《電路分析基礎(chǔ) 》課件-第十章 拉普拉斯變換與二端口網(wǎng)絡(luò)

第十單元?jiǎng)討B(tài)電路的拉普拉斯變換法10.1拉普拉斯變換

一、拉普拉斯變換的定義及意義

（10-1）

（10-2）

式中，c為正的有限常數(shù)。

通?？捎梅?hào)￡[]表示對(duì)方括號(hào)里的時(shí)域函數(shù)作為拉氏變換，用符號(hào)￡-1[]表示對(duì)方括號(hào)里的復(fù)變函數(shù)作拉氏變換。這樣拉氏正、反變換可以分別寫為

（10-3）

（10-4）

例10-1求以下函數(shù)的象函數(shù)：（1）單位階躍函數(shù)。（2）指數(shù)函數(shù)。

（10-5）

（10-6）

解：（1）求單位階躍函數(shù)的象函數(shù)（2）求指數(shù)函數(shù)的象函數(shù)

二、拉普拉斯變換的基本性質(zhì)

（10-7）

證明：

（10-8）

（2）

（3）

由此可見，函數(shù)線性組合的拉氏變換就是其象函數(shù)的線性組合。2.微分性質(zhì)

式中，n為正整數(shù)。（10-10）

（10-11）

（10-12）

（10-13）

（2）對(duì)方程兩端進(jìn)行拉氏變換，得上式經(jīng)整理后變?yōu)榇雃（0-）=0，得

3.積分性質(zhì)

證明略積分性質(zhì)表明，時(shí)域中由0到t的積分運(yùn)算，對(duì)應(yīng)于復(fù)頻域中除以s的運(yùn)算。（10-14）

（10-15）

（10-16）

（10-17）

（10-18）

4.時(shí)域延遲性質(zhì)

證明略。

例10-5求圖10-1所示矩形脈沖的象函數(shù)解：圖10-1中矩形脈沖的表達(dá)式為

10-1例10-5圖

（10-20）

例10-6利用頻域平移性求和的象函數(shù)。

（10-21）

（10-22）

解：

解：

（10-23）

（10-24）

（10-25）

以上5條拉氏變換的性質(zhì)是與線性電路的分析密切相關(guān)的，拉氏變換有很多性質(zhì)，這里不再多述。表10-1給出了一些與分析線性電路有關(guān)的常用函數(shù)的拉氏變換。三、拉普拉斯反變換的部分分式法

（10-26）

式中，m和n為正整數(shù)，且n>m。

（10-27）

（10-28）

上式就是確定各待定系數(shù)的另一種公式，即

（10-29）

于是式（10-27）所對(duì)應(yīng)的原函數(shù)為

（10-30）

于是各部分分式的待定系數(shù)分別為

故

解：

上式中各項(xiàng)系數(shù)根據(jù)式（10-29），分別為

于是有

于是

（10-31）

解：令分母多項(xiàng)式

解得：于是：這里：

由式（10-31）有

（10-32）

（10-33）

（10-34）

（10-35）

（10-36）

（10-37）

同理可得

（10-38）

根據(jù)以上分析過程，可以推出F（s）具有n重極點(diǎn)時(shí)式（10-32）中待定系數(shù)k1n的一般表達(dá)式為

綜上所述，式（10-32）中各待定系數(shù)分別為

如果D（s）=0具有多個(gè)重根時(shí)，對(duì)每個(gè)重根分別利用上述方法即可得到各待定系數(shù)。

如果D（s）=0具有多個(gè)重根時(shí)，對(duì)每個(gè)重根分別利用上述方法即可得到各待定系數(shù)。（10-39）

由式（10-39）求得各待定系數(shù)分別為

于是

謝謝觀看THANKYOU10.2運(yùn)算電路如同正弦穩(wěn)態(tài)電路中把基爾霍夫定律的時(shí)域形式轉(zhuǎn)化為相量形式一樣，有拉氏變換也可把時(shí)域形式的基爾霍夫定律轉(zhuǎn)化為s域形式（復(fù)頻域形式）的基爾霍夫定律，也稱運(yùn)算形式的基爾霍夫定律。時(shí)域形式的KCL為：對(duì)任一節(jié)點(diǎn)，有

對(duì)上式求拉氏變換，

時(shí)域形式的KVL為：對(duì)任一回路，有

對(duì)上式求拉氏變換，得

（10-40）

（10-41）

對(duì)上式兩邊進(jìn)行拉氏變換得

（10-42）

上式兩邊取拉氏變換，得

（10-43）

（10-44）

上式兩邊取拉氏變換，得

（10-45）

（10-46）

對(duì)以上兩式兩邊取拉氏變換，得

（10-47）（10-48）

式中，為RLC串聯(lián)電路的運(yùn)算阻抗。式（10-49）即為運(yùn)算形式的歐姆定律，對(duì)應(yīng)的運(yùn)算如圖10-6c所示。（10-49）

圖10-7a表示4種線性受控源的時(shí)域模型，在時(shí)域里各種線性受控源的受控變量與控制量之間的關(guān)系，均為線性函數(shù)關(guān)系，即

對(duì)式（10-50）進(jìn)行拉氏變換，得

上式也就是4種線性受控源的受控變量與控制量之間關(guān)系的運(yùn)算形式，對(duì)應(yīng)的運(yùn)算電路如圖10-7b所示。（10-50）

（10-51）

例10-12圖10-8所示電路在換路前已處于穩(wěn)定狀態(tài)，試?yán)L出換路后的運(yùn)算電路。

聯(lián)立上述方程組，解得

圖10-8a所示電路的運(yùn)算電路如圖10-8c所示。謝謝觀看THANKYOU10.3用運(yùn)算法分析動(dòng)態(tài)電路的過渡過程

代入已知數(shù)據(jù)，得

解得

綜上所述，各參數(shù)值分別為

綜上所述，各參數(shù)為

解：首先畫出圖10-10a所示電路的運(yùn)算電路，如圖10-10b所示?；芈佛埿蟹较蛉鐖D10-10b所示，由KVL得

代入已知數(shù)據(jù)，得

解得

由KCL得

畫出戴維南等效電路的運(yùn)算電路，如圖10-11f所示。由KVL得

謝謝觀看THANKYOU10.4網(wǎng)絡(luò)函數(shù)與二端口網(wǎng)絡(luò)

進(jìn)一步有

上式表明，電路的零狀態(tài)響應(yīng)等于網(wǎng)絡(luò)函數(shù)與激勵(lì)函數(shù)的乘積。按激勵(lì)與響應(yīng)的分類，網(wǎng)絡(luò)函數(shù)可以具有不同的形式。當(dāng)電路中只有一個(gè)激勵(lì)作用時(shí)，它所在的端口稱為驅(qū)動(dòng)點(diǎn)（策動(dòng)點(diǎn)）。如果響應(yīng)也在驅(qū)動(dòng)點(diǎn)上，則相應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)函數(shù)稱為驅(qū)動(dòng)點(diǎn)（策動(dòng)點(diǎn)）函數(shù)。如果激勵(lì)為電壓，響應(yīng)為電流，則驅(qū)動(dòng)點(diǎn)函數(shù)稱為驅(qū)動(dòng)點(diǎn)導(dǎo)納；反之，稱為驅(qū)動(dòng)點(diǎn)阻抗。如果響應(yīng)不在驅(qū)動(dòng)點(diǎn)上，則相應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)函數(shù)稱為轉(zhuǎn)移函數(shù)。二、二端口網(wǎng)絡(luò)的概念談到網(wǎng)絡(luò)函數(shù)，就有必要介紹一下二端口網(wǎng)絡(luò)的概念。在實(shí)際工程中，常常涉及一個(gè)電路具有兩對(duì)端子的情況，需要研究?jī)蓪?duì)端子之間的關(guān)系。如第七章中的變壓器、第九章中的濾波器、附錄C中要介紹的放大器、反饋網(wǎng)絡(luò)等均是具有兩對(duì)端子的電路，如圖10-12a、b、c所示。如果電流從其中任意一對(duì)端子的一個(gè)端子流入，從另一個(gè)端子流出，這時(shí)兩者相等，我們稱這任意一對(duì)端子為一個(gè)端口，而這種具有兩個(gè)端口的網(wǎng)絡(luò)，稱為二端口網(wǎng)絡(luò)，簡(jiǎn)稱二端口。二端口之間的電路可以概括在一個(gè)方框中，如圖10-12d所示。通常端口1-1’接電源，稱為輸入端口，端口2-2’接負(fù)載，稱為輸出端口。

放大器反饋網(wǎng)絡(luò)三、二端口的參數(shù)方程與參數(shù)用二端口概念分析電路時(shí)，僅對(duì)二端口處的電流、電壓之間的關(guān)系感興趣，這種相互關(guān)系可以通過一些參數(shù)表示，而這些參數(shù)只決定于構(gòu)成二端口本身的元件及它們的連接方式。一旦確定表征這個(gè)二端口的參數(shù)后，當(dāng)一個(gè)端口上的電壓、電流發(fā)生變化，要確定另一個(gè)端口上的電壓、電流就比較容易了。同時(shí)，還可以利用這些參數(shù)比較不同的二端口在傳遞電能和信號(hào)方面的性能，從而評(píng)價(jià)它們的質(zhì)量。這里介紹的二端口是由線性電阻、電感、電容和線性受控源組成，并規(guī)定不含任何獨(dú)立源（如用運(yùn)算法分析時(shí)，還規(guī)定電路處于零狀態(tài)，即不存在附加電源）。

式（10-54）還可以寫成矩陣形式

其中

（10-55）

（10-56）

（10-57）

端口1—1’得開路驅(qū)動(dòng)點(diǎn)阻抗端口2—2’對(duì)端口1—1’的開路轉(zhuǎn)移阻抗端口1—1’對(duì)端口2—2’的開路轉(zhuǎn)移阻抗端口2—2’的開路驅(qū)動(dòng)點(diǎn)阻抗

式（10-56）為二端口的T參數(shù)方程，也稱A參數(shù)方程。其中A、B、C、D稱為T參數(shù)或A參數(shù)、一般參數(shù)、傳輸參數(shù)，它們表示的具體含義分別用以下各式說明。

端口1—1’對(duì)端口2—2’的開路轉(zhuǎn)移電壓比（量綱為1）

端口1—1’對(duì)端口2—2’的開路轉(zhuǎn)移導(dǎo)納端口1—1’對(duì)端口2—2’的短路轉(zhuǎn)移阻抗端口1—1’對(duì)端口2—2’的短路轉(zhuǎn)移電流比（量綱為1）

A、B、C、D四個(gè)參數(shù)均具有轉(zhuǎn)移函數(shù)的性質(zhì)。在沒有受控源的情況下，可以證明AD–BC=1。

端口1—1’的短路驅(qū)動(dòng)點(diǎn)阻抗

端口2—2’對(duì)端口1—1’的短路轉(zhuǎn)移電流比端口1—1’對(duì)端口2—2’的開路轉(zhuǎn)移電壓比端口2—2’的開路驅(qū)動(dòng)點(diǎn)導(dǎo)納

在電路分析的后續(xù)課模擬電子技術(shù)中，晶體管等效電路廣泛采用H參數(shù)來描述。圖10-14所示電路為一只晶體管的小信號(hào)工作條件下的簡(jiǎn)化電路模型，根據(jù)H參數(shù)的定義，可求得

二端口的另兩組參數(shù)方程與H參數(shù)方程和T參數(shù)方程相似，只是把電路方程等號(hào)兩邊的端口變量互換而已，這里不再詳述。從以上對(duì)二端口的討論可知：轉(zhuǎn)移函數(shù)有四種形式，即轉(zhuǎn)移阻抗、轉(zhuǎn)移導(dǎo)納，轉(zhuǎn)移電壓比及轉(zhuǎn)移電流比。如果雙口網(wǎng)絡(luò)的兩個(gè)端口對(duì)調(diào)后,對(duì)端口的電流和電壓不產(chǎn)生任何影響，則雙口網(wǎng)絡(luò)是對(duì)稱的。顯然二端口網(wǎng)絡(luò)在結(jié)構(gòu)上是對(duì)稱的，則不難證明該二端口網(wǎng)絡(luò)一定是對(duì)稱的雙口網(wǎng)絡(luò)。

其中各參數(shù)分別為

圖10-15例10-16圖

方法二:用直數(shù)列寫Z參數(shù)方程的方法求各參數(shù)。圖示電路中，由KCL有

上面兩式整理為

求解上式，得

四、雙口網(wǎng)絡(luò)中各種參數(shù)之間的關(guān)系

同理，可以推導(dǎo)出各參數(shù)之間的關(guān)系，列于表10-2中，如果已知某種參數(shù)，就可以由表10-1查到其它參數(shù)與該參數(shù)之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。ABCD

例10-17根據(jù)端口變量的測(cè)量結(jié)果以及表10-2求H參數(shù)。電路如圖10-16所示，對(duì)這一電阻性雙口網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行測(cè)量，第組數(shù)據(jù)是在輸出端口2-2’開路時(shí)測(cè)得的;第二組數(shù)據(jù)是在輸出端口2-2’短路時(shí)測(cè)得的，測(cè)量結(jié)果如下:試求該雙口網(wǎng)絡(luò)的H參數(shù)。端口2-2’開路端口2-2’短路

圖10-16例10–17圖

由上述方程根據(jù)短路測(cè)量結(jié)果得

由上述方程根據(jù)開路測(cè)量結(jié)果得

根據(jù)短路測(cè)量結(jié)果得

由表10-2有

五、雙口網(wǎng)絡(luò)中各種參數(shù)之間的關(guān)系

圖10-17具有端接的二維口網(wǎng)絡(luò)的S域模型

圖10-18所示二端口網(wǎng)絡(luò)的Z參數(shù)方程為

（10-58）（10-59）（10-60）（10-61）（10-62）描述兩端口網(wǎng)絡(luò)端口外部電特性的約束方程為將式(10-61)代入式(10-59)得

圖10-18輸出端口開路的二端口網(wǎng)絡(luò)

（10-63）

（10-64）

（10-65）由式(10-63)得

由上式代入式(10-60)得

（10-66）

由式(10-60)得

（10-67）由上式代入式(10-58)求得

（10-68）

由式(10-62)求得輸出與輸入得電流比，即電流放大倍數(shù)為

（10-70）

圖10-19求輸出端口戴維南等效阻抗的電路

將式(10-61)代入式(10-58)得

由上式得

將式(10-72)代入式(10-71)求得電壓放大倍數(shù)為

（10-71）（10-72）其中

由上式求得

將式(10-73)及式(10-61)代入式(10-58)求得

（10-73）（10-74）將式(10-73)及式(10-74)代入式(10-60)得

由上式求得

（10-75）

表10-3具有短接的二端口網(wǎng)絡(luò)特性參數(shù)表達(dá)式

表10-3具有短接的二端口網(wǎng)絡(luò)特性參數(shù)表達(dá)式

試求:(1)負(fù)載的有功功率(平均功率);(2)負(fù)載獲得最大功率時(shí)的負(fù)載電阻;(3)負(fù)載獲得的最大功率。

圖10-20例10-18的電路圖

即

(3)由表10-3中查得輸出端口的戴維南等效電路中的開路電壓為

謝謝觀看THANKYOU六、二端口的連接有些復(fù)雜二端口，可以看作由若干個(gè)簡(jiǎn)單二端口組成。如果已知這些簡(jiǎn)單二端口的參數(shù)，就可以根據(jù)它們與復(fù)雜二端口的關(guān)系得到復(fù)雜二端口的參數(shù)，而不需要對(duì)原復(fù)雜二端口內(nèi)部進(jìn)行任何計(jì)算。簡(jiǎn)單二端口是通過不同形式的連接構(gòu)成復(fù)雜二端口的，連接形式