浙教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 二次根式與材料閱讀問(wèn)題 分層練習(xí)（含解析）

【能力提升】二次根式與材料閱讀問(wèn)題分層練習(xí)1．請(qǐng)閱讀下列材料：?jiǎn)栴}：已知x=5+2，求代數(shù)式小敏的做法是：根據(jù)x=5+2得∴x2?4x+4=5把x2?4x作為整體代入：得即：把已知條件適當(dāng)變形，再整體代入解決問(wèn)題．請(qǐng)你用上述方法解決下面問(wèn)題：(1)已知x=5?2，求代數(shù)式(2)已知x=5?122．求代數(shù)式a+a2?2a+1小芳：解：原式=a+（小亮：解：原式＝a+（(1)______的解法是錯(cuò)誤的；(2)求代數(shù)式a+2a2?6a+93．小明在解決問(wèn)題：已知a=12+3∵a=1∴a?2=?3∴a?22=3，即∴a2∴2a請(qǐng)你根據(jù)小明的分析過(guò)程，解決如下問(wèn)題：(1)填空：111+10(2)計(jì)算：12(3)若a=110?34．閱讀并解答問(wèn)題：121312+……上面的計(jì)算過(guò)程叫做“分母有理化”，仿照上述計(jì)算過(guò)程，解答下列問(wèn)題：(1)將15(2)已知a=17+6，(3)計(jì)算125．觀察下列一組等式，解答后面的問(wèn)題：(2＋1)(2－1)＝1，(3＋2)(3－2)＝1，(4＋3)(4－3)＝1，(5＋4)(5－4)＝1，(1)根據(jù)上面的規(guī)律：①16②3?(2)計(jì)算：（12+1＋13+2＋1(3)若a＝12+1，則求6．愛(ài)動(dòng)腦筋的小明在做二次根式的化簡(jiǎn)時(shí)，發(fā)現(xiàn)一些二次根式的被開(kāi)方數(shù)是二次三項(xiàng)式，而且這些二次三項(xiàng)式正好是完全平方式的結(jié)構(gòu)，于是就可以利用二次根式的性質(zhì)：a2比如：x2∴當(dāng)x+1≥0即x≥?1時(shí)，原式=x+1；當(dāng)x+1<0即x<?1時(shí)，原式=?x?1．（1）仿照上面的例子，請(qǐng)你嘗試化簡(jiǎn)m2（2）判斷甲、乙兩人在解決問(wèn)題：“a=9，求a+1?2a+甲的答案：原式=a+1?a乙的答案：原式=a+1?a（3）化簡(jiǎn)并求值：x?1+4?4x+x7．閱讀下列材料，再解決問(wèn)題：閱讀材料：數(shù)學(xué)上有一種根號(hào)內(nèi)又帶根號(hào)的數(shù)，它們能通過(guò)完全平方公式及二次根式的性質(zhì)化去里面的一層根號(hào)．例如：3+22＝3+2×1×2＝12+2×1×2解決問(wèn)題：(1)在括號(hào)內(nèi)填上適當(dāng)?shù)臄?shù)：14+65＝①+2×3×5+②＝③2+2×3×5+④2＝(3+(2)根據(jù)上述思路，試將28?1038．“分母有理化”是我們常見(jiàn)的一種化簡(jiǎn)的方法．如：2+1除此之外，我們也可以平方之后再開(kāi)方的方式來(lái)化簡(jiǎn)一些有特點(diǎn)的無(wú)理數(shù)．如：化簡(jiǎn)2+3解：設(shè)x=2+3?2?3由于x2解得x=2，即2+3根據(jù)以上方法，化簡(jiǎn)：3?229．小馬在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號(hào)的式子可以寫(xiě)成另一個(gè)含根號(hào)的式子的平方，如3+22設(shè)a+b2=m+n22，（其中a、b、∴a=m2+2這樣，小馬找到了把部分a+b2請(qǐng)你仿照小明的方法探索并解決問(wèn)題：(1)當(dāng)a，b，m，n均為正整數(shù)時(shí)，若a+b3=m+n32，用含m，n的式子分別表示a，b(2)利用所探索的結(jié)論，找一組正整數(shù)a，b，m，n填空：+3(3)設(shè)x=3+2，試用含有x10．閱讀材料：我們?cè)趯W(xué)習(xí)二次根式時(shí)，熟悉了分母有理化及其應(yīng)用．其實(shí)，有一個(gè)類(lèi)似的方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，從而消掉分子中的根式．比如：7﹣6＝(7?6分子有理化可以用來(lái)比較某些二次根式的大小，也可以用來(lái)處理一些二次根式的最值問(wèn)題．例如：比較7﹣6和6?5的大小可以先將它們分子有理化如下：7﹣6＝17+6因?yàn)?+6＞6+5，所以，7﹣6＜再例如，求y＝x+2﹣x?2的最大值、做法如下：解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而y＝x+2﹣x?2＝4x+2當(dāng)x＝2時(shí)，分母x+2﹣x?2有最小值2．所以y的最大值是2．利用上面的方法，完成下述兩題：（1）比較15﹣14和14﹣13的大??；（2）求y＝x+1﹣x?1+3的最大值．11．像2?2=2；(（1）12（2）2勤奮好學(xué)的小明發(fā)現(xiàn)；可以用平方之后再開(kāi)方的方式來(lái)化簡(jiǎn)一些有特點(diǎn)的無(wú)理數(shù)．（3）化簡(jiǎn)：3+5解：設(shè)x=3+5?3?5由：x2=3+5即3+5?3?請(qǐng)你解決下列問(wèn)題：（1）23?35（2）化簡(jiǎn)：33（3）化簡(jiǎn)：6?3312．一些含根號(hào)的式子可以寫(xiě)成另一個(gè)式子的平方，如3+22＝（1+2）2．設(shè)a+b2=(m+n2)2（其中a、b、m、n均為正整數(shù)），則有a+b2＝m2+2n2+2mn2，∴a＝m2（1）當(dāng)a、b、m、n均為正整數(shù)時(shí)，若a+b3＝（m+n3）2，用含m、n的式子分別表示a、b，得：a＝，b＝．（2）利用所探索的結(jié)論，找一組正整數(shù)a、b、m、n填空：+5＝（+5）2；（3）化簡(jiǎn)113．小明在解決問(wèn)題：已知a=12+3∵a=1∴a?2=?3∴a?22=3，a2∴2a請(qǐng)你根據(jù)小明的分析過(guò)程，解決如下問(wèn)題：(1)求13(2)若a=1①求4a②直接寫(xiě)出代數(shù)式的值：a3?2a14．閱讀材料：像5+25?2=3、a?a=aa≥0、b+1b?1在進(jìn)行二次根式計(jì)算時(shí)，利用有理化因式，可以化去分母中的根號(hào)．例如：123解答下列問(wèn)題：（1）3?7與互為有理化因式，將23（2）計(jì)算：1（3）觀察下面的變形規(guī)律并解決問(wèn)題：

①12+1=2?1，13+2=

②計(jì)算：1（24-25八年級(jí)上·北京通州·期末）15．我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了二次根式和完全平方公式，請(qǐng)閱讀下面材料：當(dāng)a>0,b>0時(shí)：∵又∵∴a?2∴a+b≥2當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，a+b=2ab請(qǐng)利用上述結(jié)論解決以下問(wèn)題：(1)當(dāng)x>0時(shí)，4x+1x的最小值為_(kāi)_____，此時(shí)(2)若y=x2+4x+9（23-24八年級(jí)下·福建福州·期中）16．如果一個(gè)三角形三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，記p=a+b+c2，那么三角形的面積為S=p(p?a)(p?b)(p?c)…，①古希臘的幾何學(xué)家海倫（Heron，約公元50年），在數(shù)學(xué)史上以解決幾何測(cè)量問(wèn)題而聞名，在他的著作《度量》一書(shū)中，給出了公式①和它的證明，這一公式稱(chēng)為海倫公式，我國(guó)南宋時(shí)期數(shù)學(xué)家秦九韶（約1202-約1261），曾提出利用三角形的三邊求面積的秦九韶公式S=14(1)設(shè)a，b，c為△ABC的三邊，當(dāng)a=4，b=5，c=6時(shí)，求S△ABC(2)請(qǐng)你對(duì)公式②進(jìn)行變形，推導(dǎo)出公式①．（23-24八年級(jí)下·福建泉州·階段練習(xí)）17．閱讀下列兩份材料，理解其含義并解決下列問(wèn)題：【閱讀材料1】如果兩個(gè)正數(shù)a，b，即a>0，b>0，則有下面的不等式：a+b2≥ab【實(shí)例剖析1】已知x>0，求式子y=x+4解：令a=x，b=4x，則由a+b2≥ab，得y=x+【閱讀材料2】我們知道，分子比分母小的分?jǐn)?shù)叫做“真分?jǐn)?shù)”；分子比分母大，或者分子、分母同樣大的分?jǐn)?shù)，叫做“假分?jǐn)?shù)”．類(lèi)似地，我們定義：在分式中，對(duì)于只含有一個(gè)字母的分式，當(dāng)分子的次數(shù)大于或等于分母的次數(shù)時(shí)，我們稱(chēng)之為“假分式”；當(dāng)分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)時(shí)，我們稱(chēng)之為“真分式”．【實(shí)例剖析2】如：x?1x+1，x2x?1這樣的分式就是假分式；如：3x+1，2xx2+1這樣的分式就是真分式，假分?jǐn)?shù)7【學(xué)以致用】根據(jù)上面兩份材料回答下列問(wèn)題：(1)已知x＞0，則當(dāng)x=時(shí)，式子x+9x取到最小值，最小值為(2)分式3x是（填“真分式”或“假分式”）；假分式x+6x+1可化為帶分式形式；如果分式x+6x+4的值為整數(shù)，則滿(mǎn)足條件的整數(shù)x(3)用籬笆圍一個(gè)面積為100m(4)已知x>1，當(dāng)x取何值時(shí)，分式x?1x（23-24八年級(jí)下·四川達(dá)州·期末）18．閱讀以下材料：如果兩個(gè)正數(shù)a?b，即∵(a?b)∴a?2∴a+b≥2ab（當(dāng)且僅當(dāng)a=b結(jié)論：對(duì)任意兩個(gè)正數(shù)a,b，都有a+b≥2ab；上述不等式當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立．當(dāng)這兩個(gè)正數(shù)a,b的積為定值（常數(shù)）時(shí)，可以利用這個(gè)結(jié)論求兩數(shù)a,b例如：當(dāng)x為正數(shù)時(shí)，兩數(shù)x和4x均為正數(shù)，且x?4x=4（常數(shù)），則有x+4∴當(dāng)x=2時(shí)，x+4利用以上結(jié)論完成下列問(wèn)題：(1)已知m為正數(shù)，即m>0，則當(dāng)m=時(shí)，m+1m取到最小值，最小值為(2)當(dāng)y?x均為正數(shù)，即y>0,x>0時(shí)，求函數(shù)(3)如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線AC?BD相交于點(diǎn)O,△AOB?（23-24八年級(jí)下·寧夏石嘴山·期中）19．【閱讀下列材料】若a>0,b>0，則a=(a)∵(a?b)2≥0,a+b?2ab≥0,∴a+b≥2【例】：若a>0,b>0,ab=16，求a+b的最小值．解：∵a>0,b>0,ab=16?∴a+b≥2ab∴a=b=4時(shí)，a+b的最小值為8．【解決問(wèn)題】(1)若m>0,n>0,m+n=24，求mn的最大值；(2)用籬笆圍成一個(gè)面積為144m(3)用一段長(zhǎng)為80m（2024·江蘇鎮(zhèn)江·二模）20．中國(guó)古代數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書(shū)九章》中記述了“三斜求積術(shù)”，即已知三角形的三邊長(zhǎng)，求它的面積，用現(xiàn)代式子表示為S=1古希臘數(shù)學(xué)家海倫利用三角形三條邊的邊長(zhǎng)直接求出了三角形的面積．如果一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，記p=a+b+c2，那么這個(gè)三角形的面積請(qǐng)完成下列問(wèn)題：(1)一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)依次為5，5，6，則該三角形的面積為；(2)請(qǐng)由秦九韶公式推導(dǎo)出海倫公式；(3)若三角形的周長(zhǎng)為24cm，一邊長(zhǎng)為6（23-24八年級(jí)下·山東濟(jì)寧·期中）21．[材料一]兩個(gè)含有二次根式且非零的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含二次根式，那么這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式．例如：2×2=2，(3+1)×(3?1)=2，我們稱(chēng)2（1）5的有理化因式是______（寫(xiě)出一個(gè)即可），2?3[材料二]如果一個(gè)代數(shù)式的分母中含有二次根式，通常可將分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根號(hào)，這種變形叫做分母有理化．（2）利用分母有理化化簡(jiǎn)：12[材料三]與分母有理化類(lèi)似，將代數(shù)式分子、分母同乘分子的有理化因式，從而消去分子中的根式，這種變形叫做分子有理化．比如：3（3）試?yán)梅肿佑欣砘容^8?7和（23-24八年級(jí)下·北京西城·期中）22．在數(shù)學(xué)課上，老師說(shuō)統(tǒng)計(jì)學(xué)中常用的平均數(shù)不是只有算術(shù)平均數(shù)一種，好學(xué)的小聰通過(guò)網(wǎng)絡(luò)搜索，又得到了兩種平均數(shù)的定義，他把三種平均數(shù)的定義整理如下：對(duì)于兩個(gè)數(shù)a，b，M=a+b2稱(chēng)為a，N=ab稱(chēng)為a，bP=a2+b2小聰根據(jù)上述定義，探究了一些問(wèn)題，下面是他的探究過(guò)程，請(qǐng)你補(bǔ)充完整：(1)若a=?1，b=?3，則M=______，N=______，P=______；(2)小聰發(fā)現(xiàn)當(dāng)a，b兩數(shù)異號(hào)時(shí)，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)N沒(méi)有意義，所以決定只研究當(dāng)a，b都是正數(shù)時(shí)這三種平均數(shù)的大小關(guān)系．結(jié)合乘法公式和勾股定理的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，他選擇構(gòu)造幾何圖形，用面積法解決問(wèn)題：如圖，畫(huà)出邊長(zhǎng)為a+b的正方形和它的兩條對(duì)角線，則圖1中陰影部分的面積可以表示p2①請(qǐng)分別在圖2，圖3中用陰影標(biāo)出一個(gè)面積為M2，N②借助圖形可知當(dāng)a，b都是正數(shù)時(shí)，M，N，P的大小關(guān)系是：______（把M，N，P從小到大排列，并用“<”或“≤”號(hào)連接）．③當(dāng)a+b=4時(shí)，N的最大值是______．（23-24八年級(jí)下·北京·期中）23．閱讀材料：材料一：數(shù)學(xué)上有一種根號(hào)內(nèi)又帶根號(hào)的數(shù)，它們能通過(guò)完全平方式及二次根式的性質(zhì)化去一層（或多層）根號(hào)，如：12材料二：配方法是初中數(shù)學(xué)思想方法中的一種重要的解題方法，配方法的最終目的就是配成完全平方式，利用完全平方式來(lái)解決問(wèn)題，它的應(yīng)用非常廣泛，在解方程、化簡(jiǎn)根式、因式分解等方面都經(jīng)常用到．如：x2∵x+∴x+22∴x閱讀上述材料解決下面問(wèn)題：(1)4?23=_______，(2)求x2(3)比較6?2和7（19-20八年級(jí)上·四川·階段練習(xí)）24．閱讀下列材料，然后回答問(wèn)題．①在進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn)與運(yùn)算時(shí)，我們有時(shí)會(huì)碰上如23+1一樣的式子，其實(shí)我們還可以將其進(jìn)一步化簡(jiǎn)：23+1=2(3?1)②學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，最重要的是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想，其中一種數(shù)學(xué)思想叫做換元的思想，它可以簡(jiǎn)化我們的計(jì)算，比如我們熟悉的下面這個(gè)題：已知ab2，ab3，求a2+b2．我們可以把a(bǔ)b和ab看成是一個(gè)整體，令xab，yab，則a2(1)計(jì)算：13+1+15+(2)m是正整數(shù)，am+1?mm+1+m，bm+1(3)已知15+x2參考答案1．(1)?9；(2)0．【分析】（1）先將原式配方變形后，將x的值代入計(jì)算即可求出值；（2）先求出x2【詳解】（1）解：∵x=5∴x+2=5則原式=(===5?14=?9；（2）解：∵x=5∴x則原式=x(====?1+1=0．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值、求代數(shù)式的值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握運(yùn)算法則．2．(1)小亮(2)2+【分析】（1）根據(jù)完全平方式a2?2ab+b（2）根據(jù)完全平方式a2?2ab+b【詳解】（1）解：∵a=?2022，∴代數(shù)式a+a∴小亮的解法錯(cuò)誤，故答案為小亮．（2）解：∵a=4?5∴a+2a【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方式a23．(1)11?10(2)2020(3)?3【分析】本題考查分母有理化，二次根式的混合運(yùn)算，代數(shù)式求值，完全平方公式的應(yīng)用：（1）根據(jù)分母有理化法則計(jì)算；（2）根據(jù)分母有理化法則把各個(gè)二次根式化簡(jiǎn)，合并同類(lèi)二次根式即可；（3）根據(jù)分母有理化把a(bǔ)的值化簡(jiǎn)，根據(jù)完全平方公式把原式化簡(jiǎn)，把化簡(jiǎn)后的a的值代入計(jì)算即可．【詳解】（1）解：1111n故答案為：11?10；（2）解：原式===2021?1=2020．（3）解：2a∵a=1∴原式=2104．(1)5(2)2(3)9【分析】（1）仿照資料中分母有理化的方法即可求解；（2）仿照資料中分母有理化的方法分別計(jì)算出a,b的值，再a+b的值即可；（3）仿照資料中分母有理化的方法將代數(shù)式化簡(jiǎn)，再根據(jù)二次根式的加減運(yùn)算法則即可求解．【詳解】（1）解：原式=5?2(（2）解：a=7?6∴a+b=7（3）解：原式=2?1==10?1=9．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根式的性質(zhì)，分母有理化的計(jì)算方法，掌握二次根式性質(zhì)，分母有理化的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．5．(1)①6②5+2(2)2021(3)11【分析】（1）利用平方差公式，分母有理化即可求解；（2）利用分母有理化將原式化成2?1+（3）由a=12+1=2?1，推出【詳解】（1）解：①原式==6②原式==5+26（2）解：原式===2022?1=2021；（3）解：∵a=1∴a+1=2∴a2+2a+1=2，即∴a=a=a?2=a?2(1?2a)?4+8a?2a+1=a?2+4a?4+8a?2a+1=a?2+4a?4+8a?2a+1=11a?5=11(=112【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算：先把各二次根式化簡(jiǎn)為最簡(jiǎn)二次根式，然后進(jìn)行二次根式的乘除運(yùn)算，再合并即可．在二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍．6．（1）當(dāng)m≥12時(shí)，原式=m?12；當(dāng)m<12【分析】（1）利用因式分解法分解因式，然后再開(kāi)平方即可；（2）利用完全平方公式化簡(jiǎn)，然后求值即可；（3）利用完全平方公式化簡(jiǎn)，再根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)化簡(jiǎn)，然后求值即可．【詳解】解：（1）m∴當(dāng)m?12≥0即m≥當(dāng)m?12<0即m<（2）兩個(gè)人的答案都不正確，正確的解法是：a+當(dāng)a=9時(shí)，原式=9+9?1（3）x?1==x?1∵x=5∴2<x<3，∴x?1==x?1?2+x=2x?3，當(dāng)x=5時(shí)，原式=2【點(diǎn)睛】本題考查的是二次根式的化簡(jiǎn)求值，完全平方公式的應(yīng)用，熟練掌握二次根式的性質(zhì)和完全平方公式是解題的關(guān)鍵．7．(1)①9；②5；③3；④5；⑤3+5(2)5﹣3【分析】（1）根據(jù)閱讀材料將根式內(nèi)的數(shù)配成完全平方的形式去一層根號(hào)即可；（2）根據(jù)閱讀材料將根式內(nèi)的數(shù)配成完全平方的形式去一層根號(hào)即可．【詳解】（1）解：14+6＝9+2×3×＝3＝3+＝3+5．故答案為：①9；②5；③3；④5；⑤3+5；（2）解：原式＝25?2×5×＝5＝5?＝5﹣3．【點(diǎn)睛】本題主要考查完全平方公式和二次根式的性質(zhì)，熟練應(yīng)用完全平方公式是解題的關(guān)鍵．8．17?13【分析】由常見(jiàn)的分母有理化利用平方差公式化解3?223+22【詳解】解：3?22設(shè)x=3+∵3+5∴x>0，∵x==3+=3+=2，∴x=2∴原式=17?122【點(diǎn)睛】本題考查了分母有理化以及提取題干信息的能力；關(guān)鍵在于要會(huì)用平方差公式進(jìn)行分母有理化，讀懂題干，能用平方差公式進(jìn)行有理化．9．(1)m(2)12，6，3，1（答案不唯一）(3)x【分析】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，完全平方公式等知識(shí)．（1）根據(jù)上面的例子，將m+n3（2）由（1）可寫(xiě)出一組答案，不唯一；（3）先把已知條件變形得到x?2=3，再兩邊平方得到x2?2【詳解】（1）解：∵a+b3∴a+b3∴a=m2+3故答案為：m2+3n（2）解：設(shè)a+b3∵m+n3∴2mn=b，a=m取m=3，n=1，則b=6，a=9+3=12，故答案為：12，6，3，1；（3）解：∵x=3∴x?2∴x?2∴x∴2=10．（1）15?14＜14?【分析】（1）先根據(jù)材料分別給15﹣14和14﹣13，分子有理化，然后再進(jìn)行比較即可；（2）先根據(jù)二次根式有意義的條件確定x的取值范圍，然后再對(duì)無(wú)理數(shù)部分分子有理化，然后再求最大值即可．【詳解】解：（1）15?14?而15>∴15+14＞∴15?14＜（2）∵x+1≥0，x﹣1≥0，∴x≥1，∵y＝x+1?x?1+3當(dāng)x＝1時(shí)，分母x+1+x?1有最小值∴y＝2x+1+x?1【點(diǎn)睛】本題考查了分母有理化的應(yīng)用以及閱讀理解能力，根據(jù)分母有理化理解分子有理化的方法是解答本題的關(guān)鍵．11．（1）23+35；（2）【分析】（1）根據(jù)有理化因式的定義即可求解；（2）根據(jù)分母有理化的方法化簡(jiǎn)即可求解；（3）根據(jù)平方之后再開(kāi)方的方式即可求解．【詳解】（1）23?35故答案為：23（2）3=3=3+（3）設(shè)x=6?33?6+33，易知由：x2=6?33∵x<0∴6?33?6+3【點(diǎn)睛】此題主要考查二次根式運(yùn)算的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟知分母有理化與二次根式的運(yùn)算法則．12．（1）m2+3n2，2mn；（2）21，4，1，2；（3）13【分析】（1）將（m+n3）2用完全平方公式展開(kāi)，與原等式左邊比較，即可得答案；（2）設(shè)a+b5＝(m+n5)2，則(m+n5)2＝m2+2mn（3）利用題中描述的方法，將要化簡(jiǎn)的雙重根號(hào)，先化為一重根號(hào)，再利用分母有理化化簡(jiǎn)，再合并同類(lèi)二次根式和同類(lèi)項(xiàng)即可．【詳解】解：（1）∵a+b3=(m+n3)2，(m+n∴a＝m2+3n2，b＝2mn故答案為：m2+3n2，2mn．（2）設(shè)a+b5＝(m+n則(m+n5)2＝m2+2mn∴a＝m2+5n2，b＝2mn若令m＝1，n＝2，則a＝21，b＝4故答案為：21，4，1，2．（3）1＝1(3?7＝13?7＝3+7＝3+72＝32+23+7＝13【點(diǎn)睛】本題考查了利用分母有理化和利用完全平方公式對(duì)二次根式化簡(jiǎn)，以及對(duì)這種方法的拓展應(yīng)用，本題具有一定的計(jì)算難度．13．(1)5；(2)①5；②22【分析】本題考查了分母有理化，利用分母有理化是解本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題目中的例子，將題目中的式子分母有理化，然后計(jì)算即可求得所求式子的值；（2）①根據(jù)題目中的例子，將a的分母有理化，然后即可得到a?1的值和a2②將所求式子變形，再根據(jù)a2【詳解】（1）解：原式＝3===＝1=5；（2）解：a=1①∵a=2∴a?1=2兩邊平方，得a2即a2∴4=4=4×1+1=4+1=5；②∵由①知，a2?2a=1，∴a3∵a2∴a2除以a得a?1∴2＝2＝2=2×1?a+=?a+=?=?2+4=2，故答案為：2214．（1）3+7，23；（2）2?3【分析】（1）根據(jù)互為有理化因式的定義和化簡(jiǎn)有理化因式的方法可解；（2）先把其中的二次根式中的分母有理化，再合并同類(lèi)二次根式即可；（3）①利用分母有理化化簡(jiǎn)即可；②由①的結(jié)論化簡(jiǎn)第一個(gè)括號(hào)內(nèi)的式子，然后利用平方差公式計(jì)算即可．【詳解】解：（1）根據(jù)互為有理化因式的定義可知，3?7與3+23故答案為3+7，2（2）1=2+=2+3=2?3故答案為2?3（3）①1n+1②1=(=(2019=2019-1=2018.故答案為①n+1?【點(diǎn)睛】本題考查了互為有理化因式的定義及分母有理化的方法，并考查了利用分母有理化進(jìn)行計(jì)算及探究相關(guān)式子的規(guī)律，本題屬于中檔題．15．(1)4，1(2)y的最小值為2【分析】本題考查了二次根式和完全平方公式的應(yīng)用，讀懂題意，能熟練仿照示例是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)示例，得到4x+1x≥4（2）仿照示例，x+2+【詳解】（1）解：∵x>0，∴2x∵2x∴4x?4x∴4x+1即4x+1當(dāng)且僅當(dāng)4x=1x時(shí)，解得x=1∴當(dāng)x>0時(shí)，4x+1x的最小值為4，此時(shí)故答案為：4，12（2）解：y=x∵x>?2，∴x+2+∴x+2+當(dāng)且僅當(dāng)x+2=5x+2，即x=5?2時(shí)，∴y的最小值為2516．(1)154(2)見(jiàn)解析．【分析】本題主要考查二次根式的混合運(yùn)算和利用平方差公式對(duì)整式變型，（1）根據(jù)給定的算法求得p，在分別求得p?a，p?b和p?c，代入計(jì)算即可；（2）結(jié)合已知求得p?a=b+c?a2，p?b=a+c?b【詳解】（1）解：當(dāng)a=4，b=5，c=6時(shí)，p=a+b+c∴p?a=152?4=72∴S=p(p?a)(p?b)(p?c)＝15（2）解：∵p=a+b+c∴p?a=b+c?a2，p?b=∴S=14＝1＝1＝1＝1＝c?a+b＝p(p?a)(p?b)(p?c)．17．(1)3，6(2)真分式，1+5(3)當(dāng)這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為10米時(shí)，所用的籬笆最短，最短的籬笆是40米(4)當(dāng)x=3時(shí)，分式x?1x2【分析】（1）根據(jù)題中的公式確定出原式的最小值即可；（2）根據(jù)新定義判斷分式3x是真分式，將假分式化為真分式再判斷滿(mǎn)足條件的整數(shù)x（3）設(shè)這個(gè)矩形的長(zhǎng)為x米，則寬=面積÷長(zhǎng)，即寬=100x米，則所用的籬笆總長(zhǎng)為2倍的長(zhǎng)a+b2（4）根據(jù)實(shí)例剖析1和實(shí)例剖析2，將原式改寫(xiě)，然后使用不等式的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可得到答案；．【詳解】（1）解：令a=x,b=9x，則有得x+9當(dāng)且僅當(dāng)x=9x時(shí)，即正數(shù)故答案為：3，6；（2）解：根據(jù)新定義分式3xx+6x+1∵x為整數(shù)，x+6x+4∴2x+4∴x+4=2或x+4=?2或x+4=1或x+4=?1，解得：x=?2或x=?6或x=?3或x=?5，則滿(mǎn)足條件的整數(shù)x的值有4個(gè)，故答案為：真分式，1+5（3）解：設(shè)這個(gè)矩形的長(zhǎng)為x米，則寬為100x米，所用的籬笆總長(zhǎng)為y根據(jù)題意得：y=2x+200由上述性質(zhì)知：∵x>0，∴2x+200此時(shí)，2x=200∴x=10，答：當(dāng)這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為10米時(shí)，所用的籬笆最短，最短的籬笆是40米；（4）解：x?1===1∵x>1，∴x?1+4當(dāng)且當(dāng)x?1=4x?1時(shí)，即x=3時(shí)，式子當(dāng)x=3時(shí)，分式x?1x2?2x+5【點(diǎn)睛】本題是材料題，考查學(xué)生對(duì)所給材料的理解分析能力，涉及分式的加減、二次根式的乘法、不等式的性質(zhì)、完全平方公式、利用平方根解方程等知識(shí)，熟練運(yùn)用已知材料和所學(xué)知識(shí)，認(rèn)真審題，仔細(xì)計(jì)算，并注意解題過(guò)程中需注意的事項(xiàng)是本題的解題關(guān)鍵．18．(1)1，2(2)3.(3)25【分析】此題考查了二次根式性質(zhì)和運(yùn)算的應(yīng)用，掌握題目提供的結(jié)論是解題的關(guān)鍵．（1）對(duì)任意兩個(gè)正數(shù)a,b，都有a+b≥2ab；上述不等式當(dāng)且僅當(dāng)a=b（2）把函數(shù)變形為y=x+4（3）設(shè)S△BOC=x，則S△BOC:S△COD=【詳解】（1）解；當(dāng)m>0時(shí)，m+1當(dāng)且僅當(dāng)m=1m即∴當(dāng)m=1時(shí)，m+1故答案為：1，2（2）當(dāng)y>0,x>0時(shí)，函數(shù)y=x+4∵x+當(dāng)且僅當(dāng)x+1=4x+1即x+1=2，即∴當(dāng)x=1時(shí)，y=x+4（3）設(shè)S△BOC由題意可知，S△BOC則x:9=4:則S△AOD∴四邊形ABCD面積=4+9+x+36當(dāng)且僅當(dāng)x=6時(shí)，等號(hào)成立，∴四邊形ABCD面積的最小值為25．19．(1)144(2)這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬分別為12m米，12m米時(shí)，所用的籬笆最短，最短的籬笆是(3)菜園的長(zhǎng)為20m，寬為20m時(shí)，面積最大為【分析】本題主要考查完全平方公式的應(yīng)用，二次根式的應(yīng)用．（1）根據(jù)基本不等式即可求解；（2）設(shè)這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為x米，則另一邊為y米，則xy=144，y=144x，所以所用籬笆的長(zhǎng)為2144（3）設(shè)一邊為xm，則另一邊長(zhǎng)為ym，則【詳解】（1）解：∵m>0,n>0,m+n=24∴m+n?2∴2∴mn∴mn≤144∴當(dāng)m=n=12時(shí)，mn的最大值為144；（2）解：設(shè)這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為x米，另一邊為y米，則xy=144，∴y=144∴所用籬笆的長(zhǎng)為21442144∵當(dāng)且僅當(dāng)144x=x時(shí)，2144∴x=12或x=?12（舍去）．∴這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬分別為12米，12米時(shí)，所用的籬笆最短，最短的籬笆是48米；（3）解：設(shè)一邊為xm，則另一邊長(zhǎng)為ym∴x+y?2∴xy∴xy∴xy≤400∴當(dāng)x=y=20時(shí)xy的最大值為400∴當(dāng)x=y=20時(shí)，菜園的面積有最大值為400平方米，答：菜園的長(zhǎng)為20m，寬為20m時(shí)，面積最大為20．(1)12(2)證明見(jiàn)解析(3)S的最大值為182【分析】（1）直接利用海倫公式計(jì)算即可；（2）先把開(kāi)方數(shù)利用平方差公式分解因式，再繼續(xù)分解因式，結(jié)合2p=a+b+c，從而可得結(jié)論；（3）設(shè)另一邊為xcm，則第三邊為18?xcm，可得p=6+x+18?x【詳解】（1）解：∵一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)依次為5，5，6，∴p=1∴S=8==12；（2）解：S====∵p=a+b+c∴2p=a+b+c，∴S==p（3）∵三角形的周長(zhǎng)為24cm，一邊長(zhǎng)為6設(shè)另一邊為xcm，則第三邊為18?x∴p=6+x+18?x∴S=