中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)提升第28講 與圓有關(guān)的位置關(guān)系(講義5考點(diǎn)+1命題點(diǎn)15種題型(含5種解題技巧))(解析版)

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)第六章圓第28講與圓有關(guān)的位置關(guān)系（思維導(dǎo)圖+5考點(diǎn)+1命題點(diǎn)15種題型（含5種解題技巧））TOC\o"1-1"\n\h\z\u01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航02知識(shí)導(dǎo)圖·思維引航03考點(diǎn)突破·考法探究考點(diǎn)一點(diǎn)與圓的位置關(guān)系考點(diǎn)二直線與圓的位置關(guān)系考點(diǎn)三圓與圓的位置關(guān)系考點(diǎn)四與切線有關(guān)的知識(shí)考點(diǎn)五三角形的外接圓與內(nèi)切圓04題型精研·考向洞悉命題點(diǎn)與圓有關(guān)的位置關(guān)系?題型01點(diǎn)與圓的位置關(guān)系?題型02直線與圓的最值問(wèn)題?題型03直線與圓的位置關(guān)系?題型04圓與圓的位置關(guān)系?題型05利用切線的性質(zhì)求解?題型06證明某直線是圓的切線（有明確的交點(diǎn)）?題型07證明某直線是圓的切線（無(wú)明確的交點(diǎn)）?題型08切線的性質(zhì)與判定綜合?題型09作圓的切線?題型10應(yīng)用切線長(zhǎng)定理求解或證明?題型11由三角形外接圓求值?題型12由三角形內(nèi)切圓求值?題型13三角形內(nèi)心有關(guān)的應(yīng)用?題型14三角形外接圓與內(nèi)切圓綜合?題型15圓位置關(guān)系與函數(shù)綜合

01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航中考考點(diǎn)考查頻率新課標(biāo)要求點(diǎn)與圓的位置關(guān)系★了解點(diǎn)與圓的位置關(guān)系.圓與圓的位置關(guān)系★★了解直線與圓的位置關(guān)系.切線的判定★★★掌握切線的概念，*探索并證明切線長(zhǎng)定理切線的性質(zhì)與計(jì)算★★三角形的內(nèi)切圓★了解三角形的內(nèi)心與外心三角形的內(nèi)切圓★★【考情分析】本專題中切線的判定和性質(zhì)是圓的相關(guān)問(wèn)題中的重點(diǎn)，常以解答題的形式出現(xiàn)，掌握切線的判定定理是解題的關(guān)鍵，注意其常用輔助線的作法:“有切點(diǎn)，連半徑，證垂直；無(wú)切點(diǎn)，作垂直，證半徑”同時(shí)，切線長(zhǎng)定理也有考查?！久}預(yù)測(cè)】本專題內(nèi)容是各地中考數(shù)學(xué)中的必考考點(diǎn)之一，主要內(nèi)容包括點(diǎn)、直線與圓的位置關(guān)系、切線的性質(zhì)和判定、三角形的內(nèi)切圓和外接圓三塊，在解答題中想必還會(huì)考查切線的性質(zhì)和判定，和直角三角形結(jié)合的求線段長(zhǎng)的問(wèn)題和三角函數(shù)結(jié)合的求角度的問(wèn)題等知識(shí)點(diǎn)綜合，考查形式多樣，多以動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)圖的形式給出，難度較大.關(guān)鍵是掌握基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法，力爭(zhēng)拿到全分．02知識(shí)導(dǎo)圖·思維引航03考點(diǎn)突破·考法探究考點(diǎn)一點(diǎn)與圓的位置關(guān)系點(diǎn)和圓共有三種位置關(guān)系，分別是點(diǎn)在圓內(nèi)，點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在圓外，如下表所示：已知⊙O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心O的距離為d，點(diǎn)和圓的位置關(guān)系點(diǎn)到圓心的距離與半徑的關(guān)系點(diǎn)在圓內(nèi)點(diǎn)P在圓內(nèi)d<r點(diǎn)在圓上點(diǎn)P在圓上d=r點(diǎn)在圓外點(diǎn)P在圓外d>r【注意】掌握已知點(diǎn)的位置，可以確定該點(diǎn)到圓心的距離與半徑的關(guān)系，反過(guò)來(lái)已知點(diǎn)到圓心的距離與半徑的關(guān)系，可以確定該點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．1．（2024·云南怒江·一模）平面內(nèi)，⊙O的半徑為10cm，若點(diǎn)P在⊙O內(nèi)，則OP的長(zhǎng)可以是（

）A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm【答案】A【分析】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．熟練掌握點(diǎn)在圓內(nèi)，則點(diǎn)到圓心的距離小于圓的半徑是解題的關(guān)鍵．根據(jù)點(diǎn)在圓內(nèi)，則點(diǎn)到圓心的距離小于圓的半徑判斷作答即可．【詳解】解：∵點(diǎn)P在⊙O內(nèi)，∴OP<10，∴OP的長(zhǎng)可以是8cm，故選：A．2．（2024·江蘇宿遷·模擬預(yù)測(cè)）已知⊙O的半徑為1，點(diǎn)A到圓心O的距離為a，若關(guān)于x的方程x2?2x+a=0不存在實(shí)數(shù)根，則點(diǎn)A與⊙O的位置關(guān)系是（A．點(diǎn)A在⊙O外 B．點(diǎn)A在⊙O上C．點(diǎn)A在⊙O內(nèi) D．無(wú)法確定【答案】A【分析】本題考查了一元二次方程根的判別方法和點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，根據(jù)一元二次方程根的情況，判斷a的取值范圍，再根據(jù)點(diǎn)與圓心的距離，判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，熟練掌握根的判別方法和判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的方法是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由題意，得Δ=解得a>1，∴a>r=1，則點(diǎn)A在⊙O外，故選：A．3．（2024·云南昭通·二模）在同一平面內(nèi)，點(diǎn)P在⊙O外，已知點(diǎn)P到⊙O上的點(diǎn)的最大距離為a，最小距離為b，則⊙O的半徑為（）A．a(chǎn)+b2 B．a(chǎn)?b2 C．a(chǎn) 【答案】B【分析】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生分類的思想及對(duì)點(diǎn)P到圓上最大距離、最小距離的認(rèn)識(shí)．點(diǎn)P在圓外時(shí)，直徑為最大距離與最小距離的差，即可求解．【詳解】解：由題意得，P到⊙O上的點(diǎn)的最大距離為a，最小距離為b，∴圓的直徑是a?b，因而半徑是a?b2故選：B．4．（2024長(zhǎng)春市三模）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=8．以點(diǎn)A為圓心，r為半徑作圓，當(dāng)點(diǎn)C在⊙A內(nèi)且點(diǎn)B在⊙A外時(shí)，r的值可能是（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】B【分析】本題考查的是點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，熟知點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有3種，熟知⊙A的半徑為r，點(diǎn)P到圓心的距離OP=d，則有∶①點(diǎn)P在圓外②點(diǎn)P在圓上；③點(diǎn)P在圓內(nèi)是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)勾股定理求出AC的長(zhǎng)，再由點(diǎn)與圓的位置關(guān)系即可得出結(jié)論【詳解】解：在△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=8，∴AC=A∵當(dāng)點(diǎn)C在⊙A內(nèi)且點(diǎn)B在⊙A外時(shí)，∴6<r<10，∴r的值可能是8．故選：B．考點(diǎn)二直線與圓的位置關(guān)系直線和圓共有三種位置關(guān)系，分別是相離，相切，相交，如下表所示：設(shè)⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d直線和圓的位置關(guān)系相交相切相離定義直線和圓有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線與圓相交直線和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線與圓相切直線和圓沒(méi)有公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線與圓相離圖示公共點(diǎn)個(gè)數(shù)2個(gè)1個(gè)無(wú)圓心到直徑的距離d與圓半徑r之間的大小關(guān)系d<rd=rd>r公共點(diǎn)名稱交點(diǎn)切點(diǎn)無(wú)直線名稱交線/割線切線無(wú)結(jié)論直線l與⊙O相交d<r直線l與⊙O相切d=r直線l與⊙O相離d>r從左端推出右端是直線與圓的位置關(guān)系的性質(zhì)，從右端推出左端是直線與圓的位置關(guān)系的判斷.1．（2022·貴州六盤水·中考真題）如圖是“光盤行動(dòng)”的宣傳海報(bào)，圖中餐盤與筷子可看成直線和圓的位置關(guān)系是（

）A．相切 B．相交 C．相離 D．平行【答案】B【分析】根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系的進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵餐盤看成圓形的半徑大于餐盤的圓心到筷子看成直線l的距離為d.∴d<r，∴直線和圓相交．故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，注意：已知⊙O的半徑為r，如果圓心O到直線l的距離是d，當(dāng)d>r時(shí)，直線和圓相離，當(dāng)d=r時(shí)，直線和圓相切，當(dāng)d<r時(shí)，直線和圓相交．2．（2021·浙江嘉興·中考真題）已知平面內(nèi)有⊙O和點(diǎn)A，B，若⊙O半徑為2cm，線段OA=3cm，OB=2cm，則直線AB與⊙OA．相離 B．相交 C．相切 D．相交或相切【答案】D【分析】根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判定方法進(jìn)行判斷．【詳解】解：∵⊙O的半徑為2cm，線段OA=3cm，線段OB=2cm，即點(diǎn)A到圓心O的距離大于圓的半徑，點(diǎn)B到圓心O的距離等于圓的半徑，∴點(diǎn)A在⊙O外．點(diǎn)B在⊙O上，∴直線AB與⊙O的位置關(guān)系為相交或相切，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．3．（2020·廣東廣州·中考真題）如圖，RtΔABC中，∠C=90°，AB=5，cosA=45，以點(diǎn)B為圓心，r為半徑作⊙B，當(dāng)r=3時(shí)，⊙B與ACA．相離 B．相切 C．相交 D．無(wú)法確定【答案】B【分析】根據(jù)RtΔABC中，∠C=90°，cosA=45，求出AC的值，再根據(jù)勾股定理求出BC的值，比較BC與半徑r的大小，即可得出⊙B【詳解】解：∵RtΔABC中，∠C=90°，cosA=∴cosA=AC∵AB=5，∴AC=4∴BC=A當(dāng)r=3時(shí)，⊙B與AC的位置關(guān)系是：相切故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了由三角函數(shù)解直角三角形，勾股定理以及直線和圓的位置關(guān)系等知識(shí)，利用勾股定理解求出BC是解題的關(guān)鍵．4．（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）△ABC的三邊AB，AC，BC的長(zhǎng)度分別是3，4，5，以頂點(diǎn)A為圓心，2.4為半徑作圓，則該圓與直線BC的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．相離 C．相切 D．以上都不是【答案】C【分析】本題考查了勾股定理逆定理、三角形面積公式、直線與圓的位置關(guān)系，先由勾股定理逆定理判斷出△ABC為直角三角形，且∠BAC=90°，設(shè)斜邊BC上的高為?，根據(jù)等面積法求出?=2.4，即可得解．【詳解】解：∵AB∴△ABC為直角三角形，且∠BAC=90°，設(shè)斜邊BC上的高為?，則S△ABC∴?=AB?AC∴以頂點(diǎn)A為圓心，2.4為半徑作圓，則該圓與直線BC的位置關(guān)系是相切，故選：C．QUOTEQUOTE考點(diǎn)三圓與圓的位置關(guān)系設(shè)的半徑分別為r、R（其中R>r），兩圓圓心距為d，則兩圓位置關(guān)系如下表：位置關(guān)系圖形公共點(diǎn)個(gè)數(shù)性質(zhì)及判定外離無(wú)兩圓外離?外切1個(gè)切點(diǎn)兩圓外切?相交兩個(gè)交點(diǎn)兩圓相交?內(nèi)切1個(gè)切點(diǎn)兩圓內(nèi)切?內(nèi)含無(wú)兩圓內(nèi)含?兩圓相切、相交的重要性質(zhì)：如果兩圓相切，那么切點(diǎn)一定在連心線上，它們是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是兩圓的連心線；相交的兩個(gè)圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦.1．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）如圖，奧運(yùn)五環(huán)標(biāo)志里，包含了圓與圓位置關(guān)系中的（）A．相切，內(nèi)含 B．外切，內(nèi)含 C．外離，相交 D．相切，相交【答案】C【分析】本題主要考查了圓與圓的位置關(guān)系，掌握?qǐng)A的五種位置關(guān)系成為解題的關(guān)鍵．根據(jù)圓與圓的五種位置關(guān)系的定義即可解答．【詳解】解：觀察圖形即可求得包含了圓與圓位置關(guān)系中的外離和相交．故選C．2．（2021·上?！ぶ锌颊骖}）如圖，已知長(zhǎng)方形ABCD中，AB=4,AD=3，圓B的半徑為1，圓A與圓B內(nèi)切，則點(diǎn)C,D與圓A的位置關(guān)系是（

）A．點(diǎn)C在圓A外，點(diǎn)D在圓A內(nèi) B．點(diǎn)C在圓A外，點(diǎn)D在圓A外C．點(diǎn)C在圓A上，點(diǎn)D在圓A內(nèi) D．點(diǎn)C在圓A內(nèi)，點(diǎn)D在圓A外【答案】C【分析】根據(jù)內(nèi)切得出圓A的半徑，再判斷點(diǎn)D、點(diǎn)E到圓心的距離即可【詳解】∵圓A與圓B內(nèi)切，AB=4，圓B的半徑為1∴圓A的半徑為5∵AD=3<5∴點(diǎn)D在圓A內(nèi)在Rt△ABC中，AC=∴點(diǎn)C在圓A上故選：C【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、圓與圓的位置關(guān)系、勾股定理，熟練掌握點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是關(guān)鍵3．（2024·上?！ざ＃┤魞蓚€(gè)半徑為2的等圓外離，則圓心距d的取值范圍為．【答案】d>4【分析】本題考查了圓與圓的位置關(guān)系，重點(diǎn)考察由數(shù)量關(guān)系及兩圓位置關(guān)系求圓心距的取值范圍的方法．本題直接告訴了兩圓的半徑及兩圓位置關(guān)系，根據(jù)數(shù)量關(guān)系與兩圓位置關(guān)系的對(duì)應(yīng)情況便可直接得出答案．外離，則P>R+r；外切，則P=R+r；相交，則R?r<P<R+r；內(nèi)切，則P=R?r；內(nèi)含，則P<R?r．(P表示圓心距，R，r分別表示兩圓的半徑）．【詳解】解：根據(jù)題意，得r+r=2+2=4，∵兩圓外離，∴圓心距d>4，故答案為d>4考點(diǎn)四與切線有關(guān)的知識(shí)1.切線的性質(zhì)定理與切線的判定定理切線的定義：線和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，這條直線叫圓的切線，這個(gè)公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)．切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑.（實(shí)際上過(guò)切點(diǎn)的半徑也可理解為過(guò)切點(diǎn)的直徑或經(jīng)過(guò)切點(diǎn)與圓心的直線）【補(bǔ)充】1）經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線的直線必過(guò)切點(diǎn)；2）經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線必過(guò)圓心.切線的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.用切線的判定定理時(shí),兩個(gè)條件缺一不可:1）經(jīng)過(guò)半徑的外端；2）垂直于這條半徑.2.切線長(zhǎng)定理切線長(zhǎng)：經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)，叫做這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng).切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角．【解題技巧】切線長(zhǎng)定理經(jīng)常用來(lái)證明線段相等，通常要連接圓心與切點(diǎn)構(gòu)造直角三角形來(lái)求解．

1．（2024·江蘇徐州·中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在AB的延長(zhǎng)線上，CD與⊙O相切于點(diǎn)D，若∠C=20°，則∠CAD=°．【答案】35【分析】本題利用了切線的性質(zhì)，三角形的外角與內(nèi)角的關(guān)系，等邊對(duì)等角求解．連接OD，構(gòu)造直角三角形，利用OA=OD，從而得出∠CAD的度數(shù)．【詳解】解：連接OD，∵CD與⊙O相切于點(diǎn)D，∴∠ODC=90°，∵∠C=20°，∴∠COD=70°；∵OA=OD，∴∠ODA=∠CAD=1故答案為：352．（2024·四川·中考真題）如圖，AB為⊙O的弦，C為AB的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CD∥AB，交OB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．連接

(1)求證：CD是⊙O的切線；(2)若OA=3，BD=2，求△OCD的面積．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)6【分析】本題考查了圓的切線的判定、勾股定理、垂徑定理的推論等知識(shí)點(diǎn)，熟記相關(guān)結(jié)論是解題關(guān)鍵．（1）由垂徑定理的推論可知OC⊥AB，據(jù)此即可求證；（2）利用勾股定理求出CD即可求解；【詳解】（1）證明：∵AB為⊙O的弦，C為AB的中點(diǎn)，由垂徑定理的推論可知：OC⊥AB，∵CD∥∴OC⊥CD，∵OC為⊙O的半徑，∴CD是⊙O的切線；（2）解：∵OB=OA=OC=3，BD=2，∴OD=OB+BD=5，∴CD=O∴S△OCD3．（2024·四川瀘州·中考真題）如圖，EA，ED是⊙O的切線，切點(diǎn)為A，D，點(diǎn)B，C在⊙O上，若∠BAE+∠BCD=236°，則∠E=（

）A．56° B．60° C．68° D．70°【答案】C【分析】本題考查了圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，切線長(zhǎng)定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，正確作輔助線是解題關(guān)鍵．根據(jù)圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得∠BAD+∠BCD=180°，由∠BAE+∠BCD=236°得∠EAD=56°，由切線長(zhǎng)定理得EA=ED，即可求得結(jié)果．【詳解】解：如圖，連接AD，∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠BAD+∠BCD=180°，∵∠BAE+∠BCD=236°，∴∠BAE+∠BCD?∠BAD+∠BCD即∠BAE?∠BAD=56°，∴∠EAD=56°，∵EA，ED是⊙O的切線，根據(jù)切線長(zhǎng)定理得，∴EA=ED，∴∠EAD=∠EDA=56°，∴∠E=180°?∠EAD?∠EDA=180°?56°?56°=68°．故選：C．4．（2022·四川眉山·中考真題）如圖是不倒翁的主視圖，不倒翁的圓形臉恰好與帽子邊沿PA，PB分別相切于點(diǎn)A，B，不倒翁的鼻尖正好是圓心O，若∠OAB=28°，則∠APB的度數(shù)為（

）A．28° B．50° C．56° D．62°【答案】C【分析】連OB，由AO=OB得，∠OAB=∠OBA=28°，∠AOB=180°-2∠OAB=124°；因?yàn)镻A、PB分別相切于點(diǎn)A、B，則∠OAP=∠OBP=90°，利用四邊形內(nèi)角和即可求出∠APB．【詳解】連接OB，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=28°，∴∠AOB=124°，∵PA、PB切⊙O于A、B，∴OA⊥PA，OP⊥AB，∴∠OAP+∠OBP=180°，∴∠APB+∠AOB=180°；∴∠APB=56°．故選：C【點(diǎn)睛】本題考查切線的性質(zhì)，三角形和四邊形的內(nèi)角和定理，切線長(zhǎng)定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造等腰三角形解決問(wèn)題．5．（2020·湖南永州·中考真題）如圖，已知PA,PB是⊙O的兩條切線，A，B為切點(diǎn)，線段OP交⊙O于點(diǎn)M．給出下列四種說(shuō)法：①PA=PB；②OP⊥AB；③四邊形OAPB有外接圓；④M是△AOP外接圓的圓心，其中正確說(shuō)法的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】由切線長(zhǎng)定理判斷①，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)判斷②，利用切線的性質(zhì)與直角三角形的斜邊上的中線等于斜邊的一半，判斷③，利用反證法判斷④．【詳解】如圖，∵PA,PB是⊙O的兩條切線，∴PA=PB,∠APO=∠BPO,故①正確，∵PA=PB,∠APO=∠BPO,∴PO⊥AB,故②正確，∵PA,PB是⊙O的兩條切線，∴∠OAP=∠OBP=90°,取OP的中點(diǎn)Q，連接AQ,BQ，則AQ=1所以：以Q為圓心，QA為半徑作圓，則B,O,P,A共圓，故③正確，∵M(jìn)是△AOP外接圓的圓心，∴MO=MA=MP=AO,∴∠AOM=60°,與題干提供的條件不符，故④錯(cuò)誤，綜上：正確的說(shuō)法是3個(gè)，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查的是切線長(zhǎng)定理，三角形的外接圓，四邊形的外接圓，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)五三角形的外接圓與內(nèi)切圓1.三角形的外接圓與外心三角形外接圓：經(jīng)過(guò)三角形三個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓，這個(gè)三角形叫做這個(gè)圓的內(nèi)接三角形.三角形的外心：三角形的外接圓的圓心叫做三角形的外心，三角形的外心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn).三角形的外心的性質(zhì)：三角形的外心到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，等于外接圓半徑.2.三角形內(nèi)切圓與內(nèi)心三角形內(nèi)切圓：與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，這個(gè)三角形叫做圓的外切三角形.三角形的內(nèi)心：內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，三角形的內(nèi)心是三角形三條內(nèi)角平分性的交點(diǎn).三角形的內(nèi)心的性質(zhì)：內(nèi)心到三角形各邊的距離相等.1．（2022·江蘇常州·中考真題）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形．若∠ABC=45°，AC=2，則⊙O的半徑是【答案】1【分析】連接OA、OC，根據(jù)圓周角定理得到∠AOC=90°，根據(jù)勾股定理計(jì)算即可．【詳解】解：連接OA、OC，∵∠ABC=45°，∴∠AOC=2∠ABC=90°，∴OA2+O解得：OA=1，故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的外接圓與外心，掌握?qǐng)A周角定理、勾股定理是解題的關(guān)鍵．2．（2021·浙江·中考真題）如圖，已知點(diǎn)O是△ABC的外心，∠A=40°，連結(jié)BO，CO，則∠BOC的度數(shù)是（

）．A．60° B．70° C．80° D．90°【答案】C【分析】結(jié)合題意，根據(jù)三角形外接圓的性質(zhì)，作⊙O；再根據(jù)圓周角和圓心角的性質(zhì)分析，即可得到答案．【詳解】△ABC的外接圓如下圖∵∠A=40°∴∠BOC=2∠A=80°故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形外接圓、圓周角、圓心角的性質(zhì)，從而完成求解．3．（2020·青?！ぶ锌颊骖}）在△ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4，則△ABC的內(nèi)切圓的半徑為．【答案】1【分析】本題考查求直角三角形的內(nèi)切圓的半徑，勾股定理求出AB的長(zhǎng)，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為r，根據(jù)切線長(zhǎng)定理，得到AB=AC?r+BC?r，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵∠C=90°，AC=3,BC=4，∴AB=5，設(shè)△ABC的內(nèi)切圓與三邊的切點(diǎn)分別為D,E,F，內(nèi)切圓的半徑為r，如圖，則：四邊形ODCE為正方形，CD=CE=r，AD=AF,BE=BF，∴AB=AF+BF=BE+AD=BC?r+AC?r，∴5=3+4?2r，∴r=1；故答案為：1．4．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）《九章算術(shù)》中記載：“今有勾八步，股一十五步．問(wèn)勾中容圓，徑幾何？”譯文：現(xiàn)在有一個(gè)直角三角形，短直角邊的長(zhǎng)為8步，長(zhǎng)直角邊的長(zhǎng)為15步．問(wèn)這個(gè)直角三角形內(nèi)切圓的直徑是多少？書(shū)中給出的算法譯文如下：如圖，根據(jù)短直角邊的長(zhǎng)和長(zhǎng)直角邊的長(zhǎng)，求得斜邊的長(zhǎng)．用直角三角形三條邊的長(zhǎng)相加作為除數(shù)，用兩條直角邊相乘的積再乘2作為被除數(shù)，計(jì)算所得的商就是這個(gè)直角三角形內(nèi)切圓的直徑．根據(jù)以上方法，求得該直徑等于步．（注：“步”為長(zhǎng)度單位）

【答案】6【分析】根據(jù)勾股定理求出直角三角形的斜邊，根據(jù)直角三角形的內(nèi)切圓的半徑的求法確定出內(nèi)切圓半徑，得到直徑．【詳解】解：根據(jù)勾股定理得：斜邊為82則該直角三角形能容納的圓形（內(nèi)切圓）半徑r=8+15?17故答案為：6．【點(diǎn)睛】此題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，掌握Rt△ABC中，兩直角邊分別為a、b，斜邊為c，其內(nèi)切圓半徑r=04題型精研·考向洞悉命題點(diǎn)一與圓有關(guān)的位置關(guān)系?題型01點(diǎn)與圓的位置關(guān)系根據(jù)點(diǎn)到圓心的距離與半徑比較大小，從而得到位置關(guān)系.設(shè)半徑為r，點(diǎn)到圓心的距離為d1）若d＜r，則點(diǎn)P在圓內(nèi)；2）若d=r，則點(diǎn)P在圓上；3）若d＞r，則點(diǎn)P在圓外.1．（2024·廣東廣州·中考真題）如圖，⊙O中，弦AB的長(zhǎng)為43，點(diǎn)C在⊙O上，OC⊥AB，∠ABC=30°．⊙O所在的平面內(nèi)有一點(diǎn)P，若OP=5，則點(diǎn)P與⊙O的位置關(guān)系是（

A．點(diǎn)P在⊙O上 B．點(diǎn)P在⊙O內(nèi) C．點(diǎn)P在⊙O外 D．無(wú)法確定【答案】C【分析】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，銳角三角函數(shù)，掌握?qǐng)A的相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．由垂徑定理可得AD=23，由圓周角定理可得∠AOC=60°，再結(jié)合特殊角的正弦值，求出⊙O【詳解】解：如圖，令OC與AB的交點(diǎn)為D，∵OC為半徑，AB為弦，且OC⊥AB，∴AD=1∵∠ABC=30°∴∠AOC=2∠ABC=60°，在△ADO中，∠ADO=90°，∠AOD=60°，AD=23∵sin∴OA=ADsin60°∵OP=5>4，∴點(diǎn)P在⊙O外，故選：C．2．（2021·青?！ぶ锌颊骖}）點(diǎn)P是非圓上一點(diǎn)，若點(diǎn)P到⊙O上的點(diǎn)的最小距離是4cm，最大距離是9cm，則⊙O的半徑是．【答案】6.5cm或2.5cm【分析】分點(diǎn)P在⊙O外和⊙O內(nèi)兩種情況分析；設(shè)⊙O的半徑為xcm，根據(jù)圓的性質(zhì)列一元一次方程并求解，即可得到答案．【詳解】設(shè)⊙O的半徑為xcm當(dāng)點(diǎn)P在⊙O外時(shí)，根據(jù)題意得：4+2x=9∴x=2.5cm當(dāng)點(diǎn)P在⊙O內(nèi)時(shí)，根據(jù)題意得：2x=9+4∴x=6.5cm故答案為：6.5cm或2.5cm．【點(diǎn)睛】本題考查了圓、一元一次方程的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握?qǐng)A的性質(zhì)，從而完成求解．3．（2024·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）小明手中有幾組大小不等的三角板，分別是含45度，30度的直角三角板．從中選擇兩個(gè)各拼成如圖所示的圖形，則關(guān)于兩圖中四個(gè)頂點(diǎn)A，B，C，D的說(shuō)法，正確的是（

）A．甲圖四點(diǎn)共圓，乙圖四點(diǎn)共圓 B．甲圖四點(diǎn)共圓，乙圖四點(diǎn)不共圓C．甲圖四點(diǎn)不共圓，乙圖四點(diǎn)共圓 D．甲圖四點(diǎn)不共圓，乙圖四點(diǎn)不共圓【答案】C【分析】本題考查圓的定義，點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，直角三角形斜邊中線性質(zhì)，熟練掌握這些定義和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．甲圖中，取AC中點(diǎn)M，連接DM，BM，得出DM=AM=CM，得點(diǎn)D、A、C是以點(diǎn)M為圓心，AM為半徑的圓上，再判斷點(diǎn)B在圓M外即可；乙圖中，取AC中點(diǎn)N，連接DN，BN，得DN=AN=CN=BN，即可判斷．【詳解】解：如甲圖中，取AC中點(diǎn)M，連接DM，BM，∵∠ADC=90°，∴DM=AM=CM，∴點(diǎn)D、A、C是以點(diǎn)M為圓心，AM為半徑的圓上，∵△BCM為直角三角形，∴BM>CM，∴點(diǎn)B在圓M外，∴甲圖四點(diǎn)不共圓；如乙圖中，取AC中點(diǎn)N，連接DN，BN，∵∠ADC=∠ABC=90°，∴DN=AN=CN=BN，∴點(diǎn)D、A、C、B是以點(diǎn)N為圓心，AN為半徑的圓上，∴乙圖四點(diǎn)共圓，綜上，甲圖四點(diǎn)不共圓，乙圖四點(diǎn)共圓，故選：C．QUOTEQUOTEQUOTE?題型02直線與圓的最值問(wèn)題已知點(diǎn)P為⊙O上動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q為直線AB上動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AB于點(diǎn)D，交⊙O為點(diǎn)C圖示：結(jié)論：當(dāng)O，P，Q三點(diǎn)共線且為垂線段時(shí)，PQ取最小值，最小值為PQ的長(zhǎng).1．（2024·四川涼山·中考真題）如圖，⊙M的圓心為M4，0，半徑為2，P是直線y=x+4上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作⊙M的切線，切點(diǎn)為Q，則【答案】2【分析】記直線y=x+4與x，y軸分別交于點(diǎn)A，K，連接QM，PM，KM；由直線解析式可求得點(diǎn)A、K的坐標(biāo)，從而得△OAK，△OKM均是等腰直角三角形，由相切及勾股定理得：PQ=PM2?QM2，由QM=2，則當(dāng)PM最小時(shí)，【詳解】解：記直線y=x+4與x，y軸分別交于點(diǎn)A，K，連接QM，當(dāng)x=0，y=4，當(dāng)y=0，即x+4=0，解得：x=?4，即K(0,4)，而M4,0∴OA=OK=OM=4，∴△OAK，∴∠AKO=∠MKO=45°，∴∠AKM=90°，∵QP與⊙M相切，∴∠PQM=90°，∴PQ=P∵QM=2，∴當(dāng)PQ最小時(shí)即PM最小，∴當(dāng)PM⊥AK時(shí)，取得最小值，即點(diǎn)P與點(diǎn)K重合，此時(shí)PM最小值為KM，在Rt△OKM中，由勾股定理得：KM=∴PQ=32?4∴PQ最小值為27【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線的性質(zhì)，勾股定理，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問(wèn)題，垂線段最短，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵．2．（2023·陜西·中考真題）（1）如圖①，在△OAB中，OA=OB，∠AOB=120°，AB=24．若⊙O的半徑為4，點(diǎn)P在⊙O上，點(diǎn)M在AB上，連接PM，求線段PM的最小值；（2）如圖②所示，五邊形ABCDE是某市工業(yè)新區(qū)的外環(huán)路，新區(qū)管委會(huì)在點(diǎn)B處，點(diǎn)E處是該市的一個(gè)交通樞紐．已知：∠A=∠ABC=∠AED=90°，AB=AE=10000m，BC=DE=6000m．根據(jù)新區(qū)的自然環(huán)境及實(shí)際需求，現(xiàn)要在矩形AFDE區(qū)域內(nèi)（含邊界）修一個(gè)半徑為30m的圓型環(huán)道⊙O；過(guò)圓心O，作OM⊥AB，垂足為M，與⊙O交于點(diǎn)N．連接BN，點(diǎn)P在⊙O上，連接EP．其中，線段BN、EP及MN是要修的三條道路，要在所修道路BN、EP之和最短的情況下，使所修道路MN最短，試求此時(shí)環(huán)道⊙O的圓心O到AB

【答案】（1）43?4【分析】（1）連接OP，OM，過(guò)點(diǎn)O作OM'⊥AB，垂足為M'，則（2）分別在BC，AE上作BB'=AA'=r=30(m)，連接A'B'，B'O、OP、OE、B'E．證出四邊形BB'ON是平行四邊形．由平行四邊形的性質(zhì)得出BN=B'O．當(dāng)點(diǎn)O在B'E上時(shí)，BN+PE取得最小值．作⊙O'，使圓心O'在【詳解】解：（1）如圖①，連接OP，OM，過(guò)點(diǎn)O作OM'⊥AB

則OP+PM≥OM．∵⊙O半徑為4，∴PM≥OM?4≥OM∵OA=OB．∠AOB=120°，∴∠A=30°，∴OM∴PM≥OM∴線段PM的最小值為43（2）如圖②，分別在BC，AE上作BB

連接A'B'，B'O、OP∵OM⊥AB，BB'⊥AB∴四邊形BB∴BN=B'O．∵B∴BN+PE≥B∴當(dāng)點(diǎn)O在B'E上時(shí)，作⊙O'，使圓心O'在B作O'M'⊥AB，垂足為M'∴O'∴△B'O'∴O'∵⊙O'在矩形∴當(dāng)⊙O'與FD相切時(shí)，B'此時(shí)，O'∵M(jìn)∴M∴O∴O∴此時(shí)環(huán)道⊙O的圓心O到AB的距離OM的長(zhǎng)為4047.91m【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．?題型03直線與圓的位置關(guān)系判定直線與圓的位置關(guān)系通常有以下兩種方法：1）根據(jù)直線與圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)判斷；①若直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，則直線與圓相交；②若直線與圓有一個(gè)交點(diǎn)，則直線與圓相切；③若直線與圓有沒(méi)有交點(diǎn)，則直線與圓相離.2）根據(jù)圓心到直線的距離與半徑的大小關(guān)系判斷.設(shè)半徑為r，直線到圓心的距離為d①若d＜r，則直線與圓相交；②若d=r，則直線與圓相切；③若d＞r，則直線與圓相離.1．（2022·山東青島·模擬預(yù)測(cè)）已知等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為4cm，以點(diǎn)A為圓心，以3.5cm長(zhǎng)為半徑作⊙A，則⊙A與BC的位置關(guān)系是（A．相交 B．相切 C．相離 D．外離【答案】A【分析】本題考查了直線和圓的位置關(guān)系與數(shù)量之間的關(guān)系：圓心到直線的距離小于半徑時(shí)，直線與圓相交．過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，根據(jù)等腰三角形三線合一求得BD的值，再利用勾股定理可求得AD的長(zhǎng)，把AD與圓的半徑比較大小，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系即可求解．【詳解】過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，根據(jù)等腰三角形三線合一得：BD=1根據(jù)勾股定理得：AD=A∵∴23∴以3.5cm長(zhǎng)為半徑作⊙A，則⊙A與BC故選：A．2．（2024·上海嘉定·三模）設(shè)以3，4，5為邊長(zhǎng)構(gòu)成的三角形，則它的邊與半徑為1的圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)最多為個(gè).【答案】4【分析】本題考查了勾股定理逆定理，三角形的內(nèi)切圓，直線與圓的位置關(guān)系，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．可知該三角形為直角三角形，進(jìn)而利用等面積法求出內(nèi)切圓半徑正好為1，當(dāng)圓的位置移動(dòng)時(shí)，就會(huì)最多產(chǎn)生4個(gè)交點(diǎn)．【詳解】解：如圖，由32+42=52得該三角形為直角三角形，設(shè)AC=3,BC=4,AB=5，作出△ABC的內(nèi)切圓⊙O，設(shè)切點(diǎn)為D,E,F，連接OE,OD,OF∵S△ABC∴12解得：r=1，進(jìn)而可知內(nèi)切圓半徑為1，此時(shí)正好有3個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)圓的位置移動(dòng)時(shí)，就會(huì)最多產(chǎn)生4個(gè)交點(diǎn)，如圖，故答案為：4．3．（2021·四川遂寧·中考真題）已知平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（x0,y0）和直線Ax＋By＋C＝0（其中A，B不全為0），則點(diǎn)P到直線Ax＋By＋C＝0的距離例如：求點(diǎn)P（1，2）到直線y＝2x＋1的距離，因?yàn)橹本€y＝2x＋1可化為2x－y＋1＝0，其中A＝2，B＝－1，C＝1，所以點(diǎn)P（1，2）到直線y＝2x＋1的距離為：d=A根據(jù)以上材料，解答下列問(wèn)題：（1）求點(diǎn)M（0，3）到直線y=3（2）在（1）的條件下，⊙M的半徑r＝4，判斷⊙M與直線y=3x+9的位置關(guān)系，若相交，設(shè)其弦長(zhǎng)為n，求【答案】（1）3；（2）直線與圓相交，n=2【分析】（1）直接利用公式計(jì)算即可；（2）根據(jù)半徑和點(diǎn)到直線的距離判斷直線與圓的位置關(guān)系，再根據(jù)垂徑定理求弦長(zhǎng)．【詳解】解：（1）∵y＝3x＋9可變形為3x－y＋9＝0，則其中A＝3，B＝－1，C＝9，由公式可得d=3∴點(diǎn)M到直線y＝3x＋9的距離為3，（2）由（1）可知：圓心到直線的距離d＝3，圓的半徑r＝4，∵d＜r∴直線與圓相交，則弦長(zhǎng)n=2×4【點(diǎn)睛】本題考查了閱讀理解和圓與直線的位置關(guān)系，垂徑定理，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用公式求解和熟練運(yùn)用圓的相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算．QUOTEQUOTEQUOTEQUOTEQUOTE?題型04圓與圓的位置關(guān)系1．（2024·上?！ぶ锌颊骖}）在△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，點(diǎn)P在△ABC內(nèi)，分別以A、B、P為圓心畫，圓A半徑為1，圓B半徑為2，圓P半徑為3，圓A與圓P內(nèi)切，圓P與圓B的關(guān)系是（

）A．內(nèi)含 B．相交 C．外切 D．相離【答案】B【分析】本題考查圓的位置關(guān)系，涉及勾股定理，根據(jù)題意，作出圖形，數(shù)形結(jié)合，即可得到答案，熟記圓的位置關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵圓A半徑為1，圓P半徑為3，圓A與圓P內(nèi)切，∴圓A含在圓P內(nèi)，即PA=3?1=2，∴P在以A為圓心、2為半徑的圓與△ABC邊相交形成的弧上運(yùn)動(dòng)，如圖所示：∴當(dāng)?shù)絇'位置時(shí)，圓P與圓B圓心距離PB最大，為12∵17<3+2=5∴圓P與圓B相交，故選：B．2．（2023·四川德陽(yáng)·中考真題）已知⊙O1的半徑為1，⊙O2的半徑為r，圓心距O1O2=5，如果在⊙O【答案】3≤r≤7【分析】當(dāng)⊙O1位于⊙O2內(nèi)部，且P，O1，O2位于同一條直線上時(shí)，r可以取得最大值；當(dāng)⊙O1位于⊙O【詳解】當(dāng)⊙O1位于⊙O2內(nèi)部，且P，O1如圖所示，rmax

當(dāng)⊙O1位于⊙O2外部，且P，O1如圖所示，rmin

故答案為：3≤r≤7．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓與圓的位置關(guān)系，能采用數(shù)形結(jié)合的方法和分類討論的思想分析問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．3．（2024·上?！つM預(yù)測(cè)）若相交兩圓的半徑分別為4和5，公共弦長(zhǎng)為6，兩圓圓心距長(zhǎng)為．【答案】4±【分析】此題考查了相交兩圓的性質(zhì)，連心弦垂直平分公共弦，據(jù)此利用勾股定理分兩種情況進(jìn)行求解即可．【詳解】解：大圓圓心到公共弦的距離為：52小圓圓心到公共弦的距離為：42∵兩圓相交，∴兩圓的圓心可能在公共弦的同側(cè)，也可能在公共弦的兩側(cè)，∴兩圓的圓心在公共弦的同側(cè)時(shí)，兩圓圓心距長(zhǎng)為4?7兩圓的圓心在公共弦的兩側(cè)時(shí)，兩圓圓心距長(zhǎng)為4+7故答案為：4±QUOTE?題型05利用切線的性質(zhì)求解運(yùn)用切線的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算時(shí)，常見(jiàn)輔助線的作法是連接圓心和切點(diǎn)，根據(jù)切線的性質(zhì)構(gòu)造出直角三角形，一方面可以求相關(guān)角的大小，另一方面可以利用勾股定理求線段的長(zhǎng)度1．（2024·山西·中考真題）如圖，已知△ABC，以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D，與AC相切于點(diǎn)A，連接OD．若∠AOD=80°，則∠C的度數(shù)為（）A．30° B．40° C．45° D．50°【答案】D【分析】本題主要考查了圓周角定理，圓的切線定理，直角三角形兩銳角互余，有圓周角定理可得出∠B=12∠AOD=40°【詳解】解：∵AD=∴∠B=1∵以AB為直徑的⊙O與AC相切于點(diǎn)A，∴∠BAC=90°，∴∠C=90°?40°=50°．故選：D．2．（2024·山東青島·中考真題）如圖，△ABC中，BA=BC，以BC為直徑的半圓O分別交AB，AC于點(diǎn)D，E，過(guò)點(diǎn)E作半圓O的切線，交AB于點(diǎn)M，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N．若ON=10，cos∠ABC=35【答案】6【分析】本題主要考查了切線的性質(zhì)，解直角三角形，等邊對(duì)等角，平行線的性質(zhì)與判定等等，解題的關(guān)鍵在于證明∠EON=∠ABC，根據(jù)等邊對(duì)等角推出∠A=∠OEC，則可證明AB∥OE得到∠EON=∠ABC，再由切線的性質(zhì)得到∠OEN=90°，則解Rt△EON求出OE【詳解】解：如圖所示，連接OE，∵OE=OC，∴∠A=∠BCA，∴∠A=∠OEC，∴AB∥OE，∴∠EON=∠ABC，∵M(jìn)N是⊙O的切線，∴∠OEN=90°，∴在Rt△EON中，cos∴OE=3∴半徑OC的長(zhǎng)為6，故答案為：6．3．（2024·江蘇南通·中考真題）如圖，△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，⊙A與BC相切于點(diǎn)D．

(1)求圖中陰影部分的面積；(2)設(shè)⊙A上有一動(dòng)點(diǎn)P，連接CP，BP．當(dāng)CP的長(zhǎng)最大時(shí)，求BP的長(zhǎng)．【答案】(1)6?(2)3【分析】本題考查了切線的性質(zhì)，勾股定理的逆定理，扇形的面積公式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是：（1）連接AD，利用勾股定理的逆定理判定得出∠BAC=90°，利用切線的性質(zhì)得出AD⊥BC，利用等面積法求出AD=125，然后利用（2）延長(zhǎng)CA交⊙A于P，連接BP，則CP最大，然后在Rt△ABP【詳解】（1）解∶連接AD，

∵AB=3，AC=4，BC=5，∴AB∴∠BAC=90°，∵BC與⊙A相切于D，∴AD⊥BC，∵S△ABC∴AD=AC?AB∴S陰影（2）解∶延長(zhǎng)CA交⊙A于P，連接BP，此時(shí)CP最大，

由（1）知：∠BAC=∠PAB=90°，AP=AD=12∴PB=A?題型06證明某直線是圓的切線（有明確的交點(diǎn)）1）給出了直線與圓的公共點(diǎn)和經(jīng)過(guò)公共點(diǎn)的半徑時(shí)，可直接根據(jù)“經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線”來(lái)證明.口訣是“見(jiàn)半徑,證垂直”.2）給出了直線與圓的公共點(diǎn)，但未給出過(guò)這點(diǎn)的半徑時(shí)，可連接公共點(diǎn)和圓心，然后根據(jù)“經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線”來(lái)證明,口訣是“連半徑,證垂直”.3）當(dāng)直線與圓的公共點(diǎn)不明確時(shí)，先過(guò)圓心作該直線的垂線，然后根據(jù)“若圓心到直線的距離等于圓的半徑,則該直線是圓的切線”來(lái)證明.口訣是“作垂直,證相等”.1．（2023·湖南張家界·中考真題）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AD是⊙O的直徑，F(xiàn)是AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接CD，CF，且∠DCF=∠CAD．

(1)求證：CF是⊙O的切線；(2)若AD=10，cosB=35【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)90【分析】（1）根據(jù)切線的判定，連接OC，證明出OC⊥FC即可，利用直徑所得的圓周角為直角，三角形的內(nèi)角和以及等腰三角形的性質(zhì)可得答案；（2）由cosB=35【詳解】（1）證明：連接OC，如圖所示：

∵AD是⊙O的直徑，∴∠ACD=90°，∴∠ADC+∠CAD=90°，又∵OC=OD，∴∠ADC=∠OCD，又∵∠DCF=∠CAD．∴∠DCF+∠OCD=90°，即OC⊥FC，∴FC是⊙O的切線；（2）解：∵∠B=∠ADC，cosB=∴cos在Rt△ACD中，cos∠ADC=3∴CD=AD?cos∠ADC=10×3∴CDAC∵∠FCD=∠FAC，∠F=∠F，∴△FCD∽△FAC，∴CDAC設(shè)FD=3x，則FC=4x，AF=3x+10，∵FC2=FD?FA，即(4x)2=3x(3x+10)∴FD=3x=90【點(diǎn)睛】本題考查切線的判定和性質(zhì)，圓周角定理，解直角三角形及相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握切線的判定方法，直角三角形的邊角關(guān)系以及相似三角形的性質(zhì)是正確解答的前提．2．（2024·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，△ACD內(nèi)接于⊙O，直徑AB交CD于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)D作射線DF，使得∠ADF=∠ACD，延長(zhǎng)DC交過(guò)點(diǎn)B的切線于點(diǎn)E，連接BC．(1)求證：DF是⊙O的切線；(2)若CD=8①求DE的長(zhǎng)；②求⊙O的半徑．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)①9；②117【分析】（1）連接OD、BD，則∠ACD=∠ABD，可得∠ABD=∠ADF，由∠ABD+∠BAD=90°可得∠ABF+∠BAD=90°，進(jìn)而由等腰三角形的性質(zhì)可得∠ABF+∠ODA=90°，得到OD⊥DF，即可求證；（2）①證明△CBE∽△BDE得到CEBE=BEDE，據(jù)此即可求解；②由①可得CD=DE?CE=8，進(jìn)而得DG=CD?CG=5，GE=CG+CE=4，利用勾股定理得BG=GE2?BE【詳解】（1）證明：連接OD、BD，則∠ACD=∠ABD，∵∠ADF=∠ACD，∴∠ABD=∠ADF，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，∴∠ABD+∠BAD=90°，∴∠ABF+∠BAD=90°，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∴∠ABF+∠ODA=90°，即∠ODF=90°，∴OD⊥DF，又∵OD為⊙O的半徑，∴DF是⊙O的切線；（2）解：①∵BE是⊙O的切線，∴AB⊥BE，∴∠ABE=90°，∴∠ABC+∠CBE=90°，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∴∠ABC+∠BAC=90°，∴∠CBE=∠BAC，∵∠BAC=∠BDC，∴∠CBE=∠BDC，即∠CBE=∠BDE，又∵∠E=∠E，∴△CBE∽△BDE，∴CEBE∵BE=3CE=3，∴CE=1，∴13∴DE=9；②∵DE=9，CE=1，∴CD=DE?CE=9?1=8，∵CD=8∴CG=3∴DG=CD?CG=8?3=5，GE=CG+CE=3+1=4，∵∠GBE=90°，∴BG=G∵∠BAC=∠BDC，∠AGC=∠DGB，∴△AGC∽△DGB，∴AGDG即AG5∴AG=15∴AB=AG+BG=15∴⊙O的半徑為117【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，切線的性質(zhì)和判定，余角性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．3．（2024·四川雅安·中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是⊙O上的一點(diǎn)，點(diǎn)P是BA延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，連接AC，∠PCA=∠B．(1)求證：PC是⊙O的切線；(2)若sin∠B=12(3)若CD⊥AB于D，PA=4，BD=6，求AD的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)AD=2【分析】（1）首先由直徑得到∠ACB=90°，然后利用等邊對(duì)等角得到∠B=∠BCO，等量代換得到OC⊥PC，進(jìn)而證明即可；（2）利用sin∠B=12得到∠B=30°，求出∠PCA=∠B=30°（3）設(shè)AD=x，證明出△PAC∽△PCB，得到PAPC=PC【詳解】（1）如圖所示，連接OC，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∴∠BCO+∠OCA=90°，∵OB=OC，∴∠B=∠BCO，∵∠PCA=∠B，∴∠PCA=∠BCO，∴∠PCA=∠OCA=90°，∴OC⊥PC，∴PC是⊙O的切線；（2）證明：∵sin∠B=∴∠B=30°，∴∠PCA=∠B=30°，由（1）知∠ACB=90°，∴∠CAB=60°，∴∠P=∠CAB?∠PCA=30°，∴∠PCA=∠P，∴AC=AP；（3）設(shè)AD=x，在Rt△ACB中，CD⊥AB∴∠B+∠BCD=∠ACD+∠BCD=90°∴∠B=∠ACD∵∠BDC=∠ADC=90°∴△BDC∽△CDA∴BD∴CD∵∠P=∠P，∠PCA=∠B，∴△PAC∽△PCB，∴PAPC∴PC在Rt△PCD中，由勾股定理得P即4+x2+6x=410+x解得x1=2，故AD=2．【點(diǎn)睛】此題考查了直徑的性質(zhì)，切線的判定，相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識(shí)點(diǎn)．?題型07證明某直線是圓的切線（無(wú)明確的交點(diǎn)）1．（2023·湖北恩施·中考真題）如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，連接CO交⊙O于點(diǎn)E，⊙O與AC相切于點(diǎn)D．(1)求證：BC是⊙O的切線；(2)延長(zhǎng)CO交⊙O于點(diǎn)G，連接AG交⊙O于點(diǎn)F，若AC=42，求FG【答案】(1)見(jiàn)解析(2)4【分析】（1）連接OD，過(guò)點(diǎn)O作OP⊥BC于點(diǎn)P，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠OCD=∠OCP=45°，推出OD=OP，即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出OA，OD的長(zhǎng)，勾股定理求出AG，連接OF，過(guò)O作OH⊥AG于點(diǎn)H，利用面積法求出OH，勾股定理求出HG，即可根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出FG的長(zhǎng)．【詳解】（1）證明：連接OD，過(guò)點(diǎn)O作OP⊥BC于點(diǎn)P，∵⊙O與AC相切于點(diǎn)D．∴OD⊥AC，∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，∴∠OCD=∠OCP=45°，∴OD=OP，即OP是⊙O的半徑，∴BC是⊙O的切線；（2）解：∵AC=42，AB=AC，∠ACB=90°∴AB=2AC=8，∵點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，∴OC=OA=1∵OD⊥AC∴OD=1在Rt△AOG中，連接OF，過(guò)O作OH⊥AG于點(diǎn)H，∴OH=OA?OG∴HG=∵OF=OG，∴FG=2HG=4

【點(diǎn)睛】此題考查了判定直線是圓的切線，切線的性質(zhì)定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，正確掌握各知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．2．（2023·湖北襄陽(yáng)·中考真題）如圖，在△ABC中，AB=AC，O是BC的中點(diǎn)，⊙O與AB相切于點(diǎn)D，與BC交于點(diǎn)E，F(xiàn)，DG是⊙O的直徑，弦GF的延長(zhǎng)線交AC于點(diǎn)H，且GH⊥AC．

(1)求證：AC是⊙O的切線；(2)若DE=2，GH=3，求DE的長(zhǎng)l．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)2π【分析】（1）連接OA，過(guò)點(diǎn)O作OM⊥AC于點(diǎn)M，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得AO為∠BAC的平分線，再根據(jù)⊙O與AB相切于點(diǎn)D，DG是⊙O的直徑得OM=OD，進(jìn)而根據(jù)切線的判定可得到結(jié)論；（2）過(guò)點(diǎn)E作EN⊥AB于點(diǎn)N，先證△ODE≌△OGF得到DE=GF=2，進(jìn)而得到FH=1，再證△BNE≌△CHF得到EN=FH=1，然而在Rt△DEN中利用三角函數(shù)可求出∠EDN=30°，進(jìn)而得△ODE為等邊三角形，據(jù)此得∠DOE=60°，OD=OE=DE=2，則∠DOF=120°【詳解】（1）證明：連接OA，過(guò)點(diǎn)O作OM⊥AC于點(diǎn)M，∵AB=AC，O是BC的中點(diǎn)，∴AO為∠BAC的平分線，∵⊙O與AB相切于點(diǎn)D，DG是⊙O的直徑，∴OD為⊙O的半徑，∴OD⊥AB，又OM⊥AC，∴OM=OD，即OM為⊙O的半徑，∴AC是⊙O的切線；（2）解：過(guò)點(diǎn)E作EN⊥AB于點(diǎn)N，∵點(diǎn)O為⊙O的圓心，∴OD=OG,OE=OF，在△ODE和△OGF中，OD=OG∠DOE=∠GOF∴△ODE≌△OGF(SAS∴DE=GF，∵DE=2,GH=3，∴GF=2，∴FH=GH?GF=3?2=1，∵AB=AC，O是BC的中點(diǎn)，∴OB=OC,∠B=∠C，又OE=OF，∴BE=CF，∵GH⊥AC,EN⊥AB，∴∠BNE=∠CHF=90°，在△BNE和△CHF中，∠BNE=∠CHF∠B=∠C∴△BNE≌△CHF(AAS∴EN=FH=1，在Rt△DEN中，DE=2,EN=1∴sin∴∠EDN=30°，∵OD⊥AB，∴∠ODE=90°?∠EDN=90°?30°=60°，又OD=OE，∴△ODE為等邊三角形，∴∠DOE=60°,OD=OE=DE=2，∴∠DOF=180°?∠DOE=180°?60°=120°，∴l(xiāng)=60π×2【點(diǎn)睛】此題主要考查了切線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，弧長(zhǎng)的計(jì)算公式，熟練掌握切線的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．?題型08切線的性質(zhì)與判定綜合1．（2024·湖北武漢·中考真題）如圖，△ABC為等腰三角形，O是底邊BC的中點(diǎn)，腰AC與半圓O相切于點(diǎn)D，底邊BC與半圓O交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)．(1)求證：AB與半圓O相切；(2)連接OA．若CD=4，CF=2，求sin∠OAC【答案】(1)見(jiàn)解析(2)4【分析】本題考查了等腰三角形三線合一，角平分線的判定與性質(zhì)，解直角三角形，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．（1）連接OA、OD，作ON⊥AB交AB于N，根據(jù)等腰三角形三線合一可知，AO⊥BC，AO平分∠BAC，結(jié)合AC與半圓O相切于點(diǎn)D，可推出ON=OD，得證；（2）由題意可得出∠OAC=∠COD，根據(jù)OF=OD，在Rt△ODC中利用勾股定理可求得OD的長(zhǎng)度，從而得到OC的長(zhǎng)度，最后根據(jù)sin【詳解】（1）證明：連接OA、OD，作ON⊥AB交AB于N，如圖∵△ABC為等腰三角形，O是底邊BC的中點(diǎn)∴AO⊥BC，AO平分∠BAC∵AC與半圓O相切于點(diǎn)D∴OD⊥AC由∵ON⊥AB∴ON=OD∴AC是半圓O的切線（2）解：由（1）可知AO⊥BC，OD⊥AC∴∠AOC=90°，∠ODC=90°∴∠OAC+∠OCA=180°?∠AOC=90°，∠COD+∠OCA=180°?∠ODC=90°∴∠OAC=∠COD∴又∵OF=OD，CF=2∴在Rt△ODC中，CD=4，∵OC∴(OD+2)解得：OD=3∴2．（2023·湖北隨州·中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)E，C在⊙O上，點(diǎn)C是BE的中點(diǎn)，AE垂直于過(guò)C點(diǎn)的直線DC，垂足為D，AB的延長(zhǎng)線交直線DC于點(diǎn)F．

(1)求證：DC是⊙O的切線；(2)若AE=2，sin∠AFD=13，①求⊙O【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)①3；②2【分析】（1）根據(jù)等弧所對(duì)的圓周角相等和等邊對(duì)等角的性質(zhì)，得到∠CAE=∠ACO，推出AD∥OC，進(jìn)而得到（2）①連接BE，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角和平行線的判定，得到BE∥DF，進(jìn)而得到∠AFD=∠ABE，再利用銳角三角函數(shù)，求得AB=6，即可求出②利用銳角三角函數(shù)，分別求出BF和AD的長(zhǎng)，即可得到線段DE的長(zhǎng)．【詳解】（1）證明：如圖，連接OC，

∵點(diǎn)C是BE的中點(diǎn)，∴CE∴∠CAE=∠CAB，∵OA=OC，∴∠CAB=∠ACO，∴∠CAE=∠ACO，∴AD∥∵AD⊥DC，∴OC⊥DC，∵OC是⊙O的半徑，∴DC是⊙O的切線；（2）解：①如圖，連接BE，

∵AB是直徑，∴∠AEB=90°，∴BE⊥AD，∵AD⊥DF，∴BE∥∴∠AFD=∠ABE，∵sin∴sin∵AE=2，∴AB=6，∴⊙O的半徑為3；②由（1）可知，OC⊥DF，∴sin∵OC=3，OF=OB+BF=3+BF，∴3∴BF=6，∴AF=AB+BF=6+6=12，∵AD⊥DF，∴sin∴AD=4，∵AE=2，∴DE=AD?AE=4?2=2．【點(diǎn)睛】本題是圓和三角形綜合題，考查了圓的切線的判定定理，圓的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)等知識(shí)，熟練掌握?qǐng)A的相關(guān)性質(zhì)，靈活運(yùn)用正弦值求邊長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．3．（2023·湖南懷化·中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)P是⊙O外一點(diǎn)，PA與⊙O相切于點(diǎn)A，點(diǎn)C為⊙O上的一點(diǎn)．連接PC、AC、OC，且PC=PA．

(1)求證：PC為⊙O的切線；(2)延長(zhǎng)PC與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，求證：PD?OC=PA?OD；(3)若∠CAB=30°，【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)8【分析】（1）連接PO，證明△PAO≌△PCO，即可得證；（2）根據(jù)sinD=（3）根據(jù)圓周角定理得出∠COD=2∠CAB=60°，進(jìn)而勾股定理求得CD，根據(jù)S陰影【詳解】（1）證明：∵PA是⊙O的切線，∴∠PAO=90°如圖所示，連接PO

在△PAO與△PCO中，PA=PC∴△PAO≌△PCOSSS∴∠PCO=∠PAO=90°∵C為⊙O上的一點(diǎn)．∴PC是⊙O的切線；（2）∵PC是⊙O的切線；∴OC⊥PD，∴sin∴PD?OC=PA?OD（3）解：∵BC=BC∴∠COD=2∠CAB=60°，∵OC⊥PD∴∠D=30°，∴OC=∴CD=43∴S==8【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)與判定，圓周角定理，求含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，求扇形面積，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．?題型09作圓的切線1．（2024·廣東·中考真題）如圖，在△ABC中，∠C=90°．

(1)實(shí)踐與操作：用尺規(guī)作圖法作∠A的平分線AD交BC于點(diǎn)D；（保留作圖痕跡，不要求寫作法）(2)應(yīng)用與證明：在（1）的條件下，以點(diǎn)D為圓心，DC長(zhǎng)為半徑作⊙D．求證：AB與⊙D相切．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】本題考查了尺規(guī)作角平分線，角平分線的性質(zhì)定理，切線的判定等知識(shí)．熟練上述知識(shí)是解題的關(guān)鍵．（1）利用尺規(guī)作角平分線的方法解答即可；（2）如圖2，作DE⊥AB于E，由角平分線的性質(zhì)定理可得DE=DC，由DE是半徑，DE⊥AB，可證AB與⊙D相切．【詳解】（1）解：如圖1，AD即為所作；

（2）證明：如圖2，作DE⊥AB于E，

∵AD是∠CAD的平分線，DC⊥AC，DE⊥AB，∴DE=DC，∵DE是半徑，DE⊥AB，∴AB與⊙D相切．2．（2023·廣東深圳·中考真題）如圖，在單位長(zhǎng)度為1的網(wǎng)格中，點(diǎn)O，A，B均在格點(diǎn)上，OA=3，AB=2，以O(shè)為圓心，OA為半徑畫圓，請(qǐng)按下列步驟完成作圖，并回答問(wèn)題：①過(guò)點(diǎn)A作切線AC，且AC=4（點(diǎn)C在A的上方）；②連接OC，交⊙O于點(diǎn)D；③連接BD，與AC交于點(diǎn)E．(1)求證：BD為⊙O的切線；(2)求AE的長(zhǎng)度．【答案】(1)畫圖見(jiàn)解析，證明見(jiàn)解析(2)AE=【分析】（1）根據(jù)題意作圖，首先根據(jù)勾股定理得到OC=OA2+AC2=5，然后證明出△AOC≌△DOB（2）首先根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BD=AC=4，然后證明出△BAE∽△BDO，利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）如圖所示，∵AC是⊙O的切線，∴OA⊥AC，∵OA=3，AC=4，∴OC=O∵OA=3，AB=2，∴OB=OA+AB=5，∴OB=OC，又∵OD=OA=3，∠AOC=∠DOB，∴△AOC≌△DOBSAS∴∠OAC=∠ODB=90°，∴OD⊥BD，∵點(diǎn)D在⊙O上，∴BD為⊙O的切線；（2）∵△AOC≌△DOB，∴BD=AC=4，∵∠ABE=∠DBO，∠BAE=∠BDO，∴△BAE∽△BDO，∴AEOD=AB∴解得AE=3【點(diǎn)睛】此題考查了格點(diǎn)作圖，圓切線的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)．3．（2022·江蘇泰州·中考真題）已知：△ABC中，D為BC邊上的一點(diǎn).(1)如圖①，過(guò)點(diǎn)D作DE∥AB交AC邊于點(diǎn)E，若AB=5，BD=9，DC=6，求DE的長(zhǎng)；(2)在圖②，用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)在AC邊上作點(diǎn)F，使∠DFA=∠A；（保留作圖痕跡，不要求寫作法）(3)如圖③，點(diǎn)F在AC邊上，連接BF、DF，若∠DFA=∠A，△FBC的面積等于12CD?AB，以FD為半徑作⊙F，試判斷直線BC與⊙【答案】(1)2(2)圖見(jiàn)詳解(3)直線BC與⊙F相切，理由見(jiàn)詳解【分析】（1）由題意易得CDBD=2（2）作DT∥AC交AB于點(diǎn)T，作∠TDF=∠ATD，射線DF交AC于點(diǎn)F，則點(diǎn)F即為所求；（3）作BR∥CF交FD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)R，連接CR，證明四邊形ABRF是等腰梯形，推出AB=FR，由CF∥BR，推出S△CFB=S△CFR=【詳解】（1）解：∵DE∥AB，∴△CDE∽△CBA，∴DEAB∵AB=5，BD=9，DC=6，∴DE5∴DE=2；（2）解：作DT∥AC交AB于點(diǎn)T，作∠TDF=∠ATD，射線DF交AC于點(diǎn)F，則點(diǎn)F即為所求；如圖所示：點(diǎn)F即為所求，（3）解：直線BC與⊙F相切，理由如下：作BR∥CF交FD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)R，連接CR，如圖，∵∠DFA=∠A，∴四邊形ABRF是等腰梯形，∴AB=FR，∵△FBC的面積等于12∴S△CFB∴CD⊥DF，∵FD是⊙F的半徑，∴直線BC與⊙F相切．【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)與判定、平行線的性質(zhì)與判定及切線的判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定、平行線的性質(zhì)與判定及切線的判定是解題的關(guān)鍵．QUOTE?題型10應(yīng)用切線長(zhǎng)定理求解或證明1．（2023·廣東廣州·中考真題）如圖，△ABC的內(nèi)切圓⊙I與BC，CA，AB分別相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，若⊙I的半徑為r，∠A=α，則BF+CE?BC的值和∠FDE的大小分別為（

）A．2r，90°?α B．0，90°?α C．2r，90°?α2 【答案】D【分析】如圖，連接IF，【詳解】解：如圖，連接IF，∵△ABC的內(nèi)切圓⊙I與BC，CA，AB分別相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，∴BF=BD，∴BF+CE?BC=BD+CD?BC=BC?BC=0，∠AFI=∠AEI=90°，∴∠EIF=180°?α，∴∠EDF=1故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，圓周角定理，切線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握切線的性質(zhì)，屬于中考?？碱}型．2．（2023·湖北·中考真題）如圖，在△ABC中，∠ACB=70°，△ABC的內(nèi)切圓⊙O與AB，BC分別相切于點(diǎn)D，E，連接DE，AO的延長(zhǎng)線交DE

【答案】35°/35度【分析】如圖所示，連接OE，OD，OB，設(shè)OB、DE交于H，由內(nèi)切圓的定義結(jié)合三角形內(nèi)角和定理求出∠AOB=125°，再由切線長(zhǎng)定理得到BD=BE，進(jìn)而推出OB是DE的垂直平分線，即【詳解】解：如圖所示，連接OE，OD，OB，設(shè)∵⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，∴OA、OB分別是∠CAB、∠CBA的角平分線，∴∠OAB=1∵∠ACB=70°，∴∠CAB+∠CBA=180°?∠ACB=110°，∴∠OAB+∠OBA=1∴∠AOB=180°?∠OAB?∠OBA=125°，∵⊙O與AB，BC分別相切于點(diǎn)D，∴BD=BE，又∵OD=OE，∴OB是DE的垂直平分線，∴OB⊥DE，即∠OHF=90°，∴∠AFD=∠AOH?∠OHF=35°，故答案為：35°．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)切圓，切線長(zhǎng)定理，三角形內(nèi)角和定理，線段垂直平分線的判定，三角形外角的性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．3．（2024·湖北黃岡·模擬預(yù)測(cè)）如圖，射線AM⊥AB，O是AM上的一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OA長(zhǎng)為半徑，在AM上方作半圓AOC，BE與半圓O相切于點(diǎn)D，交AM于點(diǎn)E，EF⊥BO于點(diǎn)F．(1)求證：BA=BD；(2)若∠ABE=60°，①判斷點(diǎn)F與半圓O所在圓的位置關(guān)系：點(diǎn)F在______；（圓內(nèi)，圓上，圓外）②AB=6，求陰影部分的面積．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)①圓上；②6【分析】（1）證明BA是半圓O的切線，切點(diǎn)為A，由切線長(zhǎng)定理可得BA=BD．（2）①由∠ABE=60°，可得∠BEA=30°．由BA，BE是圓O的切線．可得∠OBE=12∠ABE=30°=∠OEB．則OB=OE．證明△OBA≌△OEFAAS．則OF=OA．進(jìn)而可得點(diǎn)②如圖，連接OD，由BE與半圓相切于點(diǎn)D，可得OD⊥BE，進(jìn)而可得DE=BD=AB=6，∠OBA=∠OBD=30°，OD=OA=AB?tan30°=23【詳解】（1）證明：∵AM⊥AB，OA是半徑，∴BA是半圓O的切線，切點(diǎn)為A．又∵BE與半圓O相切于點(diǎn)D，∴BA=BD．（2）①解：∵∠ABE=60°，∴∠BEA=30°．∵BA，BE是圓O的切線．∴∠OBE=1∴OB=OE．又∵∠AOB=∠FOE，∠A=∠F=90°，∴△OBA≌△OEFAAS∴OF=OA．∴點(diǎn)F在半圓O所在的圓上，故答案為：圓上．②解：如圖，連接OD，∵BE與半圓相切于點(diǎn)D，∴OD⊥BE，∵OB=OE，∴DE=BD=AB=6，∵∠OBA=∠OBD=30°，∴OD=OA=AB?tan∵∠COD=90°?∠OEB=60°∴S陰影∴陰影部分的面積為63【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定與性質(zhì)，切線長(zhǎng)定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，扇形面積，正切，等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)．熟練掌握切線的判定與性質(zhì)，切線長(zhǎng)定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，扇形面積，正切，等腰三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．?題型11由三角形外接圓求值1．（2023·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，⊙O是銳角三角形ABC的外接圓，OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC，垂足分別為D,E,F，連接DE,EF,FD．若DE+DF=6.5,△ABC的周長(zhǎng)為21，則EF的長(zhǎng)為（

）

A．8 B．4 C．3.5 D．3【答案】B【分析】根據(jù)三角形外接圓的性質(zhì)得出點(diǎn)D、E、F分別是AB、BC、AC的中點(diǎn)，再由中位線的性質(zhì)及三角形的周長(zhǎng)求解即可．【詳解】解：∵⊙O是銳角三角形ABC的外接圓，OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC，∴點(diǎn)D、E、F分別是AB、BC、AC的中點(diǎn)，∴DF=1∵DE+DF=6.5,△ABC的周長(zhǎng)為21，∴CB+CA+AB=21即2DF+2DE+2EF=21，∴EF=4，故選：B．【點(diǎn)睛】題目主要考查三角形外接圓的性質(zhì)及中位線的性質(zhì)，理解題意，熟練掌握三角形外接圓的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．2．（2023·湖南湘西·中考真題）如圖，⊙O是等邊三角形ABC的外接圓，其半徑為4．過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AC于點(diǎn)E，點(diǎn)P為線段BE上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與B，E重合），則CP+12BP

【答案】6【分析】過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB，連接CO并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)F，連接AO，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和圓內(nèi)接三角形的性質(zhì)得到OA=OB=4，CF⊥AB，然后利用含30°角直角三角形的性質(zhì)得到OE=12OA=2，進(jìn)而求出BE=BO+EO=6【詳解】如圖所示，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB，連接CO并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)F，連接AO

∵△ABC是等邊三角形，BE⊥AC∴∠ABE=∠CBE=∵⊙O是等邊三角形ABC的外接圓，其半徑為4∴OA=OB=4，CF⊥AB，∴∠OBA=∠OAB=30°∴∠OAE=∠OAB=∵BE⊥AC∴OE=∴BE=BO+EO=6∵PD⊥AB，∠ABE=30°∴PD=∴CP+∴CP+12BP∵△ABC是等邊三角形，BE⊥AC，CF⊥AB∴CF=BE=6∴CP+1故答案為：6．【點(diǎn)睛】此題考查了圓內(nèi)接三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，含30°角直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)．3．（2022·廣西玉林·中考真題）如圖，在5×7網(wǎng)格中，各小正方形邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)O，A，B，C，D，E均在格點(diǎn)上，點(diǎn)O是△ABC的外心，在不添加其他字母的情況下，則除△ABC外把你認(rèn)為外心也是O的三角形都寫出來(lái)．【答案】△ADC、△BDC、△ABD【分析】先求出△ABC的外接圓半徑r，再找到距離O點(diǎn)的長(zhǎng)度同為r的點(diǎn)，即可求解．【詳解】由網(wǎng)格圖可知O點(diǎn)到A、B、C三點(diǎn)的距離均為：12則外接圓半徑r=5圖中D點(diǎn)到O點(diǎn)距離為：12圖中E點(diǎn)到O點(diǎn)距離為：12則可知除△ABC外把你認(rèn)為外心也是O的三角形有：△ADC、△ADB、△BDC，故答案為：△ADC、△ADB、△BDC．【點(diǎn)睛】本題考查了外接圓的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，求出△ABC的外接圓半徑r是解答本題的關(guān)鍵．4．（2023·山東日照·中考真題）在探究“四點(diǎn)共圓的條件”的數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，小霞小組通過(guò)探究得出：在平面內(nèi)，一組對(duì)角互補(bǔ)的四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓．請(qǐng)應(yīng)用此結(jié)論．解決以下問(wèn)題：如圖1，△ABC中，AB=AC，∠BAC=α（60°<α<180°）．點(diǎn)D是BC邊上的一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與B，C重合），將線段AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α到線段AE，連接

(1)求證：A，E，B，D四點(diǎn)共圓；(2)如圖2，當(dāng)AD=CD時(shí)，⊙O是四邊形AEBD的外接圓，求證：AC是⊙O的切線；(3)已知α=120°，BC=6，點(diǎn)M是邊BC的中點(diǎn)，此時(shí)⊙P是四邊形AEBD的外接圓，直接寫出圓心P與點(diǎn)【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析(3)3【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AE=AD，∠DAE=α，證明∠BAE=∠CAD，進(jìn)而證明△ABE≌△ACD，可以得到∠AEB=∠ADC，由∠ADC+∠ADB=180°，可得∠AEB+∠ADB=180°，即可證明A、B、D、（2）如圖所示，連接OA，OD，根據(jù)等邊對(duì)等角得到∠ABC=∠ACB=∠DAC，由圓周角定理得到∠AOD=2∠ABC=2∠DAC，再由OA=OD，得到∠OAD=∠ODA，利用三角形內(nèi)角和定理證明∠DAC+∠OAD=90°，即∠OAC=90°，由此即可證明AC是（3）如圖所示，作線段AB的垂直平分線，分別交AB、BC于G、F，連接AM，先求出∠B=∠C=30°，再由三線合一定理得到BM=CM=12BC=3，AM⊥BC，解直角三角形求出AB=23，則BG=12AB=3，再解Rt△BGF得到BF=2，則FM=1；由⊙P是四邊形AEBD【詳解】（1）證明：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AE=AD，∴∠BAC=∠DAE，∴∠BAC?∠BAD=∠DAE?∠BAD，即∠BAE=∠CAD，又∵AB=AC，∴△ABE≌△ACDSAS∴∠AEB=∠ADC，∵∠ADC+∠ADB=180°，∴∠AEB+∠ADB=180°，∴A、B、D、E四點(diǎn)共圓；（2）證明：如圖所示，連接OA，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=∠DAC，∵⊙O是四邊形AEBD的外接圓，∴∠AOD=2∠ABC，∴∠AOD=2∠ABC=2∠DAC，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∵∠OAD+∠ODA+∠AOD=180°，∴2∠DAC+2∠OAD=180°，∴∠DAC+∠OAD=90°，即∠OAC=90°，∴OA⊥AC，又∵OA是⊙O的半徑，∴AC是⊙O的切線；

（3）解：如圖所示，作線段AB的垂直平分線，分別交AB、BC于G、F，連接AM，∵AB=AC，∴∠B=∠C=30°，∵點(diǎn)M是邊BC的中點(diǎn)，∴BM=CM=12BC=3∴AB=BM∴BG=1在Rt△BGF中，BF=∴FM=1，∵⊙P是四邊形AEBD的外接圓，∴點(diǎn)P一定在AB的垂直平分線上，∴點(diǎn)P在直線GF上，∴當(dāng)MP⊥GF時(shí)，PM有最小值，∵∠PFM=∠BFG=90°?∠B=60°，∴在Rt△MPF中，PM=MF?∴圓心P與點(diǎn)M距離的最小值為32【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊對(duì)等角，解直角三角形，圓周角定理，切線的判定，三角形外接圓的性質(zhì)，垂線段最短等等，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．?題型12由三角形內(nèi)切圓求值1．（2023·四川攀枝花·中考真題）已知△ABC的周長(zhǎng)為l，其內(nèi)切圓的面積為πr2，則△ABC的面積為（A．12rl B．12πrl C．【答案】A【分析】由題意可得S△AOB=12AB×OE=【詳解】解：如圖，設(shè)內(nèi)切圓O與△ABC相切于點(diǎn)D，點(diǎn)E，點(diǎn)F，連接OA，OB，OC，OE，OF，OD，∵AB切⊙O于E，∴OE⊥AB，OE=r，∴S同理：S△BOCS△AOC∴S=S∵l=AB+BC+AC，∴S=1故選A【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，掌握內(nèi)切圓的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2020·遼寧丹東·中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，AB//CD，AB=CD，∠B=60°，AD=83，分別以B和C為圓心，以大于12BC的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)P和Q，直線PQ與BA延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，連接CE

A．4 B．43 C．2 D．【答案】A【分析】分別以B和C為圓心，以大于12BC的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)P和Q，連接P，Q則PQ為BC的垂直平分線，可得EB=EC，又∠B=60°，所以△EBC為等邊三角形，作等邊三角形EBC的內(nèi)切圓，設(shè)圓心為M，則M在直線PQ上，連接BM，過(guò)M作BC垂線垂足為H，在Rt△BMH中，BH=12BC=12AD=【詳解】解：有題意得PQ為BC的垂直平分線，∴EB=EC，∵∠B=60°，∴△EBC為等邊三角形，作等邊三角形EBC的內(nèi)切圓，設(shè)圓心為M，∴M在直線PQ上，連接BM，過(guò)M作MH垂直BC于H，垂足為H，∵AD=8∴BH=12BC=12AD=∵∠MBH=12∴在Rt△BMH中,MH=BH×tan30°=43×3∴ΔBCE的內(nèi)切圓半徑是4．故選：A．

【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線定理，等邊三角形的判定，等邊三角形內(nèi)切圓半徑的求法，解直角三角形，解題關(guān)鍵在于理解題意，運(yùn)用正確的方法求三角形內(nèi)切圓半徑．3．（2024·北京·模擬預(yù)測(cè)）在邊長(zhǎng)為1的正三角形內(nèi)放入n個(gè)半徑相同、彼此相切的圓，使得它們的半徑為r最大．(1)當(dāng)n=1，r=(2)當(dāng)n=6，選擇作圖工具，作出一種符合情況的圖形（保留痕跡）(3)當(dāng)n=5050，求r的長(zhǎng)度．（可畫示意圖說(shuō)明）【答案】(1)3(2)見(jiàn)解析(3)r的長(zhǎng)度為99?【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的內(nèi)切圓半徑r最大，利用面積法求解r即可得答案；（2）如圖，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)、內(nèi)切圓的定義、角平分線的性質(zhì)作圖即可；（3）先求出共有100層，最后一層有100個(gè)圓，利用梯形和三角形面積公式，列方程求出r值即可．【詳解】（1）解：如圖，⊙O為等邊三角形ABC內(nèi)切圓圓心，切點(diǎn)為D、E、F，∴OD=OE=OF=r，AD⊥BC，BD=1∴AD=A∴S△ABC∴r=3故答案為：36（2）解：如圖，作∠BAC、∠ACB、∠ABC的平分