中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)提升第22講 銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用(練習(xí))(原卷版)

第四章三角形第22講銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用TOC\o"1-1"\n\p""\h\z\u??題型01理解銳角三角函數(shù)的概念??題型02求角的三角函數(shù)值??題型03由三角函數(shù)求邊長(zhǎng)??題型04由特殊角的三角函數(shù)值求解??題型05由特殊角的三角函數(shù)值判斷三角形形狀??題型06特殊角三角函數(shù)值的混合運(yùn)算??題型07根據(jù)特殊角三角函數(shù)值求角的度數(shù)??題型08已知角度比較三角函數(shù)值的大小??題型09利用同角的三角函數(shù)求解??題型10三角函數(shù)綜合??題型11在平面直角坐標(biāo)系中求銳角三角函數(shù)值??題型12特殊角三角函數(shù)值的另類應(yīng)用??題型13在網(wǎng)格中求銳角三角函數(shù)值??題型14解直角三角形的相關(guān)計(jì)算??題型15構(gòu)造直角三角形求不規(guī)則圖形的邊長(zhǎng)或面積??題型16運(yùn)用解直角三角形的知識(shí)解決視角相關(guān)問(wèn)題??題型17運(yùn)用解直角三角形的知識(shí)解決方向角相關(guān)問(wèn)題??題型18運(yùn)用解直角三角形的知識(shí)解決坡角、坡度相關(guān)問(wèn)題??題型19運(yùn)用解直角三角形的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題??題型20運(yùn)用解直角三角形的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題（新考法/新情境）??題型01理解銳角三角函數(shù)的概念1．（2024·廣西·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c，則下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（

）A．sinA=ac B．cosB=ac2．（2022·湖北·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在Rt△ABC中，BD是斜邊AC上的高，AB≠BC，則下列比值中等于sinA的是（A．ADAB B．BDAD C．BDBC3．（2023·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)）圖①、圖②、圖③均是5×5的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)A、B均在格點(diǎn)上，用無(wú)刻度的直尺在給定的網(wǎng)格中按要求畫(huà)圖．(1)在圖①中作△ABC，使tan∠A=1(2)在圖②中作△ABD，使tan∠A=(3)在圖③中作△ABE，使tan∠A=2??題型02求角的三角函數(shù)值4．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）直角三角形的斜邊與一直角邊的比是5:1，且較大的銳角為θ，則sinA．5 B．55 C．12 5．（2024·湖南·模擬預(yù)測(cè)）我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出“趙爽弦圖”，如圖所示，它是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形．若大正方形面積為25，小正方形面積為1，則cosα的值為（

A．34 B．43 C．356．（2025·上海奉賢·一模）等腰三角形ABC中，AB=AC,BD、CE分別是邊AC、AB上的中線，且BD⊥CE，那么tan∠ABC=7．（2024·北京·模擬預(yù)測(cè)）如圖，△ABC是等腰三角形，AB=AC=1，AD⊥BC，BH⊥AC．已知【探究】你能否從這里得出sin2α??題型03由三角函數(shù)求邊長(zhǎng)8．（2025·上海奉賢·一模）在平面直角坐標(biāo)系的第一象限內(nèi)有一點(diǎn)P,OP=10，射線OP與x軸正半軸的夾角為α，如果sinα=35，那么點(diǎn)P9．（2024·陜西咸陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在△ABC中，已知AB=AC，∠BAC=45°，D為直線BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到AE，連接BE，若BC=2，則BE的最小值為．10．（2024·寧夏吳忠·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形ABCD的頂點(diǎn)A，B在x軸上，AB=2，A1，0，∠DAB=60°，將菱形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，得到菱形AB1A．2+3，?3 B．3，?311．（2024·安徽·三模）如圖，△ABC中，AB=30，以AB為直徑的⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，交△ABC的角平分線AD于點(diǎn)D，DE是⊙O的切線，交AC延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．(1)求證：BC∥DE；(2)延長(zhǎng)AB交ED的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，tan∠F=34??題型04由特殊角的三角函數(shù)值求解12．（2024·貴州·模擬預(yù)測(cè)）Rt△ABC中，∠C=90°，∠A:∠B=1:2，則tan∠A的值（A．12 B．32 C．3313．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，三角形的其中兩邊長(zhǎng)如下：AB=π?30+214．（2023·浙江寧波·模擬預(yù)測(cè)）平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A與點(diǎn)B(cos60°,?3)關(guān)于x軸對(duì)稱，如果函數(shù)y=kx15．（2023·山東青島·一模）計(jì)算：sin30°+3??題型05由特殊角的三角函數(shù)值判斷三角形形狀16．（2024·江蘇淮安·一模）在△ABC中，若cosA?22+1?tanB217．（2021·貴州黔西·模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，若∠A，∠B都是銳角，且sinA=12，cosB=1A．鈍角三角形 B．等腰三角形 C．銳角三角形 D．直角三角形??題型06特殊角三角函數(shù)值的混合運(yùn)算18．（2023·四川綿陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）（1）計(jì)算：3?2（2）化簡(jiǎn)求值：m2?2m?19．（2024·湖南·模擬預(yù)測(cè)）先化簡(jiǎn)，再求值：x2?2x?220．（2024·云南昆明·模擬預(yù)測(cè)）計(jì)算：6sin??題型07根據(jù)特殊角三角函數(shù)值求角的度數(shù)21．（23-24九年級(jí)上·福建泉州·期中）某水庫(kù)大壩，其坡面AB的坡度i=1:3，則斜坡AB的坡角的度數(shù)為°22．（2023·云南昆明·模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，已知∠A，∠B是銳角，若tanA?3+2sin23．（2023·遼寧·一模）如圖所示是潛望鏡工作原理的平面示意圖．一條平行光線l經(jīng)鏡面BC反射到EF后得到光線m，且l∥m．虛線所示為光線反射軌跡．若測(cè)得兩條平行光線間的距離為3，虛線長(zhǎng)度為2，則虛線與m所夾鈍角的度數(shù)為（

）A．110° B．120° C．135° D．150°24．（2023·安徽六安·二模）如圖，⊙C過(guò)原點(diǎn)O，與x軸、y軸分別交于A?D兩點(diǎn)，已知C?1,n,OD=23

??題型08已知角度比較三角函數(shù)值的大小25．（2020·甘肅張掖·模擬預(yù)測(cè)）若0°<α<90°，則下列說(shuō)法不正確的是（

）A．sinα隨α的增大而增大 B．cosα隨α的減小而減小C．tanα隨α的增大而增大 D．0<sinα<126．（2020·內(nèi)蒙古·二模）在直角三角形ABC中，角C為直角，銳角A的余弦函數(shù)定義為，寫(xiě)出sin70o、cos40o、cos50o的大小關(guān)系．27．（2023·上海靜安·一模）如果0°<∠A<60°，那么sinA與cosA．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不能確定28．（2023·江蘇蘇州·一模）化簡(jiǎn)sin28°?cos28°A．sin28°?cosC．cos28°?sin??題型09利用同角的三角函數(shù)求解29．（2024·江蘇泰州·二模）如圖，△ABC中，∠ACB=90°，BD⊥AB，BD=AB，連接CD，若要計(jì)算△BCD的面積，只需知道（

）A．AB長(zhǎng) B．AC長(zhǎng) C．CD長(zhǎng) D．BC長(zhǎng)30．（2024九年級(jí)下·浙江·專題練習(xí)）如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C是弧AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D在圓O上，點(diǎn)E在AB的延長(zhǎng)線上，且EF=ED．

(1)求證：DE是⊙O的切線；(2)連接BC，若tan∠BCD=12，DE=631．（2023·江蘇淮安·二模）如圖，已知AB是⊙O的直徑，OE∥BC，AE的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)D，∠ABC=2∠CAD．(1)求證：AC是⊙O的切線；(2)若CD=2，tan∠CAD=1332．（2023·海南?？凇つM預(yù)測(cè)）如圖，直線l1∥l2∥l3∥l4，相鄰兩條平行直線間的距離都是2，如果正方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)分別在四條直線上，A．3 B．4 C．5 D．6??題型10三角函數(shù)綜合33．（2024·山西朔州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，AB是⊙O的切線，P為切點(diǎn)，連接OA，OB，分別與⊙O相交于點(diǎn)C，點(diǎn)D，若∠A=30°，AP=23，BP=2，則CDA．7π3 B．4π3 C．34．（2023·上海普陀·三模）如圖，已知△ABC是等邊三角形，點(diǎn)B、C、D、E在同一直線上，且CG=CD，DF=DE，則tanE=35．（2024·山東濰坊·模擬預(yù)測(cè)）如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，CD∥OE，直線CE是線段OD的垂直平分線，CE分別交OD，AD于點(diǎn)F，G，連接DE．當(dāng)CD=4時(shí)，求EG的長(zhǎng)．??題型11在平面直角坐標(biāo)系中求銳角三角函數(shù)值36．（2023·江蘇蘇州·二模）如圖，點(diǎn)O為坐標(biāo)系原點(diǎn)，點(diǎn)A為y軸正半軸上一點(diǎn)，點(diǎn)B為第一象限內(nèi)一點(diǎn)，OA=AB，∠OAB=90°，將△OAB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)銳角度數(shù)至△OA'B'，此時(shí)反比例函數(shù)y=kxk>0剛好經(jīng)過(guò)OA',OB'的中點(diǎn)，則tanA．12 B．5?12 C．337．（2022·河南商丘·三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A坐標(biāo)為0,3，點(diǎn)B在x軸上．(1)在坐標(biāo)系中求作一點(diǎn)M，使得點(diǎn)M到點(diǎn)A，點(diǎn)B和原點(diǎn)O這三點(diǎn)的距離相等，在圖中保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法；(2)若函數(shù)y=kx的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)M，且sin∠OAB=38．（2022·江蘇常州·一模）如圖，平面直坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y=kx+b的圖象與反比例函數(shù)y=kxk>0的圖象交于A，B兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)D，已知OA=10，sin∠AOC=(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式；(2)求一次函數(shù)的表達(dá)式．39．（2023·河北張家口·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A1,1；B1,?1，直線l的解析式為y=kx+b，點(diǎn)A，點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)分別為點(diǎn)A(1)當(dāng)k=1時(shí)，①若點(diǎn)A'的坐標(biāo)為2,0，則A'B'的長(zhǎng)為_(kāi)_____，b的值為_(kāi)_____，此時(shí)②若AA'=(2)當(dāng)b=0時(shí)，若點(diǎn)A'，B'都在直線a上，且直線a經(jīng)過(guò)點(diǎn)C0,2，直接寫(xiě)出直線l??題型12特殊角三角函數(shù)值的另類應(yīng)用40．（23-24九年級(jí)上·四川巴中·階段練習(xí)）進(jìn)入高中后，我們還會(huì)學(xué)到下面的三角函數(shù)公式：sin(α+β)=sinαtan(α+β)=(1)sin(2)cos41．（23-24九年級(jí)上·山東菏澤·期中）下面是我們將在高中階段所要學(xué)習(xí)的一個(gè)內(nèi)容，請(qǐng)先閱讀這段內(nèi)容．再解答問(wèn)題，三角函數(shù)中常用公式sinα+β=sinαcosβ+cosαsinβ，求sin75°??題型13在網(wǎng)格中求銳角三角函數(shù)值42．（2024·云南楚雄·模擬預(yù)測(cè)）如圖，是由7×5的小正方形組成的網(wǎng)格，小正方形的邊長(zhǎng)均為1，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則sin∠ABC的值是（

A．53434 B．33434 C．43．（2024·廣東佛山·三模）如圖，網(wǎng)格中的點(diǎn)A、B、C、D都在小正方形頂點(diǎn)上，連接AB、CD交于點(diǎn)P，則∠BPC的正切值是（

）A．2 B．32 C．52 44．（2024·貴州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，A、B、C、D四點(diǎn)均在由邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格格點(diǎn)上，則sinB+sinDA．3102+522 B．345．（2024·山東淄博·一模）如圖，在邊長(zhǎng)相等的小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C，D，E都在網(wǎng)格的格則∠ADC的正弦值為（

）A．102 B．13 C．23??題型14解直角三角形的相關(guān)計(jì)算46．（2024·安徽蚌埠·模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，∠A=30°,BD,CE分別是邊AC,AB上的高，則DEBC=（A．13 B．12 C．2247．（2024·河北石家莊·二模）如圖，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，點(diǎn)P為CD的中點(diǎn)，若點(diǎn)P繞AB上的點(diǎn)Q旋轉(zhuǎn)后可以與點(diǎn)B重合，則AQ的長(zhǎng)為（

）A．6 B．116 C．3 48．（2024·四川綿陽(yáng)·三模）如圖△ABC中，tan∠C=12，DE⊥AC，若CE=5，DE=1，且△BEC的面積是△ADE面積的10倍，則BEA．52 B．72 C．5 49．（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)E是△ABC的內(nèi)心，AE的延長(zhǎng)線和△ABC的外接圓相交于點(diǎn)D，∠ACB=60°，AB=53，BC=8，則△BDE的面積是（

A．10 B．85 C．2534??題型15構(gòu)造直角三角形求不規(guī)則圖形的邊長(zhǎng)或面積50．（2020·浙江金華·一模）如圖，點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)G從點(diǎn)B出發(fā)沿BC方向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)出發(fā)且速度相同，DE=GF<AB（DE長(zhǎng)度不變，F(xiàn)在G上方，D在E左邊），當(dāng)點(diǎn)D到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)E停止運(yùn)動(dòng)．在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，圖中陰影部分面積的大小變化情況是（）

A．一直減小 B．一直不變 C．先減小后增大 D．先增大后減小51．（2023·北京東城·模擬預(yù)測(cè)）已知：如圖，在△ABC中，D是AB邊上一點(diǎn)，圓O過(guò)D、B、C三點(diǎn)，∠DOC=2(1)求證：直線AC是圓O的切線；(2)若OD⊥OC，∠ACB=75°，圓O的半徑為4，求BC52．（2023·四川樂(lè)山·模擬預(yù)測(cè)）如圖，AB為⊙O的直徑，AC是⊙O的一條弦，D為弧BC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為AC的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)E，連接DA．(1)求證：DE是⊙O的切線；(2)延長(zhǎng)ED交AB的延長(zhǎng)線于F，若AE=8，tan∠ADE=2，求BF53．（2023·四川綿陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C是⊙O上一點(diǎn)，CD與⊙O相切于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥DC，連接AC，BC，BC=2．(1)求證：AC(2)若ADAB=354．（2023·四川達(dá)州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，BC是⊙O的弦，AB是⊙O的直徑，E是OB的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB，連接FC并延長(zhǎng)交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，已知∠F=2∠B．(1)判斷DF與⊙O的位置關(guān)系，并給予證明；(2)若∠B=30°，EF=53??題型16運(yùn)用解直角三角形的知識(shí)解決視角相關(guān)問(wèn)題55．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）某公園里有一座涼亭，亭蓋呈圓錐狀，如圖所示，涼亭的頂點(diǎn)為O，點(diǎn)O在圓錐底面、地面上的正投影分別為點(diǎn)O1，O2，點(diǎn)P為圓錐底面的圓上一點(diǎn)，數(shù)據(jù)顯示，該圓錐的底面半徑為2米（即O1(1)若OO(2)現(xiàn)計(jì)劃對(duì)亭蓋的外部進(jìn)行噴漆作業(yè)，需測(cè)算亭蓋的外部面積（即圓錐的側(cè)面積）．因涼亭內(nèi)堆積建筑材料，導(dǎo)致無(wú)法直接測(cè)量OO2的高度，工人先在水平地面上選取觀測(cè)點(diǎn)A，B（A，B，O2在同一直線上），利用測(cè)角儀分別測(cè)得點(diǎn)O的仰角為α，β，其中tanα=12，tanβ=25，再測(cè)得A，B56．（2022·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）如圖，某無(wú)人機(jī)興趣小組在操場(chǎng)上開(kāi)展活動(dòng)，此時(shí)無(wú)人機(jī)在離地面30米的D處，無(wú)人機(jī)測(cè)得操控者A的俯角為30°，測(cè)得點(diǎn)C處的俯角為45°．又經(jīng)過(guò)人工測(cè)量操控者A和教學(xué)樓BC距離為57米，則教學(xué)樓BC的高度為多少米？（3≈1.7357．（2024·貴州·模擬預(yù)測(cè)）甲秀樓位于貴陽(yáng)市南明河上，一座三層三檐四角攢尖頂?shù)哪窘Y(jié)構(gòu)建筑，始建于明代，后經(jīng)多次修繕，至今仍保持著古樸典雅的風(fēng)貌，樓內(nèi)雕梁畫(huà)棟，美輪美奐．在綜合與實(shí)踐活動(dòng)中，某學(xué)習(xí)小組要利用測(cè)角儀測(cè)量甲秀樓的高度，如圖，AB前有一座高為DE的觀景臺(tái)，已知CD=12m，∠DCE=30°，點(diǎn)E，C，A在同一條水平直線上．在觀景臺(tái)C處測(cè)得塔頂部B的仰角為45°，在觀景臺(tái)D處測(cè)得塔頂部B的仰角為27°(1)求DE的長(zhǎng)；(2)求塔AB的高度．（tan27°≈0.5，??題型17運(yùn)用解直角三角形的知識(shí)解決方向角相關(guān)問(wèn)題58．（2024·內(nèi)蒙古包頭·模擬預(yù)測(cè)）如圖，一艘輪船在海面上航行，準(zhǔn)備要?？康酱a頭C，當(dāng)輪船航行到A處時(shí)，測(cè)得碼頭C在北偏東60°方向上，此時(shí)收到北偏東30°方向B處的一發(fā)生故障漁船的求助信號(hào)，這艘輪船調(diào)整航向，沿著AB方向繼續(xù)航行30海里到達(dá)B處對(duì)漁船進(jìn)行了救助，又沿著南偏東70°方向航行到達(dá)碼頭C．(1)求∠C的度數(shù)；(2)求輪船從A處到碼頭C距離．（結(jié)果精確到1海里．參考數(shù)據(jù)：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.259．（2024·湖北恩施·一模）釣魚(yú)島自古以來(lái)就是我國(guó)的神圣領(lǐng)土，為維護(hù)國(guó)家主權(quán)和海洋權(quán)利，我國(guó)海監(jiān)和漁政部門對(duì)釣魚(yú)島海域?qū)崿F(xiàn)了常態(tài)化巡航管理．如圖，某日在我國(guó)釣魚(yú)島附近海域有兩艘自西向東航行的海監(jiān)船A、B，B船在A船的正東方向，且兩船保持40海里的距離，某一時(shí)刻兩海監(jiān)船同時(shí)測(cè)得在A的東北方向，B的北偏東15°方向有一我國(guó)漁政執(zhí)法船C．(1)求cos∠ACB的值．（保留2個(gè)有效數(shù)字，2≈1.414，(2)求此時(shí)船C與船B的距離是多少．（結(jié)果保留根號(hào)）60．（2024·上海浦東新·一模）如圖1是古代數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》中對(duì)“邑的計(jì)算”的相關(guān)研究．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組也類比進(jìn)行了如下探究：如圖2，正八邊形游樂(lè)城A1A2A3A4A5A6A7A8的邊長(zhǎng)為22km，南門O設(shè)立在A6A(1)∠CA1A2=__________°(2)求點(diǎn)A1到道路BC(3)若該小組成員小李出南門O后沿道路MB向東行走，求她離B處不超過(guò)多少千米，才能確保觀察雕塑不會(huì)受到游樂(lè)城的影響？（結(jié)果精確到0.1km，參考數(shù)據(jù)：2≈1.41，cos14°≈0.97，cot14°≈4，??題型18運(yùn)用解直角三角形的知識(shí)解決坡角、坡度相關(guān)問(wèn)題61．（2024·湖北宜昌·三模）如圖是某地下停車庫(kù)入口的設(shè)計(jì)示意圖，延長(zhǎng)CD與AB交于E點(diǎn)，已知坡道AB的坡比i=1:2.4是指坡面的鉛直高度CE與水平寬度AC的比，AC的長(zhǎng)為7.2米，CD的長(zhǎng)為0.4米．(1)請(qǐng)求出DE的長(zhǎng)？(2)按規(guī)定，車庫(kù)坡道口上方需張貼限高標(biāo)志，根據(jù)圖中所給數(shù)據(jù)，確定該車庫(kù)入口的限高數(shù)值（即點(diǎn)D到AB的距離）．62．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）某商場(chǎng)從安全和便利的角度出發(fā)，為提升顧客的購(gòu)物體驗(yàn)，準(zhǔn)備將自動(dòng)扶梯由原來(lái)的階梯式改造成斜坡式，如圖，已知商場(chǎng)的層高AD為6m，坡角∠ABD為30°，改造后的斜坡式自動(dòng)扶梯的坡角∠ACB=16°，請(qǐng)你計(jì)算改造后的自動(dòng)扶梯增加的占地長(zhǎng)度BC=（結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：sin16°≈0.28，cos63．（2024·湖北黃岡·模擬預(yù)測(cè)）如圖，攔水壩的橫斷面為梯形ABCD，AD=3m，壩高AE=DF=6m，斜坡CD的坡度為1:3，斜坡AB的坡角∠B=45°??題型19運(yùn)用解直角三角形的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題64．（2025·上海奉賢·一模）桔槔gao是古代漢族的一種農(nóng)用工具，也是一種原始的汲水工具，它的工作原理基于杠桿原理，通過(guò)一根豎立的支架加上一根杠桿，當(dāng)中是支點(diǎn)，末端懸掛一個(gè)重物，前段懸掛水桶．當(dāng)人把水桶放入水中打滿水以后，由于杠桿末端的重力作用，便能輕易把水提拉至所需處．這種工具可以省力地進(jìn)行汲水，減輕勞動(dòng)者的勞動(dòng)強(qiáng)度．如圖所示，線段OM代表固定支架，點(diǎn)D、點(diǎn)C分別代表重物和水桶，線段BD、AC是無(wú)彈力、固定長(zhǎng)度的麻繩，繩長(zhǎng)AC=3米，木質(zhì)杠桿AB=6米．(1)當(dāng)水桶C的位置低于地面0.5米（如圖1所示），支架OM與繩子BD之間的距離OH是1.6米，且cotB=0.75，求這個(gè)桔槔支架OM(2)向上提水桶C上升到地面上方0.6米（如圖2所示），求此時(shí)重物D相對(duì)于（1）中的位置下降的高度．65．（2025·甘肅·模擬預(yù)測(cè)）某校三個(gè)數(shù)學(xué)研究小組測(cè)量某古城墻的高度．測(cè)量方案與測(cè)量數(shù)據(jù)如下表：項(xiàng)目測(cè)量古城墻的高度測(cè)量工具測(cè)角儀，皮尺等測(cè)量小組第一小組第二小組第三小組測(cè)量方案說(shuō)明點(diǎn)A，B在古城墻的地面邊緣線EF上，點(diǎn)C，D在古城墻的上部邊緣線GH上，且EF∥GH測(cè)量數(shù)據(jù)∠CAB=65.6°，∠CBA=39.4°，AB=22∠DAB=65.6°，∠CBA=39.4°，AB=15∠CAF=65.6°，∠CBA=39.4°，AB=10問(wèn)題解決：(1)直接指出所有可行方案的小組；(2)在可行方案的小組里，任選一種方案，按照所測(cè)數(shù)據(jù)，計(jì)算古城墻的高度；(精確到1m，參考數(shù)據(jù)：sin65.6°≈0.9，cos65.6°≈0.4，tan65.6°≈2.2，sin39.4°≈0.6(3)計(jì)算的古城墻的高度和實(shí)際結(jié)果有一定的誤差，請(qǐng)?zhí)岢鲆粭l減小誤差的合理建議．66．（2025·安徽·模擬預(yù)測(cè)）生活中，我們經(jīng)常用平均速度的大小來(lái)描述物體的運(yùn)動(dòng)快慢．如圖為某校物理興趣小組利用小球在斜面上運(yùn)動(dòng)模擬汽車區(qū)間測(cè)速的裝置．先將木板CE墊成傾斜角為12°的斜面，讓小球從E點(diǎn)（此時(shí)小球的速度為0）沿斜面下滑到C點(diǎn)，測(cè)出這一過(guò)程中小球運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為2s，再將同樣長(zhǎng)度的木板放置在AB處，使點(diǎn)A在CE上，且B，C，D在同一水平線上，測(cè)得BC=50cm，此時(shí)傾斜角為8°，按照同樣的條件測(cè)得小球從A點(diǎn)沿斜面運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)所用的時(shí)間為4s．求木板端點(diǎn)A到BD的高度．（結(jié)果保留一位小數(shù)．參考數(shù)據(jù)：sin8°≈0.14，cos8°≈0.99，tan8°≈0.14，67．（2025·山東臨沂·一模）某中學(xué)為新操場(chǎng)采購(gòu)了一批可調(diào)節(jié)高度的籃球架，右圖是其側(cè)面示意圖，底座高度忽略不計(jì)．已知其支架AD=221cm，DE=140cm，安裝完畢后小明測(cè)得∠CAB=72°，∠ADE=138°，國(guó)家規(guī)定中學(xué)生所用籃球架中籃筐距地面標(biāo)準(zhǔn)高度約為280cm??題型20運(yùn)用解直角三角形的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題（新考法/新情境）68．（2024·黑龍江綏化·一模）根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù)．素材1圖①是寧寧家安裝的戶外遮陽(yáng)篷．圖②是其側(cè)面示意圖，已知該遮陽(yáng)篷安裝在垂直于地面BC的墻面上，篷面安裝點(diǎn)A離地面4米，篷面與墻面的夾角∠DAB=60°，篷面寬AD=3米．除此之外，為了保障遮陽(yáng)篷的穩(wěn)定性，還加裝了支架MN穩(wěn)定篷面．支架MN的安裝方式如下：點(diǎn)M固定在墻面上，位于點(diǎn)A的正下方，即點(diǎn)A，M，B共線；點(diǎn)N固定在篷面上離A點(diǎn)1米處（點(diǎn)A，N，D共線），即AN=1米，支架MN與墻面的夾角∠AMN=45°．素材2寧寧所在地區(qū)某天下午不同時(shí)間的太陽(yáng)高度角α（太陽(yáng)光線與地面的夾角）的正切值參照表：時(shí)刻12點(diǎn)13點(diǎn)14點(diǎn)15點(diǎn)角α的正切值432.52素材3寧寧養(yǎng)了一株龍舌蘭（圖③），該植物喜陽(yáng)，所以寧寧經(jīng)常把龍舌蘭搬到能被太陽(yáng)光照射到的地方，以保證龍舌蘭有充足的光照，如圖②，這株龍舌蘭擺放的位置記為點(diǎn)E．任務(wù)1確定安裝點(diǎn)請(qǐng)求出支架MN的固定點(diǎn)M與A點(diǎn)的距離AM的長(zhǎng)．任務(wù)2確定影子長(zhǎng)請(qǐng)求出這天13點(diǎn)時(shí)遮陽(yáng)篷落在地面上影子的長(zhǎng)度．任務(wù)3判斷能否照射到這天14點(diǎn)，寧寧將龍舌蘭擺放到點(diǎn)E處，為了保證龍舌蘭能被太陽(yáng)光照射到，請(qǐng)求出此時(shí)擺放點(diǎn)離墻角距離的取值范圍．69．（2023·江西吉安·三模）學(xué)科綜合：我們?cè)谖锢韺W(xué)科中學(xué)過(guò)：光線從空氣射入水中會(huì)發(fā)生折射現(xiàn)象（如圖1），我們把n=sinαsinβ稱為折射率（其中α觀察實(shí)驗(yàn)：為了觀察光線的折射現(xiàn)象，設(shè)計(jì)了圖2所示的實(shí)驗(yàn)，即通過(guò)細(xì)管MN可以看見(jiàn)水底的物塊C，但不在細(xì)管MN所在直線上，圖3是實(shí)驗(yàn)的示意圖，四邊形ABFE為矩形，點(diǎn)A，C，B在同一直線上，測(cè)得BF=12cm，DF=16(1)求入射角α的度數(shù)．(2)若BC=7cm，求光線從空氣射入水中的折射率n．（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈45，70．（2023·四川達(dá)州·模擬預(yù)測(cè)）閱讀理解：如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別為a，b，c（注：sin90°=1∵sinA=ac，sinB=bc∵sin90°=1，拓展探究：如圖2，在銳角△ABC中，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別為a，b，c．思考特例中的結(jié)論asin解決問(wèn)題：如圖3，為測(cè)量點(diǎn)A到河對(duì)岸點(diǎn)B的距離，選取與點(diǎn)A在河岸同一側(cè)的點(diǎn)C，測(cè)得AC=40m，∠A=75°，∠C=60°．請(qǐng)用前面的結(jié)論，求點(diǎn)A到點(diǎn)B71．（2024·江西南昌·模擬預(yù)測(cè)）圖1是某折疊資料架，圖2為其側(cè)面示意圖，已知AB∥CD∥EF∥GH，MC∥BE∥DG∥FO，M，N，P，Q四點(diǎn)分別是AB，CD，EF，GH的中點(diǎn)（N，P兩點(diǎn)也分別在BE和DG上），F(xiàn)O⊥底座HI，垂足為O，經(jīng)測(cè)量，(1)求證：四邊形MBNC為菱形．(2)求折疊資料架的高（點(diǎn)A到底座HI的距離）．（參考數(shù)據(jù)：sin48°≈0.7472．（2024·河北邯鄲·模擬預(yù)測(cè)）裝有水的水槽放置在水平臺(tái)面上，其橫截面是以AB為直徑的半圓O，AB=10cm，如圖1和圖2所示，CD為水面截線，MN為臺(tái)面截線，MN∥CD，半圓O與MN相切于水槽最低點(diǎn)P．如圖1，初始情況下A，C重合，∠AOP=60°(1)求圓心O到水面CD的距離；(2)探究圖1中的水槽沿MN向右無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng)，使水流出一部分，當(dāng)CD=8cm時(shí)停止?jié)L動(dòng)，此時(shí)B，D①求水位下降的高度；②求圓心移動(dòng)的距離，并比較圓心移動(dòng)的距離與半徑的大?。▍⒖紨?shù)據(jù)：sin53°=4573．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）【項(xiàng)目式學(xué)習(xí)】探究古代建筑，屋檐之上的數(shù)學(xué)密碼——探究屋面結(jié)構(gòu)與建筑高度的關(guān)系背景介紹在世界的歷史長(zhǎng)河中，中國(guó)的古建筑最具有視覺(jué)美感，歷史源遠(yuǎn)流長(zhǎng)、綿延不絕．大詩(shī)人李白的詩(shī)句：“危樓高百尺，手可摘星辰”，表述了他對(duì)建筑、數(shù)學(xué)以及宇宙星辰的認(rèn)知．而中國(guó)古建筑屋頂是我國(guó)傳統(tǒng)建筑造型藝術(shù)中非常重要的構(gòu)成因素，不僅樣式多，而且組成部分也很繁雜．中國(guó)屋頂多為坡屋面，從頂上屋脊或?qū)氻數(shù)较逻叺奈蓍苁且粋€(gè)向下彎曲的凹弧面，表達(dá)出順應(yīng)自然的謙卑，似與天空恰當(dāng)而友善的對(duì)話．而彎曲屋面的出現(xiàn)，經(jīng)歷了漫長(zhǎng)的過(guò)程．其中最具代表的就是兩宋的建筑成就．建筑高度是建筑設(shè)計(jì)中的一個(gè)重要參數(shù)．學(xué)習(xí)小組的同學(xué)想要更全面具體地了解宋代建筑與數(shù)學(xué)的關(guān)系，來(lái)到了宋代建筑代表作——山西太原的晉祠圣母殿．想通過(guò)建模的方式探究屋面結(jié)構(gòu)與建筑高度的關(guān)系．實(shí)踐任務(wù)以晉祠圣母殿為例，通過(guò)建模的方式，探究屋面結(jié)構(gòu)與建筑高度的關(guān)系．資料查閱1、晉祠圣母殿是常見(jiàn)的坡屋面式結(jié)構(gòu)之一，在《建筑設(shè)計(jì)防火規(guī)范》（GB50016-2014）（2018年版）A．0.1條中，建筑高度應(yīng)為建筑室外設(shè)計(jì)地面至其檐口與屋脊的平均高度，即：建筑高度(?)=室外設(shè)計(jì)地面至檐口的高度（?1）+(如圖1，建筑高度?=?12、如圖2，根據(jù)晉祠圣母殿和《營(yíng)造法式》中的幾個(gè)典型的屋面剖面圖的資料總結(jié)得出，從檐口到屋脊，坡屋面豎直高度?2/半坡寬度W≈0.5模型初建將晉祠圣母殿的屋面近似成平面結(jié)構(gòu)，其剖面圖可以簡(jiǎn)化成數(shù)學(xué)幾何圖形（簡(jiǎn)化為一層房檐)．如圖3，△ABC為等腰三角形，AB=AC，假定BC=8米，DF=10米．

圖3模型優(yōu)化屋面除了審美需求，也要便于房屋采光和排水．晉祠圣母殿的屋面正是中國(guó)古建筑中最具代表的凹曲屋面，使建筑物產(chǎn)生獨(dú)特而強(qiáng)烈的視覺(jué)效果和藝術(shù)感染力．學(xué)習(xí)小組通過(guò)查閱資料可知，屋面可以近似看作圓心角為30o的圓?。鐖D所示，弧AB和弧AC是半徑為17m、圓心角為30o的圓弧，檐口B到地面的距離為15補(bǔ)充模型從對(duì)屋頂曲線進(jìn)行數(shù)學(xué)模擬時(shí)，卻發(fā)現(xiàn)圓弧的擬合度并非最佳．學(xué)習(xí)小組的同學(xué)經(jīng)過(guò)探索，發(fā)現(xiàn)運(yùn)用到了最速降線的理論．最速降線可以使得物體下滑所需時(shí)間最短，達(dá)到排水的目的．古人如何造出“最速降線”的呢？查閱資料得知，宋朝古人利用“舉折法”測(cè)定屋頂坡度及屋蓋曲面線．如圖5所示，折線C?M1?M2?M3?A為宋代常見(jiàn)的一種屋頂建筑．N1、N2、N3是△ABC中AB邊上的四等分點(diǎn)，過(guò)N1作N1P1⊥AB交AC于P1，將P1降低110BC米得到M1，連接AM1；重復(fù)上述步驟，過(guò)N2作N“舉之峻慢，折之圓和”，求此曲面線，謂之定側(cè)樣．這就是古代的“舉折法”．

圖5問(wèn)題解決任務(wù)1模型初建（1）根據(jù)“資料查閱”第一條，求出簡(jiǎn)易圖中的建筑高度；任務(wù)2模型優(yōu)化（2）根據(jù)“資料查閱”兩條內(nèi)容，直接寫(xiě)出屋脊A與檐口B的豎直高度h2和建筑高度h（結(jié)果保留整數(shù)部分，3≈1.7任務(wù)3補(bǔ)充模型（3）若M3N31．（2024·山西·中考真題）如圖，在?ABCD中，AC為對(duì)角線，AE⊥BC于點(diǎn)E，點(diǎn)F是AE延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且∠ACF=∠CAF，線段的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G．若AB=5，AD=4，tan∠ABC＝2，則2．（2024·寧夏·中考真題）如圖1是三星堆遺址出土的陶盉（hè），圖2是其示意圖．已知管狀短流AB=2cm，四邊形BCDE是器身，BE∥CD,BC=DE=11cm,∠ABE=120°,∠CBE=80°．器身底部CD距地面的高度為21.5cm，則該陶盉管狀短流口A距地面的高度約為cm（結(jié)果精確到3．（2024·內(nèi)蒙古·中考真題）實(shí)驗(yàn)是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的重要途徑．如圖是小亮同學(xué)安裝的化學(xué)實(shí)驗(yàn)裝置，安裝要求為試管口略向下傾斜，鐵夾應(yīng)固定在距試管口的三分之一處．現(xiàn)將左側(cè)的實(shí)驗(yàn)裝置圖抽象成右側(cè)示意圖，已知試管AB=24cm,BE=13AB(1)求試管口B與鐵桿DE的水平距離BG的長(zhǎng)度；（結(jié)果用含非特殊角的三角函數(shù)表示）(2)實(shí)驗(yàn)時(shí)，導(dǎo)氣管緊靠水槽壁MN，延長(zhǎng)BM交CN的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，且MN⊥CF于點(diǎn)N（點(diǎn)C，D，N，F(xiàn)在一條直線上），經(jīng)測(cè)得：DE=28cm，MN=8cm，4．（2024·黑龍江大慶·中考真題）如圖，△ABC為⊙O的內(nèi)接三角形，AB為⊙O的直徑，將△ABC沿直線AB翻折到△ABD，點(diǎn)D在⊙O上．連接CD，交AB于點(diǎn)E，延長(zhǎng)BD，CA，兩線相交于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)A作⊙O的切線交BP于點(diǎn)G．(1)求證：AG∥CD；(2)求證：PA(3)若sin∠APD=13，PG=65．（2024·黑龍江大慶·中考真題）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸的正半軸上，點(diǎn)B，C在第一象限，四邊形OABC是平行四邊形，點(diǎn)C在反比例函數(shù)y=kx的圖象上，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為2，點(diǎn)提示：在平面直角坐標(biāo)系中，若兩點(diǎn)分別為P1x1,y1，(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式；(2)如圖2，點(diǎn)D是AB邊的中點(diǎn)，且在反比例函數(shù)y=kx圖象上，求平行四邊形(3)如圖3，將直線l1:y=?34x向上平移6個(gè)單位得到直線l2，直線l2與函數(shù)y=kxx>0圖象交于M1，M2兩點(diǎn)，點(diǎn)P為6．（2024·江蘇南通·中考真題）綜合與實(shí)踐：九年級(jí)某學(xué)習(xí)小組圍繞“三角形的角平分線”開(kāi)展主題學(xué)習(xí)活動(dòng)．【特例探究】（1）如圖①，②，③是三個(gè)等腰三角形（相關(guān)條件見(jiàn)圖中標(biāo)注），列表分析兩腰之和與兩腰之積．等腰三角形兩腰之和與兩腰之積分析表圖序角平分線AD的長(zhǎng)∠BAD的度數(shù)腰長(zhǎng)兩腰之和兩腰之積圖①160°244圖②145°222圖③130°__________________請(qǐng)補(bǔ)全表格中數(shù)據(jù)，并完成以下猜想．已知△ABC的角平分線AD=1，AB=AC，∠BAD=α，用含α的等式寫(xiě)出兩腰之和AB+AC與兩腰之積AB?AC之間的數(shù)量關(guān)系：______．【變式思考】（2）已知△ABC的角平分線AD=1，∠BAC=60°，用等式寫(xiě)出兩邊之和AB+AC與兩邊之積AB?AC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【拓展運(yùn)用】（3）如圖④，△ABC中，AB=AC=1，點(diǎn)D在邊AC上，BD=BC=AD．以點(diǎn)C為圓心，CD長(zhǎng)為半徑作弧與線段BD相交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作任意直線與邊AB，BC分別交于M，N兩點(diǎn)．請(qǐng)補(bǔ)全圖形，并分析1BM1．（2024·山東日照·中考真題）如圖，在菱形ABCD中，AB=2,∠B=120°，點(diǎn)O是對(duì)角線AC的中點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心，OA長(zhǎng)為半徑作圓心角為60°的扇形OEF，點(diǎn)D在扇形OEF內(nèi)，則圖中陰影部分的面積為（

）A．π2?34 B．π?2．（2024·山東日照·中考真題）潮汐塔是萬(wàn)平口區(qū)域內(nèi)的標(biāo)志性建筑，在其塔頂可俯視景區(qū)全貌．某數(shù)學(xué)興趣小組用無(wú)人機(jī)測(cè)量潮汐塔AB的高度，測(cè)量方案如圖所示：無(wú)人機(jī)在距水平地面119m的點(diǎn)M處測(cè)得潮汐塔頂端A的俯角為22°，再將無(wú)人機(jī)沿水平方向飛行74m到達(dá)點(diǎn)N，測(cè)得潮汐塔底端B的俯角為45°（點(diǎn)M,N,A,B在同一平面內(nèi)），則潮汐塔AB的高度為（（結(jié)果精確到1m．參考數(shù)據(jù)：sinA．41m B．42m C．48m3．（2024·山東淄博·中考真題）如圖所示，在矩形ABCD中，BC=2AB，點(diǎn)M，N分別在邊BC，AD上．連接MN，將四邊形CMND沿MN翻折，點(diǎn)C，D分別落在點(diǎn)A，E處．則tan∠AMN的值是（

A．2 B．2 C．3 D．54．（2024·江蘇無(wú)錫·中考真題）如圖，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是CD的中點(diǎn)，則sin∠EBC的值為（

A．35 B．75 C．21145．（2024·四川巴中·中考真題）如圖，是用12個(gè)相似的直角三角形組成的圖案．若OA=1，則OG=（

）A．125564 B．12564 C．646．（2024·四川雅安·中考真題）在數(shù)學(xué)課外實(shí)踐活動(dòng)中，某小組測(cè)量一棟樓房CD的高度（如圖），他們?cè)贏處仰望樓頂，測(cè)得仰角為30°，再往樓的方向前進(jìn)50米至B處，測(cè)得仰角為60°，那么這棟樓的高度為（人的身高忽略不計(jì)）（

）A．253米 B．25米 C．252米7．（2024·四川雅安·中考真題）如圖，⊙O的周長(zhǎng)為8π，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O．則△OAB的面積為（

）

A．4 B．43 C．6 D．8．（2024·四川資陽(yáng)·中考真題）第14屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（JCME?14）會(huì)標(biāo)如圖1所示，會(huì)標(biāo)中心的圖案來(lái)源于我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”，如圖2所示的“弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形（△ABE，△BCF，△CDG，△DAH）和一個(gè)小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD．若EF：AH=1：3，則A．55 B．35 C．459．（2024·吉林長(zhǎng)春·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A4,2在函數(shù)y=kxk>0,x>0的圖象上．將直線OA沿y軸向上平移，平移后的直線與y軸交于點(diǎn)B，與函數(shù)y=kxk>0,x>0A．0,5 B．0,3 C．0,4 D．10．（2024·吉林長(zhǎng)春·中考真題）2024年5月29日16時(shí)12分，“長(zhǎng)春凈月一號(hào)”衛(wèi)星搭乘谷神星一號(hào)火箭在黃海海域成功發(fā)射．當(dāng)火箭上升到點(diǎn)A時(shí)，位于海平面R處的雷達(dá)測(cè)得點(diǎn)R到點(diǎn)A的距離為a千米，仰角為θ，則此時(shí)火箭距海平面的高度AL為（）

A．a(chǎn)sinθ千米 B．a(chǎn)sinθ千米 C．a(chǎn)cos11．（2024·廣東廣州·中考真題）如圖，⊙O中，弦AB的長(zhǎng)為43，點(diǎn)C在⊙O上，OC⊥AB，∠ABC=30°．⊙O所在的平面內(nèi)有一點(diǎn)P，若OP=5，則點(diǎn)P與⊙O的位置關(guān)系是（

A．點(diǎn)P在⊙O上 B．點(diǎn)P在⊙O內(nèi) C．點(diǎn)P在⊙O外 D．無(wú)法確定12．（2024·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，E,F是邊BC上兩點(diǎn)，且BE=EF=FC，連接DE,AF,DE與AF相交于點(diǎn)G，連接BG．若AB=4，BC=6，則sin∠GBF的值為（