中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)中考數(shù)學(xué)專(zhuān)項(xiàng)提升第06講 分式方程及應(yīng)用(講義2考點(diǎn)+3命題點(diǎn)11種題型(含2種解題技巧))(解析版)

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)第二章方程與不等式第06講分式方程及應(yīng)用（思維導(dǎo)圖+2考點(diǎn)+3命題點(diǎn)11種題型（含2種解題技巧））TOC\o"1-1"\n\h\z\u01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航02知識(shí)導(dǎo)圖·思維引航03考點(diǎn)突破·考法探究考點(diǎn)一分式方程及其解法考點(diǎn)二分式方程的實(shí)際應(yīng)用04題型精研·考向洞悉命題點(diǎn)一解分式方程?題型01解分式方程?題型02以注重過(guò)程性學(xué)習(xí)的形式考查解分式方程?題型03與解分式方程有關(guān)的新定義問(wèn)題命題點(diǎn)二分式方程含參問(wèn)題?題型01由分式方程的解求參數(shù)?題型02由分式方程有解、無(wú)解或有增根求參數(shù)?題型03由分式方程解的取值范圍求參數(shù)命題點(diǎn)三分式方程與實(shí)際應(yīng)用?題型01列分式方程?題型02利用分式方程解決實(shí)際問(wèn)題?題型03分式方程的應(yīng)用與函數(shù)的綜合運(yùn)用?題型04以真實(shí)問(wèn)題情境為背景考查分式方程的實(shí)際應(yīng)用?題型05以數(shù)學(xué)文化為背景考查分式方程的實(shí)際應(yīng)用

01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航中考考點(diǎn)考查頻率新課標(biāo)要求分式方程及其解法★★★能解可化為一元一次方程的分式方程分式方程的實(shí)際應(yīng)用★★【考情分析1】本專(zhuān)題包含解分式方程及已知分式方程的解求未知字母的值兩種類(lèi)型的題目，解分式方程的出題形式多樣，難度較低；由分式方程的解求未知字母的值一般在非解答題中出現(xiàn)，難度一般。分式方程之所以特殊是因?yàn)槠浞帜钢泻形粗獢?shù),故在解題過(guò)程中一定要注意檢驗(yàn).【考情分析2】應(yīng)用分式方程解決實(shí)際問(wèn)題是中考中的常考題型，多以解答題形式出現(xiàn)，難度一般.解決該類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是確定題目中的等量關(guān)系，從而利用等量關(guān)系列分式方程，解題過(guò)程中要注意檢驗(yàn)所求解是否滿(mǎn)足分式方程及是否滿(mǎn)足該題目的實(shí)際意義.002知識(shí)導(dǎo)圖·思維引航003考點(diǎn)突破·考法探究考點(diǎn)一分式方程及其解法一、分式方程分式方程的概念：分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程．分式方程的重要特征：①等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知數(shù).二、分式方程的解法解分式方程的基本思路：將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程.解分式方程的一般步驟：1）找最簡(jiǎn)公分母，當(dāng)分母是多項(xiàng)式時(shí)，先分解因式；

2）去分母，方程兩邊都乘最簡(jiǎn)公分母，約去分母，化為整式方程；

【易錯(cuò)點(diǎn)】方程兩邊同乘最簡(jiǎn)公分母時(shí)，最簡(jiǎn)公分母有可能為０，這樣就產(chǎn)生了增根，因此分式方程一定要驗(yàn)根．3）解這個(gè)整式方程，求出整式方程的解；

4）檢驗(yàn)：將求得的解代入最簡(jiǎn)公分母，若最簡(jiǎn)公分母不等于0，則這個(gè)解是原分式方程的解，若最簡(jiǎn)公分母等于0，則這個(gè)解不是原分式方程的解，原分式方程無(wú)解.【注意事項(xiàng)】1）去分母時(shí)要把方程兩邊的式子作為一個(gè)整體，記得不要漏乘整式項(xiàng).2）分式方程的結(jié)果還要代回方程的最簡(jiǎn)公分母中，只有最簡(jiǎn)公分母不是零的解才是原方程的解．3）分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的公分母為0的根，它不是原分式方程的根．4）解分式方程一定要檢驗(yàn)根，這種檢驗(yàn)與整式方程不同，不是檢查解方程過(guò)程中是否有錯(cuò)誤，而是檢驗(yàn)是否出現(xiàn)增根，它是在解方程的過(guò)程中沒(méi)有錯(cuò)誤的前提下進(jìn)行的.5）分式方程有增根與無(wú)解并非是同一個(gè)概念．分式方程無(wú)解，需分類(lèi)討論：可能是解為增根，也可能是去分母后的整式方程無(wú)解.1．（2024·江蘇徐州·中考真題）分式方程3x+1=3【答案】x=1【分析】本題考查解分式方程，熟練掌握解方程的方法是解題的關(guān)鍵．利用去分母將原方程化為整式方程，解得x的值后進(jìn)行檢驗(yàn)即可．【詳解】解：原方程去分母得：6x=3x+1，即解得：x=1，檢驗(yàn)：當(dāng)x=1時(shí)，2xx+1故原方程的解為x=1，故答案為：x=1．2．（2024·陜西·中考真題）解方程：2x【答案】x=?3【分析】本題主要考查了解分式方程，先去分母變分式方程為整式方程，然后再解整式方程，最后對(duì)方程的解進(jìn)行檢驗(yàn)即可．【詳解】解：2x去分母得：2+xx+1去括號(hào)得：2+x移項(xiàng)，合并同類(lèi)項(xiàng)得：x=?3，檢驗(yàn)：把x=?3代入x+1x?1得：?3+1∴x=?3是原方程的解．3．（2024·四川瀘州·中考真題）分式方程1x?2?3=2A．x=?73 B．x=?1 C．x=5【答案】D【分析】本題考查解分式方程，根據(jù)解分式方程方法和步驟（去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)，合并同類(lèi)項(xiàng)，系數(shù)化為1，檢驗(yàn)）求解，即可解題．【詳解】解：1x?21x?21?3x?21?3x+6=?2，?3x=?9，x=3，經(jīng)檢驗(yàn)x=3是該方程的解，故選：D．4．（2024·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）如果關(guān)于x的分式方程1x?mx+1=0A．m<1且m≠0 B．m<1 C．m>1 D．m<1且m≠?1【答案】A【分析】本題考查了根據(jù)分式方程的解的情況求參數(shù)，解分式方程求出分式方程的解，再根據(jù)分式方程的解是負(fù)數(shù)得到m?1<0，并結(jié)合分式方程的解滿(mǎn)足最簡(jiǎn)公分母不為0，求出m的取值范圍即可，熟練掌握解分式方程的步驟是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：方程兩邊同時(shí)乘以xx+1得，x+1?mx=0解得x=1∵分式方程的解是負(fù)數(shù)，∴m?1<0，∴m<1，又∵xx+1∴x+1≠0，∴1m?1∴m≠0，∴m<1且m≠0，故選：A．5．（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）已知關(guān)于x的分式方程kxx?3?2=33?x無(wú)解，則A．k=2或k=?1 B．k=?2 C．k=2或k=1 D．k=?1【答案】A【分析】本題考查了解分式方程無(wú)解的情況，理解分式方程無(wú)解的意義是解題的關(guān)鍵．先將分式方程去分母，化為整式方程，再分兩種情況分別求解即可．【詳解】解：去分母得，kx?2(x?3)=?3，整理得，(k?2)x=?9，當(dāng)k=2時(shí)，方程無(wú)解，當(dāng)k≠2時(shí)，令x=3，解得k=?1，所以關(guān)于x的分式方程kxx?3?2=33?x無(wú)解時(shí)，故選：A．考點(diǎn)二分式方程的實(shí)際應(yīng)用用分式方程解決實(shí)際問(wèn)題的步驟：審：理解并找出實(shí)際問(wèn)題中的等量關(guān)系;設(shè)：用代數(shù)式表示實(shí)際問(wèn)題中的基礎(chǔ)數(shù)據(jù);列：找到所列代數(shù)式中的等量關(guān)系，以此為依據(jù)列出方程;解：求解方程;驗(yàn)：考慮求出的解是否具有實(shí)際意義;1）檢驗(yàn)所求的解是否是所列分式方程的解.2）檢驗(yàn)所求的解是否符合實(shí)際意義.答：實(shí)際問(wèn)題的答案.1．（2024·黑龍江綏化·中考真題）一艘貨輪在靜水中的航速為40km/h，它以該航速沿江順流航行120km所用時(shí)間，與以該航速沿江逆流航行A．5km/h B．6km/h【答案】D【分析】此題主要考查了分式方程的應(yīng)用，利用順?biāo)?靜水速+水速，逆水速=靜水速?水速，設(shè)未知數(shù)列出方程，解方程即可求出答案．【詳解】解：設(shè)江水的流速為x?km/h12040+x解得：x=8，經(jīng)檢驗(yàn)：x=8是原方程的根，答：江水的流速為8km/h故選：D．2．（2024·山西·中考真題）某校組織學(xué)生開(kāi)展“茶韻與書(shū)畫(huà)”為主題的研學(xué)課程，已知學(xué)校用于購(gòu)買(mǎi)扇子的費(fèi)用為4000元，購(gòu)買(mǎi)茶具的費(fèi)用為3200元，其中購(gòu)買(mǎi)扇子的數(shù)量是購(gòu)買(mǎi)茶具數(shù)量的2倍，并且扇子的單價(jià)比茶具的單價(jià)便宜3元．設(shè)購(gòu)買(mǎi)扇子的單價(jià)為x元．則x滿(mǎn)足的方程為（

）A．4000x=2×3200C．4000x?3=2×3200【答案】A【分析】題目主要考查分式方程的應(yīng)用，設(shè)購(gòu)買(mǎi)扇子的單價(jià)為x元，則茶具的單價(jià)為(x+3)元，根據(jù)“購(gòu)買(mǎi)扇子的數(shù)量是購(gòu)買(mǎi)茶具數(shù)量的2倍”列出分式方程即可，理解題意是解題關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)購(gòu)買(mǎi)扇子的單價(jià)為x元，則茶具的單價(jià)為(x+3)元，根據(jù)題意得：4000x故選：A．3．（2024·云南·中考真題）某旅行社組織游客從A地到B地的航天科技館參觀，已知A地到B地的路程為300千米，乘坐C型車(chē)比乘坐D型車(chē)少用2小時(shí)，C型車(chē)的平均速度是D型車(chē)的平均速度的3倍，求D型車(chē)的平均速度．【答案】D型車(chē)的平均速度為100【分析】本題考查分式方程的應(yīng)用，設(shè)D型車(chē)的平均速度為xkm/h，則C型車(chē)的平均速度是3xkm/【詳解】解：設(shè)D型車(chē)的平均速度為xkm/h，則C根據(jù)題意可得，300x整理得，6x=600，解得x=100，經(jīng)檢驗(yàn)x=100是該方程的解，答：D型車(chē)的平均速度為100km4．（2024·山東德州·中考真題）某校開(kāi)設(shè)棋類(lèi)社團(tuán)，購(gòu)買(mǎi)了五子棋和象棋．五子棋比象棋的單價(jià)少8元，用1000元購(gòu)買(mǎi)的五子棋數(shù)量和用1200元購(gòu)買(mǎi)的象棋數(shù)量相等．(1)兩種棋的單價(jià)分別是多少？(2)學(xué)校準(zhǔn)備再次購(gòu)買(mǎi)五子棋和象棋共30副，根據(jù)學(xué)生報(bào)名情況，購(gòu)買(mǎi)五子棋數(shù)量不超過(guò)象棋數(shù)量的3倍．問(wèn)購(gòu)買(mǎi)兩種棋各多少副時(shí)費(fèi)用最低？最低費(fèi)用是多少？【答案】(1)五子棋的單價(jià)是40元，象棋的單價(jià)是48元(2)購(gòu)買(mǎi)五子棋22副，象棋8副時(shí)，費(fèi)用最低，最低費(fèi)用是1264元【分析】本題考查分式方程的實(shí)際應(yīng)用，一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，一元一次不等式組的實(shí)際應(yīng)用．理解題意，找出數(shù)量關(guān)系，列出等式或不等式是解題關(guān)鍵．（1）設(shè)購(gòu)買(mǎi)五子棋的單價(jià)是x元，則購(gòu)買(mǎi)象棋的單價(jià)是x+8元，根據(jù)用1000元購(gòu)買(mǎi)的五子棋數(shù)量和用1200元購(gòu)買(mǎi)的象棋數(shù)量相等．列出分式方程求解并檢驗(yàn)即可；（2）設(shè)購(gòu)買(mǎi)兩種棋的費(fèi)用為w元，購(gòu)買(mǎi)五子棋m副，則購(gòu)買(mǎi)象棋30?m副，根據(jù)購(gòu)買(mǎi)五子棋數(shù)量不超過(guò)象棋數(shù)量的3倍，列出不等式，求出m的取值范圍；再列出購(gòu)買(mǎi)兩種棋的費(fèi)用的關(guān)系式，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)購(gòu)買(mǎi)五子棋的單價(jià)是x元，則購(gòu)買(mǎi)象棋的單價(jià)是x+8元，根據(jù)題意得：1000解得：x=40，經(jīng)檢驗(yàn)x=40是所列分式方程的解，且符合題意，∴x+8=48．答：五子棋的單價(jià)是40元，象棋的單價(jià)是48元；（2）解：設(shè)購(gòu)買(mǎi)兩種棋的費(fèi)用為w元，購(gòu)買(mǎi)五子棋m副，則購(gòu)買(mǎi)象棋30?m副，根據(jù)題意得：m≤330?m解得：m≤221w=40m+4830?m∵?8<0，∴w隨m的增大而減小，∴在m≤221∵m為正整數(shù)，∴當(dāng)m=22時(shí)，w有最小值，最小值為?8×22+1440=1264（元），則30?22=8（副）答：購(gòu)買(mǎi)五子棋22副，象棋8副時(shí)，費(fèi)用最低，最低費(fèi)用是1264元．5．（2024·江蘇常州·中考真題）書(shū)畫(huà)裝裱，是指為書(shū)畫(huà)配上襯紙、卷軸以便張貼、欣賞和收藏，是我國(guó)具有民族傳統(tǒng)的一門(mén)特殊藝術(shù)．如圖，一幅書(shū)畫(huà)在裝裱前的大小是1.2m×0.8m，裝裱后，上、下、左、右邊襯的寬度分別是am、bm、cm、dm．若裝裱后AB與AD的比是16:10，且a=b，c=d【答案】上、下、左、右邊襯的寬度分別是0.1【分析】本題考查分式方程的應(yīng)用，分別表示出AB,AD的長(zhǎng)，列出分式方程，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：由題意，得：AB=1.2+c+d=1.2+2c=1.2+4a，AD=0.8+a+b=0.8+2a，∵AB與AD的比是16:10，∴1.2+4a0.8+2a解得：a=0.1，經(jīng)檢驗(yàn)a=0.1是原方程的解．∴上、下、左、右邊襯的寬度分別是0.1m04題型精研·考向洞悉命題點(diǎn)一解分式方程?題型01解分式方程解分式方程的一般步驟：1）找最簡(jiǎn)公分母，當(dāng)分母是多項(xiàng)式時(shí)，先分解因式；

2）去分母，方程兩邊都乘最簡(jiǎn)公分母，約去分母，化為整式方程；

【易錯(cuò)點(diǎn)】方程兩邊同乘最簡(jiǎn)公分母時(shí)，最簡(jiǎn)公分母有可能為０，這樣就產(chǎn)生了增根，因此分式方程一定要驗(yàn)根．3）解這個(gè)整式方程，求出整式方程的解；

4）檢驗(yàn)：將求得的解代入最簡(jiǎn)公分母，若最簡(jiǎn)公分母不等于0，則這個(gè)解是原分式方程的解，若最簡(jiǎn)公分母等于0，則這個(gè)解不是原分式方程的解，原分式方程無(wú)解.1．（2024·山東濟(jì)寧·中考真題）解分式方程1?13x?1=?A．2?6x+2=?5 B．6x?2?2=?5C．2?6x?1=5 D．6x?2+1=5【答案】A【分析】本題考查通過(guò)去分母將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，方程兩邊同乘各分母的最簡(jiǎn)公分母，即可去分母．【詳解】解：方程兩邊同乘2?6x，得2?6x?2?6x整理可得：2?6x+2=?5故選：A．2．（2023·河北·中考真題）根據(jù)下表中的數(shù)據(jù)，寫(xiě)出a的值為．b的值為．x結(jié)果代數(shù)式2n3x+17b2x+1a1【答案】52【分析】把x=2代入得2x+1x=a，可求得a的值；把x=n分別代入3x+1=b和【詳解】解：當(dāng)x=n時(shí)，3x+1=b，即3n+1=b，當(dāng)x=2時(shí)，2x+1x=a，即當(dāng)x=n時(shí)，2x+1x=1，即解得n=?1，經(jīng)檢驗(yàn)，n=?1是分式方程的解，∴b=3×?1故答案為：52；【點(diǎn)睛】本題考查了求代數(shù)式的值，解分式方程，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．3．（2024·福建·中考真題）解方程：3x+2【答案】x=10．【分析】本題考查解分式方程,掌握解分式方程的步驟和方法，將分式方程化為整式方程求解，即可解題．【詳解】解：3x+2方程兩邊都乘x+2x?2，得3去括號(hào)得：3x?6+x解得x=10．經(jīng)檢驗(yàn)，x=10是原方程的根．4．（2023·山西·中考真題）解方程：1x?1【答案】x=【分析】去分母化為整式方程，求出方程的根并檢驗(yàn)即可得出答案．【詳解】解：原方程可化為1x?1方程兩邊同乘2x?1，得2+2解得x=3檢驗(yàn)：當(dāng)x=32時(shí)，∴原方程的解是x=3【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的解法，熟練掌握解分式方程的方法是解題關(guān)鍵．QUOTEQUOTEQUOTE?題型02以注重過(guò)程性學(xué)習(xí)的形式考查解分式方程1．（2022·浙江臺(tái)州·中考真題）如圖的解題過(guò)程中，第①步出現(xiàn)錯(cuò)誤，但最后所求的值是正確的，則圖中被污染的x的值是．先化簡(jiǎn)，再求值：3?xx?4+1，其中x=解：原式=3?x+x?4=?1【答案】5【分析】根據(jù)題意得到方程3?xx?4【詳解】解：依題意得：3?xx?4+1=?1，即去分母得：3-x+2(x-4)=0，去括號(hào)得：3-x+2x-8=0，解得：x=5，經(jīng)檢驗(yàn)，x=5是方程的解，故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必須檢驗(yàn)．2．（2023·浙江嘉興·中考真題）小丁和小迪分別解方程xx?2小丁：解：去分母，得x?(x?3)=x?2去括號(hào)，得x?x+3=x?2合并同類(lèi)項(xiàng)，得3=x?2解得x=5∴原方程的解是x=5小迪：解：去分母，得x+(x?3)=1去括號(hào)得x+x?3=1合并同類(lèi)項(xiàng)得2x?3=1解得x=2經(jīng)檢驗(yàn)，x=2是方程的增根，原方程無(wú)解你認(rèn)為小丁和小迪的解法是否正確？若正確，請(qǐng)?jiān)诳騼?nèi)打“√”；若錯(cuò)誤，請(qǐng)?jiān)诳騼?nèi)打“×”，并寫(xiě)出你的解答過(guò)程．【答案】都錯(cuò)誤，見(jiàn)解析【分析】根據(jù)解分式方程的步驟判斷小丁和小迪的解法是否正確，再正確解方程即可．【詳解】小丁和小迪的解法都錯(cuò)誤；解：去分母，得x+(x?3)=x?2，去括號(hào)，得2x?3=x?2，解得，x=1，經(jīng)檢驗(yàn)：x=1是方程的解．【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的解法，熟練掌握解分式方程的步驟是解題的關(guān)鍵．3．（2024·廣西南寧·三模）閱讀下面解方程的過(guò)程，完成后面的問(wèn)題：解方程1x?1解：x+1=2x+1=2x?1?4……第二步x?2x=?1?1?4……第三步?x=?6……第四步x=6……第五步檢驗(yàn)：當(dāng)x=6時(shí)，x所以，x=6是原方程的根．問(wèn)題一：①以上解題過(guò)程中，第一步是依據(jù)進(jìn)行變形的；A．等式的基本性質(zhì)

B．不等式的基本性質(zhì)

C．分式的基本性質(zhì)②從第步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤，這一步錯(cuò)誤的原因是；問(wèn)題二：該方程的正確解是；問(wèn)題三：除糾正上述錯(cuò)誤外，請(qǐng)你根據(jù)平時(shí)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，就解分式方程時(shí)還需要注意的事項(xiàng)給其他同學(xué)提一條建議．【答案】問(wèn)題一：①A；②二，去括號(hào)時(shí)第二項(xiàng)沒(méi)有乘以2；問(wèn)題二：該方程的正確解是x=7；問(wèn)題三：除糾正上述錯(cuò)誤外，根據(jù)平時(shí)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，解分式方程時(shí)還需要注意的事項(xiàng)是分式方程注意要檢驗(yàn)【分析】本題考查了解分式方程，解題的關(guān)鍵是：熟練掌握解分式方程的方法．問(wèn)題一：①在等式兩邊同時(shí)乘以x+1x?1②第二步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤，去括號(hào)時(shí)第二項(xiàng)沒(méi)有乘以2；問(wèn)題二：根據(jù)解分式方程的方法解方程即可；問(wèn)題三：根據(jù)解分式方程時(shí)常見(jiàn)的錯(cuò)誤解答即可．【詳解】解：?jiǎn)栴}一：①在等式兩邊同時(shí)乘以x+1x?1故答案為：A；②第二步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤，去括號(hào)時(shí)第二項(xiàng)沒(méi)有乘以2；故答案為：二；去括號(hào)時(shí)第二項(xiàng)沒(méi)有乘以2問(wèn)題二：1方程兩邊同乘x+1x?1，得：x+1=2去括號(hào)，得：x+1=2x?2?4，移項(xiàng)并合并同類(lèi)項(xiàng)，得：?x=?7，系數(shù)化為1，得：x=7；檢驗(yàn)：當(dāng)x=7時(shí)，x+1x?1∴x=7是原分式方程的解．故答案為：x=7問(wèn)題三：除糾正上述錯(cuò)誤外，根據(jù)平時(shí)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，解分式方程時(shí)還需要注意的事項(xiàng)是分式方程注意要檢驗(yàn)．4．（2024·陜西渭南·一模）以下是小明同學(xué)解方程1?xx?3【解析】方程兩邊同時(shí)乘x?3，得1?x=?1?2…第一步x=4…第二步檢驗(yàn)：當(dāng)x=4時(shí)，x?3=4?3=1≠0…第三步所以，原分式方程的解為x=4…第四步①小明的解法從第______步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤；出錯(cuò)的原因是______；②解分式方程的思想是利用______的數(shù)學(xué)思想，把分式方程化為整式方程．A．?dāng)?shù)形結(jié)合B．特殊到一般C．轉(zhuǎn)化D．類(lèi)比③寫(xiě)出解方程1?xx?3【答案】①一；去分母時(shí)數(shù)字2沒(méi)有乘以x?3；②C；③見(jiàn)解析【分析】本題主要考查了解分式方程，熟知解分式方程的步驟是解題的關(guān)鍵．根據(jù)解分式方程的方法和步驟判斷和解答即可.【詳解】解：①觀察解題過(guò)程可知，小明的解法從第一步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤，出錯(cuò)的原因是去分母時(shí)數(shù)字2沒(méi)有乘以x?3；②解分式方程的思想是利用轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，把分式方程化為整式方程，故答案為：C；③1?x方程兩邊同時(shí)乘x?3，得1?x=?1?2x?3去括號(hào)得：1?x=?1?2x+6，移項(xiàng)得：?x+2x=?1?1+6，合并同類(lèi)項(xiàng)得：x=4，檢驗(yàn)，當(dāng)x=4時(shí)，x?3≠0，∴x=4是原方程的解．?題型03與解分式方程有關(guān)的新定義問(wèn)題1．（2020·山東棗莊·中考真題）對(duì)于實(shí)數(shù)a、b，定義一種新運(yùn)算“?”為：a?b=1a?b2，這里等式右邊是實(shí)數(shù)運(yùn)算．例如：1?3=1A．x=7 B．x=6 C．x=5 D．x=4【答案】C【分析】已知方程利用題中的新定義化簡(jiǎn)，計(jì)算即可求出解．【詳解】解：根據(jù)題中的新定義化簡(jiǎn)得：1x?4去分母得：1=2?x?4去括號(hào)得：1=2?x+4，移項(xiàng)得：x=2+4?1，解得：x=5，經(jīng)檢驗(yàn)x=5是分式方程的解，故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了解分式方程，以及實(shí)數(shù)的運(yùn)算，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵．2．（2023·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于a、b定義a★b=1a?b2，已知分式方程x★?1=xA．a(chǎn)<1 B．a(chǎn)>1 C．a(chǎn)<3 D．a(chǎn)>3【答案】D【分析】根據(jù)新定義的含義，轉(zhuǎn)化為分式方程，按照解分式方程的步驟求出x的值，把x的值代入不等式中，解不等式即可．【詳解】解：根據(jù)新定義可得，1x??12去分母得：3=?x，解得x=?3，經(jīng)檢驗(yàn)x=?3是分式方程的解，把x=?3代入不等式可得，?32?a解得a>3．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了解分式方程，解一元一次不等式，關(guān)鍵是理解新定義，并正確運(yùn)算．3．（2024·四川廣元·中考真題）若點(diǎn)Qx,y滿(mǎn)足1x+1y【答案】2,?1（答案不唯一）【分析】此題考查了解分式方程，先將方程兩邊同時(shí)乘以xy后去分母，令x代入一個(gè)數(shù)值，得到y(tǒng)的值，以此為點(diǎn)的坐標(biāo)即可，正確解分式方程是解題的關(guān)鍵【詳解】解：等式兩邊都乘以xy，得x+y=1，令x=2，則y=?1，∴“美好點(diǎn)”的坐標(biāo)為2，?1，故答案為2，?1（答案不唯一）4．（2022·浙江寧波·中考真題）定義一種新運(yùn)算：對(duì)于任意的非零實(shí)數(shù)a，b，a?b=1a+1b．若(x+1)?x=【答案】?12【分析】根據(jù)新定義可得(x+1)?x=2x+1x2【詳解】解：∵a?b=1∴(x+1)?x=1又∵(x+1)?x=2x+1∴2x+1x∴x2∴x2∴x2∵(x+1)?x=2x+1x即∴2x+1=0，解得x=?1經(jīng)檢驗(yàn)x=?12是方程故答案為：?1【點(diǎn)睛】本題主要考查了新定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算，解分式方程，正確理解題意得到關(guān)于x的方程是解題的關(guān)鍵．5．（2024·四川瀘州·二模）對(duì)于a、b定義a?b=1a?b2，已知分式方程x??1=x3?3x【答案】a>3/3<a【分析】本題主要考查了解分式方程以及解一元一次不等式，先根據(jù)新定義解分式方程，求出x的值，再根據(jù)題意將x的值代入到不等式中，解不等式即可求出a的取值范圍．【詳解】解：由題意可得1x?1解得：x=?3，經(jīng)檢驗(yàn)，x=?3是分式方程的解，將x=?3代入2?ax?3>0中可得?3解得：a>3，故答案為：a>3．命題點(diǎn)二分式方程含參問(wèn)題?題型01由分式方程的解求參數(shù)1．（2023·山東淄博·中考真題）已知x=1是方程m2?x?1x?2=3A．?2 B．2 C．?4 D．4【答案】B【分析】將x=1代入方程，即可求解．【詳解】解：將x=1代入方程，得m解得：m=2故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的解，解題的關(guān)鍵是將x=1代入原方程中得到關(guān)于m的方程．2．（2024·江蘇鹽城·三模）已知關(guān)于x的方程ax+1=1的解是x=2，求關(guān)于y的不等式【答案】y>3【分析】本題考查了分式方程的解和解一元一次不等式，把x=2代入已知的分式方程，可以求得a的值；然后解關(guān)于y的不等式即可．【詳解】解：根據(jù)題意可得：把x=2代入ax+1∴a解得a=3，∴(3?5)y<?6，解得y>3．∴不等式的解集y>3．?題型02由分式方程有解、無(wú)解或有增根求參數(shù)解題思路：1）分式方程有解，說(shuō)明：①原方程去分母后的整式方程有解；②所求得的解不是增根.2）分式方程無(wú)解，說(shuō)明：①原方程去分母后的整式方程無(wú)解；②分式方程有增根.3）分式方程解為正/負(fù)，說(shuō)明：①原方程去分母后的整式方程有解；②所求得的解不是增根；③特殊解大于0或小于04）分式方程有增根，說(shuō)明：①原分式方程中的字母為0；②增根為原方程去分母后的整式方程的根.1．（2021·四川巴中·中考真題）關(guān)于x的分式方程m+x2?x?3＝0有解，則實(shí)數(shù)A．m＝﹣2 B．m≠﹣2 C．m＝2 D．m≠2【答案】B【分析】解分式方程得：m+x=6?3x即4x=6?m，由題意可知x≠2，即可得到6?m≠8.【詳解】解：m+x方程兩邊同時(shí)乘以2?x得：m+x?6+3x=0，∴4x=m?6，∵分式方程有解，∴2?x≠0，∴x≠2，∴6?m≠8，∴m≠?2，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式方程的解，熟練掌握分式方程的解法，理解分式方程有意義的條件是解題的關(guān)鍵.2．（2024·四川綿陽(yáng)·二模）若關(guān)于x的分式方程m3?x=1有解，且關(guān)于y的方程y2?2y+m=0有實(shí)數(shù)根，則【答案】m≤1且m≠0【分析】本題考查了分式方程的解有意義的概念，一元二次方程實(shí)數(shù)根的判斷，掌握求解的方法是解題的關(guān)鍵．根據(jù)分式有意義的情況得到x≠3，化簡(jiǎn)分式后代入即可得到m的取值，再根據(jù)一元二次方程根的判別式求解即可．【詳解】解：m3?x=1，化簡(jiǎn)得：∵3?x≠0，即x≠3，∴3?m≠3，解得：m≠0，∵y2∴Δ=解得：m≤1，∴綜上m≤1且m≠0，故答案為：m≤1且m≠0．3．（2024·四川達(dá)州·中考真題）若關(guān)于x的方程3x?2?kx?1x?2=1【答案】?1或2【分析】本題主要考查了分式方程無(wú)解問(wèn)題，先解分式方程得到x=6k+1，再根據(jù)分式方程無(wú)解得到k+1=0或6k+1【詳解】解：3去分母得：3?kx+1=x?2，解得：x=6∵關(guān)于x的方程3x?2∴當(dāng)k+1=0或6k+1解得：k=?1或k=2（經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解），即k=?1或k=2，3x?2故答案為：?1或2．4．（2023·湖南永州·中考真題）若關(guān)于x的分式方程1x?4?m4?x=1【答案】x=4【分析】根據(jù)使分式的分母為零的未知數(shù)的值，是方程的增根，計(jì)算即可．【詳解】∵關(guān)于x的分式方程1x?4?m∴x?4=0，解得x=4，故答案為：x=4．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的解法，增根的理解，熟練掌握分式方程的解法是解題的關(guān)鍵．5．（2023·四川巴中·中考真題）關(guān)于x的分式方程x+mx?2+12?x【答案】?1【分析】等式兩邊同時(shí)乘以公因式x?2，化簡(jiǎn)分式方程，然后根據(jù)方程有增根，求出x的值，即可求出m．【詳解】x+mx?2解：方程兩邊同時(shí)乘以x?2，得x+m+?1∴m=2x?5，∵原方程有增根，∴x?2=0，∴x=2，∴m=2x?5=?1，故答案為：?1．【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握分式方程的增根．6．（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知關(guān)于x的方程2kx+3x?1?7【答案】k=0,x=73或k=94，x=23；k=?14或x=4【分析】去分母，轉(zhuǎn)化為整式方程，根據(jù)整式方程為一元一次方程，即k=0，為一元二次方程，即k≠0，分別求解．而當(dāng)方程為一元二次方程時(shí)，又分為Δ=0(方程有等根，滿(mǎn)足方程恰好有一個(gè)實(shí)數(shù)解)，若Δ>0，則方程有兩不等實(shí)根，且其中一個(gè)為增根，而增根只可能為1或【詳解】解：兩邊同乘x2?x,得若k=0，若k≠0，由題意，知Δ=解得k1當(dāng)k1=94時(shí)，x1若方程有兩不等實(shí)根，則其中一個(gè)為增根，當(dāng)x1=1時(shí)，k=2，當(dāng)x1=0時(shí)，k=7【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的解，解一元二次方程．關(guān)鍵是將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，根據(jù)整式方程的特點(diǎn)及題目的條件分類(lèi)討論．7．（2024西昌市一模）小華想復(fù)習(xí)分式方程，由于印刷問(wèn)題，有一個(gè)數(shù)“？”看不清楚：?x?2(1)她把這個(gè)數(shù)“？”猜成5，請(qǐng)你幫小華解這個(gè)分式方程；(2)小華的媽媽說(shuō)：“我看到標(biāo)準(zhǔn)答案是：方程的增根是x=2，原分式方程無(wú)解”，請(qǐng)你求出原分式方程中“？”代表的數(shù)是多少？【答案】(1)x=0(2)?1【分析】本題考查了分式方程解法和增根的定義及應(yīng)用.增根是分式方程化為整式方程后產(chǎn)生的使分式方程的分母為0的根增根確定后可按如下步驟進(jìn)行：①化分式方程為整式方程；

②把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值．（1）“？”當(dāng)成5，解分式方程即可，（2）方程有增根是去分母時(shí)產(chǎn)生的，故先去分母，再將x=2代入即可解答．【詳解】（1）解：依題意，5方程兩邊同時(shí)乘以x?2得5+3解得x=0經(jīng)檢驗(yàn)，x=0是原分式方程的解；（2）解：設(shè)？為m，方程兩邊同時(shí)乘以x?2得m+3∵x=2是原分式方程的增根，∴把x=2代入上面的等式得m+3×m=?1∴，原分式方程中“？”代表的數(shù)是?1．QUOTE?題型03由分式方程解的取值范圍求參數(shù)1．（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）若分式方程xx?1=3?mx1?x的解為正整數(shù)，則整數(shù)【答案】?1【分析】此題考查了分式方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．表示出方程的解，由解是正整數(shù)，確定出整數(shù)m的值即可．【詳解】解：xx?1化簡(jiǎn)得：xx?1去分母得：x=3x?1移項(xiàng)合并得：2+mx=3解得：x=3由方程的解是正整數(shù)，得到x為正整數(shù)，即2+m=1或2+m=3，解得：m=?1或m=1（舍去，會(huì)使得分式無(wú)意義）．故答案為：?1．2．（2023·四川眉山·中考真題）關(guān)于x的方程x+mx?2?1=x?12?x的解為非負(fù)數(shù)，則【答案】m≤?1且m≠?3【分析】解分式方程，可用m表示x，再根據(jù)題意得到關(guān)于m的一元一次不等式即可解答．【詳解】解：解x+mx?2?1=x?1∵x的方程x+mx?2∴?m?1≥0，解得m≤?1，∵x?2≠0，∴?m?1?2≠0，即m≠?3，∴m的取值范圍是m≤?1且m≠?3，故答案為：m≤?1且m≠?3．【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)分式方程的解的情況求值，注意分式方程無(wú)解的情況是解題的關(guān)鍵．3．（2024·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測(cè)）已知關(guān)于x的方程xx?3=2?m3?x有一個(gè)正數(shù)解，則【答案】m<6且m≠3【分析】本題考查了解分式方程，解一元一次不等式．熟練掌握解分式方程，解一元一次不等式是解題的關(guān)鍵．解分式方程得x=6?m，由關(guān)于x的方程xx?3=2?m3?x有一個(gè)正數(shù)解，可得【詳解】解：xx?3x=2x?6+m，解得，x=6?m，∵關(guān)于x的方程xx?3∴6?m>0，且6?m≠3，解得，m<6且m≠3，故答案為：m<6且m≠3．4．（2023·重慶·中考真題）若關(guān)于x的不等式組x+23>x2+14x+a<x?1的解集為x<?2，且關(guān)于y的分式方程【答案】13【分析】先求出一元一次不等式組中兩個(gè)不等式的解集，從而可得a≤5，再解分式方程可得a>?2且a≠1，從而可得?2<a≤5且a≠1，然后將所有滿(mǎn)足條件的整數(shù)a的值相加即可得．【詳解】解：x+23解不等式①得：x<?2，解不等式②得：x<?a+1∵關(guān)于x的不等式組x+23>x∴?a+1解得a≤5，方程a+2y?1+y+2解得y=a+2∵關(guān)于y的分式方程a+2y?1∴a+23>0解得a>?2且a≠1，∴?2<a≤5且a≠1，則所有滿(mǎn)足條件的整數(shù)a的值之和為?1+0+2+3+4+5=13，故答案為：13．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次不等式組、分式方程，熟練掌握不等式組和分式方程的解法是解題關(guān)鍵．5．（2024·四川綿陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）字母a從?2,?1,0,1,2,3這6個(gè)數(shù)中選出使關(guān)于x的不等式組2x?16≥?122x?1<2a有解，且使關(guān)于x的方程x【答案】?1,0,1,2【分析】先解出不等式組的解集，由不等式組有解確定出a的范圍，再表示出分式方程的解，由分方程有唯一的解a的范圍，找出a的具體范圍，進(jìn)而確定出a的值即可．【詳解】解：不等式組整理得：x≥?1x<要使不等式組有解，可得2a+12解得：a>?3∴a=?2不符合題意，舍去；此時(shí)不等式組的解集為?1≤x<2a+1方程去分母得：x?2x?3解得：x=6?a，∵方程xx?3∴x≠3，∴a的值可以為?1或0或1或2，∴a有?1,0,1,2，故答案為：?1,0,1,2．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元一次不等式組和分式方程相結(jié)合的問(wèn)題，正確根據(jù)不等式組的解集情況和分式方程解的情況求出a的取值范圍是解題的關(guān)鍵．6（2024·重慶·中考真題）若關(guān)于x的一元一次不等式組2x+13≤34x?2<3x+a的解集為x≤4，且關(guān)于y的分式方程a?8y+2?【答案】12【分析】本題主要考查了根據(jù)分式方程解的情況求參數(shù)，根據(jù)不等式組的解集求參數(shù)，先解不等式組中的兩個(gè)不等式，再根據(jù)不等式組的解集求出a>2；解分式方程得到y(tǒng)=a?102，再由關(guān)于y的分式方程a?8y+2?yy+2=1的解均為負(fù)整數(shù)，推出a<10且a≠6且a是偶數(shù)，則2<a<10【詳解】解：2x+1解不等式①得：x≤4，解不等式②得：x<a+2，∵不等式組的解集為x≤4，∴a+2>4，∴a>2；解分式方程a?8y+2?y∵關(guān)于y的分式方程a?8y+2∴a?102<0且a?102∴a<10且a≠6且a是偶數(shù)，∴2<a<10且a≠6且a是偶數(shù)，∴滿(mǎn)足題意的a的值可以為4或8，∴所有滿(mǎn)足條件的整數(shù)a的值之和是4+8=12．故答案為：12．7．（2024·四川德陽(yáng)·二模）若整數(shù)a使關(guān)于x的不等式組2x?7≥x?8a?6x4>?2有且只有4個(gè)整數(shù)解，且使關(guān)于y的分式方程ay?4?34?yA．15 B．11 C．10 D．18【答案】B【分析】本題主要考查了根據(jù)不等式組的解集情況求參數(shù)，根據(jù)分式方程的解的情況求參數(shù)，先解不等式組的兩個(gè)不等式，再根據(jù)不等式組只有4個(gè)整數(shù)解得到2<a+86≤3，則4<a≤10，再解分式方程得到y(tǒng)=1?a，根據(jù)y>?6，且y?4≠0，求出a<7且a≠?3，結(jié)合4<a≤10【詳解】解：2x?7≥x?8解不等式①得：x≥?1，解不等式②得：x<a+8即根據(jù)題意有：不等式的解集為：?1≤x<a+8∵該不等式組有且只有4個(gè)整數(shù)解，∴不等式的整數(shù)解為：?1，0，1，2，∴2<a+8解得4<a≤10．a(chǎn)去分母得：a+3=?y?4去括號(hào)得：a+3=?y+4，移項(xiàng)得：y=1?a，∵y>?6，且y?4≠0，∴1?a>?6，1?a?4≠0，∴a<7且a≠?3，又∵4<a≤10，綜上所述，4<a<7，∴符合題意的整數(shù)a有5和6，所有滿(mǎn)足條件的整數(shù)a的值之和為5+6=11，故選：B．命題點(diǎn)三分式方程與實(shí)際應(yīng)用?題型01列分式方程1．（2024·四川廣元·中考真題）我市把提升城市園林綠化水平作為推進(jìn)城市更新行動(dòng)的有效抓手，從2023年開(kāi)始通過(guò)拆違建綠、見(jiàn)縫插綠等方式在全域打造多個(gè)小而美的“口袋公園”．現(xiàn)需要購(gòu)買(mǎi)A、B兩種綠植，已知A種綠植單價(jià)是B種綠植單價(jià)的3倍，用6750元購(gòu)買(mǎi)的A種綠植比用3000元購(gòu)買(mǎi)的B種綠植少50株．設(shè)B種綠植單價(jià)是x元，則可列方程是（

）A．67503x?50=3000C．67503x+50=3000【答案】C【分析】本題主要考查了分式方程的應(yīng)用，設(shè)B種綠植單價(jià)是x元，則A種綠植單價(jià)是3x元，根據(jù)用6750元購(gòu)買(mǎi)的A種綠植比用3000元購(gòu)買(mǎi)的B種綠植少50株，列出方程即可．【詳解】解：設(shè)B種綠植單價(jià)是x元，則A種綠植單價(jià)是3x元，根據(jù)題意得：67503x故選：C．2．（2024·甘肅臨夏·中考真題）端午節(jié)期間，某商家推出“優(yōu)惠酬賓”活動(dòng)，決定每袋粽子降價(jià)2元銷(xiāo)售．細(xì)心的小夏發(fā)現(xiàn)，降價(jià)后用240元可以比降價(jià)前多購(gòu)買(mǎi)10袋，求：每袋粽子的原價(jià)是多少元？設(shè)每袋粽子的原價(jià)是x元，所得方程正確的是（

）A．240x?240C．240x?2?240【答案】C【分析】本題考查由實(shí)際問(wèn)題抽象出分式方程，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的分式方程．根據(jù)降價(jià)后用240元可以比降價(jià)前多購(gòu)買(mǎi)10袋，可以列出相應(yīng)的分式方程．【詳解】解：由題意可得，240x?2故選：C．3．（2023·山東東營(yíng)·中考真題）為扎實(shí)推進(jìn)“五育”并舉工作，加強(qiáng)勞動(dòng)教育，東營(yíng)市某中學(xué)針對(duì)七年級(jí)學(xué)生開(kāi)設(shè)了“跟我學(xué)面點(diǎn)”烹飪課程，課程開(kāi)設(shè)后學(xué)?；ㄙM(fèi)6000元購(gòu)進(jìn)第一批面粉，用完后學(xué)校又花費(fèi)9600元購(gòu)進(jìn)了第二批面粉，第二批面粉的采購(gòu)量是第一批采購(gòu)量的1.5倍，但每千克面粉價(jià)格提高了0.4元．設(shè)第一批面粉采購(gòu)量為x千克，依題意所列方程正確的是（

）A．96001.5x?6000x=0.4 B．9600x【答案】A【分析】表示出第二批面粉的采購(gòu)量，根據(jù)“每千克面粉價(jià)格提高了0.4元”這一等量關(guān)系即可列方程．【詳解】設(shè)第一批面粉采購(gòu)量為x千克，則設(shè)第二批面粉采購(gòu)量為1.5x千克，根據(jù)題意，得9600故選：A【點(diǎn)睛】本題考查列方程解決實(shí)際問(wèn)題，找出題中的等量關(guān)系列出方程是解題的關(guān)鍵．4．（2023·四川·中考真題）近年來(lái)，我市大力發(fā)展交通，建成多條快速通道，小張開(kāi)車(chē)從家到單位有兩條路線(xiàn)可選擇，路線(xiàn)a為全程10千米的普通道路，路線(xiàn)b包含快速通道，全程7千米，走路線(xiàn)b比路線(xiàn)a平均速度提高40%，時(shí)間節(jié)省10分鐘，求走路線(xiàn)a和路線(xiàn)b的平均速度分別是多少？設(shè)走路線(xiàn)a的平均速度為xA．10x?7C．71+40%x【答案】A【分析】若設(shè)路線(xiàn)a時(shí)的平均速度為x千米/小時(shí)，則走路線(xiàn)b時(shí)的平均速度為1+40%x千米/小時(shí)，根據(jù)路線(xiàn)b的全程比路線(xiàn)【詳解】解：由題意可得走路線(xiàn)b時(shí)的平均速度為1+40%∴10x故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出分式方程，找到關(guān)鍵描述語(yǔ)，找到合適的等量關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．?題型02利用分式方程解決實(shí)際問(wèn)題1．（2024·黑龍江大慶·一模）從2007年到2024年，經(jīng)過(guò)17年的沖刺，中國(guó)高鐵技術(shù)迅疾跨入世界領(lǐng)先行列．2024年某“G”次等級(jí)列車(chē)行駛420km的里程，它的平均速度是2007年普通“Z”等級(jí)列車(chē)的73倍，所用的時(shí)間比2007年普通“Z”等級(jí)列車(chē)少2小時(shí)．求某次“【答案】280【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用，設(shè)2007年普通Z等級(jí)列車(chē)的平均速度為xkm/h，則2024年G等級(jí)列車(chē)平均速度為7【詳解】解：設(shè)2007年普通Z等級(jí)列車(chē)的平均速度為xkm/h，則2024年G根據(jù)題意得，4207即180x解得x=120，經(jīng)檢驗(yàn)，x=120是原方程的解，且符合題意，∴7答：某次G等級(jí)列車(chē)列車(chē)2024年的平均速度為280km2．（2024·山東青島·中考真題）為培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，提高學(xué)生的動(dòng)手能力，某校計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)一批航空、航海模型．已知商場(chǎng)某品牌航空模型的單價(jià)比航海模型的單價(jià)多35元，用2000元購(gòu)買(mǎi)航空模型的數(shù)量是用1800元購(gòu)買(mǎi)航海模型數(shù)量的45(1)求航空和航海模型的單價(jià)；(2)學(xué)校采購(gòu)時(shí)恰逢該商場(chǎng)“六一兒童節(jié)”促銷(xiāo)：航空模型八折優(yōu)惠．若購(gòu)買(mǎi)航空、航海模型共120個(gè)，且航空模型數(shù)量不少于航海模型數(shù)量的12【答案】(1)航空模型的單價(jià)為125元，則航海模型的單價(jià)為90元；(2)當(dāng)購(gòu)買(mǎi)航空模型40個(gè)，購(gòu)買(mǎi)航海模型80個(gè)時(shí)，學(xué)?；ㄙM(fèi)最少【分析】本題主要考查了分式方程的實(shí)際應(yīng)用，一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，一元一次不等式的實(shí)際應(yīng)用：（1）設(shè)航空模型的單價(jià)為x元，則航海模型的單價(jià)為x?35元，根據(jù)用2000元購(gòu)買(mǎi)航空模型的數(shù)量是用1800元購(gòu)買(mǎi)航海模型數(shù)量的45（2）設(shè)購(gòu)買(mǎi)航空模型m個(gè)，花費(fèi)為y元，則購(gòu)買(mǎi)航海模型120?m個(gè)，先根據(jù)航空模型數(shù)量不少于航海模型數(shù)量的12列出不等式求出m的取值范圍，再列出y關(guān)于m【詳解】（1）解：設(shè)航空模型的單價(jià)為x元，則航海模型的單價(jià)為x?35元，由題意得，2000x解得x=125，檢驗(yàn)，當(dāng)x=125時(shí)，xx?35∴x=125是原方程的解，且符合題意，∴x?35=90，答：航空模型的單價(jià)為125元，則航海模型的單價(jià)為90元；（2）解：設(shè)購(gòu)買(mǎi)航空模型m個(gè)，花費(fèi)為y元，則購(gòu)買(mǎi)航海模型120?m個(gè)，由題意得，m≥1解得m≥40，y=125×0.8m+90120?m∵10>0，∴y隨m增大而增大，∴當(dāng)m=40時(shí)，y有最小值，最小值為10×40+10800=11200，此時(shí)有120?m=80，答：當(dāng)購(gòu)買(mǎi)航空模型40個(gè)，購(gòu)買(mǎi)航海模型80個(gè)時(shí)，學(xué)校花費(fèi)最少．3．（2023·江蘇南通·中考真題）為推進(jìn)全民健身設(shè)施建設(shè)，某體育中心準(zhǔn)備改擴(kuò)建一塊運(yùn)動(dòng)場(chǎng)地．現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)參與施工，具體信息如下：信息—工程隊(duì)每天施工面積（單位：m2每天施工費(fèi)用（單位：元）甲x+3003600乙x2200信息二甲工程隊(duì)施工1800m2所需天數(shù)與乙工程隊(duì)施工(1)求x的值；(2)該工程計(jì)劃先由甲工程隊(duì)單獨(dú)施工若干天，再由乙工程隊(duì)單獨(dú)繼續(xù)施工，兩隊(duì)共施工22天，且完成的施工面積不少于15000m【答案】(1)x的值為600(2)該段時(shí)間內(nèi)體育中心至少需要支付施工費(fèi)用56800元【分析】（1）根據(jù)題意甲工程隊(duì)施工1800m2所需天數(shù)與乙工程隊(duì)施工（2）設(shè)甲工程隊(duì)先單獨(dú)施工a天，體育中心共支付施工費(fèi)用w元，根據(jù)先由甲工程隊(duì)單獨(dú)施工若干天，再由乙工程隊(duì)單獨(dú)繼續(xù)施工，兩隊(duì)共施工22天，且完成的施工面積不少于1500m【詳解】（1）解：由題意列方程，得1800x+300方程兩邊乘xx+300，得1800x=1200x解得x=600．檢驗(yàn)：當(dāng)x=600時(shí)，xx+300所以，原分式方程的解為x=600．答：x的值為600．（2）解：設(shè)甲工程隊(duì)先單獨(dú)施工a天，體育中心共支付施工費(fèi)用w元．則w=3600a+220022?a∵600+300a+600∴a≥6．∵1400>0，∴w隨a的增大而增大．∴當(dāng)a=6時(shí)，w取得最小值，最小值為56800．答：該段時(shí)間內(nèi)體育中心至少需要支付施工費(fèi)用56800元．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式方程的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用以及一次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．4．（2023·寧夏·中考真題）“人間煙火味，最撫凡人心”，地?cái)偨?jīng)濟(jì)、小店經(jīng)濟(jì)是就業(yè)崗位的重要來(lái)源．某經(jīng)營(yíng)者購(gòu)進(jìn)了A型和B型兩種玩具，已知用520元購(gòu)進(jìn)A型玩具的數(shù)量比用175元購(gòu)進(jìn)B型玩具的數(shù)量多30個(gè)，且A型玩具單價(jià)是B型玩具單價(jià)的1.6倍．(1)求兩種型號(hào)玩具的單價(jià)各是多少元？根據(jù)題意，甲、乙兩名同學(xué)分別列出如下方程：甲：5201.6x=175x+30乙：520x=1.6×175x?30，解得則甲所列方程中的x表示_______，乙所列方程中的x表示_______；(2)該經(jīng)營(yíng)者準(zhǔn)備用1350元以原單價(jià)再次購(gòu)進(jìn)這兩種型號(hào)的玩具共200個(gè)，則最多可購(gòu)進(jìn)A型玩具多少個(gè)？【答案】(1)B型玩具的單價(jià)；購(gòu)買(mǎi)A型玩具的數(shù)量(2)最多購(gòu)進(jìn)A型玩具116個(gè)【分析】（1）根據(jù)方程表示的意義，進(jìn)行作答即可；（2）設(shè)最多購(gòu)進(jìn)A型玩具a個(gè)，根據(jù)題意，列出方程進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：對(duì)于甲：5201.6x=175x+30∴5201.6x,175x分別表示∴x表示B型玩具的單價(jià)；對(duì)于乙：520x=1.6×175x?30表示的是：A型玩具單價(jià)是∴520x,175x?30，分別表示表示∴x表示購(gòu)買(mǎi)A型玩具的數(shù)量；故答案為：B型玩具的單價(jià)；購(gòu)買(mǎi)A型玩具的數(shù)量（2）設(shè)購(gòu)進(jìn)A型玩具a個(gè)，則購(gòu)買(mǎi)B型玩具200?a個(gè)，由（1）中甲同學(xué)所列方程的解可知：B型玩具的單價(jià)為5元，則A型玩具的單價(jià)為5×1.6=8元，由題意，得：8a+5200?a解得：a≤350∵a為整數(shù)，∴a=116；答：最多購(gòu)進(jìn)A型玩具116個(gè)．【點(diǎn)睛】本題考查分式方程和一元一次不等式的應(yīng)用．讀懂題意，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確的列出方程和不等式，是解題的關(guān)鍵．QUOTE?題型03分式方程的應(yīng)用與函數(shù)的綜合運(yùn)用1．（2023·湖北武漢·中考真題）我國(guó)古代數(shù)學(xué)經(jīng)典著作《九章算術(shù)》記載：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，問(wèn)幾何步及之？”如圖是善行者與不善行者行走路程s（單位：步）關(guān)于善行者的行走時(shí)間t的函數(shù)圖象，則兩圖象交點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是．

【答案】250【分析】設(shè)圖象交點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是m，由“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．”可知不善行者的速度是善行者速度的35【詳解】解：設(shè)圖象交點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是m，由“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．”可知不善行者的速度是善行者速度的35∴m?100m解得m=250，經(jīng)檢驗(yàn)m=250是方程的根且符合題意，∴兩圖象交點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是250．故答案為：250【點(diǎn)睛】此題考查了從函數(shù)圖象獲取信息、列分式方程解決實(shí)際問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合和準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．2．（2023·內(nèi)蒙古·中考真題）端午節(jié)吃粽子是中華民族的傳統(tǒng)習(xí)俗．市場(chǎng)上豆沙粽禮盒的進(jìn)價(jià)比肉粽禮盒的進(jìn)價(jià)每盒便宜10元，某商家用2500元購(gòu)進(jìn)的肉粽和用2000元購(gòu)進(jìn)的豆沙粽盒數(shù)相同．

(1)求每盒肉粽和每盒豆沙粽的進(jìn)價(jià)；(2)商家計(jì)劃只購(gòu)買(mǎi)豆沙粽禮盒銷(xiāo)售，經(jīng)調(diào)查了解到有A，B兩個(gè)廠家可供選擇，兩個(gè)廠家針對(duì)價(jià)格相同的豆沙粽禮盒給出了不同的優(yōu)惠方案：A廠家：一律打8折出售．B廠家：若一次性購(gòu)買(mǎi)禮盒數(shù)量超過(guò)25盒，超過(guò)的部分打7折．該商家計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)豆沙粽禮盒x盒，設(shè)去A廠家購(gòu)買(mǎi)應(yīng)付y1元，去B廠家購(gòu)買(mǎi)應(yīng)付y①分別求出y1，y2與②若該商家只在一個(gè)廠家購(gòu)買(mǎi)，怎樣買(mǎi)劃算？【答案】(1)每盒肉粽和每盒豆沙粽的進(jìn)價(jià)分別為50元和40元(2)①y1=32x（x≥0且x為整數(shù)）；y2=40x0≤x≤25且x為整數(shù)【分析】（1）設(shè)每盒豆沙粽的進(jìn)價(jià)為a元，則每盒肉粽的進(jìn)價(jià)為a+10元，列分式方程求解即可；（2）①根據(jù)售價(jià)與數(shù)量、單價(jià)間的關(guān)系即可列一次函數(shù)得解；②由y1=y2得【詳解】（1）解：設(shè)每盒豆沙粽的進(jìn)價(jià)為a元，則每盒肉粽的進(jìn)價(jià)為a+10元2000方程兩邊乘aa+10，得解得a=40檢驗(yàn)：當(dāng)a=40時(shí)，a∴a=40是原方程的解a+10=50答：每盒肉粽和每盒豆沙粽的進(jìn)價(jià)分別為50元和40元．（2）解：①y1=40×80%x=32x（當(dāng)0≤x≤25且x為整數(shù)時(shí)，y當(dāng)x>25且x為整數(shù)時(shí)，y∴y②當(dāng)x>25且x為整數(shù)，y1=x=75由圖象可知：購(gòu)買(mǎi)粽子禮盒少于75盒，去A廠家購(gòu)買(mǎi)劃算；購(gòu)買(mǎi)粽子禮盒等于75盒，去A廠家或B廠家購(gòu)買(mǎi)一樣劃算；購(gòu)買(mǎi)粽子禮盒多于75盒，去B廠家購(gòu)買(mǎi)劃算．【點(diǎn)睛】本題考查了求一次函數(shù)得解析式，分式方程的應(yīng)用以及一次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，正確找出等量關(guān)系列分式方程是解題的關(guān)鍵．3．（2023·四川涼山·一模）某班家委會(huì)討論決定購(gòu)買(mǎi)A，B兩種型號(hào)的口罩供班級(jí)學(xué)生使用，已知A型口罩每包價(jià)格a元，B型口罩每包價(jià)格比A型少4元，180元錢(qián)購(gòu)買(mǎi)的A型口罩比B型口罩少12包．

(1)求a的值．(2)經(jīng)與商家協(xié)商，購(gòu)買(mǎi)A型口罩價(jià)格可以?xún)?yōu)惠，其中每包價(jià)格y（元）和購(gòu)買(mǎi)數(shù)量x（包）的函數(shù)關(guān)系如圖所示，B型口罩一律按原價(jià)銷(xiāo)售．①求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；②若家委會(huì)計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)A型、B型共計(jì)100包，其中A型不少于30包，且不超過(guò)60包．問(wèn)購(gòu)買(mǎi)A型口罩多少包時(shí)，購(gòu)買(mǎi)口罩的總金額最少，最少為多少元？【答案】(1)10(2)①y=100<x≤30?0.1x+13【分析】（1）根據(jù)題意，可以得到相應(yīng)的分式方程，從而可以得到a的值；（2）①根據(jù)函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)，可以得到y(tǒng)關(guān)于x的函數(shù)解析式；②根據(jù)題意和①中的結(jié)果，可以得到購(gòu)買(mǎi)A型口罩多少包時(shí)，購(gòu)買(mǎi)口罩的總金額最少，最少為多少元．【詳解】（1）解：由題意可得，180a?4解得，a1經(jīng)檢驗(yàn)，a1但a2∴a=10．（2）解：①由圖象可得，當(dāng)0<x≤30時(shí)，y=10，當(dāng)30<x≤50時(shí)，設(shè)y=kx+b，代入30,1030k+b=1050k+b=8，得k=?0.1即當(dāng)30<x≤50時(shí)，y=?0.1x+13，當(dāng)x>50時(shí)，y=8，由上可得，y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=10②設(shè)購(gòu)買(mǎi)A型口罩x包，則購(gòu)買(mǎi)B型口罩100?x包，購(gòu)買(mǎi)的總金額為W元，當(dāng)30≤x≤50時(shí)，W=x=?0.1x?35∴當(dāng)x=50時(shí)，W取得最小值，此時(shí)W=700，當(dāng)50<x≤60時(shí)，W=8x+6（∵k=2>0，∴W隨著x的增大而增大，∴700<W≤720，由上可得，購(gòu)買(mǎi)口罩的最小金額為700元，答：購(gòu)買(mǎi)A型口罩50包時(shí)，購(gòu)買(mǎi)口罩的總金額最少，最少為700元．【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的應(yīng)用，二次函數(shù)的應(yīng)用、一次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用一次函數(shù)的性質(zhì)和二次函數(shù)的性質(zhì)解答．4．（2024河源市一模）碼頭工人往一艘輪船上裝載貨物，裝完貨物所需時(shí)間ymin與裝載速度x（噸/min(1)求y與x之間的函數(shù)表達(dá)式；(2)這批貨的質(zhì)量是多少？(3)輪船到達(dá)目的地后開(kāi)始卸貨，因任務(wù)緊需加快卸貨速度，這樣比原定卸貨速度每分鐘提高了50%【答案】(1)y=(2)600噸(3)原定速度每分鐘卸貨5噸．【分析】（1）由x（噸/分鐘）代表裝載速度，y（分鐘）代表裝完貨物所需時(shí)間，則貨物的質(zhì)量為xy.設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=kx，把點(diǎn)(1.5,400)代入求出k的值，即可得到（2）由（1）即可得到這批貨的質(zhì)量；（3）設(shè)原定速度每分鐘卸貨m噸，這樣實(shí)際卸貨速度為每分鐘1+50%【詳解】（1）解：∵x（噸/分鐘）代表裝載速度，y（分鐘）代表裝完貨物所需時(shí)間，∴貨物的質(zhì)量為xy.設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=k把(1.5,400)代入得，這批貨物的質(zhì)量為由xy=600，得∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=600（2）由（1）可知，這批貨物的質(zhì)量為1.5×400=600（噸）；（3）設(shè)原定速度每分鐘卸貨m噸，這樣實(shí)際卸貨速度為每分鐘1+50%600m解得m=5,經(jīng)檢驗(yàn)m=5是原方程的根且符合題意．∴原定速度每分鐘卸貨5噸．【點(diǎn)睛】此題考查了從函數(shù)圖象獲取信息，求函數(shù)表達(dá)式，分式方程的應(yīng)用等知識(shí)，讀懂題意，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．5．（2023·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）按要求解答(1)某市計(jì)劃修建一條隧道，已知隧道全長(zhǎng)2400米，一工程隊(duì)在修了1400米后，加快了工作進(jìn)度，每天比原計(jì)劃多修5米，結(jié)果提前10天完成，求原計(jì)劃每天修多長(zhǎng)？(2)隧道建成后的截面圖如圖所示，它可以抽象成如圖所示的拋物線(xiàn)．已知兩個(gè)車(chē)道寬度OC=OD=4米，人行道地基AC，BD寬均為2米，拱高OM=10.8米．建立如圖所示的直角坐標(biāo)系．①此拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式為_(kāi)_______．（函數(shù)表達(dá)式用一般式表示）②按規(guī)定，車(chē)頂部與隧道頂部在豎直方向上的高度差至少0.5米，則此隧道限高_(dá)_______米．③已知人行道臺(tái)階CE，+【答案】(1)原計(jì)劃每天修20米(2)①y=?0.3x【分析】（1）設(shè)原計(jì)劃每天修x米，然后根據(jù)題意列分式方程求解即可；（2）①由題意可得E?4,0,F4,0,A?6,0,B6,0,M0,10.8，然后運(yùn)用待定系數(shù)法解答即可；②車(chē)的寬度為4米，令x=4時(shí)求得y=6，然后再減去0.5即可解答；③如圖：由CE，DF【詳解】（1）解：設(shè)原計(jì)劃每天修x米則根據(jù)題意可得：2400解得：x=?25或x=20經(jīng)檢驗(yàn)，x=20是分式方程的解．答：原計(jì)劃每天修20米．（2）解：①根據(jù)題意可得：C設(shè)拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式為y=a由題意可得：0=36a?6b+c0=36a+6b+c10.8=c所以?huà)佄锞€(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式為y=?0.3②∵車(chē)的寬度為4米，車(chē)從正中通過(guò)，∴令x=4時(shí)，y=?0.3×16+10.8=6，∴貨車(chē)安全行駛裝貨的最大高度為6?0.5=5.5（米）．③如圖：由CE，DF高均為0.3米，則點(diǎn)令y=0.3，則有：0.3=?0.3x2+10.8∴人行道臺(tái)階的寬度為：FG=∴人行道寬度設(shè)計(jì)達(dá)標(biāo)．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征等知識(shí)點(diǎn)，正確求得函數(shù)解析式是解答本題的關(guān)鍵．6．（2021·河南三門(mén)峽·二模）為加強(qiáng)公民的節(jié)水意識(shí)，合理利用水資源，某市對(duì)居民用水實(shí)行階梯水價(jià)．居民家庭每月用水量劃分為三個(gè)階梯，一、二、三級(jí)階梯用水的單價(jià)之比等于1:1.5:2．如圖，折線(xiàn)表示實(shí)行階梯水價(jià)后每月水費(fèi)y（元）與用水量x（m3）之間的函數(shù)關(guān)系．其中線(xiàn)段AB表示第二級(jí)階梯時(shí)y與x（1）寫(xiě)出點(diǎn)B的實(shí)際意義；（2）求線(xiàn)段AB所在直線(xiàn)的表達(dá)式；（3）某戶(hù)5月份繳水費(fèi)108元，求相應(yīng)用水量為多少立方米？【答案】（1）當(dāng)用水量為25m3時(shí)，所交水費(fèi)為90元；（2）y=【分析】（1）根據(jù)橫縱坐標(biāo)寫(xiě)出意義即可；（2）解法一：設(shè)第一階梯用水的單價(jià)為x元/m3，則第二階梯用水單價(jià)為1.5x元/m3，列方程組，求出解法二：設(shè)水費(fèi)為45元時(shí)用水量為xm3，列方程，求得A點(diǎn)坐標(biāo)，將（3）根據(jù)（2）的結(jié)論求得第一階梯水價(jià)和第三階梯水價(jià)，代入求解即可．【詳解】解：（1）B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為25，縱坐標(biāo)為90，結(jié)合題意：B的實(shí)際意義為：當(dāng)用水量為25m（2）解法一：設(shè)第一階梯用水的單價(jià)為x元/m3，則第二階梯用水單價(jià)為1.5x元設(shè)Aa,45則ax=45ax+1.5x解得：a=15x=3∴A設(shè)線(xiàn)段AB所在直線(xiàn)的表達(dá)式為y=kx+b，則：45=15k+b90=25k+b解得：k=9∴線(xiàn)段AB所在直線(xiàn)的表達(dá)式為y=9解法二：設(shè)水費(fèi)為45元時(shí)用水量為xm45x解得，x=15經(jīng)檢驗(yàn)，x=15是原方程的解．∴A設(shè)線(xiàn)段AB所在直線(xiàn)的表達(dá)式為y=kx+b，則：45=15k+b90=25k+b解得：k=9∴線(xiàn)段AB所在直線(xiàn)的表達(dá)式為y=9（3）設(shè)該戶(hù)5月份用水量為xm3，由已知條件得由（2）知，第一階梯水的單價(jià)為3元/m3，則第三階梯水的單價(jià)為6元根據(jù)題意，得90+6x?25解得，x=28．答：該用戶(hù)5月份用水量28m3【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組，分式方程，一次函數(shù)的綜合運(yùn)用，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，分段函數(shù)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．?題型04以真實(shí)問(wèn)題情境為背景考查分式方程的實(shí)際應(yīng)用1．（23-24八年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·期末）中國(guó)·哈爾濱冰雪大世界，始創(chuàng)于1999年，是由黑龍江省哈爾濱市政府為迎接千年慶典神州世紀(jì)游活動(dòng)，憑借哈爾濱的冰雪時(shí)節(jié)優(yōu)勢(shì)，而推出的大型冰雪藝術(shù)精品工程，展示了北方名城哈爾濱冰雪文化和冰雪旅游魅力．2024年在準(zhǔn)備冰雪大世界的建造時(shí)，需要取冰，現(xiàn)安排甲、乙兩個(gè)采冰隊(duì)共同完成．已知甲隊(duì)的工作效率是乙隊(duì)工作效率的1.5倍，甲隊(duì)取240立方米的冰比乙隊(duì)取同樣體積的冰少用2天．(1)甲、乙兩個(gè)采冰隊(duì)每天能采冰的體積分別是多少立方米？(2)如需40天采冰1840立方米．甲乙共同工作隊(duì)若干天后，甲另有任務(wù)，剩下的由乙隊(duì)獨(dú)立完成，為了能在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)完成任務(wù)，至少安排甲隊(duì)工作多少天？【答案】(1)甲、乙兩個(gè)采冰隊(duì)每天能采冰的體積分別是60立方米，40立方米；(2)至少安排甲隊(duì)工作4天．【分析】本題考查分式方程的應(yīng)用和一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，列出方程和不等式解決問(wèn)題．（1）設(shè)乙采冰隊(duì)每天能采冰的體積是x立方米，根據(jù)甲隊(duì)取240立方米的冰比乙隊(duì)取同樣體積的冰少用2天可得：240x（2）設(shè)安排甲隊(duì)工作m天，可得：60m+40×40≥1840，，即可解得答案．【詳解】（1）解：設(shè)乙采冰隊(duì)每天能采冰的體積是x立方米，則甲采冰隊(duì)每天能采冰的體積是1.5x立方米，根據(jù)題意得：240x解得：x=40，經(jīng)檢驗(yàn)：x=40是方程的解，∴1.5x=1.5×40=60，答：甲、乙兩個(gè)采冰隊(duì)每天能采冰的體積分別是60立方米，40立方米；（2）解：設(shè)安排甲隊(duì)工作m天，根據(jù)題意得：60m+40×40≥1840，解得m≥4，∴至少安排甲隊(duì)工作4天．2．（2024·內(nèi)蒙古·中考真題）2024年春晚吉祥物“龍辰辰”，以十二生肖龍的專(zhuān)屬漢字“辰”為名．某廠家生產(chǎn)大小兩種型號(hào)的“龍辰辰”，大號(hào)“龍辰辰”單價(jià)比小號(hào)“龍辰辰”單價(jià)貴15元，且用2400元購(gòu)進(jìn)小號(hào)“龍辰辰”的數(shù)量是用2200元購(gòu)進(jìn)大號(hào)“龍辰辰”數(shù)量的1.5倍，則大號(hào)“龍辰辰”的單價(jià)為元．某網(wǎng)店在該廠家購(gòu)進(jìn)了兩種型號(hào)的“龍辰辰”共60個(gè)，且大號(hào)“龍辰辰”的個(gè)數(shù)不超過(guò)小號(hào)“龍辰辰”個(gè)數(shù)的一半，小號(hào)“龍辰辰”售價(jià)為60元，大號(hào)“龍辰辰”的售價(jià)比小號(hào)“龍辰辰”的售價(jià)多30%．若兩種型號(hào)的“龍辰辰”全部售出，則該網(wǎng)店所獲最大利潤(rùn)為元．【答案】551260【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用、一元一次不等式組的應(yīng)用、一次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．設(shè)大號(hào)“龍辰辰”的單價(jià)為x元，則小號(hào)“龍辰辰”的單價(jià)為x?15元，根據(jù)題意建立分式方程，解方程即可得；設(shè)購(gòu)進(jìn)小號(hào)“龍辰辰”的數(shù)量為a個(gè)，則購(gòu)進(jìn)大號(hào)“龍辰辰”的數(shù)量為60?a個(gè)，先求出a的取值范圍，再設(shè)該網(wǎng)店所獲利潤(rùn)為w元，建立w關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式，利用一次函數(shù)的性質(zhì)求解即可得．【詳解】解：設(shè)大號(hào)“龍辰辰”的單價(jià)為x元，則小號(hào)“龍辰辰”的單價(jià)為x?15元，由題意得：2400x?15解得x=55，經(jīng)檢驗(yàn)，x=55是所列分式方程的解，所以大號(hào)“龍辰辰”的單價(jià)為55元，小號(hào)“龍辰辰”的單價(jià)為40元．設(shè)購(gòu)進(jìn)小號(hào)“龍辰辰”的數(shù)量為a個(gè)，則購(gòu)進(jìn)大號(hào)“龍辰辰”的數(shù)量為60?a個(gè)，由題意得：0<60?a≤1解得40≤a<60，設(shè)該網(wǎng)店所獲利潤(rùn)為w元，則w=60?40由一次函數(shù)的性質(zhì)可知，在40≤a<60內(nèi)，w隨a的增大而減小，則當(dāng)a=40時(shí)，w取得最大值，最大值為?3×40+1380=1260，即該網(wǎng)店所獲最大利潤(rùn)為1260元，故答案為：55；1260．3．（2024·河南開(kāi)封·一模）為踐行環(huán)保理念，守護(hù)綠水青山，某餐廳計(jì)劃從“2024中國(guó)國(guó)際生物降解材料展覽會(huì)（生物降解展）”采購(gòu)甲、乙兩種可降解的一次性餐具．已知甲種餐具的單價(jià)是乙種餐具單價(jià)的25(1)求甲、乙兩種餐具的單價(jià)．(2)如果采購(gòu)甲、乙兩種可降解的一次性餐具共20000套，其中甲種m套，乙種的套數(shù)不少于甲種的一半，一共需要w元，那么采購(gòu)甲種多少套時(shí)需要的采購(gòu)款最少？【答案】(1)甲種餐具的單價(jià)為0.2元/套，乙種餐具的單價(jià)為0.5元/套(2)13333套【分析】本題考查分式方程和一次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題．（1）設(shè)乙種餐具的單價(jià)為x元/套，則甲種餐具的單價(jià)為25（2