場論與張量(數(shù)學基礎(chǔ))

1斯托克斯公式

設(shè)Γ為分段光滑的空間有向閉曲線，Σ是以Γ為邊界的分片光滑的有向曲面，Γ的正向與Σ的側(cè)符合右手規(guī)則，函數(shù)P(x,y,z)、Q(x,y,z)及R(x,y,z)在包含曲面Σ在內(nèi)的一個空間區(qū)域內(nèi)具有一階連續(xù)偏導數(shù)，則有斯托克斯公式：2格林公式

設(shè)閉區(qū)域D由分段光滑的曲線L圍成，函數(shù)P(x,y)及Q(x,y)在D上具有一階連續(xù)偏導數(shù)，則有格林公式：L是D的的整個邊界曲線如果則表達式是某個函數(shù)的全微分3P(x,y,z)、Q(x,y,z)R(x,y,z)是某一函數(shù)全微分的充分必要條件。4笛卡爾張量5§3笛卡爾張量一、張量

在三維空間和選定的坐標系中，需要用3n個數(shù)來定義的量稱為n階張量30零階張量一個分量31一階張量三個分量32二階張量九個分量

在直角坐標系中，稱笛卡兒張量；在其他坐標系稱普遍張量。坐標旋轉(zhuǎn)時能自身轉(zhuǎn)換而保持不變的量，統(tǒng)稱為張量6（1）指標表示法和符號約定x、y、z分別計作x1、x2、x3，ax、ay、az分別計作a1、a2、a3，分別計作指標表示法直角坐標的3個方向記做1、2、3，7求和約定在同一項中如有兩個指標相同時，就表示對該指標從1到3求和（1）指標表示法和符號約定8顯然，指標i,j,k與求和無關(guān)，可用任意字母代替。為簡化表達式，引入Einstein求和約定：每逢某個指標在一項中重復(fù)一次，就表示對該指標求和，指標取遍正數(shù)1，2，…，n。這樣重復(fù)的指標稱為啞標。于是9例如指標i在方程的各項中只出現(xiàn)一次，稱之為自由指標。一個自由指標每次可取整數(shù)1,3,…,n，與啞標一樣，無特別說明總?cè)=3。于是，上式表示3個方程的縮寫：自由指標和啞指標在同一方程的所有項中出現(xiàn)的自由指標必須相同。10i為自由指標，j為啞標表示11例題1.

展開下列求和式，（1）指標表示法和符號約定解：12克羅內(nèi)克爾(Kronecker)符號

（1）指標表示法和符號約定與相乘，相當于把的下標j

置換為i。符號具有以下重要性質(zhì)：13符號具有以下重要性質(zhì)：克羅內(nèi)克爾(Kronecker)符號

（1）指標表示法和符號約定置換符號

i、j、k偶排列，123，231，312i、j、k中有兩個以上指標相同時i,j,k

奇排列，213，321，13214有以下重要性質(zhì)：

置換符號

（1）指標表示法和符號約定15重要公式匯總（1）指標表示法和求和約定16標量是一維的量，它只需1個數(shù)來表示，如溫度、密度等。矢量則不僅有數(shù)量的大小，而且有指定的方向，它必需由沿某一空間坐標系的3個坐標軸方向的3個分量來表示，矢量是三維的量。三維空間中的二階張量是一個9維的量，必須用9個分量才可完整地表示，如應(yīng)力，變形速率。三維空間中的n階張量由3n個分量組成。標量和矢量是低階張量，標量為零階張量，而矢量為一階張量。笛卡爾張量。（2）笛卡爾張量標量、矢量和張量17

二階張量

二階張量有9個分量，二階張量也可表示為矩陣形式，

標量、矢量和張量（2）笛卡爾張量張量可以用黑體大寫字母表示，也可用它的一個分量表示。18張量相等兩個張量相等則各分量一一對應(yīng)相等。設(shè)，若則二階張量的代數(shù)運算若兩個張量在某一直角坐標系中相等，則它們在任意一個直角坐標系中也相等。（2）笛卡爾張量19張量加減設(shè)、，則二階張量的代數(shù)運算張量的加減為其同一坐標系下對應(yīng)元素相加減，只有同階的張量才能相加減。（2）笛卡爾張量20二階張量的代數(shù)運算張量乘積設(shè)、，分量相乘，是4階張量?？梢宰C明一個

m

階張量和一個n階張量的乘積是m+n階張量。（2）笛卡爾張量21若二階張量分量之間滿足則稱此張量為對稱張量，可表示為,一個對稱張量，只有6個獨立的分量。對稱張量共軛張量、對稱張量、反對稱張量和張量的分解（2）笛卡爾張量22若二階張量分量之間滿足則稱此張量為反對稱張量，可表示為

一個二階反對稱張量只有3個獨立的分量，對角線各元素均為零。反對稱張量共軛張量、對稱張量、反對稱張量和張量的分解（2）笛卡爾張量23張量分解定理一個二階張量可以唯一地分解為一個對稱張量和一個反對稱張量之和容易驗證上式右邊第一項是對稱張量，第二項是反對稱張量。共軛張量、對稱張量、反對稱張量和張量的分解（2）笛卡爾張量24回顧：梯度、散度和旋度2.1

哈密爾頓（Hamilton）算子哈密爾頓（Hamilton）算子是矢量微分算子，其定義如下：

2.2數(shù)量場的梯度設(shè)數(shù)量函數(shù)連續(xù)可微，則：稱為u的梯度。數(shù)量函數(shù)u的梯度是矢量，指向u變化率最大的方向。252.3散度

設(shè)矢量函數(shù)的散度。矢量的散度是標量。

連續(xù)可微，則稱下式為矢量A2.4旋度

設(shè)矢量函數(shù)連續(xù)可微，則稱三階行列式

為A的旋度。上述行列式的展開式為：26哈密頓算子利用張量下標表示法哈密頓算子可寫為一個具有微分及矢量雙重運算的算子（1）指標表示法和符號約定27

利用哈密頓算子進行運算時，需分別進行微分和矢量兩種運算。梯度散度哈密頓算子（1）指標表示法和符號約定28旋度哈密頓算子（1）指標表示法和符號約定29拉氏算子哈密頓算子（1）指標表示法和符號約定30例2.已知, ,求: