魯京津瓊專用2025版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第八章立體幾何與空間向量8.1空間幾何體的結(jié)構(gòu)表面積與體積教案含解析

PAGEPAGE1§8.1空間幾何體的結(jié)構(gòu)、表面積與體積最新考綱1.利用實(shí)物模型、計(jì)算機(jī)軟件視察大量空間圖形，相識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及其簡潔組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡潔物體的結(jié)構(gòu).2.了解球、棱柱、棱錐、臺(tái)的表面積和體積的計(jì)算公式(不要求記憶公式)．1．空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征(1)多面體的結(jié)構(gòu)特征名稱棱柱棱錐棱臺(tái)圖形底面相互平行且全等多邊形相互平行側(cè)棱平行且相等相交于一點(diǎn)但不肯定相等延長線交于一點(diǎn)側(cè)面形態(tài)平行四邊形三角形梯形(2)旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征名稱圓柱圓錐圓臺(tái)球圖形母線平行、相等且垂直于底面相交于一點(diǎn)延長線交于一點(diǎn)軸截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形圓側(cè)面綻開圖矩形扇形扇環(huán)2.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面綻開圖及側(cè)面積公式圓柱圓錐圓臺(tái)側(cè)面綻開圖側(cè)面積公式S圓柱側(cè)＝2πrlS圓錐側(cè)＝πrlS圓臺(tái)側(cè)＝π(r1＋r2)l3.空間幾何體的表面積與體積公式名稱幾何體表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積＝S側(cè)＋2S底V＝S底·h錐體(棱錐和圓錐)S表面積＝S側(cè)＋S底V＝eq\f(1,3)S底·h臺(tái)體(棱臺(tái)和圓臺(tái))S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR3概念方法微思索1．底面是正多邊形的棱柱是正棱柱嗎？為什么？提示不肯定．因?yàn)榈酌媸钦噙呅蔚闹崩庵攀钦庵?．如何求不規(guī)則幾何體的體積？提示求不規(guī)則幾何體的體積要留意分割與補(bǔ)形，將不規(guī)則的幾何體通過分割或補(bǔ)形轉(zhuǎn)化為規(guī)則的幾何體求解．題組一思索辨析1．推斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱．(×)(2)有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐．(×)(3)棱臺(tái)是由平行于底面的平面截棱錐所得的平面與底面之間的部分．(√)(4)錐體的體積等于底面積與高之積．(×)(5)已知球O的半徑為R，其內(nèi)接正方體的邊長為a，則R＝eq\f(\r(3),2)a.(√)(6)圓柱的一個(gè)底面積為S，側(cè)面綻開圖是一個(gè)正方形，那么這個(gè)圓柱的側(cè)面積是2πS.(×)題組二教材改編2．已知圓錐的表面積等于12πcm2，其側(cè)面綻開圖是一個(gè)半圓，則底面圓的半徑為()A．1cmB．2cmC．3cmD.eq\f(3,2)cm答案B解析S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，∴r2＝4，∴r＝2.3．在如圖所示的幾何體中，是棱柱的為________．(填寫全部正確的序號(hào))答案③⑤題組三易錯(cuò)自糾4．體積為8的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為()A．12πB.eq\f(32,3)πC．8πD．4π答案A解析由題意可知正方體的棱長為2，其體對角線為2eq\r(3)即為球的直徑，所以球的表面積為4πR2＝(2R)2π＝12π，故選A.5.如圖，將一個(gè)長方體用過相鄰三條棱的中點(diǎn)的平面截出一個(gè)棱錐，則該棱錐的體積與剩下的幾何體體積的比為________．答案1∶47解析設(shè)長方體的相鄰三條棱長分別為a，b，c，它截出棱錐的體積V1＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)a×eq\f(1,2)b×eq\f(1,2)c＝eq\f(1,48)abc，剩下的幾何體的體積V2＝abc－eq\f(1,48)abc＝eq\f(47,48)abc，所以V1∶V2＝1∶47.題型一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征1．以下命題：①以直角三角形的一邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐；②以直角梯形的一腰所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)；③圓柱、圓錐、圓臺(tái)的底面都是圓面；④一個(gè)平面截圓錐，得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái)．其中正確命題的個(gè)數(shù)為()A．0B．1C．2D．3答案B解析由圓錐、圓臺(tái)、圓柱的定義可知①②錯(cuò)誤，③正確．對于命題④，只有用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，才能得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái)，④不正確．2．給出下列四個(gè)命題：①有兩個(gè)側(cè)面是矩形的立體圖形是直棱柱；②側(cè)面都是等腰三角形的棱錐是正棱錐；③側(cè)面都是矩形的直四棱柱是長方體；④底面為正多邊形，且有相鄰兩個(gè)側(cè)面與底面垂直的棱柱是正棱柱．其中不正確的命題為________．(填序號(hào))答案①②③解析對于①，平行六面體的兩個(gè)相對側(cè)面也可能是矩形，故①錯(cuò)；對于②，對等腰三角形的腰是否為側(cè)棱未作說明(如圖)，故②錯(cuò)；對于③，若底面不是矩形，則③錯(cuò)；④由線面垂直的判定，可知側(cè)棱垂直于底面，故④正確．綜上，命題①②③不正確．思維升華空間幾何體概念辨析題的常用方法(1)定義法：緊扣定義，由已知構(gòu)建幾何模型，在條件不變的狀況下，變換模型中的線面關(guān)系或增加線、面等基本元素，依據(jù)定義進(jìn)行判定．(2)反例法：通過反例對結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行辨析．題型二空間幾何體的表面積與體積命題點(diǎn)1空間幾何體的表面積例1(2024·全國Ⅰ)已知圓柱的上、下底面的中心分別為O1，O2，過直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為()A．12eq\r(2)π B．12πC．8eq\r(2)π D．10π答案B解析設(shè)圓柱的軸截面的邊長為x，則由x2＝8，得x＝2eq\r(2)，∴S圓柱表＝2S底＋S側(cè)＝2×π×(eq\r(2))2＋2π×eq\r(2)×2eq\r(2)＝12π.故選B.命題點(diǎn)2求簡潔幾何體的體積例2如圖，正三棱柱ABC－A1B1C1的底面邊長為2，側(cè)棱長為eq\r(3)，D為BC的中點(diǎn)，則三棱錐A－B1DC1的體積為()A．3 B.eq\f(3,2)C．1 D.eq\f(\r(3),2)答案C解析如題圖，因?yàn)椤鰽BC是正三角形，且D為BC中點(diǎn)，則AD⊥BC.又因?yàn)锽B1⊥平面ABC，AD?平面ABC，故BB1⊥AD，且BB1∩BC＝B，BB1，BC?平面BCC1B1，所以AD⊥平面BCC1B1，所以AD是三棱錐A－B1DC1的高．所以V三棱錐A－B1DC1＝eq\f(1,3)S△B1DC1·AD＝eq\f(1,3)×eq\r(3)×eq\r(3)＝1.思維升華空間幾何體表面積、體積的求法(1)旋轉(zhuǎn)體的表面積問題留意其側(cè)面綻開圖的應(yīng)用．(2)多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和；組合體的表面積留意連接部分的處理．(3)體積可用公式法、轉(zhuǎn)換法、分割法、補(bǔ)形法等求解．跟蹤訓(xùn)練1如圖，直三棱柱ABC－A1B1C1的各條棱長均為2，D為棱B1C1上隨意一點(diǎn)，則三棱錐D－A1BC的體積是______．答案eq\f(2\r(3),3)解析VD－A1BC＝VB1－A1BC＝VA1－B1BC＝eq\f(1,3)×S△B1BC×eq\r(3)＝eq\f(2\r(3),3).題型三與球有關(guān)的切、接問題例3已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，則球O的半徑為()A.eq\f(3\r(17),2)B．2eq\r(10)C.eq\f(13,2)D．3eq\r(10)答案C解析如圖所示，由球心作平面ABC的垂線，則垂足為BC的中點(diǎn)M.又AM＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(5,2)，OM＝eq\f(1,2)AA1＝6，所以球O的半徑R＝OA＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))2＋62)＝eq\f(13,2).引申探究1．本例若將直三棱柱改為“棱長為4的正方體”，則此正方體外接球和內(nèi)切球的體積各是多少？解由題意可知，此正方體的體對角線長即為其外接球的直徑，正方體的棱長即為其內(nèi)切球的直徑．設(shè)該正方體外接球的半徑為R，內(nèi)切球的半徑為r.又正方體的棱長為4，故其體對角線長為4eq\r(3)，從而V外接球＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π×(2eq\r(3))3＝32eq\r(3)π，V內(nèi)切球＝eq\f(4,3)πr3＝eq\f(4,3)π×23＝eq\f(32π,3).2．本例若將直三棱柱改為“正四面體”，則此正四面體的表面積S1與其內(nèi)切球的表面積S2的比值為多少？解正四面體棱長為a，則正四面體表面積為S1＝4×eq\f(\r(3),4)·a2＝eq\r(3)a2，其內(nèi)切球半徑r為正四面體高的eq\f(1,4)，即r＝eq\f(1,4)·eq\f(\r(6),3)a＝eq\f(\r(6),12)a，因此內(nèi)切球表面積為S2＝4πr2＝eq\f(πa2,6)，則eq\f(S1,S2)＝eq\f(\r(3)a2,\f(πa2,6))＝eq\f(6\r(3),π).3．本例中若將直三棱柱改為“側(cè)棱和底面邊長都是3eq\r(2)的正四棱錐”，則其外接球的半徑是多少？解依題意，得該正四棱錐底面對角線的長為3eq\r(2)×eq\r(2)＝6，高為eq\r(3\r(2)2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×6))2)＝3，因此底面中心到各頂點(diǎn)的距離均等于3，所以該正四棱錐的外接球的球心即為底面正方形的中心，其外接球的半徑為3.思維升華“切”“接”問題的處理規(guī)律(1)“切”的處理首先要找準(zhǔn)切點(diǎn)，通過作截面來解決，截面過球心．(2)“接”的處理抓住外接的特點(diǎn)，即球心到多面體的頂點(diǎn)的距離等于球的半徑．跟蹤訓(xùn)練2(2024·全國Ⅲ)設(shè)A，B，C，D是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，△ABC為等邊三角形且其面積為9eq\r(3)，則三棱錐D－ABC體積的最大值為()A．12eq\r(3)B．18eq\r(3)C．24eq\r(3)D．54eq\r(3)答案B解析由等邊△ABC的面積為9eq\r(3)，可得eq\f(\r(3),4)AB2＝9eq\r(3)，所以AB＝6，所以等邊△ABC的外接圓的半徑為r＝eq\f(\r(3),3)AB＝2eq\r(3).所以三棱錐D－ABC高的最大值為2＋4＝6，所以三棱錐D－ABC體積的最大值為eq\f(1,3)×9eq\r(3)×6＝18eq\r(3).1．將一個(gè)等腰梯形繞它的較長的底邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，所得的幾何體包括()A．一個(gè)圓臺(tái)、兩個(gè)圓錐 B．兩個(gè)圓臺(tái)、一個(gè)圓柱C．兩個(gè)圓柱、一個(gè)圓臺(tái) D．一個(gè)圓柱、兩個(gè)圓錐答案D解析從較短的底邊的端點(diǎn)向另一底邊作垂線，兩條垂線把等腰梯形分成了兩個(gè)直角三角形，一個(gè)矩形，所以一個(gè)等腰梯形繞它的較長的底邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成的是由一個(gè)圓柱，兩個(gè)圓錐所組成的幾何體，如圖：2．用長為8，寬為4的矩形做側(cè)面圍成一個(gè)圓柱，則圓柱的軸截面的面積為()A．32B.eq\f(32,π)C.eq\f(16,π)D.eq\f(8,π)答案B解析若8為底面周長，則圓柱的高為4，此時(shí)圓柱的底面直徑為eq\f(8,π)，其軸截面的面積為eq\f(32,π)；若4為底面周長，則圓柱的高為8，此時(shí)圓柱的底面直徑為eq\f(4,π)，其軸截面的面積為eq\f(32,π).3．(2024·遼寧部分重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體模擬)在一個(gè)密閉透亮的圓柱筒內(nèi)裝肯定體積的水，將該圓柱筒分別豎直、水平、傾斜放置時(shí)，指出圓柱桶內(nèi)的水平面可以呈現(xiàn)出的幾何形態(tài)不行能是()A．圓面 B．矩形面C．梯形面 D．橢圓面或部分橢圓面答案C解析將圓柱桶豎放，水面為圓面；將圓柱桶斜放，水面為橢圓面或部分橢圓面；將圓柱桶水平放置，水面為矩形面，所以圓柱桶內(nèi)的水平面可以呈現(xiàn)出的幾何形態(tài)不行能是梯形面，故選C.4．棱長為a的正四面體的表面積是()A.eq\f(\r(3),6)a2B.eq\f(\r(3),12)a2C.eq\f(\r(3),4)a2D.eq\r(3)a2答案D解析棱長為a的正四面體的四個(gè)面都是正三角形，正四面體的表面積是4×eq\f(\r(3),4)a2＝eq\r(3)a2.5．(2024·江西重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)《算術(shù)書》竹簡于上世紀(jì)八十年頭在湖北省江陵縣張家山出土，這是我國現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)學(xué)典著，其中記載有求“囷蓋”的術(shù)：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，該術(shù)相當(dāng)于給出圓錐的底面周長l與高h(yuǎn)，計(jì)算其體積V的近似公式V＝eq\f(1,36)l2h，它事實(shí)上是將圓錐體積公式中的圓周率π近似取3，那么，近似公式V≈eq\f(25,942)l2h相當(dāng)于將圓錐體積公式中的π近似取()A.eq\f(22,7) B.eq\f(25,8)C.eq\f(157,50) D.eq\f(355,113)答案C解析V＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l,2π)))2h＝eq\f(1,12π)l2h，由eq\f(1,12π)≈eq\f(25,942)，得π≈eq\f(157,50)，故選C.6．(2024·四川棠湖中學(xué)月考)用一個(gè)平面去截正方體，則截面不行能是()A．直角三角形 B．等邊三角形C．正方形 D．正六邊形答案A解析用一個(gè)平面去截正方體，則截面的狀況為：①截面為三角形時(shí)，可以是銳角三角形、等腰三角形、等邊三角形，但不行能是鈍角三角形、直角三角形；②截面為四邊形時(shí)，可以是梯形(等腰梯形)、平行四邊形、菱形、矩形，但不行能是直角梯形；③截面為五邊形時(shí)，不行能是正五邊形；④截面為六邊形時(shí)，可以是正六邊形．7．給出下列命題：①棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的平行四邊形；②若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則其三個(gè)側(cè)面也兩兩垂直；③在四棱柱中，若兩個(gè)過相對側(cè)棱的截面都垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱；④存在每個(gè)面都是直角三角形的四面體．其中正確命題的序號(hào)是________．答案②③④解析①不正確，依據(jù)棱柱的定義，棱柱的各個(gè)側(cè)面都是平行四邊形，但不肯定全等；②正確，若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則三個(gè)側(cè)面所在的三個(gè)平面的二面角都是直二面角；③正確，因?yàn)閮蓚€(gè)過相對側(cè)棱的截面的交線平行于側(cè)棱，又垂直于底面；④正確，如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中的三棱錐C1－ABC，四個(gè)面都是直角三角形．8．如圖所示，一個(gè)底面半徑為R的圓柱形量杯中裝有適量的水．若放入一個(gè)半徑為r的實(shí)心鐵球，水面高度恰好上升r，則eq\f(R,r)＝________.答案eq\f(2\r(3),3)解析由水面高度上升r，得圓柱體積增加了πR2r，恰好是半徑為r的實(shí)心鐵球的體積，因此有eq\f(4,3)πr3＝πR2r.故eq\f(R,r)＝eq\f(2\r(3),3).9．一個(gè)六棱錐的體積為2eq\r(3)，其底面是邊長為2的正六邊形，側(cè)棱長都相等，則該六棱錐的側(cè)面積為________．答案12解析設(shè)六棱錐的高為h，則V＝eq\f(1,3)Sh，所以eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×4×6h＝2eq\r(3)，解得h＝1.設(shè)六棱錐的斜高為h′，則h2＋(eq\r(3))2＝h′2，故h′＝2.所以該六棱錐的側(cè)面積為eq\f(1,2)×2×2×6＝12.10．(2024·全國Ⅱ)長方體的長、寬、高分別為3,2,1，其頂點(diǎn)都在球O的球面上，則球O的表面積為________．答案14π解析∵長方體的頂點(diǎn)都在球O的球面上，∴長方體的體對角線的長度就是其外接球的直徑．設(shè)球的半徑為R，則2R＝eq\r(32＋22＋12)＝eq\r(14).∴球O的表面積為S＝4πR2＝4π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(14),2)))2＝14π.11．若圓錐的表面積是15π，側(cè)面綻開圖的圓心角是60°，求圓錐的體積．解設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線為l，則2πr＝eq\f(1,3)πl(wèi)，得l＝6r.又S錐＝πr2＋πr·6r＝7πr2＝15π，得r＝eq\r(\f(15,7))，圓錐的高h(yuǎn)＝eq\r(l2－r2)＝eq\r(36r2－r2)＝eq\r(35)·r＝eq\r(35)·eq\r(\f(15,7))＝5eq\r(3)，V＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)π×eq\f(15,7)×5eq\r(3)＝eq\f(25\r(3),7)π.12．若E，F(xiàn)是三棱柱ABC—A1B1C1側(cè)棱BB1和CC1上的點(diǎn)，且B1E＝CF，三棱柱的體積為m，求四棱錐A—BEFC的體積．解如圖所示，連接AB1，AC1.因?yàn)锽1E＝CF，所以梯形BEFC的面積等于梯形B1EFC1的面積．又四棱錐A—BEFC的高與四棱錐A—B1EFC1的高相等，所以VA—BEFC＝＝eq\f(1,2)又＝eq\f(1,3)·h，＝·h＝m，所以＝eq\f(m,3)，所以＝－＝eq\f(2m,3)，所以VA—BEFC＝eq\f(1,2)×eq\f(2m,3)＝eq\f(m,3)，即四棱錐A—BEFC的體積是eq\f(m,3).13．已知邊長為a的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，將該菱形沿對角線AC折起，使BD＝a，則三棱錐D—ABC的體積為()A.eq\f(a3,6)B.eq\f(a3,12)C.eq\f(\r(3)a3,12)D.eq\f(\r(2)a3,12)答案D解析在邊長為a的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，將該菱形沿對角線AC折起，使BD＝a，則三棱錐D—ABC為正四面體，D在底面的射影為正三角形的中心O，h＝OD＝eq\r(DE2－OE2)＝eq\r(\f(3,4)a2－\f(1,12)a2)＝eq\f(\r(6)a,3)，所以三棱錐D—ABC的體積為V＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)·eq\f(\r(3)a2,4)·eq\f(\r(6)a,3)＝eq\f(\r(2)a3,12).14.如圖，一立在水平地面上的圓錐形物體的母線長為4m，一只小蟲從圓錐的底面圓上的點(diǎn)P動(dòng)身，繞圓錐表面爬行一周后回到點(diǎn)P處．若該小蟲爬行的最短路程為4eq\r(2)m，則圓錐底面圓的半徑等于________m.答案1解析把圓錐側(cè)面沿過點(diǎn)P的母線綻開成如圖所示的扇形，由題意OP＝4，PP′＝4eq\r(2)，則cos∠POP′＝eq\f(42＋42－4\r(2)2,2×4×4)＝0，且∠POP′是三角形的內(nèi)角，所以∠POP′＝eq\f(π,2).設(shè)底面圓的半徑為r，則2πr＝eq\f(π,2)×4，所以r＝1.15．已知過球面上A，B，C三點(diǎn)的截面和球心的距離等于球半徑的一半，且AB＝18，BC＝24，AC＝30，求球的表面積和體積．解因?yàn)锳B∶BC∶AC＝18∶24∶30＝3∶4∶5，所以△ABC是直角三角形，∠B＝90°.又球心O在截面△ABC上的投影O′為截面圓的圓心，也即是Rt△ABC的外接圓的圓心，所以