中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)中考數(shù)學(xué)專項提升第19講 直角三角形(講義4考點+4命題點18種題型(含5種解題技巧))(解析版)

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第四章三角形第19講直角三角形（思維導(dǎo)圖+4考點+4命題點18種題型（含5種解題技巧））TOC\o"1-1"\n\h\z\u01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航02知識導(dǎo)圖·思維引航03考點突破·考法探究考點一直角三角形考點二勾股定理考點三勾股定理逆定理考點四勾股定理的實際應(yīng)用04題型精研·考向洞悉命題點一直角三角形的性質(zhì)與判定?題型01由直角三角形的性質(zhì)求解?題型02根據(jù)已知條件判定直角三角形命題點二勾股定理?題型01利用勾股定理求解?題型02判斷勾股數(shù)問題?題型03以直角三角形三邊為邊長的圖形面積?題型04與直角三角形三邊為邊長的圖形面積有關(guān)的規(guī)律探究問題?題型05勾股定理與網(wǎng)格問題?題型06勾股定理與折疊問題?題型07勾股定理與無理數(shù)?題型08利用勾股定理證明線段平方關(guān)系?題型09勾股定理的證明方法?題型10趙爽弦圖?題型11利用勾股定理構(gòu)造圖形解決實際問題命題點三勾股定理逆定理?題型01在網(wǎng)格中判定直角三角形?題型02利用勾股定理逆定理求解命題點四勾股定理的實際應(yīng)用?題型01用勾股定理解決實際生活問題?題型02用勾股定理逆定理解決實際生活問題?題型03求最短路徑問題

01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航中考考點考查頻率新課標(biāo)要求直角三角形★★★理解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性質(zhì)定理;勾股定理★★探索勾股定理及其逆定理，并能運用它們解決一些簡單的實際問題.勾股定理逆定理★★【考情分析】該模塊內(nèi)容在中考中一直是較為重要的幾何考點，考察難度為中等偏上，常考考點為:直角三角形的性質(zhì)定理、勾股定理及其逆定理、勾股定理與實際問題等，特別是含特殊角的直角三角形，更加是考察的重點.出題類型可以是選擇，填空題這類小題，也可以是各類解答題，以及融合在綜合壓軸題中，作為問題的幾何背景進行拓展延伸.結(jié)合以上考察形式，需要考生在復(fù)習(xí)這一模塊時，準(zhǔn)確掌握有關(guān)直角三角形的各種性質(zhì)與判定方法，以及特殊直角三角形?？嫉目疾旆较?02知識導(dǎo)圖·思維引航03考點突破·考法探究考點一直角三角形定義：有一個角是直角的三角形叫做直角三角形．性質(zhì)：性質(zhì)直角三角形兩個銳角互余.直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半.圖示幾何描述在△ABC，∠C=90°∴∠A+∠B=90°在△ABC，∠C=90°，CD為AB邊的中點，∴∠A+∠B=90°在△ABC，∠C=90°，∠B=30°，∴AB=2AC判定：1）兩個內(nèi)角互余的三角形是直角三角形.2）三角形一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是直角三角形．3）有一個角是直角的三角形叫做直角三角形．4）勾股定理逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足，那么這個三角形是直角三角形.面積公式：S=12ab=121．（2024·海南·中考真題）設(shè)直角三角形中一個銳角為x度（0<x<90），另一個銳角為y度，則y與x的函數(shù)關(guān)系式為（

）A．y=180+x B．y=180?x C．y=90+x D．y=90?x【答案】D【分析】本題考查了函數(shù)關(guān)系式．利用直角三角形的兩銳角互余可得到y(tǒng)與x的關(guān)系式．【詳解】解：∵直角三角形中一個銳角的度數(shù)為x度，另一個銳角為y度，∴y=90?x．故選：D．2．（2024·青?！ぶ锌颊骖}）如圖，在Rt△ABC中，D是AC的中點，∠BDC=60°，AC=6，則BC的長是（

A．3 B．6 C．3 D．3【答案】A【分析】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)．根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半結(jié)合等邊三角形的判定得到△BDC等邊三角形，據(jù)此求解即可．【詳解】解：∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D是AC∴BD=1∵∠BDC=60°，∴△BDC等邊三角形，∴BC=CD=1故選：A．3．（2023·浙江衢州·中考真題）如圖是脊柱側(cè)彎的檢測示意圖，在體檢時為方便測出Cobb角∠O的大小，需將∠O轉(zhuǎn)化為與它相等的角，則圖中與∠O相等的角是（

）

A．∠BEA B．∠DEB C．∠ECA D．∠ADO【答案】B【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可知：∠O與∠ADO互余，∠DEB與∠ADO互余，根據(jù)同角的余角相等可得結(jié)論．【詳解】由示意圖可知：△DOA和△DBE都是直角三角形，∴∠O+∠ADO=90°，∠DEB+∠ADO=90°，∴∠DEB=∠O，故選：B．【點睛】本題考查直角三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，掌握直角三角形的兩個銳角互余是解題的關(guān)鍵．4．（2023·貴州·中考真題）5月26日，“2023中國國際大數(shù)據(jù)產(chǎn)業(yè)博覽會”在貴陽開幕，在“自動化立體庫”中有許多幾何元素，其中有一個等腰三角形模型（示意圖如圖所示），它的頂角為120°，腰長為12m，則底邊上的高是（

）

A．4m B．6m C．10m【答案】B【分析】作AD⊥BC于點D，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可得∠B=∠C=1【詳解】解：如圖，作AD⊥BC于點D，

∵△ABC中,∠BAC=120°，AB=AC，∴∠B=∠C=1∵AD⊥BC，∴AD=1故選B．【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是掌握30度角所對的直角邊等于斜邊的一半．5．（2023·湖南·中考真題）《周禮考工記》中記載有：“……半矩謂之宣（xuān），一宣有半謂之欘（zhú）……”意思是：“……直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘……”．即：1宣=12矩，1欘=112宣（其中，1矩=90°），問題：圖（1）為中國古代一種強弩圖，圖（2）為這種強弩圖的部分組件的示意圖，若∠A=1矩，∠B=1

【答案】22.5/2212/【分析】根據(jù)矩、宣、欘的概念計算即可．【詳解】解：由題意可知，∠A=1矩=90°，∠B=1欘=112宣=11∴∠C=90°?67.5°=22.5°，故答案為：22.5．【點睛】本題考查了新概念的理解，直角三角形銳角互余，角度的計算；解題的關(guān)鍵是新概念的理解，并正確計算．考點二勾股定理文字語言：直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.符號語言：如果直角三角形的兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么a2變式：a2=cc=a2+b2【易錯點】1）勾股定理揭示了直角三角形三條邊之間所存在的數(shù)量關(guān)系，它只適用于直角三角形，因而在應(yīng)用勾股定理時，必須明了所考察的對象是直角三角形；2）如果已知的兩邊沒有指明邊的類型，那么它們可能都是直角邊，也可能是一條直角邊、一條斜邊，求解時必須進行分類討論，以免漏解．3）應(yīng)用勾股定理時，要分清直角邊和斜邊，尤其在記憶a2+b2=勾股定理的驗證方法一：如圖一，用4個全等的直角三角形，可以得到一個以為邊長的小正方形和一個以c為邊長的大正方形.即4SΔ+S正方形EFGH方法二（圖二）：四個直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積．四個直角三角形的面積與小正方形面積的和為S=4×大正方形面積為S=(a+b)2=方法三：如圖三，用兩個全等的直角三角形和一個等腰直角三角形，可以得到一個直角梯形.S梯形=12圖一圖二圖三1．（2024·青?！ぶ锌颊骖}）（1）解一元二次方程：x2（2）若直角三角形的兩邊長分別是（1）中方程的根，求第三邊的長．【答案】（1）x=1或x=3（2）第三邊的長是10或2【分析】本題考查解一元二次方程，勾股定理．（1）用因式分解法解即可；（2）分情況討論，一是兩根都是直角邊，二是兩根一個是直角邊，一個是斜邊，再用勾股定理分別計算即可．【詳解】解：（1）xx?1x=1或x=3；（2）當(dāng)兩條直角邊分別為3和1時，根據(jù)勾股定理得，第三邊為32當(dāng)一條直角邊為1，斜邊為3時，根據(jù)勾股定理得，第三邊為32答：第三邊的長是10或222．（2023·遼寧大連·中考真題）如圖，在數(shù)軸上，OB=1，過O作直線l⊥OB于點O，在直線l上截取OA=2，且A在OC上方．連接AB，以點B為圓心，AB為半徑作弧交直線OB于點C，則C點的橫坐標(biāo)為．【答案】1+5/【分析】根據(jù)勾股定理求得AB，根據(jù)題意可得BC=AB=5【詳解】解：∵l⊥OB，OB=1，OA=2，在Rt△AOB中，AB=∴BC=AB=5∴OC=OB+BC=1+5O為原點，OC為正方向，則C點的橫坐標(biāo)為1+5故答案為：1+5【點睛】本題考查了勾股定理與無理數(shù)，實數(shù)與數(shù)軸，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．3．（2023·湖南郴州·中考真題）在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，則AB【答案】5【分析】本題主要考查了勾股定理，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)．先利用勾股定理求出AB的長，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半進行求解即可．【詳解】解：在△ABC中，∠C=90°，∴AB=A∴AB邊上的中線CD=1故答案為：5．4．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）《九章算術(shù)》中記載：“今有勾八步，股一十五步．問勾中容圓，徑幾何？”譯文：現(xiàn)在有一個直角三角形，短直角邊的長為8步，長直角邊的長為15步．問這個直角三角形內(nèi)切圓的直徑是多少？書中給出的算法譯文如下：如圖，根據(jù)短直角邊的長和長直角邊的長，求得斜邊的長．用直角三角形三條邊的長相加作為除數(shù)，用兩條直角邊相乘的積再乘2作為被除數(shù)，計算所得的商就是這個直角三角形內(nèi)切圓的直徑．根據(jù)以上方法，求得該直徑等于步．（注：“步”為長度單位）

【答案】6【分析】根據(jù)勾股定理求出直角三角形的斜邊，根據(jù)直角三角形的內(nèi)切圓的半徑的求法確定出內(nèi)切圓半徑，得到直徑．【詳解】解：根據(jù)勾股定理得：斜邊為82則該直角三角形能容納的圓形（內(nèi)切圓）半徑r=8+15?17故答案為：6．【點睛】此題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，掌握Rt△ABC中，兩直角邊分別為a、b，斜邊為c，其內(nèi)切圓半徑r=5．（2024·江蘇南通·中考真題）“趙爽弦圖”巧妙利用面積關(guān)系證明了勾股定理．如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等直角三角形和中間的小正方形拼成的一個大正方形．設(shè)直角三角形的兩條直角邊長分別為m，nm>n．若小正方形面積為5，m+n2=21A．12 B．13 C．14 D．15【答案】B【分析】本題考查勾股定理的證明，解題的關(guān)鍵是熟練運用勾股定理以及完全平方公式，本題屬于基礎(chǔ)題型．由題意可知，中間小正方形的邊長為m?n，根據(jù)勾股定理以及題目給出的已知數(shù)據(jù)即可求出大正方形的面積為m2【詳解】解：由題意可知，中間小正方形的邊長為m?n，∴m?n2=5，即∵m+n2∴m2①+②得2m∴大正方形的面積m2故選：B．QUOTEQUOTE考點三勾股定理逆定理1.勾股數(shù)勾股數(shù)：能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長的三個正整數(shù)稱為勾股數(shù)，即滿足關(guān)系a2勾股數(shù)需要滿足的兩個條件：1）這三個數(shù)均是正整數(shù)；2）兩個較小數(shù)的平方和等于最大數(shù)的平方.常見的勾股數(shù)：1）3，4，5；2）6，8，10；3）5，12，13等.2.勾股定理的逆定理內(nèi)容：如果三角形三邊長a，b，c滿足a2+b2【補充說明】1）勾股定理的逆定理是判定一個三角形是否是直角三角形的一種重要方法；2）勾股定理的逆定理通過“數(shù)轉(zhuǎn)化為形”來確定三角形的可能形狀，在運用這一定理時，可用兩小邊的平方和a2+b2與較長邊的平方c2作比較，①若a2+②若a2+b2<c2③若a2+b2>c21．（2024·江蘇揚州·三模）下列幾組數(shù)中不能作為直角三角形三邊長度的是（

）A．3，4，5 B．9，15，17 C．25，7，24 D．8，6，10【答案】B【分析】本題考查了勾股定理逆定理的運用，掌握勾股定理逆定理判定直角三角形的方法是解題的關(guān)鍵．根據(jù)若三角形的三邊a，b，c（較長邊）滿足，a2【詳解】解：A、32B、92C、72D、62故選：B．2．（2024·江蘇南京·三模）下列各組數(shù)中是勾股數(shù)的為（

）A．3,4,5 B．1,1,2【答案】D【分析】本題主要考查了勾股數(shù)的知識，理解勾股數(shù)的定義是解題關(guān)鍵．勾股數(shù)就是可以構(gòu)成一個直角三角形三邊的一組正整數(shù)，據(jù)此逐項分析判斷即可．【詳解】解：A.∵32+42=7，5B.∵2不是正整數(shù)，∴1,1,2C.∵72+82=113D.∵132+84故選：D．3．（21-22八年級下·湖北省直轄縣級單位·階段練習(xí)）如圖，每個小正方形的邊長為1，則∠ABC的度數(shù)為度．【答案】45【分析】連接AC，利用勾股定理計算出AC2、BC2、AB2，然后利用勾股定理逆定理可判斷出△ABC是直角三角形，進而可得答案．【詳解】解：連接AC，由勾股定理得：AC2=22+12=5，BC2=22+12=5，AB2=12+32=10，∴AC2+BC2=5+5=10=BA2，∴△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，∴∠ABC=45°，故答案為：45．【點睛】此題主要考查了勾股定理逆定理，以及勾股定理，關(guān)鍵是掌握運用勾股定理的逆定理解決問題的實質(zhì)就是判斷一個角是不是直角．4．（2023·吉林白城·模擬預(yù)測）正方形網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長都是1，每個小格的頂點叫做格點．以格點為頂點．(1)在圖①中，畫一個邊長為2的線段；(2)在圖②中，畫一個直角三角形，使它的三邊長分別是2、22、10【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查利用勾股定理畫圖．（1）借助格點，根據(jù)勾股定理構(gòu)長為2的線段即可；（2）借助格點，根據(jù)勾股定理構(gòu)造三邊長分別為2、22、10【詳解】（1）解：如圖①，線段AB即為邊長為2的線段；（2）解：如圖②，直角三角形ABC即為所求，三邊長分別是AB=2、BC=22、5．（2024·廣東·模擬預(yù)測）若a?1+a?b+c?22=0，則以a【答案】等腰直角三角形【分析】本題考查非負(fù)性，勾股定理的逆定理，根據(jù)非負(fù)性，求出a,b,c的值，再利用勾股定理逆定理進行求解即可．【詳解】解：∵a?1+∴a?1=0,∴a?1=0,a?b=0,c?2∴a=1,a=b=1,c=2∵12∴a2又∵a=b，∴以a，b，c為邊長的三角形的形狀是等腰直角三角形；故答案為：等腰直角三角形．考點四勾股定理的實際應(yīng)用1.利用勾股定理解決實際問題的一般步驟：1）從實際問題中抽象出幾何圖形；2）確定與問題相關(guān)的直角三角形；3）找準(zhǔn)直角邊和斜邊，根據(jù)勾股定理建立等量關(guān)系；4）求得符合題意的結(jié)果.2.利用勾股定理解決實際問題的常見類型1）直接利用勾股定理列方程解決實際問題；2）利用勾股定理解決幾何體表面最短距離問題；3）利用勾股定理和方程思想解決與“翻折”相關(guān)的問題；4）利用勾股定理解決有關(guān)幾何圖形的面積問題.

1．（2024·四川巴中·中考真題）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊．問：水深幾何？”這是我國數(shù)學(xué)史上的“葭生池中”問題．即AC=5，DC=1，BD=BA，則BC=（

）A．8 B．10 C．12 D．13【答案】C【分析】本題考查勾股定理的實際應(yīng)用．設(shè)BC=x，則BD=BA=x+1【詳解】解：設(shè)BC=x，則BD=BA=x+1由題意，得：x+12解得：x=12，即BC=12，故選：C．2．（2021·江蘇宿遷·中考真題）《九章算術(shù)》中有一道“引葭赴岸”問題：“僅有池一丈，葭生其中央，出水一尺，適與岸齊．問水深，葭長各幾何？”題意是：有一個池塘，其底面是邊長為10尺的正方形，一棵蘆葦AB生長在它的中央，高出水面部分BC為1尺．如果把蘆葦沿與水池邊垂直的方向拉向岸邊，則水深為尺．

【答案】12【分析】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，我們可以將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)幾何圖形，根據(jù)題意，可知EB'的長為10尺，則B'C＝5尺，設(shè)出【詳解】解：依題意畫出圖形，設(shè)蘆葦長AB=AB'=x

∵B'∴B在Rt△ACB'解得x=13，即蘆葦長13尺，∴水深為13?1=12（尺），故答案為：12．3．（2024·上海寶山·一模）在馬拉松比賽過程中，嘉琪和李明之間一直用最遠對講距離為300米的對講設(shè)備聯(lián)系．嘉琪運動到A點時，嘉琪用對講機與朋友李明聯(lián)系，李明告知嘉琪正在通過路口B向C運動后，就失去了聯(lián)系，已知嘉琪的跑步速度為2m/s，李明的跑步速度為4m/A．150s B．60s C．100s D．不會再取得聯(lián)系【答案】B【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用及勾股定理的應(yīng)用，理解題意并畫出相應(yīng)的圖形是解題的關(guān)鍵．設(shè)x秒后他們再次取得聯(lián)系，依題意，AB=PQ=300m，然后用含x的代數(shù)式表示出BP和BQ【詳解】解：如圖，設(shè)x秒后他們再次取得聯(lián)系，此時嘉琪運動到點P，李明運動到點Q，依題意：AB=300m則BP=300?2xm，BQ=4x由勾股定理有BP即300?2x2解得x=60或x=0（不合題意，舍去），∴60秒后他們再次取得聯(lián)系．故選：B．4．（2023·陜西西安·二模）如圖，透明的圓柱形容器（容器厚度忽略不計）的高為12cm，底面周長為10cm，在容器內(nèi)壁離容器底部3cm的點B處有一飯粒，此時一只螞蟻正好在容器外壁，且離容器上沿3cm的點A

【答案】13【分析】本題考查了最短路徑問題，將圓柱側(cè)面展開，作出點A關(guān)于EF的對稱點A'，根據(jù)兩點之間線段最短可知A'B【詳解】解：將圓柱側(cè)面展開，作出點A關(guān)于EF的對稱點A'∵高為12cm，底面周長為10此時螞蟻正好在容器外壁，離容器上沿3cm與飯粒相對的點A∴A'D=5cm連接A'B，則∵A'∴螞蟻吃到飯粒需爬行的最短路徑是13cm故答案為：13．

04題型精研·考向洞悉命題點一直角三角形的性質(zhì)與判定?題型01由直角三角形的性質(zhì)求解1．（2024·江蘇徐州·中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，點C在AB的延長線上，CD與⊙O相切于點D，若∠C=20°，則∠CAD=°．【答案】35【分析】本題利用了切線的性質(zhì)，三角形的外角與內(nèi)角的關(guān)系，等邊對等角求解．連接OD，構(gòu)造直角三角形，利用OA=OD，從而得出∠CAD的度數(shù)．【詳解】解：連接OD，∵CD與⊙O相切于點D，∴∠ODC=90°，∵∠C=20°，∴∠COD=70°；∵OA=OD，∴∠ODA=∠CAD=1故答案為：352．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）如圖，在△ABC中，∠C=90°,∠B=30°，以點A為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧分別交AB,AC于點M和點N，再分別以點M,N為圓心，大于12MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，連接AP并延長交BC于點D．若△ACD的面積為8，則△ABD的面積是（A．8 B．16 C．12 D．24【答案】B【分析】本題考查了尺規(guī)作圖，含30°的直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定等知識，由作圖知AD平分∠BAD，則可求∠CAD=∠DAB=30°，利用含30°的直角三角形的性質(zhì)得出CD=12AD，利用等角對等邊得出AD=BD【詳解】解：∵∠C=90°,∠B=30°，∴∠CAB=60°，由作圖知：AD平分∠BAD，∴∠CAD=∠DAB=30°，∴CD=12AD∴AD=BD，∴CD=1∴S△ACD又△ACD的面積為8，∴△ABD的面積是2×8=16，故選B．3．（2023·湖南郴州·中考真題）在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，則AB【答案】5【分析】本題主要考查了勾股定理，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)．先利用勾股定理求出AB的長，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半進行求解即可．【詳解】解：在△ABC中，∠C=90°，∴AB=A∴AB邊上的中線CD=1故答案為：5．4．（2023·海南·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A在y軸上，點B的坐標(biāo)為6,0，將△ABO繞著點B順時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△DBC，則點C的坐標(biāo)是（

）

A．33,3 B．3,33 C．6,3【答案】B【分析】過點C作CE⊥OB，由題意可得：∠OBC=60°，OB=OC=6，再利用含30度直角三角形的性質(zhì)，求解即可．【詳解】解：過點C作CE⊥OB，如下圖：

則∠CEB=90°由題意可得：∠OBC=60°，OB=OC=6，∴∠BCE=30°，∴BE=1∴CE=CB2∴C點的坐標(biāo)為3,33故選：B【點睛】此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，含30度直角三角形的性質(zhì)，以及勾股定理，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造出直角三角形，熟練掌握相關(guān)基礎(chǔ)性質(zhì)．5．（2024·海南·中考真題）如圖，菱形ABCD的邊長為2，∠ABC=120°，邊AB在數(shù)軸上，將AC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，點C落在數(shù)軸上的點E處，若點E表示的數(shù)是3，則點A表示的數(shù)是（

）A．1 B．1?3 C．0 D．【答案】D【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理．作CF⊥AE于點F，利用菱形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理計算即可．【詳解】解：作CF⊥AE于點F，∵∠ABC=120°，∴∠FBC=60°，∵BC=2，∴BF=12BC=1∴AF=AB+BF=3，∴AE=AC=A∵點E表示的數(shù)是3，∴點A表示的數(shù)是3?23故選：D．QUOTEQUOTEQUOTE?題型02根據(jù)已知條件判定直角三角形1．（2022·湖南株洲·中考真題）如圖所示，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，過點C作CE∥BD交AB的延長線于點E，下列結(jié)論不一定正確的是（A．OB=12CE C．BC=12AE【答案】D【分析】由菱形的性質(zhì)可知AC⊥DB，AO=OC，由兩直線平行，同位角相等可以推出∠ACE=∠AOB=90°，再證明Rt△ACE～Rt△AOB，得出OB=12CE，AB=【詳解】解：∵在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，∴AC⊥DB，AO=OC，∴∠AOB=90°，∵CE∥∴∠ACE=∠AOB=90°，∴△ACE是直角三角形，故B選項正確；∵∠ACE=∠AOB=90°，∠CAE=∠OAB，∴Rt△ACE～Rt∴OBCE∴OB=12CE∴BC為Rt△ACE∴BC=1現(xiàn)有條件不足以證明BE=CE，故D選項錯誤；故選D．【點睛】本題考查菱形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)以及直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，難度一般，由菱形的性質(zhì)得出AC⊥DB，AO=OC是解題的關(guān)鍵．2．（2024·福建南平·一模）如圖1，點D是△ABC的邊AB上一點．AD=AC，∠CAB=α，⊙O是△BCD的外接圓，點E在DBC上（不與點C，點D重合），且∠CED=90°?α．

(1)求證：△ABC是直角三角形；(2)如圖2，若CE是⊙O的直徑，且CE=2，折線ADF是由折線ACE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)α得到．①當(dāng)α=30°時，求△CDE的面積；②求證：點C，D，F(xiàn)三點共線．【答案】(1)見解析(2)①32【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，圓的基本性質(zhì)，勾股定理，三角形內(nèi)角和定理，直角三角形的特征，三點共線判定方法等；（1）由圓的基本性質(zhì)得∠CBD=∠CED=90°?α，從而可得∠CAB+∠CBD=90°，即可求證；（2）①由圓的性質(zhì)得∠CDE=90°，從而可求∠DCE=α=30°，有直角三角形的特征得DE=12CE=1，由勾股定理得CD=CE2?DE2可求出CD的長，由S△CDE=掌握相關(guān)的性質(zhì)及三點共線判定方法，能證出∠ADF=∠ACD+α是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）證明：∵CD=∴∠CBD=∠CED=90°?α，∴∠CAB+∠CBD=90°，∴∠ACB=180°?90°=90°，

∴△ABC是直角三角形；（2）解：①∵CE是⊙O直徑，∴∠CDE=90°，∴∠CED=90°?∠DCE，∵∠CED=90°?α，∴∠DCE=α=30°，在Rt△CDE∴DE=1∴CD===3∴==3②∵折線ADF由折線ACE旋轉(zhuǎn)得到，∴AC=AD，∠ADF=∠ACE，∴∠ACD=∠ADC，由①得∠DCE=α，∴∠ACE=∠ACD+∠DCE=∠ACD+α，∴∠ADF=∠ACD+α，∵∠CAB+∠ACD+∠ADC=180°，

∴α+∠ACD+∠ADC=180°，∴∠ADF+∠ADC=180°，∴點C，D，F(xiàn)三點共線．3．（2024·山東濟南·模擬預(yù)測）如圖1，拋物線L：y=33x?22+m與x軸交于點A，B，與y(1)求m的值；(2)點D是直線BC下方拋物線L上一動點，當(dāng)△BCD的面積最大時，求點D的坐標(biāo)；(3)如圖2，在（2）條件下，將拋物線L向右平移1個單位長度后得到拋物線M，設(shè)拋物線M與拋物線L的交點為E，AF⊥BC，垂足為F．證明△DEF是直角三角形．【答案】(1)?(2)D(3)見解析【分析】（1）由題意可知A1,0，將點A的坐標(biāo)代入拋物線L即可得出m（2）設(shè)點D的坐標(biāo)，表達△BCD的面積，并根據(jù)二次根式的性質(zhì)可得出結(jié)論；（3）由題可知AC=AB，則點F是BC的中點，可求出BF的長，取OB的中點H，則FH是△BOC的中位線，則FH⊥x軸，由平移可得出拋物線M的解析式，聯(lián)立可得點E的坐標(biāo)，求出點E的坐標(biāo)，即可得出DE∥【詳解】（1）解：∵OA=1，∴A1,0∵A1,0在拋物線L：y=∴0=331?2故答案為：?3（2）令33解得：x=1或x=3，∴B3,0令x=0，則y=3∴C0,∴l(xiāng)過點D作y軸的平行線BC于點G，設(shè)Dx,33∴DG=?3∴S∴當(dāng)x=32時，∴y∴D3（3）證明：如圖，連接AC，∵A1,0∴AC=AB=2，∵AF⊥BC，∴F是BC的中點，，:∴BF=1在Rt△BOC中，OC=∴∠OBC=30°，過點F作FH⊥OB于點H，∴BH=3∴點H32，∴FH是△BOC的中位線，∴x∴DF⊥x軸，將拋物線L向右平移1個單位長度后得到拋物線M，則：M:y=3令33x?32∴E5∴y∴DE∥∴DE⊥DF，即△EDF是直角三角形．【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理等，中位線性質(zhì)定理，含30°角直角三角形特征，熟練掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．命題點二勾股定理?題型01利用勾股定理求解1．（2024·山東濟寧·中考真題）如圖，邊長為2的正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，則它的內(nèi)切圓半徑為（

）

A．1 B．2 C．2 D．3【答案】D【分析】本題考查了正多邊形與圓，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理；連接OA，OF，作OG⊥AF于G，證明△AOF是等邊三角形，可得FG=12AF=1【詳解】解：如圖，連接OA，OF，作OG⊥AF于G，

∵OF=OA，∠AOF=360°×1∴△AOF是等邊三角形，∴OF=OA=AF=2，∵OG⊥AF，∴FG=1∴OG=2即它的內(nèi)切圓半徑為3，故選：D．2．（2024·遼寧·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，菱形AOBC的頂點A在x軸負(fù)半軸上，頂點B在直線y=34x上，若點B的橫坐標(biāo)是8，為點CA．(?1,6) B．(?2,6) C．(?3,6) D．(?4,6)【答案】B【分析】過點B作BD⊥x軸，垂足為點D，先求出B8,6，由勾股定理求得BO=10，再由菱形的性質(zhì)得到BC=BO=10,BC∥x【詳解】解：過點B作BD⊥x軸，垂足為點D，∵頂點B在直線y=34x∴yB=8×3∴B8,6∵BD⊥x軸，∴由勾股定理得：BO=B∵四邊形ABCD是菱形，∴BC=BO=10,BC∥x軸，∴將點B向左平移10個單位得到點C，∴點C?2,6故選：B．【點睛】本題考查了一次函數(shù)的圖像，勾股定理，菱形的性質(zhì)，點的坐標(biāo)平移，熟練掌握知識點，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵．3．（2024·廣東廣州·中考真題）如圖，圓錐的側(cè)面展開圖是一個圓心角為72°的扇形，若扇形的半徑l是5，則該圓錐的體積是（

）A．3118π B．118π 【答案】D【分析】本題考查了弧長公式，圓錐的體積公式，勾股定理，理解圓錐的底面周長與側(cè)面展開圖扇形的弧長相等是解題關(guān)鍵，設(shè)圓錐的半徑為r，則圓錐的底面周長為2πr，根據(jù)弧長公式得出側(cè)面展開圖的弧長，進而得出r=1，再利用勾股定理，求出圓錐的高，再代入體積公式求解即可．【詳解】解：設(shè)圓錐的半徑為r，則圓錐的底面周長為2πr，∵圓錐的側(cè)面展開圖是一個圓心角為72°的扇形，且扇形的半徑l是5，∴扇形的弧長為72π×5180∵圓錐的底面周長與側(cè)面展開圖扇形的弧長相等，∴2πr=2π，∴r=1，∴圓錐的高為52∴圓錐的體積為13故選：D．4．（2024·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）如圖，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=6，AC是一條對角線，E是AC上一點，過點E作EF⊥AB，垂足為F，連接DE．若CE=AF，則DE的長為．【答案】2【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識，過D作DH⊥AC于H，先判斷△ABC，△ACD都是等邊三角形，得出∠EAF=60°，AC=AB=6，AH=CH=12AC=3，利用含30°的直角三角形的性質(zhì)可得出AE=2AF=2CE，進而求出CE【詳解】解∶過D作DH⊥AC于H，∵菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=6，∴AB=BC=CD=AD，∠ADC=∠ABC=60°，∴△ABC，△ACD都是等邊三角形，∴∠EAF=60°，AC=AB=6，AH=CH=1∵EF⊥AB，∴∠AEF=30°，∴AE=2AF，又CE=AF，∴AE=2CE，∴CE=2，∴HE=CH?CE=1，在Rt△CDH中，D∴DE=D故答案為：275．（2024·黑龍江綏化·中考真題）如圖，四邊形ABCD是菱形，CD=5，BD=8，AE⊥BC于點E，則AE的長是（

）A．245 B．6 C．485 【答案】A【分析】本題考查了勾股定理，菱形的性質(zhì)，根據(jù)勾股定理求得OC，進而得出AC=6，進而根據(jù)等面積法，即可求解．【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，CD=5，BD=8，∴DO=12BD=4，AC⊥BD在Rt△CDO中，CO=∴AC=2OC=6，∵菱形ABCD的面積為12∴AE=1故選：A．?題型02判斷勾股數(shù)問題1）確定是三個正整數(shù)a，b，c；2）確定最大的數(shù)c；3）計算較小的兩個數(shù)的平方a2+b1．（2023·江蘇南通·中考真題）勾股數(shù)是指能成為直角三角形三條邊長的三個正整數(shù)，世界上第一次給出勾股數(shù)公式的是中國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》．現(xiàn)有勾股數(shù)a，b，c，其中a，b均小于c，a=12m2?12，c=1【答案】m【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，直角邊小于斜邊得到a，b為直角邊，c為斜邊，根據(jù)勾股定理即可得到b的值．【詳解】解：由于現(xiàn)有勾股數(shù)a，b，c，其中a，b均小于c，∴a，b為直角邊，c為斜邊，∴a∴(得到14∴b∴b=±m(xù)，∵m是大于1的奇數(shù)，∴b=m．故答案為：m．【點睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用，分清楚a，b為直角邊，c為斜邊是解題的關(guān)鍵．2．（2023·四川瀘州·中考真題）《九章算術(shù)》是中國古代重要的數(shù)學(xué)著作，該著作中給出了勾股數(shù)a，b，c的計算公式：a=12m2?n2，b=mn，c=12A．3，4，5 B．5，12，13 C．6，8，10 D．7，24，25【答案】C【分析】首先證明出a2+b2=c2，得到a，b【詳解】∵a=1∴a2∵c2∴a2∴a，b是直角三角形的直角邊，∵m，n是互質(zhì)的奇數(shù)，∴A．3=1×3，∴當(dāng)m=3，n=1時，a=12m2?∴3，4，5能由該勾股數(shù)計算公式直接得出；B．5=1×5，∴當(dāng)m=5，n=1時，a=12m2?∴5，12，13能由該勾股數(shù)計算公式直接得出；C．6=2×3，8=2×4，∵m，n是互質(zhì)的奇數(shù)，∴6，8，10不能由該勾股數(shù)計算公式直接得出；D．7=1×7，∴當(dāng)m=7，n=1時，a=12m2?∴7，24，25能由該勾股數(shù)計算公式直接得出．故選：C．【點睛】本題考查了勾股數(shù)的應(yīng)用，通過m>n>0，m，n是互質(zhì)的奇數(shù)這兩個條件去求得符合題意的t的值是解決本題的關(guān)鍵．3．（2024·河北秦皇島·一模）我們把滿足a2+b2=c2的三個正整數(shù)a，b(1)當(dāng)b=n+7，c=n+8時，請用含n的代數(shù)式表示a2，并直接寫出n取何值時，a(2)當(dāng)b=2n2+2n，c=b+1時，用含nabc_____40411160_____【答案】(1)a2=2n+15，當(dāng)n=5(2)a2【分析】本題主要考查了勾股定理逆定理的應(yīng)用，準(zhǔn)確理解題意是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)a2+b2=（2）根據(jù)a2+b2=c2變形式a2=c2?b【詳解】（1）解：a2把b=n+7，c=n+8代入a2得a2∵n為正整數(shù)，∴當(dāng)n=5時，滿足題意的最小整數(shù)a=2n+15（2）a2b=40，c=41，a=ca=11，b=60，c=a補全勾股數(shù)表如下：4．（2024·浙江·模擬預(yù)測）在中國古代數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中就對勾股定理和勾股數(shù)有過一定的描述，所謂勾股數(shù)一般是指能夠成為直角三角形三條邊長的三個正整數(shù)，觀察下面的表格中的勾股數(shù)：abc3=1+24=2×1×25=2×1×2+15=2+312=2×2×313=2×2×3+17=3+424=2×3×425=2×3×4+19=4+540=2×4×541=2×4×5+1………(1)當(dāng)a=11時，b=______，c=______．(2)按上面的規(guī)律歸納出一個一般的結(jié)論（用含n的等式表示，n為正整數(shù)）．(3)請運用有關(guān)知識，推理說明這個結(jié)論是正確的．【答案】(1)60

61(2)2n+1(3)見解析【分析】本題主要考查了勾股數(shù)，以及勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股數(shù)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)即可得到答案；（2）．根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)找出規(guī)律即可得到答案；（3）根據(jù)勾股定理的逆定理即可得到答案．【詳解】（1）解：a=5+6，∴b=2×5×6=60，c=2×5×6+1=61，故答案為：60，61（2）解：由（1）可得，a2當(dāng)a=2n+1時，2n+1（3）解：2n×==2=4=2n+1結(jié)論成立．QUOTE?題型03以直角三角形三邊為邊長的圖形面積作正方形作半圓作等邊三角形作等腰直角三角形圖示結(jié)論1．（2024·黑龍江大慶·中考真題）如圖①，直角三角形的兩個銳角分別是40°和50°，其三邊上分別有一個正方形．執(zhí)行下面的操作：由兩個小正方形向外分別作銳角為40°和50°的直角三角形，再分別以所得到的直角三角形的直角邊為邊長作正方形．圖②是1次操作后的圖形．圖③是重復(fù)上述步驟若干次后得到的圖形，人們把它稱為“畢達哥拉斯樹”．若圖①中的直角三角形斜邊長為2，則10次操作后圖形中所有正方形的面積和為．【答案】48【分析】本題主要考查了圖形規(guī)律，直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、正方形的性質(zhì)等知識．根據(jù)題意分別計算出圖①、圖②和圖③的面積，得出規(guī)律即可求解．【詳解】解：圖①中，∵∠ACB=90°，根據(jù)勾股定理得，AC∴圖①中所有正方形面積和為：4+4=8，圖②中所有正方形面積和，即1次操作后的圖形中所有正方形的面積和為：8+4=12，圖③中所有正方形面積和，即2次操作后的圖形中所有正方形的面積和為：8+4×2=16，?∴n次操作后的圖形中所有正方形的面積和為8+4n，∴10次操作后的圖形中所有正方形的面積和為8+4×10=48，故答案為：48．2．（2023·江蘇連云港·中考真題）如圖，矩形ABCD內(nèi)接于⊙O，分別以AB、BC、CD、

A．414π?20 B．412π?20 【答案】D【分析】根據(jù)陰影部分面積為2個直徑分別為AB,BC的半圓的面積加上矩形的面積減去直徑為矩形對角線長的圓的面積即可求解．【詳解】解：如圖所示，連接AC，

∵矩形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB=4,BC=5∴A∴陰影部分的面積是SS==4×5=20，故選：D．【點睛】本題考查了勾股定理，矩形的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．3．（2024·廣東中山·模擬預(yù)測）在直線L上依次擺放著七個正方形（如圖所示）．已知斜放置的三個正方形的面積分別1、4、9，正放置的四個正方形的面積依次為S1，S2，S3，S4，則【答案】10【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，考查了勾股定理的靈活運用，本題中證明AB證△ABC≌△CDE，得AB2+DE2【詳解】解：如圖所示，在△ABC和△CDE中，EC=AC∠ECD=CAB∴△ABC≌△CDE(ASA∴AB=CD，BC=DE，∴AB同理可證FG∴S故答案為：10．4．（2024·廣西梧州·二模）圖1是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會（ICME?7）的會徽，會徽的主題圖案是由圖2中七個直角三角形演化而成的，其中OA1=

【答案】7【分析】本題考查了勾股定理．利用勾股定理依次計算出OA2=2，OA【詳解】解：由題意得OAOAOA…，OA∴S1=12×1×1=12；S∴S====7，故答案為：7．5．（2024·江蘇宿遷·二模）小明在一塊畫有Rt△ABC的紙片上（其中∠ABC=90°，BC＜AB）進行了如下操作：第一步分別以AB、BC為邊向外畫正方形ABFG和正方形BCDE；第二步過點A、B分別作AC的垂線和AC的平行線，將紙片ABFG－分成②、③、④、⑤四塊，如圖1；第三步將圖1中的正方形紙片BCDE、△ABC紙片及紙片②、③、④、⑤剪下，重新拼接成圖2．若CMPM=67

【答案】4【分析】本題考查了解一元二次方程，勾股定理；根據(jù)題意得出ACPQ為正方形，設(shè)CM=6a,PM=7a，設(shè)CK=x則AK=13a?x，根據(jù)題意MK,KL，根據(jù)勾股定理建立方程，得出x=4a，進而得出AK=9a，則PN=4a,NQ=9a，即可求解．【詳解】解：根據(jù)圖1可得AB由圖1圖2兩個圖形可得正方形ABFG與正方形BCDE的面積和AB2+BC2即A根據(jù)兩個圖形對應(yīng)，BH⊥AJ，則對應(yīng)圖2中可得∠ACP=∠CPQ=∠A=∠QAC=90°，∴四邊形ACPQ為矩形，又∵矩形ACPQ的面積為AC∴AC=CP，∴四邊形ACPQ為正方形，∵CM設(shè)CM=6a,PM=7a∴AC=13a如圖所示，

AI=CM=AL=6a，IJ=PM=QL=7aCK=PN=IH，AK=NQ=BI,KL=AB，設(shè)CK=x則AK=13a?x∴MK=CKL=∵A∴A∴13a整理得，x解得：x=4a或x=9a（舍去）∴PN=4a,QN=13a?4a=9a∴PN故答案為：496．（2020·江西·中考真題）某數(shù)學(xué)課外活動小組在學(xué)習(xí)了勾股定理之后，針對圖1中所示的“由直角三角形三邊向外側(cè)作多邊形，它們的面積S1，S2，類比探究（1）如圖2，在Rt△ABC中，BC為斜邊，分別以AB,AC,BC為斜邊向外側(cè)作Rt△ABD，Rt△ACE，Rt△BCF，若∠1=∠2=∠3，則面積S1，S2，S3推廣驗證（2）如圖3，在Rt△ABC中，BC為斜邊，分別以AB,AC,BC為邊向外側(cè)作任意△ABD，△ACE，△BCF，滿足∠1=∠2=∠3，∠D=∠E=∠F，則（1）中所得關(guān)系式是否仍然成立？若成立，請證明你的結(jié)論；若不成立，請說明理由；拓展應(yīng)用（3）如圖4，在五邊形ABCDE中，∠A=∠E=∠C=105°，∠ABC=90°，AB=23，DE=2，點P在AE上，∠ABP=【答案】（1）S3=【分析】（1）由題目已知△ABD、△ACE、△BCF、△ABC均為直角三角形，又因為∠1=∠2=∠3，則有Rt△ABD∽Rt△ACE∽Rt△BCF，利用相似三角形的面積比為邊長平方的比，列出等式，找到從而找到面積之間的關(guān)系；（2）在△ABD、△ACE、△BCF中，∠1=∠2=∠3，∠D=∠E=∠F，可以得到△ABD∽△ACE∽△BCF，利用相似三角形的面積比為邊長平方的比，列出等式，從而找到面積之間的關(guān)系；（3）將不規(guī)則四邊形借助輔助線轉(zhuǎn)換為熟悉的三角形，過點A作AH⊥BP于點H，連接PD，BD，由此可知AP=6，BP=BH+PH=3+3，即可計算出S△ABP，根據(jù)△ABP∽△EDP∽△CBD，從而有S△PED=【詳解】（1）∵△ABC是直角三角形，∴AB∵△ABD、△ACE、△BCF均為直角三角形，且∠1=∠2=∠3，∴Rt△ABD∽Rt△ACE∽Rt△BCF，∴S1S3∴S∴S3（2）成立，理由如下：∵△ABC是直角三角形，∴AB∵在△ABD、△ACE、△BCF中，∠1=∠2=∠3，∠D=∠E=∠F，∴△ABD∽△ACE∽△BCF，∴S1S3∴S∴S3（3）過點A作AH⊥BP于點H，連接PD，BD，∵∠ABH=30°，∴AH=3，BH=3，∵∠BAP=105∴∠HAP=45∴PH=AH=3，∴AP=6，BP=BH+PH=3+∴S△ABP∵PE=2∴PEAP=2∴PEAP∵∠E=∠BAP=105∴△ABP∽△EDP，∴∠EPD=∠APB=45°，∴∠BPD=90°，∴S△PEDS△BPD∵tan∠PBD=∴∠PBD=∵∠ABC=90°∴∠DBC=∵∠C=∴△ABP∽△EDP∽△CBD∴SS四邊形ABCD=S【點睛】（1）（2）主要考查了相似三角形的性質(zhì)，若兩三角形相似，則有面積的比值為邊長的平方，根據(jù)此性質(zhì)找到面積與邊長的關(guān)系即可；（3）主要考查了不規(guī)則四邊形面積的計算以及（2）的結(jié)論，其中合理正確利用前面得出的結(jié)論是解題的關(guān)鍵．?題型04與直角三角形三邊為邊長的圖形面積有關(guān)的規(guī)律探究問題1．（2020·遼寧丹東·中考真題）如圖，在矩形OAA1B中，OA=3，AA1=2，連接OA1，以O(shè)A1為邊，作矩形OA1A2B1使A1A2=23OA1，連接OA2交A1B于點C【答案】34【分析】先尋找規(guī)律求得S矩OAnAn+1【詳解】解：∵四邊形OAA∴∠A=∠B=90°，A1B=OA=3，OB=AA∴∠BA∴OA1=OA∵A1∴A1∴tan∴∠A∴∠BA∴OC=A同理可證OA2=依次類推OAn=故S矩O在矩形OAA1B中，設(shè)OC=根據(jù)勾股定理OB即22+(3?x)∵OA2=(同理可證OC∴S同理可證S故答案為：34【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)，勾股定理，三角形中線有關(guān)的面積計算，探索與表達規(guī)律，解直角三角形．解決此題的關(guān)鍵有兩個：①尋找規(guī)律，求得S矩OAn2．（2024·四川內(nèi)江·二模）如圖，正方形ABCD的邊長為2，其面積標(biāo)記為S1，以CD為斜邊作等腰直角三角形，并以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積標(biāo)記為S2……按照此規(guī)律繼續(xù)下去，則S2024【答案】1【分析】本題考查圖形類規(guī)律類、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理，先根據(jù)題意求得前幾個正方形的面積，繼而可得第n個正方形的邊長為2×22n?1【詳解】解：由題意得，第一個正方形的邊長為2，則S1∵△DEC是等腰直角三角形，∴DC=2∴第二個正方形的邊長為DE=DC∴S2∵△FGH是等腰直角三角形，∴第三個正方形的邊長為22∴S3同理可得，第四個正方形的邊長為12∴S4?，∴第n個正方形的邊長為2×2∴Sn∴S2024故答案為：123．（23-24九年級下·山東聊城·階段練習(xí)）如圖（1），已知小正方形ABCD的面積為1，把它的各邊延長一倍得到新正方形A1B1C1D1；把正方形A1B

【答案】5【分析】本題考查了圖形的變化規(guī)律問題，根據(jù)勾股定理，結(jié)合正方形的面積公式，找出正方形的面積與序數(shù)n的關(guān)系即可，解題的關(guān)鍵是找出正方形的面積與序數(shù)n的關(guān)系．【詳解】由正方形A1B1C1D1正方形A2B2C2D2正方形A3B3C3D3?，正方形AnBn∴當(dāng)n=2024時，正方形A2024B2024故答案為：520244．（2023·山東青島·二模）【問題背景】如圖1，△ABC是一張等腰直角三角形紙板，∠C=90°，AC=BC=2．取AC、BC、AB中點進行第1次剪取，記所得正方形面積為S1，如圖2，在余下的△ADE和△BDF中，分別剪取正方形，得到兩個相同的正方形，稱為第2次剪取，并記這兩個正方形面積和為S2【問題探究】（1）S2（2）如圖3，再在余下的四個三角形中，用同樣方法分別剪取正方形，得到四個相同的正方形，稱為第3次剪取，并記這四個正方形面積和為S3繼續(xù)操作下去…，則第10次剪取時，S10=______；第n【拓展延伸】在第10次剪取后，余下的所有小三角形的面積之和為______．【答案】（1）12；（2）129，【分析】（1）根據(jù)題意，可求得S△AED+S△DBF=（2）同理可得規(guī)律：Sn即是第n（3）依此規(guī)律可得第10次剪取后，余下的所有小三角形的面積之和．本題是四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，得出甲、乙兩種剪法，所得的正方形面積是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：（1）∵四邊形ECFD是正方形，∴DE=EC=CF=DF，∠AED=∠DFB=90°，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠A=∠B=45°，∴AE=DE=EC=DF=BF=EC=CF，∵AC=BC=2，∴DE=DF=1，∴S同理：S2∴S故答案為：12（2）Sn等于第n∴第一次剪取后剩余三角形面積和為：2?S第二次剪取后剩余三角形面積和為：S1第三次剪取后剩余三角形面積和為：S2…第十次剪取后剩余三角形面積和為：S9第n次剪取后剩余三角形面積和為：Sn?1故答案為：129，（3）在第10次剪取后，余下的所有小三角形的面積之和為S9故答案為：12?題型05勾股定理與網(wǎng)格問題正方形網(wǎng)格中的每一個角都是直角，在正方形網(wǎng)格中的長度計算都可以歸結(jié)為求任意兩個點之間的距離，一般情況下都是運用勾股定理來進行計算，關(guān)鍵是確定每一條邊所在的直角三角形.1．（2023·吉林長春·中考真題）圖①、圖②、圖③均是5×5的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點稱為格點．點A、B均在格點上，只用無刻度的直尺，分別在給定的網(wǎng)格中按下列要求作△ABC，點C在格點上．

(1)在圖①中，△ABC的面積為92(2)在圖②中，△ABC的面積為5(3)在圖③中，△ABC是面積為52【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析【分析】（1）以AB=3為底，設(shè)AB邊上的高為?，依題意得S△ABC=12AB·?=92，解得?=3，即點C（2）由網(wǎng)格可知，AB=32+12=10，以AB=10為底，設(shè)AB邊上的高為?，依題意得S△ABC=12AB·?=5，解得?=（3）作BD=AB=5，過點D作CD∥AB，交于格點C，連接A、B【詳解】（1）解：如圖所示，以AB=3為底，設(shè)AB邊上的高為?，依題意得：S解得：?=3即點C在AB上方且到AB距離為3個單位的線段上的格點即可，答案不唯一；（2）由網(wǎng)格可知，AB=以AB=10為底，設(shè)AB邊上的高為?依題意得：S解得：?=將AB繞A或B旋轉(zhuǎn)90°，過線段的另一個端點作AB的平行線，與網(wǎng)格格點的交點即為點C，答案不唯一，（3）如圖所示，作BD=AB=5，過點D作CD∥AB

由網(wǎng)格可知，BD=AB=22+∴△ABD是直角三角形，且AB⊥BD∵CD∴S△ABC【點睛】本題考查了網(wǎng)格作圖，勾股定理求線段長度，與三角形的高的有關(guān)計算；解題的關(guān)鍵是熟練利用網(wǎng)格作平行線或垂直．2．（2023·吉林·中考真題）圖①、圖②、圖③均是5×5的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的頂點稱為格點，線段AB的端點均在格點上．在圖①、圖②、圖③中以AB為邊各畫一個等腰三角形，使其依次為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形，且所畫三角形的頂點均在格點上．

【答案】見解析【分析】根據(jù)勾股定理可得AB=5【詳解】解：如圖所示，

如圖①，AC=AB=12+22如圖②，AD=AB=12+22=5如圖③，AE=AB=12+22【點睛】本題考查了勾股定理與網(wǎng)格問題，等腰三角形的定義，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．3．（2024·廣東·模擬預(yù)測）如圖，在6×7的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1，四邊形ABCD的頂點均在網(wǎng)格的格點上．(1)求sinD(2)操作與計算：用尺規(guī)作圖法過點C作CE⊥AD，垂足為E，并直接寫出CE的長．（保留作圖痕跡，不要求寫出作法）【答案】(1)2(2)圖見解析，6【分析】本題考查了勾股定理和勾股定理的逆定理、正弦、作垂線，熟練掌握正弦的定義是解題關(guān)鍵．（1）先根據(jù)勾股定理和勾股定理的逆定理得出△ACD是以∠ACD為直角的直角三角形，再根據(jù)正弦的定義求解即可得；（2）先以點C為圓心、CA為半徑畫弧交AD于點F，再分別以點A,F為圓心，AC長為半徑畫弧，分別交于點C,G，然后畫直線CG，交AD于點E，則CE即為所作；最后利用正弦的定義即可求出CE的長．【詳解】（1）解：如圖，連接AC，∵AD=12+52∴AC∴△ACD是以∠ACD為直角的直角三角形，∴sinD=（2）解：用尺規(guī)作圖法過點C作CE⊥AD，垂足為E，作圖如下：在Rt△CDE中，CE=CD??題型06勾股定理與折疊問題解決“翻折”問題時，要弄清翻折前后的邊、角的對應(yīng)情況，將待求線段或角與已知線段、角歸結(jié)到一起，尤其是求線段長度時，常常利用勾股定理直接求出未知線段的長度或通過勾股定理列方程使問題得以解決.1．（2024·江蘇常州·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=4，D是邊AC的中點，E是邊BC上一點，連接BD、DE．將△CDE沿DE翻折，點C落在BD上的點F處，則CE=【答案】3【分析】本題考查勾股定理與折疊問題，勾股定理求出BD的長，折疊得到CD=DF，CE=EF,∠EFD=90°，設(shè)CE=x，在Rt△BFE【詳解】解：∵∠ACB=90°，AC=6，BC=4，D是邊AC的中點，∴CD=1∴BD=B∵將△CDE沿DE翻折，點C落在BD上的點F處，∴CD=DF=3，CE=EF,∠EFD=90°，∴BF=BD?DF=2,∠BFE=90°，設(shè)CE=x，則：EF=x,BE=BC?CE=4?x，在Rt△BFE中，由勾股定理，得：4?x解得：x=3∴CE=3故答案為：322．（2023·湖南婁底·中考真題）如圖，點E在矩形ABCD的邊CD上，將△ADE沿AE折疊，點D恰好落在邊BC上的點F處，若BC=10．sin∠AFB=45，則

【答案】5【分析】利用矩形的性質(zhì)及折疊的性質(zhì)可得AD=AF=10，EF=ED，可得AB=AF?sin∠AFB=10×45=8，BF=AF【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD，AD=BC=10，根據(jù)折疊可知，可知AD=AF=10，EF=ED，則，在Rt△ABF中，AB=AF?sin∠AFB=10×∴BF=AF2設(shè)DE=x，則CE=CD?DE=8?x，在Rt△CEF中，EF2解得：x=5，即：DE=5，故答案為：5．【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、解直角三角形，靈活運用折疊的性質(zhì)得到相等線段是解決問題的關(guān)鍵．3．（2023·江蘇揚州·中考真題）如圖，已知正方形ABCD的邊長為1，點E、F分別在邊AD、BC上，將正方形沿著EF翻折，點B恰好落在CD邊上的點B'處，如果四邊形ABFE與四邊形EFCD的面積比為3∶5，那么線段FC的長為

【答案】3【分析】連接BB'，過點F作FH⊥AD于點H，設(shè)CF=x，則DH=x，則BF=1?x，根據(jù)已知條件，分別表示出AE,EH,HD，證明△EHF≌△B'CBASA，得出EH=【詳解】解：如圖所示，連接BB'，過點F作FH⊥AD于點

∵正方形ABCD的邊長為1，四邊形ABFE與四邊形EFCD的面積比為3∶5，∴S四邊形設(shè)CF=x，則DH=x，則BF=1?x∴S即1∴AE=x?∴DE=1?AE=5∴EH=ED?HD=5∵折疊，∴BB∴∠1+∠2=∠BGF=90°，∵∠2+∠3=∴∠1=∠3，又FH=BC=1,∠EHF=∠C∴△EHF≌△B'CB∴EH=在Rt△B即1?x解得：x=3故答案為：38【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．4．（2024·四川廣元·中考真題）已知y=3x與y=kxx>0的圖象交于點A2,m，點B為y軸上一點，將△OAB沿OA翻折，使點B恰好落在y=k

【答案】0,4【分析】本題考查了反比例函數(shù)的幾何綜合，折疊性質(zhì)，解直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．先得出A2,23以及y=43xx>0，根據(jù)解直角三角形得【詳解】解：如圖所示：過點A作AH⊥y軸，過點C作CD⊥x軸，

∵y=3x與y=k∴把A2,m代入y=3x∴A2,2把A2,23代入解得k=2×23∴y=4設(shè)Cm在Rt△AHO∴∠1=30°，∵點B為y軸上一點，將△OAB沿OA翻折，∴∠2=∠1=30°，OC=OB，∴∠3=90°?∠1?∠2=30°，則CDOD解得m=23∴C2∴OB=OC=2∴點B的坐標(biāo)為0，故答案為：0，?題型07勾股定理與無理數(shù)1．（2024·四川南充·中考真題）如圖，已知線段AB，按以下步驟作圖：①過點B作BC⊥AB，使BC=12AB，連接AC；②以點C為圓心，以BC長為半徑畫弧，交AC于點D；③以點A為圓心，以AD長為半徑畫弧，交AB于點E．若AE=mAB，則m

A．5?12 B．5?22 C．【答案】A【分析】本題考查了勾股定理，根據(jù)垂直定義可得∠ABC=90°，再根據(jù)BC=12AB，設(shè)AB=a，然后在Rt△ABC中，利用勾股定理可得【詳解】解：∵BC⊥AB，∴∠ABC=90°，∵BC=12∴BC=1∴AC=A由題意得：AD=AE，∴AE=AD=AC?CD=5∵AE=mAB，∴m=5故選：A2．（2024·貴州貴陽·一模）如圖，BA=BC，在數(shù)軸上點A表示的數(shù)為a，則a的值最接近的整數(shù)是．【答案】?3【分析】本題考查數(shù)軸上的點表示的數(shù)，解題的關(guān)鍵是求出AB，即可得a的值．【詳解】解：由圖可得，BC=2∴A表示的數(shù)比B表示的數(shù)小5，∴a=?1?5∵2<5∴?3<?5∴?4<?1?5∴a的值最接近的整數(shù)是?3，故答案為：?3．3．（2024·山西大同·模擬預(yù)測）為了比較5+1與10的大小，小亮先畫了一條數(shù)軸，然后在原點O處作了一條垂線段OA，且OA=1，點B表示的數(shù)是2，點C表示的數(shù)為3，連接AB，AC，由AB+BC>AC推出5+1>10A．統(tǒng)計思想 B．?dāng)?shù)形結(jié)合 C．模型思想 D．分類討論【答案】B【分析】本題考查了勾股定理、三角形的三邊關(guān)系等知識點，根據(jù)題意可得AB=5【詳解】解：由題意得AB=5∴5該過程利用數(shù)軸，結(jié)合勾股定理可得5+1>故選：B．4．（2024南寧三中模擬）利用勾股定理，可以作出長為2、3、5、?的線段，如圖：在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2，BC=1，則AC的長等于______．在按同樣的方法，可以在數(shù)軸上畫出表示2、3、5、?

（1）在數(shù)軸上作出表示?2的點M（2）在數(shù)軸上作出表示3的點N（尺規(guī)作圖，保留痕跡）．【答案】5；（1）作圖見解析；（2）作圖見解析．【分析】本題考查了勾股定理，在數(shù)軸上表示無理數(shù)，利用勾股定理正確作出直角三角形是解題的關(guān)鍵．利用勾股定理即可求出AC的長度；（1）如圖，在數(shù)軸上作出直角邊為1的等腰直角三角形，由勾股定理得斜邊長為2，以原點為圓心，2為半徑畫圓，與數(shù)軸的負(fù)半軸交于點M，點M表示的數(shù)即為?2（2）如圖，先在數(shù)軸上作出直角邊為1的等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的斜邊為直角邊，另一條直角邊為1作一個直角三角形，由勾股定理可得，它的斜邊為3，然后以原點為圓心，3為半徑畫圓，與數(shù)軸的正半軸交于點N，點N表示的數(shù)即為3；【詳解】解：∵∠B=90°，AB=2，BC=1，∴AC=A故答案為：5；（1）如圖，點M即為所求；（2）如圖，點N即為所求．?題型08利用勾股定理證明線段平方關(guān)系1．（2021·山東棗莊·中考真題）如圖1，對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．（1）概念理解：如圖2，在四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，問四邊形ABCD是垂美四邊形嗎？請說明理由；（2）性質(zhì)探究：如圖1，垂美四邊形ABCD的對角線AC，BD交于點O．猜想：AB2+C（3）解決問題：如圖3，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連結(jié)CE，BG，GE．已知AC=4，AB=5，求GE【答案】（1）四邊形ABCD是垂美四邊形，理由見解析；（2）AB2+C【分析】（1）連接AC,BD，先根據(jù)線段垂直平分線的判定定理可證直線AC是線段BD的垂直平分線，再根據(jù)垂美四邊形的定義即可得證；（2）先根據(jù)垂美四邊形的定義可得AC⊥BD，再利用勾股定理解答即可；（3）設(shè)CE分別交AB于點M，交BG于點N，連接BE,CG，先證明△GAB?△CAE，得到∠ABG=∠AEC，再根據(jù)角的和差可證∠BNM=90°，即CE⊥BG，從而可得四邊形CGEB是垂美四邊形，然后結(jié)合（2）的結(jié)論、利用勾股定理進行計算即可得．【詳解】證明：（1）四邊形ABCD是垂美四邊形，理由如下：如圖，連接AC,BD，∵AB=AD，∴點A在線段BD的垂直平分線上，∵CB=CD，∴點C在線段BD的垂直平分線上，∴直線AC是線段BD的垂直平分線，即AC⊥BD，∴四邊形ABCD是垂美四邊形；（2）猜想AB∵四邊形ABCD是垂美四邊形，∴AC⊥BD，∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°，由勾股定理得：ADAB∴AB（3）如圖，設(shè)CE分別交AB于點M，交BG于點N，連接BE,CG，∵四邊形ACFG和四邊形ABDE都是正方形，∴∠CAG=∠BAE=90°,AG=AC,AB=AE，∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE，在△GAB和△CAE中，AG=AC∠GAB=∠CAE∴△GAB?△CAESAS∴∠ABG=∠AEC，又∵∠AEC+∠AME=90°，∠AME=∠BMN，∴∠ABG+∠BMN=90°，∴∠BNM=90°，即CE⊥BG，∴四邊形CGEB是垂美四邊形，由（2）得：CG∵AB是Rt△ACB的斜邊，且AC=4，AB=5，∴BC2=A在Rt△ACG中，CG在Rt△ABE中，BE∴9+GE解得GE=73或GE=?故GE的長為73．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定定理與性質(zhì)、線段垂直平分線的判定、勾股定理等知識點，正確理解垂美四邊形的定義、靈活運用勾股定理是解題關(guān)鍵．2．（2024·山西朔州·二模）閱讀與思考下面是小宇同學(xué)收集的一篇數(shù)學(xué)小論文，請仔細閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù).構(gòu)圖法在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用構(gòu)圖法指的是構(gòu)造與數(shù)量關(guān)系對應(yīng)的幾何圖形，用幾何圖形中反映的數(shù)量關(guān)系來解決數(shù)學(xué)問題的方法.巧妙地構(gòu)造圖形有助于我們把握問題的本質(zhì)，明晰解題的路徑，也有利于發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論.本文通過列舉一個例子，介紹構(gòu)圖法在解題中的應(yīng)用，例：如圖1，已知P為等邊三角形ABC內(nèi)一點，∠APB=113°，∠APC=123°.求以AP，BP，CP為邊的三角形中各個內(nèi)角的度數(shù).解析：如何求所構(gòu)成的三角形三個內(nèi)角的度數(shù)？由于沒有出現(xiàn)以AP，BP，CP為邊的三角形，問題難以解決.于是考慮通過構(gòu)圖法構(gòu)造長度為AP，BP，CP的三角形來解決問題．解：將△APC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°得△AQB，則△AQB≌△APC．∴BQ=CP，AQ=AP，∠1=∠CAP．由旋轉(zhuǎn)可知∠QAP=60°，∴△APQ是等邊三角形．【依據(jù)】∴QP=AP，∠3=∠4=60°．∴△QBP就是以AP，BP，CP為邊的三角形．∵∠APB=113°，∴∠5=∠APB?∠4=53°．∵∠AQB=∠APC=123°.∴∠6=∠AQB?∠3=63°．∴∠QBP=180°?∠5?∠6=64°．∴以AP，BP，CP為邊的三角形中，三個內(nèi)角的度數(shù)分別為64°，63°，53°.構(gòu)造圖形的關(guān)鍵在于通過圖形的變化，能使抽象的數(shù)量關(guān)系集中在一個圖形上直觀地表達出來，使問題變簡單．任務(wù)：(1)上面小論文中的“依據(jù)”是________．(2)如圖2，已知點P是等邊三角形ABC的邊BC上的一點，若∠APC=102°，則在以線段AP，BP，CP為邊的三角形中，最小內(nèi)角的度數(shù)為________°．(3)如圖3，在四邊形ABCD中，∠ADC=30°，∠ABC=60°，AB=BC．求證：BD【答案】(1)有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形(2)18(3)證明見解析【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，勾股定理：（1）依據(jù)是有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形；（2）將△ACP繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°到△AQB的位置，連接PQ，則△AQB≌△APC，可得△APQ是等邊三角形，則△QBP就是以AP，BP，CP為邊的三角形．根據(jù)全等三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理分別求得三個內(nèi)角的度數(shù)，即可得到答案；（3）連接AC，將△BCD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°到△ACE的位置，連接DE，先證明△ABC是等邊三角形，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得△DCE為等邊三角形，進而可得∠ADE=∠ADC+∠CDE=90°，利用勾股定理即可得證．【詳解】（1）解：依據(jù)是有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形，故答案為：有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形；（2）解：如圖，將△ACP繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°到△AQB的位置，連接PQ，則△AQB≌△APC，∴BQ=CP，AQ=AP，∠1=∠CAP，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知∠QAP=60°，∴△APQ是等邊三角形，∴QP=AP，∠3=∠4=60°，∴△QBP就是以AP，BP，CP為邊的三角形，∵∠APC=102°，∴∠5=180°?∠APC?∠4=180°?102°?60°=18°，∵∠AQB=∠APC=102°，∴∠6=∠APC?∠3=102°?60°=42°，∴∠QBP=180°?∠5?∠6=120°，∵∠5<∠6<∠QBP，∴最小內(nèi)角的度數(shù)為18°，故答案為：18；（3）證明：如圖，連接AC，將△BCD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°到△ACE的位置，連接DE，∵∠ABC=60°，AB=BC，∴△ABC是等邊三角形，∴BC=AB=AC，由旋轉(zhuǎn)可知AE=BD，CE=CD，∠DCE=60°，∴△DCE為等邊三角形，∴DE=DC，∠CDE=60°，∴∠ADE=∠ADC+∠CDE=90°，在Rt△ADE中，由勾股定理得A∴BD3．（2023·湖北武漢·模擬預(yù)測）如圖，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB，CE=CD，△ACB的頂點A在△ECD的斜邊DE上．

(1)判斷∠ACD與∠BCE間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(2)直接寫出線段AD、AE、AC間滿足的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)見解析(2)AD【分析】（1）根據(jù)已知條件得出∠DCE=∠ACB=90°，即∠DCE=∠ACD+∠ACE,∠ACB=∠BCE+∠ACE，即可得出∠ACD=∠BCE；（2）證明△CAD≌△CBE，得出∠CAD=∠CBE，BE=AD，進而根據(jù)四邊形內(nèi)角和為360°，求得∠AEB=90°，進而勾股定理即可得證．【詳解】（1）∠ACD=∠BCE理由如下，∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∴∠DCE=∠ACB=90°，∵∠DCE=∠ACD+∠ACE,∠ACB=∠BCE+∠ACE，∴∠ACD+∠ACE=∠BCE+∠ACE，∴∠ACD=∠BCE；（2）AD如圖所示，連接BE，

由（1）可得∠ACD=∠BCE∵CA=CB,CD=CE∴△CAD≌△CBE∴∠CAD=∠CBE，BE=AD，∵∠CAD+∠CAE=180°∴∠CBE+∠CAE=180°∵∠ACB=90°在四邊形ACBE中，∠AEB=360°?∴△ABE是直角三角形，∴A又△ABC是等腰直角三角形，∴AB=2AC，即又∵BE=AD，∴A【點睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．4．（2023·陜西咸陽·一模）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，O是AB的中點，作∠POQ=90°．分別交AC，BC于點P，Q，連接(1)【嘗試探究】如圖1，若AC=BC，求證AP(2)【深入研究】如圖2，試探索（1）中的結(jié)論在一般情況下是否仍然成立；(3)【解決問題】如圖3，若AC=6，BC=8，點C，P，O，Q在同一個圓上，求△PCQ面積的最大值．【答案】(1)見解析(2)成立，證明見解析(3)625【分析】（1）證明△APO≌△CQO，得到AP=CQ，推出BQ=CP，由勾股定理，得到PQ（2）延長QO至D，使OD=OQ，連接AD,PD,AQ,BD，易得四邊形ADBQ是平行四邊形，得到AD∥BQ,AD=BQ，進而得到∠PAD=90°，AP2+BQ2=AP（3）根據(jù)∠C=90°，推出∠POQ=90°，利用（2）的結(jié)論，設(shè)PC=a,CQ=b，求出a,b之間的關(guān)系式，利用面積公式將三角形的面積轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值即可得解．【詳解】（1）證明：∵∠ACB=90°，AC=BC，∴△ABC是等腰直角三角形，∵點O是AB的中點，∴AO=CO,∠A=∠OCQ=45°,CO⊥AB，∵∠POQ=90°，∴∠AOP=∠COQ=90°?∠COP，∴△AOP≌△COQASA∴AP=CQ，∵AC=BC，∴CP=BQ，∵∠ACB=90°，∴CP∴AP（2）AP證明：延