jiǎn)形式，還有在通分和計(jì)算過(guò)程中要注意符號(hào)的變化等。（五）課后作業(yè)（10分鐘）1、布置課后作業(yè)，作業(yè)題分為基礎(chǔ)題和提高題?；A(chǔ)題：\frac{4}{y}+\frac{3}{y}；\frac{1}{a}-\frac{2}{a}；\frac{1}{2x}+\frac{1}{3x}；\frac{3}{x-2}+\frac{2}{x+2}。提高題：\frac{1}{x^{2}-x}+\frac{1}{x^{2}+x}；\frac{2}{x^{2}-4x+4}-\frac{1}{x^{2}-4}。2、要求同學(xué)們認(rèn)真完成作業(yè)，下節(jié)課老師會(huì)檢查作業(yè)情況，并且對(duì)作業(yè)中的問(wèn)題進(jìn)行講解。六、教學(xué)反思在這堂課的教學(xué)過(guò)程中，同學(xué)們對(duì)同分母分式加減法掌握得比較好，能夠很快地算出結(jié)果。但是在異分母分式加減法中，確定最簡(jiǎn)公分母還是有一些同學(xué)存在問(wèn)題。在以后的教學(xué)中，要加強(qiáng)這方面的練習(xí)，多舉一些不同類型的例子，讓同學(xué)們能夠熟練掌握確定最簡(jiǎn)公分母的方法。還有在課堂練習(xí)環(huán)節(jié)，時(shí)間的把控可以更精準(zhǔn)一些，確保每個(gè)同學(xué)都有足夠的時(shí)間去思考和完成練習(xí)題。另外，在講解分式加減運(yùn)算結(jié)果的化簡(jiǎn)時(shí)，可以再詳細(xì)一點(diǎn)，多強(qiáng)調(diào)一些容易被忽略的細(xì)節(jié)，這樣同學(xué)們?cè)谧稣n后作業(yè)的時(shí)候就能夠更好地化簡(jiǎn)結(jié)果了。七、答案1、課堂練習(xí)答案同分母的練習(xí)題答案：\frac{3}{a}+\frac{2}{a}=\frac{3+2}{a}=\frac{5}{a}；\frac{5}{m}-\frac{1}{m}=\frac{5-1}{m}=\frac{4}{m}。異分母的練習(xí)題答案：\frac{1}{x}+\frac{1}{2x}=\frac{2+1}{2x}=\frac{3}{2x}；\frac{2}{x-1}-\frac{1}{x+1}=\frac{2(x+1)-(x-1)}{(x-1)(x+1)}=\frac{2x+2-x+1}{(x-1)(x+1)}=\frac{x+3}{(x-1)(x+1)}；\frac{3}{x^{2}+2x}+\frac{1}{x^{2}-4}=\frac{3}{x(x+2)}+\frac{1}{(x+2)(x-2)}=\frac{3(x-2)+x}{x(x+2)(x-2)}=\frac{3x-6+x}{x(x+2)(x-2)}=\frac{4x-6}{x(x+2)(x-2)}。2、課后作業(yè)答案基礎(chǔ)題答案：\frac{4}{y}+\frac{3}{y}=\frac{4+3}{y}=\frac{7}{y}；\frac{1}{a}-\frac{2}{a}=\frac{1-2}{a}=-\frac{1}{a}；\frac{1}{2x}+\frac{1}{3x}=\frac{3+2}{6x}=\frac{5}{6x}；\frac{3}{x-2}+\frac{2}{x+2}=\frac{3(x+2)+2(x-2)}{(x-2)(x+2)}=\frac{3x+6+2x-4}{(x-2)(x+2)}=\frac{5x+2}{(x-2)(x+2)}。提高題答案：\frac{1}{x^{2}-x}+\frac{1}{x^{2}+x}=\frac{1}{x(x-1)}+\frac{1}{x(x+1)}=\frac{x+1+x-1}{x(x-1)(x+1)}=\frac{2x}{x(x-1)