行波保護(hù)原理講義

第7章基于暫態(tài)故障分量的行波保護(hù)原理

7.1概述

目前在輸電線路上廣泛采用的是反應(yīng)工頻電氣量的繼電保護(hù)裝置。這些保護(hù)裝置的構(gòu)成

原理是建立在反應(yīng)工頻電壓、電流或由其組合的功率方向、阻抗等基礎(chǔ)上的。隨著電力系統(tǒng)

的速發(fā)展，大容量機(jī)組和超高壓輸電線路的出現(xiàn)及增多，對(duì)繼電保護(hù)的動(dòng)作速度提出了更高

的要求。眾所周知，減小繼電保護(hù)的動(dòng)作時(shí)間是增大輸電線傳輸容量和提高系統(tǒng)穩(wěn)定性的簡(jiǎn)

單有效的措施之一。近年來(lái)，根據(jù)系統(tǒng)故障時(shí)產(chǎn)生的行波理論提出的超高速動(dòng)作的繼電保護(hù)

原理稱為行波保護(hù)原理。

在線路上發(fā)生故障時(shí)，故障點(diǎn)會(huì)產(chǎn)生向線路兩端傳播的行波，行波保護(hù)原理是根據(jù)故障

時(shí)產(chǎn)生的行波的特征檢出故障的，由于行波保護(hù)原理利用了故障初期出現(xiàn)的行波電壓、行波

電流或兩者組合中含有的故障信息，因此它能在極短的時(shí)間內(nèi)檢出故障。

利用輸電線路行波進(jìn)行故障測(cè)距的概念早在上世紀(jì)40年代就已經(jīng)提出，而利用行波進(jìn)

行保護(hù)的研究則始于50年代末，并在70~80年代達(dá)到高潮。這期間，提出了行波差動(dòng)保護(hù)

原理、行波判別式方向保護(hù)原理、幅值比較式行波保護(hù)原理、極性比較式行波保護(hù)原理和行

波距離繼電器。其中，行波差動(dòng)保護(hù)、極性比較式保護(hù)等都進(jìn)行了裝置的研究。由于各種技

術(shù)條件的限制，早期研制的行波保護(hù)裝置都沒(méi)能在電力系統(tǒng)中獲得廣泛應(yīng)用，這在很大程度

上影響了人們對(duì)行波保護(hù)的研究熱情，因此在之后的一段時(shí)間內(nèi)，行波保護(hù)的研究陷入了低

谷。

早期行波保護(hù)裝置遇到的最主要的問(wèn)題是快速性和可靠性之間的矛盾。眾所周知，行波

保護(hù)最大的特點(diǎn)就是具有快速動(dòng)作的特性，然而若在動(dòng)作時(shí)間內(nèi)，行波保護(hù)無(wú)法區(qū)分故障、

雷擊和操作等各種干擾就可能導(dǎo)致行波保護(hù)誤動(dòng)作，即導(dǎo)致行波保護(hù)的可靠性降低。因此，

如何在保證速動(dòng)性的前提下提高可靠性是行波保護(hù)需要解決的關(guān)鍵問(wèn)題之一。

長(zhǎng)期以來(lái)，為滿足電力系統(tǒng)的需要，人們不斷試圖把距離保護(hù)與故障測(cè)距結(jié)合起來(lái)，

但基于工頻量的距離保護(hù)和故障測(cè)距在測(cè)距精度等方面存在著許多無(wú)法解決的矛盾。建立在

行波測(cè)距理論基礎(chǔ)上的測(cè)距式行波距離保護(hù)是實(shí)現(xiàn)這一功能的理想的保護(hù)原理。在行波測(cè)距

理論基礎(chǔ)上，我國(guó)學(xué)者在上世紀(jì)70年代對(duì)基于C型故障測(cè)距原理的距離保護(hù)進(jìn)行了深入的

研究，并研究制出相應(yīng)的裝置。由于C型測(cè)距原理需要利用電力線載波通道，且可靠性難

以滿足系統(tǒng)保護(hù)要求，因而未得到實(shí)際應(yīng)用。國(guó)內(nèi)外學(xué)者在80年代對(duì)行波距離保護(hù)作了進(jìn)

一步研究和改進(jìn)，由于當(dāng)時(shí)對(duì)行波傳播理論認(rèn)識(shí)不足及技術(shù)水平的限制，研究只能停留在基

本理論探索階段。利用電流暫態(tài)行波實(shí)現(xiàn)輸電線路故障測(cè)距的原理與技術(shù)的研究成果打破了

利用行波測(cè)距長(zhǎng)期以來(lái)的沉悶局面，重新引起了人們對(duì)行波測(cè)距和行波保護(hù)的關(guān)注和興趣。

行波測(cè)距裝置在電力系統(tǒng)中的成功應(yīng)用，有力地說(shuō)明了實(shí)現(xiàn)故障測(cè)距式行波距離保護(hù)的可行

性。

80年代末發(fā)展起來(lái)的數(shù)學(xué)工具一一小波變換具有良好的時(shí)頻分析能力和消嗓能力，利

用它不僅可以準(zhǔn)確提取故障暫態(tài)信號(hào)中的行波信息，而且可以正確區(qū)分行波和白噪聲等干擾

信號(hào)，因此小波變換被認(rèn)為是最合適的分析行波信號(hào)的工具，它在輸電線路行波測(cè)距中的成

功應(yīng)用己經(jīng)充分地說(shuō)明了這一點(diǎn)。近年來(lái)已經(jīng)對(duì)基于小波變換的極性比較式和幅值比較式行

波方向保護(hù)，測(cè)距式行波距離保護(hù)，無(wú)通道全線速動(dòng)行波保護(hù)，母線保護(hù)等各種行波保護(hù)原

理，以及行波選相元件、抗雷電干擾問(wèn)題進(jìn)行了全面系統(tǒng)的分析和仿真試驗(yàn)，研究結(jié)果表明，

利用小波變換可以提取行波信號(hào)，準(zhǔn)確定位行波到達(dá)時(shí)刻.提取波頭極性和行波幅值大小。

因此可以說(shuō)，小波變換的應(yīng)用為行波保護(hù)的實(shí)現(xiàn)奠定了堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

進(jìn)入90年代后，隨著現(xiàn)代電子技術(shù)的迅速發(fā)展，特別是DSP的出現(xiàn)，保護(hù)的單指令計(jì)

算速度由微秒級(jí)降至納秒級(jí)，這為行波保護(hù)速動(dòng)性的實(shí)現(xiàn)提供了硬件保證。

近年來(lái)，在深入研究故障行波理論和小波應(yīng)用的基礎(chǔ)上，我國(guó)學(xué)者提出了一種新的行

波方向繼電器一一波阻抗方向繼電器。止匕外，基于小波變換的輸電線路行波保護(hù)裝置也在研

制開(kāi)發(fā)

中。

7.2輸電線路故障的行波過(guò)程

7.2.1行波的基本概念

當(dāng)輸線電線路上某點(diǎn)F發(fā)生故障時(shí)可利用疊加原理進(jìn)行分析。這時(shí)圖7—1(a)可用

圖(b)等效.而圖(b)又可視為正常負(fù)荷分量圖(c)和故障分量圖(d)二者的疊加。由于行波保護(hù)

不反應(yīng)正常負(fù)荷分量，因此可以對(duì)鼓璋分量進(jìn)行單獨(dú)的討論。由圖(d)可見(jiàn)，故障分量相當(dāng)

于在系統(tǒng)電勢(shì)為零時(shí)，在故障點(diǎn)F處加一與該點(diǎn)正常負(fù)荷狀態(tài)下大小相等方向相反的電壓。

在這一電壓的作用下，將產(chǎn)生由故障點(diǎn)F向線路兩端傳播的行波。

圖7-1利用疊加原理分析故障產(chǎn)生的行波

研究輸電線上的行波過(guò)程時(shí)，全面考慮所有參數(shù)的影響將是十分復(fù)雜的事情。實(shí)際的

輸電線一般均為均勻線路，即電阻、電感、電容是均勻地沿線路分布的，且均為常數(shù)。為了

使問(wèn)題簡(jiǎn)化，在下面的討論中忽略電阻和電導(dǎo)的影響，即認(rèn)為輸電線是無(wú)損的。均勻無(wú)損的

單根導(dǎo)線的等值回路如圖7—2所示。

圖7-2單相導(dǎo)線的等值回路

圖7—2中假定單位長(zhǎng)度的電感、電容分別為L(zhǎng)、C,則在dx這一段線路的電感、電容

將分別為L(zhǎng)dx>Cdxo

當(dāng)在圖7—2中F點(diǎn)加上電壓時(shí)，C1上的電壓為UF,但電容C2、C2,是經(jīng)過(guò)一段電感

Ldx與電壓UF,相連C2、C2,上的電壓需要經(jīng)過(guò)一定的時(shí)間才能達(dá)到UF,而C3、C3,上的

電壓需要較C2、C2,更長(zhǎng)的時(shí)間才會(huì)出現(xiàn)。由此可見(jiàn)，UF這一電壓是以一定速度向+x和-x

方向運(yùn)動(dòng),即電場(chǎng)是用一定速度運(yùn)動(dòng)的。

圖7-3行波沿導(dǎo)線的傳播

同時(shí),在電容充電時(shí)將有電流流過(guò)電感，并在導(dǎo)體周圍建立磁場(chǎng)。因?yàn)殡妷簎F以一定

速度運(yùn)動(dòng),所以也有對(duì)應(yīng)的電流iF以一定速度運(yùn)動(dòng)，即有以一定速度運(yùn)動(dòng)的磁場(chǎng)。

當(dāng)uF、iF運(yùn)動(dòng)到某一點(diǎn)時(shí)，該點(diǎn)獲得電壓uF、iF及一定的電磁場(chǎng)，這個(gè)運(yùn)動(dòng)的uF、iF

稱為電壓波、電流波。由此可見(jiàn)：

（1）導(dǎo)線上產(chǎn)生波過(guò)程是因?yàn)榫€路具有分布的電感、電容；如果是集中參數(shù)，則無(wú)

波過(guò)程。

（2）行波可分為電壓波和電流波，電壓波和電流波同時(shí)存在。它們又可分為前行波

（沿+x方向運(yùn)動(dòng)）和反行波（沿-x方向運(yùn)動(dòng)）。當(dāng)uF為正弦波且線路為均勻無(wú)限長(zhǎng)，則行波的

傳輸如圖7—3所示。

7.2.2輸電線路故障時(shí)的行波

由圖7—1（a）可見(jiàn)，在電壓UF作用下將產(chǎn)生由故障點(diǎn)F向線路兩端傳播行波，其數(shù)學(xué)

表達(dá)式如下所述。

如將單根無(wú)損的分布參數(shù)線路上的電壓u和電流i用在線路上的位置x和時(shí)間t為變數(shù)

的偏微分方程來(lái)表示，便可寫出下列方程式

dudi

(7-1)

dxdt

di萬(wàn)du

----二C—(7-2)

dxdt

式中：L、C為線路單位長(zhǎng)度的電感和對(duì)地電容。

將上式分別對(duì)x、t微分，經(jīng)變換可得到波動(dòng)方程

a2H

djc2at2(7-3)

^=Lca?(7-4)

上式有達(dá)朗貝爾(D'Alembert)解為

〃=.多+“他+9…去,(一9-M+宗)]

XX

式中：/。-一)和"2?+—)是沿X正方向傳播的前行波和沿X反方向傳播的反行波;

VV

v=是行波的傳播速度；仕是波阻抗。

4LCvc

由式(7—5)可得出正方向行波％和反方向行波與的表達(dá)式為

W]="+Zqi}

(7-6)

"2=n一Zci)

由此可知，方向行波可以由線路上的電壓u和電流i求得。

求解式(2-2)可以得到其達(dá)朗貝爾解(D'Alembert)為

//=//,(/--)+〃2(，+~)

VV

1=[(—-)+Z2(/+—)

(2-3)

1(，-土)=-^-x//,(/--)

vZcv

，2(—-)=X(，—-)

-vZc-v

Zr=74后稱為波阻抗，⑥、，；分別表示電壓前行波和電流前行波，“2、心分別表示電壓反

行波和電流反行波。

式(2-3)描述了單根無(wú)損線路中的波過(guò)程：導(dǎo)線上任何一點(diǎn)的電壓或者電流都等于通過(guò)該點(diǎn)的

電壓或者電流的前行波與反行波之和。貝瑞隆(Bergeron)利用這些方程，根據(jù)已知邊界條件和起

始條件，可以計(jì)算得到線路上的電壓和電流。

波阻抗Z,具有阻抗的量綱，其單位為歐姆。根據(jù)其定義可知波阻抗由單位長(zhǎng)度線路電感4和

單位長(zhǎng)度線路對(duì)地電容C。決定，而與線路長(zhǎng)度無(wú)關(guān)。而對(duì)于波速，對(duì)于架空輸電線路，在真空無(wú)損

的條件下，波速和光速相同，都是30萬(wàn)公里/秒。

由式(2-3)可以得出前行的電壓波4和前行的電流波.極性相同，而反行的電壓波“2和反行

的電流波，極性相反。這對(duì)于后面介紹的行波故障測(cè)距方法有著重要的作用。

三相無(wú)損換位線路中的電壓、電流的變化可表示為時(shí)間t和距離X的函數(shù)。

匹一

dx山

Lm-

—=di.

Lm.(7-7)

I'mLJ

die

.3乙

式中：（為Co+2C,“；Km為—Cm；4為每相導(dǎo)線以大地和地線為回路的自感（H/km）;L,“

為相間的互感（H/km）為每相對(duì)地電容（FIkm）；x為距離（km）。

上式可用矩陣形式改寫為

dudi

---------二L—(7-9)

dxdt

di「du

---------二C—(7-10)

dxdt

由于上式L、。中有非對(duì)角元素，故不易解出電壓、電流。利用坐標(biāo)變換將相空間變?yōu)?/p>

其它坐標(biāo)空間，則系數(shù)矩陣的非對(duì)角元素可變?yōu)榱悖@時(shí)方程式就和單導(dǎo)線時(shí)相同。這一新

空間可稱為?？臻g，這個(gè)空間的電壓、電流稱為模電壓、模電流。

現(xiàn)在對(duì)（7-9）、（7-10）式進(jìn)行模變換，令

u=Su,,,(7-11)

i=Qim(7-12)

式中S、Q為電壓、電流的模量變換矩陣，將其代入（7-9）、（7-10）式可得

LQ駕(7-13)

(7-14)

由上述二式可導(dǎo)出

(7-15)

；

2(7-16)

3im=Q"Q請(qǐng)

由于在?？臻g，系數(shù)矩陣的非對(duì)角元素必須為零，故有下列關(guān)系

S-'LCS=Da(7-17)

Q”CQ=n

式中2和。均為對(duì)角矩陣。

利用特征值和特征向量，可決定出符合上述條件的s和0之值。

常用的模量變換矩陣如下：

i.對(duì)稱分量變換

「11廣[11]

12(7-18)

s=Q=1心a，尸=Q一=31°，

2.克拉克變換

-110]

1一J_膽

SQ=22

I1V3

1一1一下」

-111-

U=QI=^2—1—1(7-19)

O

_0瓜一用一

3.凱倫布爾變換

(7.20)

將式(7—19)、(7—20)代人式(7—17),并考慮自感人、互感L,“和正、負(fù)、零廳參數(shù)間

的關(guān)系

A=Ls_Li,LQ=Ls+2Lm

Cx=Ks-Km,C.=Ks+2Km

可得

"LOCQ00_

?“m=52w

0LC0m(7-21)

dx2IF

-00LiG_

rLoCo00-

d2i

0LC0m(7-22)

3x2斤

Lo0LtG_

式中為,、，為模電壓、模電流，可表示為

/直=￡.c孑口

dx211dt2

同理，由(7—22)式可寫出電流模量的表示式。由此可見(jiàn)，三相換位線路可分解為tz、p、0

三個(gè)獨(dú)立的模分量，各模阻抗和波速為

7.2.3波的折射與反射

波的折射與反射是線路行波的一個(gè)重要特性。在電力系統(tǒng)中，均勻線路只在一定的條件

下存在。當(dāng)行波沿導(dǎo)線運(yùn)動(dòng)時(shí)，如果線路的參數(shù)或波阻抗在某一結(jié)點(diǎn)A處突然改變，在結(jié)

點(diǎn)A處將發(fā)生折射與反射，如圖7—4所示，圖中給出兩條波阻抗不同的線路連接的情況。

當(dāng)用

反射波

圖7-4波的折射與反射

"1和Z；代表線路1內(nèi)的電壓和電流，用4和4代表線路2內(nèi)的電壓和電流，則在兩線的連

接處有“1="2和2；=『2。假定從線1來(lái)的人射波未到達(dá)線2以前，線2上原來(lái)沒(méi)有電壓。這

樣，只要波一到達(dá)A點(diǎn)，線2就會(huì)立刻發(fā)生一個(gè)折射波，它的運(yùn)動(dòng)方向與入射波相同。同

時(shí)在線1內(nèi)，除了入射波以外，由于Z1C不等于Z2C，又發(fā)生一個(gè)與入射波運(yùn)動(dòng)方向相反的

波，稱為反射波。否則，在兩線路的連接處就無(wú)法滿足上述電壓和電流恒等的條件。如以下

標(biāo)E、R和T分別代表入射、反射和折射各波，在線路連接處有

WT-UE+UR

(7-24)

IT='E+￡R

同時(shí)

UT=Z2c

〃R=—￡RZ]CA(7-25)

〃E=加?Zic，

解上述二式可得

2冬

2+Z

2C1C(7-26)

Zzc-Z]c

z2c+Zic

27

4■乙2c;夕“為電壓反射系數(shù)，PK=fC

式中：九為電壓折射系數(shù)，yu=

Z2c+Z\c

把式（7-26）代入（7-25）可得

或

Pi=~p.（7-27）

式中：c為電流反射系數(shù)。

由此可見(jiàn)，電流反射系數(shù)與電壓反射系數(shù)大小相等，符號(hào)相反。

將式（7-26）代入（7-24）即可得出

九=1+p”，％=1—pu（7-28）

因?yàn)榈淖兓秶?之間，所以九的變化范圍在之間，的變化范圍

Z2c080~2pu

在一1?+1之間。實(shí)際上Z2c可視為當(dāng)行波到接點(diǎn)A時(shí)，由行波看到的等效波阻抗，也就

是與接點(diǎn)A相連接的所有其它線路及回路的波阻抗的并聯(lián)。圖7—5中示出線12的一端接

有兩條線路23、24的情況，圖中假定線路12的波阻抗為Zp線路23、24的波阻抗分別為Z23、

Z24；并假定入射電壓波為一直角波，其幅值等于1。這時(shí)反射系數(shù)可表示為

1+AR折射波

。3

反射波Z23

人射波1!!

o-----------------

1Zu2

-1+為R折射波

04

圖7-5折射波與反射波

在求得0后，即可用式（7—28）計(jì)算出折射系數(shù)九。當(dāng)反射電壓和折射電壓確定后，便

不難求出反射電流和折射電流。

折、反射是行波本身的性質(zhì)，折、反射系數(shù)的計(jì)算有助于更深入地了解行波在給定系統(tǒng)

中的分布和特點(diǎn)。然而實(shí)際電網(wǎng)中母線上所連的出線數(shù)是不固定的，因此實(shí)時(shí)計(jì)算行波的折、

反射系數(shù)有重要作用。圖7—6所示為線路上F點(diǎn)發(fā)生故障時(shí)，行波由F點(diǎn)向利母線傳播的

小意圖。

圖7-6行波折、反射計(jì)算的示意圖

若規(guī)定母線流向線路的方向?yàn)殡娏髡较?，則m側(cè)保護(hù)檢測(cè)到的電壓、電流行波分別

為〃=%+皈，，=7/+心并且%=夕,““劭，。=夕,也，其中夕夕就分別為行波由Fm

向mp傳播時(shí)m點(diǎn)的電壓、電流的反射系數(shù)。因此有

pm”="f/“b，p“i=(7—29)

考慮到%=i/Zc和以=|Zc，將其代入正、反向行波的表達(dá)式(7-6)可得

“1=%+i\Zc=2u(,uz—iZb—ibZ-=2?b(7-30)

結(jié)合式(7-29)可得夕”,“、夕加的計(jì)算公式如下

pmu=?1/?2>作f=一%/〃2(7-31)

由于折、反射系數(shù)之間滿足7=1+Q,因此/欣可由下式得到

Xmu=1+"1/以2，7mi=1Ml/Uo(7-32)

式中：%?、/加分別為行波由Fm向mp傳播時(shí)m點(diǎn)的電壓、電流的折射系數(shù)。

折、反射系數(shù)的實(shí)時(shí)計(jì)算意味著輸電線路的結(jié)構(gòu)不再是未知.這將為提高行波保護(hù)的實(shí)

時(shí)性和自適應(yīng)性創(chuàng)造有利條件。

7.3行波故障信息的小波分析

輸電線路故障行波中包含有大量故障信息。然而如何得到行波、如何準(zhǔn)確地提取相關(guān)故

障信息，卻一直是多年來(lái)困擾繼電保護(hù)工作者的問(wèn)題，也是早期行波保護(hù)不成功的關(guān)鍵原因

之一。

本節(jié)首先闡述了故障行波信號(hào)的特點(diǎn)，指出了其中包含的各種故障信息。在簡(jiǎn)單介紹小

波變換基本知識(shí)的基礎(chǔ)上，給出了利用小波變換提取行波極性、大小、折、反射系數(shù)等各種

故障信息的方法，這些故障信息的準(zhǔn)確提取，說(shuō)明小波變換是迄今為止最為有效的分析暫態(tài)

行波的數(shù)學(xué)工具。小波變換在行波保護(hù)中的應(yīng)用，標(biāo)志著行波保護(hù)的研制進(jìn)入了一個(gè)嶄新的

階段。

7.3.1行波中包含的故障信息

當(dāng)圖7-6中F點(diǎn)在/=t0時(shí)刻發(fā)生故障時(shí)，m側(cè)所示保護(hù)檢測(cè)到的電壓、電流分別為

=<1+—to—Tmj)+7m.ymZupuu“b(￡一心一u—2rmp)

+(1+ptnu)b(t’037舟)+***

式力=(1+pm￡"b(￡—ta-rmf)+——rmf—2rmp)

+(1+/JmJpfWm_ba_tu-3rmf)+

式中：7時(shí)和7nlp分別為行波在mF和mp線路傳播需要的時(shí)間；pfi,20分別為

F點(diǎn)電流、電壓的反射系數(shù)。

根據(jù)式(7-6)和圖7-6可得到

"l2P1n“l(fā)ib(tMTm￡)-H2Ymn，m2“°pu(Z2Z*mp)

+2pM“pf“”b(￡—i-o~3rmj)+(7-34)

?2=2〃b(z-to-Tmf)+2Pm—to—3rmf)+…

由于m母線處電壓反射系數(shù)滿足.因此由式(7-33)、(7-34)可知，

故障產(chǎn)生的行波包含如下信息：

(1)各行波分量中都包含時(shí)間信息。

(2)故障點(diǎn)產(chǎn)生的電壓、電流行波在f=7+f0時(shí)刻到達(dá)檢測(cè)點(diǎn)，故障點(diǎn)二次反

射行波均在/=3?+/。時(shí)刻到達(dá)檢測(cè)點(diǎn)，兩者之問(wèn)的時(shí)間差與故障距離成正比。

(3)電流與電壓行波中包含極性信息。

(4)電流與電壓行波的幅值滿足一定的關(guān)系。

(5)方向行波與電壓行波在幅值上成一定比例關(guān)系。

(6)方向行波中包含行波傳播方向的信息。

(7)正方向故障時(shí)初始方向行波之間滿足同W同和%=p?uu20

(8)反、折射系數(shù)中包含有母線連線情況的信息。

圖7—7為圖7—6中F點(diǎn)故障后包含式(7—33)、(7—34)所示各量的波形。

圖中波形清楚地示出了上述行波中包含的各種信息。

10000

(b)(c)

圖7-7故障后檢測(cè)到的各種電氣量

（a）為包含電流行波的波形Mb）為包含電壓行波的波形；（c）為包含方向行波的波形

7.3.2小波分析簡(jiǎn)介

小波變換作為新興數(shù)字信號(hào)處理工具，最大的特點(diǎn)就是具有良好的時(shí)頻局部

化能力。能夠同時(shí)從時(shí)域和頻域描述奇異信號(hào)的每一個(gè)細(xì)節(jié)，故障產(chǎn)生的行波是

一種非平穩(wěn)變化的高頻信號(hào)，因此小波變換成為分析行波的最為有效的數(shù)學(xué)工

具。

（1）二進(jìn)小波變換

若函數(shù)〃⑺為基本小波函數(shù)，則它滿足九心力=0。由基小波的伸縮和平移

所生成的函數(shù)族匕〃=|。口以巳身被稱為連續(xù)小波，其中a為尺度因子，b為平

移因子。（唯。（。力）=</,匕力〉稱為信號(hào)f（X）的連續(xù)小波變換。

尺度因子a對(duì)信號(hào)的時(shí)頻分析非常重要，因?yàn)楦鞒叨刃〔ㄗ儞Q結(jié)果的中心頻

率為明，頻帶半徑為其中。*、△0分別為由小波基函數(shù)確定的中心頻率和

頻帶半徑。這樣，當(dāng)尺度a取不同值時(shí)，相應(yīng)的小波變換結(jié)果對(duì)應(yīng)不同的頻帶，

當(dāng)a較小時(shí)對(duì)應(yīng)的小波空間的頻帶較高，隨尺度的增大，對(duì)應(yīng)小波空間的頻帶逐

步降低。也就是說(shuō)，通過(guò)尺度因子。的變化，小波變換可以將信號(hào)分解到不同的

頻帶上，從而實(shí)現(xiàn)信號(hào)的頻率分割。

令則〃”*）被稱為二進(jìn)小波，（%/■）（（,“=<九〃1r稱為信號(hào)

的二進(jìn)小波變換。從。的取值可以看出，二進(jìn)小波變換可以將正頻率軸劃

分為鄰接的頻帶，實(shí)現(xiàn)信號(hào)的無(wú)重疊全頻分解。例如，設(shè)采樣得到的信號(hào)最高頻

率為100Hz,對(duì)它進(jìn)行一次小波分解(a=2°),得到尺度一下的兩個(gè)頻帶50-100

Hz(小波空間)和0?50Hz的信息；再對(duì)低頻信號(hào)進(jìn)行小波分解(a=2D,又得

到尺度二的兩個(gè)頻帶25?50Hz(小波空間)和0-25Hz的信息。依次類推，就可

以把一個(gè)信號(hào)分解到若干個(gè)互不重疊的頻帶。由于二進(jìn)小波只對(duì)尺度參數(shù)a進(jìn)行

離散化，而平移參數(shù)b仍然保持連續(xù)變化，因此二進(jìn)小波變換的另一個(gè)重要性質(zhì)

就是具有平移不變性。這一特性使得它特別適合于信號(hào)的奇異性檢測(cè)。

(2)小波變換的奇異性檢測(cè)理論

若函數(shù)“耳(/(%)€&在某處間斷或某階導(dǎo)數(shù)不連續(xù)，則稱該函數(shù)在此處有

奇異性，若函數(shù)/(%)在其定義域有無(wú)限次導(dǎo)數(shù)，則稱/(%)是光滑的或沒(méi)有奇異

性。

電力系統(tǒng)發(fā)生故障后的暫態(tài)信號(hào)中，突變點(diǎn)(即奇異點(diǎn))往往包含著故障的發(fā)

生、切除等重要信息。故障后出現(xiàn)的行波初始波頭、故障點(diǎn)反射波、對(duì)端母線反

射波等在到達(dá)保護(hù)裝置檢測(cè)點(diǎn)時(shí)，也表現(xiàn)有明顯的奇異性，其中包含著故障發(fā)生

的地點(diǎn)和方向、電流電壓行波的極性和幅值等信息。這些信息是否能準(zhǔn)確提取將

直接影響保護(hù)的動(dòng)作性能。因而在行波保護(hù)中，信號(hào)的奇異性檢測(cè)就顯得極為重

要。

信號(hào)奇異點(diǎn)的位置可以通過(guò)小渡變換局部極大值(即模極大值)的位置來(lái)刻

劃，這是由于奇異性檢測(cè)首先是采用平滑函數(shù)9(%)對(duì)信號(hào)在不同尺度下進(jìn)行平

滑，然后從各階導(dǎo)數(shù)中檢測(cè)出原信號(hào)的劇變點(diǎn)，其中平滑函數(shù)8(%)必須滿足條

件匚e(x)公=1,㈣e(x)=o。假定平滑函數(shù)可微，定義

“(□:)=關(guān)。(K)(7-35)

由平滑函數(shù)的條件可知“(％)是小波函數(shù)，于是有

W"⑴—力”*。融(工)=a白廣仇)3(7-36)

上式說(shuō)明小波變換叱V(x)可以理解為函數(shù)在尺度a上經(jīng)過(guò)平滑后的一階

導(dǎo)函數(shù)。

設(shè)W"(x)(s=2，)是函數(shù)八％)的小波變換，在尺度s下，在飛的某一鄰域，

對(duì)——切無(wú)+有

|Ws/(x)|4|卬"(々)|(7-37)

則稱％為小波變換的模極大值點(diǎn)，暝/（%）為小波變換的模極大值。

由上述奇異性檢測(cè)理論可知，小波變換結(jié)果反應(yīng)信號(hào)在對(duì)應(yīng)位置的變化率，

小波變換的模極大值說(shuō)明信號(hào)在該點(diǎn)具有最大的變化率。因此，小波變換模極大

值點(diǎn)與信號(hào)的突變點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的，不僅如此，模極大值的大小與信號(hào)突變量大

小成正比.并且模極大值的正負(fù)與信號(hào)的極性一致。

分析結(jié)果表明，由三次中心B樣條函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)確定的小波函數(shù)（稱為

三次中心B樣條小波函數(shù)）是理想的實(shí)現(xiàn)信號(hào)奇異性檢測(cè)的小波函數(shù)，因此本文

用三次中心B樣條小潑函數(shù)分析和提取行波信號(hào)中的故障信息。小波變換由如

下所示Mallat算法實(shí)現(xiàn)

$，，（〃）=X陽(yáng)SZ，Tf（n-2廣屋）,

V*,j6口,81(7-38)

式中：S?"（〃）為小波變換結(jié)果的逼進(jìn)分量；叫"（同為變換結(jié)果的小波分量；

{4}={0.125,0.375,0.375,0.12$（左=-1,0,1,2加力={—2,?（左=0,）。

7.3.3利用小波變換提取行波中的故障信息

1.利用小波變換提取行波信號(hào)的特征

行波是一個(gè)非平穩(wěn)變化的高頻暫態(tài)信號(hào)，具有以下特征：在時(shí)間域，行波的

到達(dá)伴隨著電壓和電流信號(hào)的突變；在頻率域，行波是一個(gè)全頻域信號(hào).主要頻

率成分集中在幾kHz到幾百kHz。從故障后的全量電壓、電流來(lái)看，行波是故障

附加分量的一部分，因此行波保護(hù)在研制過(guò)程中遇到的首要問(wèn)題是如何得到行波

信號(hào)。

一般說(shuō)來(lái)，提取行波信號(hào)的方法主要有模擬電路法和數(shù)字提取法兩種。模擬

電路法包括穩(wěn)態(tài)頻率抑止器和延時(shí)線法等。其中延時(shí)線法的工作電路如圖7—8

所示。

差分放大器（b）端的輸入為前一周波信號(hào)，而（a）端的輸入為當(dāng)前時(shí)刻信號(hào)，

因此差分放大器的輸出為當(dāng)前值與前一周波值之差。這樣，在穩(wěn)態(tài)情況下，差分

放大器輸出為零，而故障發(fā)生后輸出故障分量。為保證前后周波之間嚴(yán)格同步，

延時(shí)線的時(shí)鐘頻率必須與系統(tǒng)頻率統(tǒng)一，因此這一方法受系統(tǒng)頻率變化的影響比

較嚴(yán)重。

數(shù)字提取法實(shí)際上就是將延時(shí)線法數(shù)字化，即利用當(dāng)前信號(hào)的數(shù)字量與前二

周波的數(shù)字量相減，得到的結(jié)果即為故障分量。由于行波信號(hào)頻率很高，裝置采

樣率必然很高，因此這一方法需要大量的數(shù)據(jù)存儲(chǔ)，實(shí)現(xiàn)起來(lái)較為困難，同時(shí)它

也受系統(tǒng)頻率的影響。

在介紹小波分析時(shí)我們提到，二進(jìn)小波變換具有分頻特性，可將正頻率軸劃

分為鄰接的頻帶，實(shí)現(xiàn)信號(hào)的無(wú)重疊全頻分解。也就是說(shuō)可以將小測(cè)變換看成是

一個(gè)多帶寬濾波器，每一尺度的小波變換結(jié)果就是信號(hào)在對(duì)應(yīng)頻帶的分量。因此

利用小波變換可以直接實(shí)現(xiàn)行波信號(hào)的提取，如圖7—9所示。

可見(jiàn)，隨著行波的到達(dá)，電壓信號(hào)突變，與①和②兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的小波變換結(jié)果

就是電壓在該尺度對(duì)應(yīng)頻帶下的行波分量。

綜上分析可見(jiàn)，利用小波變換提取行波信號(hào)的方法具有以下優(yōu)點(diǎn)：

(1)不需要增加任何硬件或算法。

(2)與模擬電路法相比，它能簡(jiǎn)化裝置的硬件設(shè)計(jì)。

(3)與數(shù)字提取法相比，它不需要存儲(chǔ)大量數(shù)據(jù)，實(shí)現(xiàn)起來(lái)更容易。

(4)不受電力系統(tǒng)頻率變化的影響。

t/2.5pts

(b)

圖7-9利用小波變換提取行波信號(hào)

(a)故障后的電壓全量；(b)為對(duì)應(yīng)各尺度下的小波變換結(jié)果

①和②分別為行波到達(dá)點(diǎn)

2.消噪特性

與工頻信號(hào)相比，行波信號(hào)頻率很高而能量很小，這與噪聲信號(hào)十分相似所

以對(duì)行波信號(hào)進(jìn)行消噪是提高行波保護(hù)可靠性的重要手段。

小波變換可以實(shí)現(xiàn)信號(hào)的多尺度奇異性檢驗(yàn)，這是小波變換與其它奇異性檢

測(cè)方法最5的差別。而利用不同尺度下的奇異性檢測(cè)結(jié)果可以對(duì)信號(hào)進(jìn)行消噪，

這是因?yàn)樾胁ㄅc噪聲雖然都有具有奇異性，然而兩者在不同尺度下的表現(xiàn)卻不盡

相同［隨小波函數(shù)尺度因子的增大，

行波信號(hào)的小波變換結(jié)果不變或增大，而噪聲信號(hào)的小波變換結(jié)果將大大減

小并迅速衰減。因此，利用行波與噪聲多尺度奇異性檢測(cè)結(jié)果的不同，就可以實(shí)

現(xiàn)行波信號(hào)的消噪。圖7—10清楚地說(shuō)明了這一點(diǎn)。

(b)

圖7-10小波變換用于消噪

(a)原始信號(hào)；(b)小波變換結(jié)果

h點(diǎn)為行波信號(hào)血點(diǎn)為噪聲

3.行波信號(hào)中基本故障信息的提取

早期行波距離保護(hù)中利用相關(guān)算法實(shí)現(xiàn)行波的定位，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)故障測(cè)距。然

而理論分析和仿真結(jié)果表明，由于線路參數(shù)的頻率相關(guān)特性以及故障時(shí)刻和過(guò)渡

電阻的影響，相關(guān)法并不能可靠準(zhǔn)確地判定行波到達(dá)的時(shí)刻，在某些情況下甚至

失效。

由于小,變換結(jié)果實(shí)際就是原始信號(hào)在各頻帶下的分量，因此小波變換結(jié)果

必然能反映行波的到達(dá)、極性、幅值等信息，從而實(shí)現(xiàn)測(cè)距和方向判別。要準(zhǔn)確

描述這些信息，還是要用到小波變換模極大值的概念。小波變換的模極大值點(diǎn)與

信號(hào)的突變點(diǎn)是----對(duì)應(yīng)的，模極大值的大小與信號(hào)突變量大小成正比，其正負(fù)

與信號(hào)的極性一致。因此利用小波變換的模極大值結(jié)果可以準(zhǔn)確定位行波到達(dá)的

時(shí)刻，確定行波極性和幅值大小。如圖7—11所示。

一可以看出，圖7-ll(b)的①點(diǎn)為初始行波的小波變換模極大值，它準(zhǔn)確反映

了行波的極性、到達(dá)時(shí)刻，它的大小就是行波在這一尺度對(duì)應(yīng)的頻帶下的幅值大

??；利用b中①、②點(diǎn)的位置就可以確定故障距離。若對(duì)方向行波信號(hào)同樣進(jìn)行

小波變換，利用所得結(jié)果就可以判斷出故障方向。

與相關(guān)法相比，小波變換用于判定行波到達(dá)的時(shí)刻有以下主要優(yōu)點(diǎn)。

(1)能提高判定行波到達(dá)時(shí)刻的可靠性和準(zhǔn)確性。免受或少受由于依頻特性

引起波頭衰減和變形帶來(lái)的影響。

(2)能提高判定抗干擾能力。

(3)能提高判定的靈敏度。由于模極大值對(duì)應(yīng)于被檢測(cè)信號(hào)的奇異點(diǎn)，因此

利用小波變換能準(zhǔn)確反映信號(hào)中的微弱變化，從而可減小故障點(diǎn)過(guò)渡電阻和故障

發(fā)生時(shí)刻帶來(lái)的不利影響。

(4)有廣泛的適應(yīng)性。小波變換法能獨(dú)立判定所有行波到達(dá)的時(shí)刻，而相關(guān)

法只能用于判定故障點(diǎn)二次反射波到達(dá)時(shí)刻。

4.行波折、反射系數(shù)的計(jì)算

由于小波變換模極大值與行波大小成正比，因此利用小波變換模極大值結(jié)果

可直接求得行波在母線處的折、反射系數(shù)。令初始正、反向行波的小波變換模極

大值分別為MU1,MU2，則根據(jù)式(7—31)和(7—32),得到

MU,==_MUI

Pm=Pmi—MU2

)

9))

323

果、44

0-前流--

5結(jié)777

2(障電

值((

息故和

信大部壓

性極內(nèi)電

的

極模頭n

0m點(diǎn)

2取換波

路意。

提變射

線任抗

和波反

損上阻

波小次

度二無(wú)路波

0行線為

15Xs尺點(diǎn)相。

I位單，Z

5定三、障。知

.的；

2/\值故1式可

Z二示波))

、和U甌公理

大所行—V—v

一頭M算原

0極6反

10第波一計(jì)工—+

?！?為t

換的始1用電(

1圖i2

變號(hào)初=實(shí)由uU

_波用22

波信為。

皿小可

小始別7明==

0的理說(shuō)

5用原分cc

）’數(shù)原以Z

利b點(diǎn);)Z

（系本加波t)

1②、,"

；射理基化行z

1號(hào)①西反原的變前得

-c寅

信_(tái)+、護(hù)護(hù)的為可

7）一

11折保保壓式+

圖始吃))

原=波動(dòng)動(dòng)電示-二t"

AW/n_"差,述r

a）行差、表X#

（為波波流式％上((

九"

~即行行電：由U

4下

式的用中

上.7后可式

設(shè)線路長(zhǎng)度為D,由式(7—42)或式(7—43)便可導(dǎo)出線路mn兩端的電壓和電流的

關(guān)系式。

在線路m端，由圖7-12可知，x=0。將x=0代入式(7-42)可以得到

“m(￡)+Z/m(力=2肛(力(7-44)

式中：“小)為m端的電壓、電流。

在線路n端，X=DO將x代入式(7-42)可以得到

w(t)—Zt(z)=2u]Ct——)(7-45)

ncnv

在式(7-45)左側(cè)第二項(xiàng)前取負(fù)號(hào)是因?yàn)閚端電流方向與所規(guī)定的電流正方向相

反。

在式(7-44)中，以"2代替，可得

V

um(t——)+(t——)=2〃i(力-2)(7-46)

vvv

由式(7-45)、式(7-46)可得出貝瑞隆方程，表示為

im(t-r)+—r)=-，口⑺+：%(，)(7-47)

式中：了=2為線路11111的波行時(shí)間。

v

式(7—47)可以這樣理解：某觀測(cè)者沿線路mn按x的正方向以波速N前進(jìn)，

在時(shí)刻乙在m端觀測(cè)到的是式(7—47)左側(cè)的值，經(jīng)過(guò)時(shí)間丁后到達(dá)n端，

在n端觀測(cè)到的是式(7—47)右側(cè)的值，二者相等。

式(7-47)即為行波差動(dòng)保護(hù)原理的理論基礎(chǔ)。根據(jù)式(7—47)可定義

zr)1(?)=in(Z)+im(t—r)一^-[?n(，)T)j(7—48)

由式(7—48)可知，當(dāng)線路內(nèi)部無(wú)故障時(shí)況=0。同理，由式(7—43),也可

導(dǎo)出

—4.(0+/小(力=t'n(Z—r)r)(7-49)

并定義

〃(力=zm(i)+zn(t—