中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)提升第18講 等腰三角形(講義2考點(diǎn)+3命題點(diǎn)18種題型(含2種解題技巧))(原卷版)

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第四章三角形第18講等腰三角形（思維導(dǎo)圖+2考點(diǎn)+3命題點(diǎn)18種題型（含2種解題技巧））TOC\o"1-1"\n\h\z\u01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航02知識(shí)導(dǎo)圖·思維引航03考點(diǎn)突破·考法探究考點(diǎn)一等腰三角形考點(diǎn)二等邊三角形04題型精研·考向洞悉命題點(diǎn)一等腰三角形的性質(zhì)與判定?題型01分類討論思想在等腰三角形中的應(yīng)用?題型02根據(jù)等邊對(duì)等角求解或證明?題型03根據(jù)三線合一求解或證明?題型04在格點(diǎn)圖中畫等腰三角形?題型05根據(jù)等角對(duì)等邊求邊長?題型06根據(jù)等角對(duì)等邊證明?題型07確定構(gòu)成等腰三角形的點(diǎn)?題型08等腰三角形性質(zhì)與判定綜合命題點(diǎn)二等邊三角形的性質(zhì)與判定?題型01利用等邊三角形的性質(zhì)求解?題型02等邊三角形的判定?題型03等邊三角形性質(zhì)與判定綜合命題點(diǎn)三熱考題型匯總?題型01手拉手模型?題型02與等腰三角形有關(guān)的折疊問題?題型03與等腰三角形有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問題?題型04與等腰三角形有關(guān)的新定義問題?題型05與等腰三角形有關(guān)的規(guī)律探究問題?題型06與等腰三角形有關(guān)的多結(jié)論問題?題型07探究等腰三角形中存在的線段數(shù)量關(guān)系

01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航中考考點(diǎn)考查頻率新課標(biāo)要求等腰三角形★★理解等腰三角形的概念，探索并證明等腰三角形的性質(zhì)定理；探索并掌握等腰三角形的判定定理.等邊三角形★★探索等邊三角形的性質(zhì)定理及其判定定理.【考情分析】該板塊內(nèi)容重在掌握基本知識(shí)的基礎(chǔ)上靈活運(yùn)用，也是考查重點(diǎn)，年年都會(huì)考查，最為經(jīng)典的“手拉手”模型就是以等腰三角形為特征總結(jié)的.而數(shù)學(xué)中考中，等腰三角形單獨(dú)出題的可能性還是比較大的，多以選擇填空題型出現(xiàn)，但是因?yàn)榈妊切慰梢苑旁诤芏嗄Ｐ椭校缘妊切谓Y(jié)合其他考點(diǎn)出成壓軸題的幾率特別大，所占分值也是比較多，屬于是中考必考的中等偏上難度的考點(diǎn).02知識(shí)導(dǎo)圖·思維引航03考點(diǎn)突破·考法探究考點(diǎn)一等腰三角形定義：有兩條邊相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的兩條邊叫做腰，另一邊叫做底，兩腰所夾的角叫做頂角，底邊與腰的夾角叫做底角.【特殊】頂角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形，且它的兩個(gè)底角都為45°.【注意】等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）．等腰三角形性質(zhì)：1）等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，它有1條或3條對(duì)稱軸，①當(dāng)腰和底邊不相等的等腰三角形只有1條對(duì)稱軸，②當(dāng)腰和底邊不相等的等腰三角形只有3條對(duì)稱軸.2）等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡稱“等邊對(duì)等角”）.3）等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合.（簡稱“三線合一”）.【注意】“三線合一”的前提是等腰三角形，且必須是頂角的角平分線，底邊上的高和底邊上的中線.等腰三角形的判定：1）定義法：兩邊相等的三角形是等腰三角形；2）定理法：有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形，即這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡稱“等角對(duì)等邊”）.【總結(jié)】證明兩個(gè)角相等的方法：1）如果角在同一個(gè)三角形中，先考慮“等邊對(duì)等角”來證明.2）如果角不在同一個(gè)三角形中，可證明兩個(gè)三角形全等來解決.【易錯(cuò)易混】1）底角為頂角的2倍的等腰三角形非常特殊，其底角平分線將原等腰三角形分成兩個(gè)等腰三角形．（即頂角36°，底角72°）.2）等腰三角形的判定定理是證明兩條線段相等的重要依據(jù)，是把三角形中的角的相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的相等關(guān)系的重要依據(jù)．3）等腰三角形的邊有腰、底之分,角有頂角、底角之分,若題目中的邊沒有明確是底還是腰,角沒有明是頂角還是底角，需要分類討論.1．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）等腰三角形的兩邊長分別為6和2，則第三邊長為．2．（2024·四川·中考真題）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，按如下步驟作圖：①以點(diǎn)B為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交BA，BC于點(diǎn)D，E；②分別以點(diǎn)D，E為圓心，大于12DE長為半徑畫弧，兩弧在∠ABC的內(nèi)部相交于點(diǎn)F，作射線BF交AC于點(diǎn)G．則∠ABG的大小為3．（2024·云南·中考真題）已知AF是等腰△ABC底邊BC上的高，若點(diǎn)F到直線AB的距離為3，則點(diǎn)F到直線AC的距離為（

）A．32 B．2 C．3 D．4．（2024·浙江·中考真題）如圖，D，E分別是△ABC邊AB，AC的中點(diǎn)，連接BE，DE．若∠AED=∠BEC,DE=2，則BE的長為

5．（2023·吉林·中考真題）圖①、圖②、圖③均是5×5的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，線段AB的端點(diǎn)均在格點(diǎn)上．在圖①、圖②、圖③中以AB為邊各畫一個(gè)等腰三角形，使其依次為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形，且所畫三角形的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上．

考點(diǎn)二等邊三角形定義：三條邊都相等的三角形叫等邊三角形，它是特殊的等腰三角形.等邊三角形的性質(zhì)：1）等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，并且有3條對(duì)稱軸；2）等邊三角形的三條邊相等；3）三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每個(gè)內(nèi)角都是60°.等邊三角形的判定：1）定義法：三邊相等的三角形是等邊三角形；2）三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形.3）有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形.【補(bǔ)充】1）等邊三角形具有等腰三角形的一切性質(zhì).2）等邊三角形的內(nèi)心、外心、重心和垂心重合．3）在等腰三角形中，只要有一個(gè)角是60°，無論這個(gè)角是頂角還是底角，這個(gè)三角形就是等邊三角形．4）等邊三角形面積的求解方法：S正三角形=31．（2024·遼寧·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E在AD上，當(dāng)△EBC是等邊三角形時(shí)，∠AEB為（

）A．30° B．45° C．60° D．120°2．（2024·山東泰安·中考真題）如圖，直線l∥m，等邊三角形ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)B，C分別落在直線l，m上，若∠ABE=21°，則∠ACD的度數(shù)是（A．45° B．39° C．29° D．21°3．（2024·四川·中考真題）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，OA=1，則AB的長為（

）A．2 B．3 C．1 D．14．（2024·青?！ぶ锌颊骖}）如圖，在Rt△ABC中，D是AC的中點(diǎn)，∠BDC=60°，AC=6，則BC的長是（

A．3 B．6 C．3 D．35．（2023·福建·中考真題）如圖，在菱形ABCD中，AB=10，∠B=60°，則AC的長為

04題型精研·考向洞悉命題點(diǎn)一等腰三角形的性質(zhì)與判定?題型01分類討論思想在等腰三角形中的應(yīng)用等腰三角形的邊有腰、底之分,角有頂角、底角之分,若題目中的邊沒有明確是底還是腰,角沒有明是頂角還是底角，需要分類討論.【易錯(cuò)點(diǎn)】注意所求結(jié)果需滿足三角形三邊關(guān)系.1．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）等腰三角形的兩邊長分別是方程x2A．17或13 B．13或21 C．17 D．132．（2022·四川廣安·中考真題）若（a﹣3）2+b?5=0，則以a、b為邊長的等腰三角形的周長為．3．（2024·湖南長沙·模擬預(yù)測(cè)）若等腰三角形的周長是10cm，其中一邊長是2A．2cm B．4cm C．6cm4．（2024·上?！つM預(yù)測(cè)）等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為91°，隨機(jī)選取1個(gè)內(nèi)角，度數(shù)為5．（2024·四川達(dá)州·模擬預(yù)測(cè)）一個(gè)等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為36°，則此三角形頂角度數(shù)為．QUOTEQUOTEQUOTE?題型02根據(jù)等邊對(duì)等角求解或證明1．（2024·甘肅蘭州·中考真題）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=130°，DA⊥AC，則∠ADB=（

）A．100° B．115° C．130° D．145°2．（2024·陜西·中考真題）如圖，BC是⊙O的弦，連接OB，OC，∠A是BC所對(duì)的圓周角，則∠A與∠OBC的和的度數(shù)是．

3．（2024·山西·中考真題）如圖1是一個(gè)可調(diào)節(jié)的電腦桌，它的工作原理是利用液體在封閉的管路中傳遞力和能量．圖2是將其正面抽象成的圖形，其中桌面AB與底座CD平行，等長的支架AD,BC交于它們的中點(diǎn)E，液壓桿FG∥BC．若∠BAE=53°，則∠GFD的度數(shù)為（

）A．127° B．106° C．76° D．74°4．（2024·重慶渝北·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，若CA=6,CB=8，CD為△ABC的中線，點(diǎn)E在邊AC上(不與端點(diǎn)重合)，BE與CD交于點(diǎn)F，若EC=EF，則DF=．?題型03根據(jù)三線合一求解或證明1．（2024·四川雅安·中考真題）如圖，在△ABC和△ADE中，AB=AC，∠BAC=∠DAE=40°，將△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，當(dāng)AD⊥BC時(shí)，∠BAE的度數(shù)是．2．（2024·廣東廣州·中考真題）如圖，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=6，D為邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，AC上，AE=CF，則四邊形AEDF的面積為（

）A．18 B．92 C．9 D．4．（2024·甘肅臨夏·中考真題）如圖，在△ABC中，AB=AC=5，sinB=45，則BCA．3 B．6 C．8 D．94．（2024·福建·中考真題）小明用兩個(gè)全等的等腰三角形設(shè)計(jì)了一個(gè)“蝴蝶”的平面圖案．如圖，其中△OAB與△ODC都是等腰三角形，且它們關(guān)于直線l對(duì)稱，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是底邊AB，CD的中點(diǎn)，OE⊥OF．下列推斷錯(cuò)誤的是（

）A．OB⊥OD B．∠BOC=∠AOBC．OE=OF D．∠BOC+∠AOD=180°5．（2023·遼寧沈陽·中考真題）如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是BC邊上的中線，點(diǎn)E在DA的延長線上，連接BE，過點(diǎn)C作CF∥BE交AD的延長線于點(diǎn)F，連接BF、CE，求證：四邊形

QUOTEQUOTEQUOTEQUOTEQUOTE?題型04在格點(diǎn)圖中畫等腰三角形1．（2021·吉林·中考真題）圖①、圖2均是4×4的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，小正方形的邊長為1，點(diǎn)A，點(diǎn)B均在格點(diǎn)上，在給定的網(wǎng)格中按要求畫圖，所畫圖形的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上．（1）在圖①中，以點(diǎn)A，B，C為頂點(diǎn)畫一個(gè)等腰三角形；（2）在圖②中，以點(diǎn)A，B，D，E為頂點(diǎn)畫一個(gè)面積為3的平行四邊形．2．（2021·江蘇揚(yáng)州·中考真題）如圖，在4×4的正方形網(wǎng)格中有兩個(gè)格點(diǎn)A、B，連接AB，在網(wǎng)格中再找一個(gè)格點(diǎn)C，使得△ABC是等腰直角三角形，滿足條件的格點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是（

）

A．2 B．3 C．4 D．53．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）如圖，網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長均為1，線段AB、線段EF的端點(diǎn)均在小正方形的頂點(diǎn)上．(1)在圖中畫以EF為斜邊的等腰直角△DEF，點(diǎn)D在小正方形的格點(diǎn)上；(2)在（1）的條件下，在圖中以AB為邊畫Rt△BAC，點(diǎn)C在小正方形的格點(diǎn)上，使∠BAC=90°，且tan∠ACB=23，4．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在6×6的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上.按要求完成下列畫圖．(1)在圖1中畫出一個(gè)以AB為底的等腰△ABD，使SABD=SABC，點(diǎn)(2)在圖2中的邊AC上找一點(diǎn)E，連接BE，使BE⊥AC．(要求：用無刻度直尺，保留必要的畫圖痕跡，不寫畫法)QUOTE?題型05根據(jù)等角對(duì)等邊求邊長1．（2024·廣東廣州·中考真題）如圖，?ABCD中，BC=2，點(diǎn)E在DA的延長線上，BE=3，若BA平分∠EBC，則DE=．2．（2024·四川宜賓·中考真題）如圖，正五邊形ABCDE的邊長為4，則這個(gè)正五邊形的對(duì)角線AC的長是．

3．（2023·浙江·中考真題）如圖，在△ABC中，AC的垂直平分線交BC于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，∠B=∠ADB．若AB=4，則DC的長是．

4．（2022·江蘇淮安·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，點(diǎn)D是AC邊上的一點(diǎn)，過點(diǎn)D作DF∥AB，交BC于點(diǎn)F，作∠BAC的平分線交DF于點(diǎn)E，連接BE．若△ABE的面積是2，則DEEF的值是?題型06根據(jù)等角對(duì)等邊證明1．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）如圖，在△ABC中，∠C=90°,∠B=30°，以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧分別交AB,AC于點(diǎn)M和點(diǎn)N，再分別以點(diǎn)M,N為圓心，大于12MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P，連接AP并延長交BC于點(diǎn)D．若△ACD的面積為8，則△ABD的面積是（A．8 B．16 C．12 D．242．（2024·山東·中考真題）如圖，已知∠MAN，以點(diǎn)A為圓心，以適當(dāng)長為半徑作弧，分別與AM、AN相交于點(diǎn)B，C；分別以B，C為圓心，以大于12BC的長為半徑作弧，兩弧在∠MAN內(nèi)部相交于點(diǎn)P，作射線AP．分別以A，B為圓心，以大于12AB的長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)D，E，作直線DE分別與AB，AP相交于點(diǎn)F，Q．若AB=4，∠PQE=67.5°，則F到3．（2024·四川雅安·中考真題）如圖，把矩形紙片ABCD沿對(duì)角線BD折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，BE與AD交于點(diǎn)F，若AB=6，BC=8，則cos∠ABF的值是4．（2024·四川自貢·中考真題）如圖，在△ABC中，DE∥BC，(1)求證：∠BDF=∠A；(2)若∠A=45°，DF平分∠BDE，請(qǐng)直接寫出△ABC的形狀．?題型07確定構(gòu)成等腰三角形的點(diǎn)1．（2024·貴州畢節(jié)·一模）點(diǎn)A，B在直線l同側(cè)，若點(diǎn)C是直線l上的點(diǎn)，且△ABC是等腰三角形，則這樣的點(diǎn)C最多有（

）A．5個(gè) B．4個(gè) C．3個(gè) D．2個(gè)2．（2022·江蘇南京·一模）如圖，M，N是∠AOB的邊OA上的兩個(gè)點(diǎn)(OM＜ON)，∠AOB＝30°，OM＝a，MN＝4．若邊OB上有且只有1個(gè)點(diǎn)P，滿足△PMN是等腰三角形，則a的取值范圍是．3．（2023·四川綿陽·中考真題）如圖，過原點(diǎn)O的直線與反比例函數(shù)y1=kx(k≠0)的圖象交于A(1，2)，B兩點(diǎn)，一次函數(shù)y2

(1)求反比例函數(shù)的解析式；當(dāng)y1>y(2)在y軸上是否存在點(diǎn)M，使得△COM為等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

4．（2020·四川廣元·中考真題）如圖所示，一次函數(shù)y=kx+b的圖象與反比例函數(shù)y=mx的圖象交于（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；（2）在x軸上存在一點(diǎn)C，使△AOC為等腰三角形，求此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)；（3）根據(jù)圖象直接寫出使一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值的x的取值范圍．?題型08等腰三角形性質(zhì)與判定綜合1．（2024·江蘇南通·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=5．正方形DEFG的邊長為5，它的頂點(diǎn)D，E，G分別在△ABC的邊上，則BG的長為2．（2024·江蘇常州·中考真題）如圖，B、E、C、F是直線l上的四點(diǎn)，AC、DE相交于點(diǎn)G，AB=DF，AC=DE，BC=EF．(1)求證：△GEC是等腰三角形；(2)連接AD，則AD與l的位置關(guān)系是________．3．（2024·山東威?！ぶ锌颊骖}）感悟如圖1，在△ABE中，點(diǎn)C，D在邊BE上，AB=AE，BC=DE．求證：∠BAC=∠EAD．應(yīng)用（1）如圖2，用直尺和圓規(guī)在直線BC上取點(diǎn)D，點(diǎn)E（點(diǎn)D在點(diǎn)E的左側(cè)），使得∠EAD=∠BAC，且DE=BC（不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）如圖3，用直尺和圓規(guī)在直線AC上取一點(diǎn)D，在直線BC上取一點(diǎn)E，使得∠CDE=∠BAC，且DE=AB（不寫作法，保留作圖痕跡）．4．（2024·江蘇南通·中考真題）綜合與實(shí)踐：九年級(jí)某學(xué)習(xí)小組圍繞“三角形的角平分線”開展主題學(xué)習(xí)活動(dòng)．【特例探究】（1）如圖①，②，③是三個(gè)等腰三角形（相關(guān)條件見圖中標(biāo)注），列表分析兩腰之和與兩腰之積．等腰三角形兩腰之和與兩腰之積分析表圖序角平分線AD的長∠BAD的度數(shù)腰長兩腰之和兩腰之積圖①160°244圖②145°222圖③130°__________________請(qǐng)補(bǔ)全表格中數(shù)據(jù)，并完成以下猜想．已知△ABC的角平分線AD=1，AB=AC，∠BAD=α，用含α的等式寫出兩腰之和AB+AC與兩腰之積AB?AC之間的數(shù)量關(guān)系：______．【變式思考】（2）已知△ABC的角平分線AD=1，∠BAC=60°，用等式寫出兩邊之和AB+AC與兩邊之積AB?AC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【拓展運(yùn)用】（3）如圖④，△ABC中，AB=AC=1，點(diǎn)D在邊AC上，BD=BC=AD．以點(diǎn)C為圓心，CD長為半徑作弧與線段BD相交于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作任意直線與邊AB，BC分別交于M，N兩點(diǎn)．請(qǐng)補(bǔ)全圖形，并分析1BM命題點(diǎn)二等邊三角形的性質(zhì)與判定?題型01利用等邊三角形的性質(zhì)求解1．（2024·黑龍江大慶·中考真題）如圖所示的曲邊三角形也稱作“萊洛三角形”，它可以按下述方法作出：作等邊三角形ABC；分別以點(diǎn)A，B，C為圓心，以AB的長為半徑作BC，AC，AB．三段弧所圍成的圖形就是一個(gè)曲邊三角形．若該“萊洛三角形”的周長為3π，則它的面積是2．（2024·甘肅蘭州·中考真題）如圖，四邊形ABCD為正方形，△ADE為等邊三角形，EF⊥AB于點(diǎn)F，若AD=4，則EF=．3．（2024·山東濰坊·中考真題）如圖，在直角坐標(biāo)系中，等邊三角形ABC的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為0,4，點(diǎn)B,C均在x軸上．將△ABC繞頂點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到△AB'C'，則點(diǎn)4．（2024·四川自貢·中考真題）如圖，等邊△ABC鋼架的立柱CD⊥AB于點(diǎn)D，AB長12m．現(xiàn)將鋼架立柱縮短成DE，∠BED=60°．則新鋼架減少用鋼（

A．24?123m B．24?83m C．?題型02等邊三角形的判定1．（2022·浙江嘉興·中考真題）小曹同學(xué)復(fù)習(xí)時(shí)將幾種三角形的關(guān)系整理如圖，請(qǐng)幫他在橫線上填上一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件．2．（2022·青海西寧·中考真題）如圖，∠MON=60°，以點(diǎn)O為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交OM于點(diǎn)A，交ON于點(diǎn)B；分別以點(diǎn)A，B為圓心，大于12AB的長為半徑畫弧，兩弧在∠MON的內(nèi)部相交于點(diǎn)P，畫射線OP；連接AB，AP，BP，過點(diǎn)P作PE⊥OM于點(diǎn)E，PF⊥ON于點(diǎn)F．則以下結(jié)論錯(cuò)誤的是（

A．△AOB是等邊三角形 B．PE=PFC．△PAE≌△PBF D．四邊形OAPB是菱形3．（2020·山西·中考真題）中國美食講究色香味美，優(yōu)雅的擺盤造型也會(huì)讓美食錦上添花．圖①中的擺盤，其形狀是扇形的一部分，圖②是其幾何示意圖（陰影部分為擺盤），通過測(cè)量得到AC=BD=12cm，C，D兩點(diǎn)之間的距離為4cm，圓心角為60°，則圖中擺盤的面積是（

）A．80πcm2 B．40πcm2 C．4．（2020·四川雅安·中考真題）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于圓，∠ABC=60°，對(duì)角線BD平分∠ADC．（1）求證：△ABC是等邊三角形；（2）過點(diǎn)B作BE//CD交DA的延長線于點(diǎn)E，若AD=2，DC=3，求QUOTE?題型03等邊三角形性質(zhì)與判定綜合1．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，以點(diǎn)A為圓心，AB長為半徑畫弧，交BC邊于點(diǎn)E，連接AE，AB=1，∠D=60°，則BE的長l=（結(jié)果保留π）．2．（2024·海南·中考真題）如圖，AD是半圓O的直徑，點(diǎn)B、C在半圓上，且AB=BC=CD，點(diǎn)P在CD上，若∠PCB=130°，則A．105° B．100° C．90° D．70°3．（2024·湖北·中考真題）如圖，由三個(gè)全等的三角形(△ABE，△BCF，△CAD)與中間的小等邊三角形DEF拼成一個(gè)大等邊三角形ABC．連接BD并延長交AC于點(diǎn)G，若AE=ED=2，則：（1）∠FDB的度數(shù)是；（2）DG的長是．4．（2023·北京·中考真題）如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)E，BD平分∠ABC，∠BAC=∠ADB．

(1)求證DB平分∠ADC，并求∠BAD的大??；(2)過點(diǎn)C作CF∥AD交AB的延長線于點(diǎn)F．若AC=AD，命題點(diǎn)三熱考題型匯總?題型01手拉手模型常見模型種類：等腰三角形

手拉手模型等邊三角形

手拉手模型等腰直角三角形

手拉手模型正方形手拉手模型【小結(jié)】1）頭頂頭，左手拉左手，右手拉右手，那么，頭左左≌頭右右.2）左手拉左手等于右手拉右手，即BD=CE或GD=BE.1．（2020·四川廣元·中考真題）如圖所示，△ABC,△ECD均為等邊三角形，邊長分別為5cm,3cm，B、C、D三點(diǎn)在同一條直線上，則下列結(jié)論正確的．（填序號(hào)）①AD=BE

②BE=7cm③△CFG為等邊三角形

④CM=137cm2．（2024·遼寧大連·一模）【模型定義】它是由兩個(gè)共頂點(diǎn)且頂角相等的等腰三角形構(gòu)成．在相對(duì)位置變化的同時(shí)，始終存在一對(duì)全等三角形．他們得知這種模型稱為“手拉手模型”如果把小等腰三角形的腰長看作是小手，大等腰三角形的腰長看作大手，兩個(gè)等腰三角形有公共頂點(diǎn)，類似大手拉著小手．【模型探究】（1）如圖1，若△ACB和△DCE均為等邊三角形，點(diǎn)A、D、E在同一條直線上，連接BE，則∠AEB的度數(shù)為；線段BE與AD之間的數(shù)量關(guān)系是．【模型應(yīng)用】（2）如圖2，AB=BC，∠ABC=∠BDC=60°，求證：AD+CD=BD；（3）如圖3，P為等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且PA：PB：PC=3：4：5，以BP為邊構(gòu)造等邊△BPM，這樣就有兩個(gè)等邊三角形共頂點(diǎn)【拓展提高】（4）如圖4，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=m°，點(diǎn)E為△ABC外一點(diǎn)，點(diǎn)D為BC中點(diǎn)，∠EBC=∠ACF，ED⊥FD，求∠EAF的度數(shù)．（用含有m的式子表示）（5）如圖5，兩個(gè)等腰直角三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE=90°，連接BD，CE，兩線交于點(diǎn)P，請(qǐng)證明BD和CE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系．3．（2024·河南駐馬店·二模）【問題發(fā)現(xiàn)】（1）在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，趙老師給出如下問題：“如圖1所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，∠BAC=90°，點(diǎn)D在BC上，連接AD，探究AD，BD，CD圖示思路

將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得線段AE，連接CE，DE，易證△ABD≌△ACE，得到BD=CE，∠ABD=∠ACE=45°，在Rt△DCE中，易得CD2+CE2【類比分析】（2）如圖2所示，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線上時(shí)，請(qǐng)問（1）中的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)給出判定，并寫出你的推導(dǎo)過程；【拓展延伸】（3）若（1）中的點(diǎn)D在射線CB上，且CD=3BD，請(qǐng)直接寫出

4．（2023·河南鄭州·二模）由兩個(gè)頂角相等且有公共頂角頂點(diǎn)的特殊多邊形組成的圖形，如果把它們的底角頂點(diǎn)連接起來，則在相對(duì)位置變化的過程中，始終存在一對(duì)全等三角形，我們把這種模型稱為“手拉手模型”．

(1)【問題發(fā)現(xiàn)】如圖1所示，兩個(gè)等腰直角三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE=90°，連接BD、CE，兩線交于點(diǎn)P，BD和CE的數(shù)量關(guān)系是；BD和CE的位置關(guān)系是；(2)【類比探究】如圖2所示，點(diǎn)P是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，分別以AP、BP為邊在AB的同側(cè)作正方形APCD與正方形PBEF，連接DE分別交線段BC、PC于點(diǎn)M、N．①求∠DMC的度數(shù)；②連接AC交DE于點(diǎn)H，直接寫出DHBC(3)【拓展延伸】如圖3所示，已知點(diǎn)C為線段AE上一點(diǎn)，AE=6，△ABC和△CDE為AE同側(cè)的兩個(gè)等邊三角形，連接BE交CD于N，連接AD交BC于M，連接MN，直接寫出線段MN的最大值．

5．（2022·青?！ぶ锌颊骖}）兩個(gè)頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角的頂點(diǎn)，并把它們的底角頂點(diǎn)連接起來，則形成一組全等的三角形，把具有這個(gè)規(guī)律的圖形稱為“手拉手”圖形.(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，若△ABC和△ADE是頂角相等的等腰三角形，BC，DE分別是底邊.求證：BD=CE；

圖1(2)解決問題：如圖2，若△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，點(diǎn)A，D，E在同一條直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE，請(qǐng)判斷∠AEB的度數(shù)及線段CM，AE，BE之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由.

圖2?題型02與等腰三角形有關(guān)的折疊問題1．（2024·海南·中考真題）如圖，矩形紙片ABCD中，AB=6，BC=8，點(diǎn)E、F分別在邊AD、BC上，將紙片ABCD沿EF折疊，使點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D'在邊BC上，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C'，則DE的最小值為，2．（2023·江蘇徐州·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°,CA=CB=3，點(diǎn)D在邊BC上．將△ACD沿AD折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)C'處，連接BC'，則

3．（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）小明同學(xué)手中有一張矩形紙片ABCD，AD=12cm，CD=10第一步，如圖①，將矩形紙片對(duì)折，使AD與BC重合，得到折痕MN，將紙片展平．第二步，如圖②，再一次折疊紙片，把△ADN沿AN折疊得到△AD'N，AD'交折痕MN于點(diǎn)EA．8cm B．16924cm C．1674．（2023·遼寧大連·中考真題）綜合與實(shí)踐問題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，王老師給同學(xué)們每人發(fā)了一張等腰三角形紙片探究折疊的性質(zhì)．已知AB=AC,∠A>90°，點(diǎn)E為AC上一動(dòng)點(diǎn)，將△ABE以BE為對(duì)稱軸翻折．同學(xué)們經(jīng)過思考后進(jìn)行如下探究：獨(dú)立思考：小明：“當(dāng)點(diǎn)D落在BC上時(shí)，∠EDC=2∠ACB．”小紅：“若點(diǎn)E為AC中點(diǎn)，給出AC與DC的長，就可求出BE的長．”實(shí)踐探究：奮進(jìn)小組的同學(xué)們經(jīng)過探究后提出問題1，請(qǐng)你回答：

問題1：在等腰△ABC中，AB=AC,∠A>90°,△BDE由△ABE翻折得到．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D落在BC上時(shí)，求證：∠EDC=2∠ACB；（2）如圖2，若點(diǎn)E為AC中點(diǎn)，AC=4,CD=3，求BE的長．問題解決：小明經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：若將問題1中的等腰三角形換成∠A<90°的等腰三角形，可以將問題進(jìn)一步拓展．問題2：如圖3，在等腰△ABC中，∠A<90°,AB=AC=BD=4,2∠D=∠ABD．若CD=1，則求BC的長．QUOTE?題型03與等腰三角形有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問題1．（2024·吉林·中考真題）如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=3cm，AD是△ABC的角平分線．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以3cm/s的速度沿折線AD?DB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．過點(diǎn)P作PQ∥AB，交AC于點(diǎn)Q，以PQ為邊作等邊三角形PQE，且點(diǎn)C，E在PQ同側(cè)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為tst>0，

(1)當(dāng)點(diǎn)P在線段AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，判斷△APQ的形狀（不必證明），并直接寫出AQ的長（用含t的代數(shù)式表示）．(2)當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，求t的值．(3)求S關(guān)于t的函數(shù)解析式，并寫出自變量t的取值范圍．2．（2024·江蘇徐州·中考真題）如圖，在?ABCD中，AB=6，AD=10，∠BAD=60°，P為邊AB上的動(dòng)點(diǎn)．連接PC，將PC繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到PE，過點(diǎn)E作EF∥AB，EF交直線AD于點(diǎn)F．連接PF、DE，分別取PF、DE的中點(diǎn)M、N，連接MN，交AD(1)若點(diǎn)P與點(diǎn)B重合，則線段MN的長度為______．(2)隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)，MN與AQ的長度是否發(fā)生變化？若不變，求出MN與AQ的長度；若改變，請(qǐng)說明理由．3．（2024·山東德州·中考真題）在△ABC中，AC=BC，∠ACB=120°，點(diǎn)D是AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與A，B重合），以點(diǎn)D為中心，將線段DC順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到線DE．(1)如圖1，當(dāng)∠ACD=15°時(shí)，求∠BDE的度數(shù)；(2)如圖2，連接BE，當(dāng)0°<∠ACD<90°時(shí)，∠ABE的大小是否發(fā)生變化？如果不變求，∠ABE的度數(shù)；如果變化，請(qǐng)說明理由；(3)如圖3，點(diǎn)M在CD上，且CM:MD=3:2，以點(diǎn)C為中心，將線CM逆時(shí)針轉(zhuǎn)120°得到線段CN，連接EN，若AC=4，求線段EN的取值范圍．4．（2023·重慶·中考真題）如圖，△ABC是邊長為4的等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別以每秒1個(gè)單位長度的速度同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，點(diǎn)E沿折線A→B→C方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F沿折線A→C→B方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)兩者相遇時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，點(diǎn)E，F(xiàn)的距離為y．

(1)請(qǐng)直接寫出y關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式并注明自變量t的取值范圍；(2)在給定的平面直角坐標(biāo)系中畫出這個(gè)函數(shù)的圖象，并寫出該函數(shù)的一條性質(zhì)；(3)結(jié)合函數(shù)圖象，寫出點(diǎn)E，F(xiàn)相距3個(gè)單位長度時(shí)t的值．70．（2022·江蘇蘇州·中考真題）定義：一個(gè)三角形的一邊長是另一邊長的2倍，這樣的三角形叫做“倍長三角形”．若等腰△ABC是“倍長三角形”，底邊BC的長為3，則腰AB的長為．?題型04與等腰三角形有關(guān)的新定義問題1．（2024·山東日照·二模）給出一個(gè)新定義：有兩個(gè)等腰三角形，如果它們的頂角相等、頂角頂點(diǎn)互相重合且其中一個(gè)等腰三角形的一個(gè)底角頂點(diǎn)在另一個(gè)等腰三角形的底邊上，那么這兩個(gè)等腰三角形互為“友好三角形”．(1)如圖①，△ABC和△ADE互為“友好三角形”，點(diǎn)D是BC邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合），AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，連接CE，則CE________BD（填“<”或“=”或“>”），∠BCE=________°；(2)如圖②，△ABC和△ADE互為“友好三角形”，點(diǎn)D是BC邊上一點(diǎn)，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=120°，M、N分別是底邊BC、DE的中點(diǎn)，請(qǐng)?zhí)骄縈N與(3)如圖③，△ABC和△ADE互為“友好三角形”，點(diǎn)D是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=α，M、N分別是底邊BC、DE的中點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出MN與CE的數(shù)量關(guān)系（用含3．（2024·山東濟(jì)寧·二模）定義：頂角相等且頂點(diǎn)重合的兩個(gè)等腰三角形叫做“同源三角形”，我們稱這兩個(gè)頂角為“同源角”．如圖，△ABC和△CDE為“同源三角形”，AC=BC，CD=AE，∠ACB與∠DCE為“同源角”．(1)如圖1△ABC和△CDE為“同源三角形”，∠ACB與∠DCE為“同源角”，請(qǐng)你判斷AD與BE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(2)如圖2，若“同源三角形”△ABC和△CDE上的點(diǎn)B，C，D在同一條直線上，且∠ACE=90°，求sin∠EMD(3)如圖3，△ABC和△CDE為“同源三角形”，且“同源角”的度數(shù)為90°時(shí)，分別取AD，BE的中點(diǎn)Q，P，連接CP，CQ，PQ，試說明△PCQ是等腰直角三角形．?題型05與等腰三角形有關(guān)的規(guī)律探究問題1．（2023·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在y軸上，點(diǎn)B在x軸上，OA=OB=4，連接AB，過點(diǎn)O作OA1⊥AB于點(diǎn)A1，過點(diǎn)A1作A1B1⊥x軸于點(diǎn)B1；過點(diǎn)B1作B1A2⊥AB于點(diǎn)A2，過點(diǎn)A2作A2B

74．（2024·四川廣安·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，所有三角形均為等邊三角形，已知點(diǎn)A13,0，A32,0，A54,0，A7

2．（2022·山東菏澤·中考真題）如圖，在第一象限內(nèi)的直線l:y=3x上取點(diǎn)A1，使OA1=1，以O(shè)A1為邊作等邊△OA1B1，交x軸于點(diǎn)B1；過點(diǎn)B1作x軸的垂線交直線l于點(diǎn)A2，以O(shè)A2為邊作等邊△OA2B2，交x軸于點(diǎn)B3．（2021·四川達(dá)州·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，等邊ΔAOB如圖放置，點(diǎn)A的坐標(biāo)為1,0，每一次將ΔAOB繞著點(diǎn)О逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°，同時(shí)每邊擴(kuò)大為原來的2倍，第一次旋轉(zhuǎn)后得到ΔA1OB1A．?22020,?C．22020,??題型06與等腰三角形有關(guān)的多結(jié)論問題1．（2024·四川遂寧·中考真題）如圖，在正方形紙片ABCD中，E是AB邊的中點(diǎn)，將正方形紙片沿EC折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)P處，延長CP交AD于點(diǎn)Q，連結(jié)AP并延長交CD于點(diǎn)