簡諧振動課件

簡諧振動1.簡諧振動的特征及其表達式

簡諧振動：物體運動時，離開平衡位置的位移(或角位移)按余弦(或正弦)規(guī)律隨時間變化。簡諧振動的特征及其表達式彈簧振子：連接在一起的一個忽略了質量的彈簧和一個不發(fā)生形變的物體系統。回復力：作簡諧運動的質點所受的沿位移方向的合外力,該力與位移成正比且反向。

簡諧振動的動力學特征:

據牛頓第二定律，得令運動學特征簡諧振動的特征及其表達式位移之解可寫為：或

簡諧振動的運動學特征:物體的加速度與位移成正比而方向相反，物體的位移按余弦規(guī)律變化。速度加速度簡諧振動的特征及其表達式

簡諧振動中質點位移、速度、加速度與時間的關系:簡諧振動的特征及其表達式簡諧振動的特征及其表達式

常量和的確定在到

之間，通常存在兩個值，可根據進行取舍。根據初始條件：

時，,，得簡諧振動的特征及其表達式2.簡諧振動的振幅、周期、頻率和相位(1)振幅:

物體離開平衡位置的最大位移的絕對值。由初始條件確定(2)周期和頻率

周期：物體作一次完全運動所經歷的時間。頻率：單位時間內物體所作完全運動的次數。角頻率:

物體在秒內所作的完全運動的次數。對于彈簧振子，因有，得:利用上述關系式，得諧振動表達式：

簡諧振動的振幅、周期、頻率和相位(3)相位和初相相位：決定簡諧運動狀態(tài)的物理量。初相位：t

=0時的相位。

相位概念可用于比較兩個諧振動之間在振動步調上的差異。設有兩個同頻率的諧振動，表達式分別為：二者的相位差為：

簡諧振動的振幅、周期、頻率和相位(b)當時,稱兩個振動為反相；(d)當時,稱第二個振動落后第一個振動。(c)當時,稱第二個振動超前第一個振動；討論:

相位可以用來比較不同物理量變化的步調，對于簡諧振動的位移、速度和加速度，存在:(a)當時,稱兩個振動為同相；

簡諧振動的振幅、周期、頻率和相位

速度的相位比位移的相位超前，加速度的相位比位移的相位超前。

簡諧振動的振幅、周期、頻率和相位3.簡諧振動的矢量圖示法

采用旋轉矢量法，可直觀地領會簡諧振動表達式中各個物理量的意義。

旋轉矢量:一長度等于振幅A的矢量在紙平面內繞O點沿逆時針方向旋轉，其角速度與諧振動的角頻率相等，這個矢量稱為旋轉矢量。

簡諧振動的矢量圖示法振動相位逆時針方向ω

M

點在

x

軸上投影(P點)的運動規(guī)律：

的長度

旋轉的角速度旋轉的方向與參考方向x的夾角XOMPx振幅A振動圓頻率

簡諧振動的矢量圖示法速度、加速度的旋轉矢量表示法：

沿X軸的投影為簡諧運動的速度、加速度表達式。M

點:

簡諧振動的矢量圖示法兩個同頻率的簡諧運動：相位之差為采用旋轉矢量直觀表示為：

簡諧振動的矢量圖示法

例15-1一物體沿X軸作簡諧振動，振幅A=0.12m,周期T=2s。當t=0時,物體的位移x=0.06m,且向X軸正向運動。求:(1)簡諧振動表達式;(2)t=T/4時物體的位置、速度和加速度;(3)物體從x=-0.06m向

X軸負方向運動，第一次回到平衡位置所需時間。解:(1)取平衡位置為坐標原點,諧振動方程寫為：其中A=0.12m,T=2s,初始條件：t=0,x0=0.06m,可得據初始條件得

簡諧振動的矢量圖示法(2)由(1)求得的簡諧振動表達式得:在t=T/4=0.5s時，從前面所列的表達式可得

簡諧振動的矢量圖示法(3)當x=-0.06m時，該時刻設為t1,得因該時刻速度為負，應舍去，設物體在t2時刻第一次回到平衡位置，相位是因此從x=-0.06m處第一次回到平衡位置的時間：另解：從t1時刻到t2時刻所對應的相差為：

簡諧振動的矢量圖示法4.幾種常見的簡諧振動(1)單擺重物所受合外力矩：據轉動定律，得到

很小時(小于)，可取令,有轉角的表達式可寫為：角振幅

和初相

由初始條件求得。單擺周期與角振幅

的關系為

為很小時單擺的周期。

根據上述周期的級數公式，可以將周期計算到所要求的任何精度。

幾種常見的簡諧振動(2)復擺一個可繞固定軸擺動的剛體稱為復擺。

剛體的質心為C,對過O

點的轉軸的轉動慣量為J,O、C

兩點間距離的距離為h。令據轉動定律，得若角度較小時

幾種常見的簡諧振動

例15-2一質量為m

的平底船，其平均水平截面積為S，吃水深度為h，如不計水的阻力，求此船在豎直方向的振動周期。解:船靜止時浮力與重力平衡，

船在任一位置時，以水面為坐標原點,豎直向下的坐標軸為y軸，船的位移用y表示。

幾種常見的簡諧振動船的位移為y時船所受合力為：船在豎直方向作簡諧振動，其角頻率和周期為:因得:

幾種常見的簡諧振動5.簡諧振動的能量動能勢能以水平彈簧振子為例討論簡諧振動系統的能量。系統總的機械能：

簡諧振動的能量

考慮到，系統總能量為，表明簡諧振動的機械能守恒。能量平均值上述結果對任一諧振系統均成立。諧振子的動能、勢能和總能量隨時間的變化曲線:

簡諧振動的能量

例15-3一勻質細桿AB的兩端,用長度都為l

且不計質量的細繩懸掛起來,當棒以微小角度繞中心軸

扭動時，求證其運動周期為：。

解：設棒長為2R,質量為m，在棒扭動時,其質心沿

上下運動。因扭動角度

很小，可近似認為細棒在水平面內轉動。扭動角度為時,細棒在水平面內轉動角度為q，則有

簡諧振動的能量

hc

是棒的質心相對棒平衡時質心位置的高度,有系統機械能守恒將上式兩端對時間求導，并利用關系得證。常量

簡諧振動的能量

例15-4勁度系數為k、原長為l、質量為m的均勻彈簧，一端固定，另一端系一質量為M

的物體，在光滑水平面內作直線運動。求解其運動。

解：平衡時O

點為坐標原點。物體運動到x處時，彈簧固定端位移為零，位于M

一端位移為x。當物體于x處時,彈簧元ds的質量

,

位移為速度為彈簧、物體的動能分別為：

簡諧振動的能量系統彈性勢能為系統機械能守恒，有將上式對時間求導，