第一章-張量分析基礎(chǔ)知識(shí)

還有一些物理量，譬如晶體中的介電常數(shù)，在各向異性晶體中一般要用九個(gè)分量才能表達(dá)清楚，這九個(gè)分量的數(shù)值也隨坐標(biāo)系統(tǒng)不同而有變化，這種量稱為二階張量。現(xiàn)在我們來(lái)具體看看為什么要九個(gè)分量才能完整地表達(dá)。在各向同性的電介質(zhì)中電位移矢量與宏觀場(chǎng)強(qiáng)之間有下列物理學(xué)關(guān)系聯(lián)系起來(lái)：（1.2）把規(guī)定坐標(biāo)系統(tǒng)矢量方程展開(kāi)得到三個(gè)方程： D1=0E1D2=0E2D3=0E3或?qū)憺镈i=0Ei(i=1,2,3)(1.3)電位移矢量的某一分量Di只和電場(chǎng)強(qiáng)度相同的坐標(biāo)分量Ei成正比，其中三個(gè)方程的比例常數(shù)都為0，坐標(biāo)系統(tǒng)盡管可以不同，E、D的分量也隨之變化，但三方程的比例常數(shù)是不變的，所以0和在各向同性介質(zhì)中均為標(biāo)量，只要一個(gè)數(shù)值就可表達(dá)而且與所選坐標(biāo)系統(tǒng)無(wú)關(guān)，從（1.3）式也可看出D和E方向始終一致。但是，在各向異性晶體中D和E方向并不一致，實(shí)驗(yàn)上發(fā)現(xiàn)，D的某一分量Di和E的所有三個(gè)分量都有關(guān)系，可寫(xiě)成如下關(guān)系： D1=0(11E1+12E2+13E3) D2=0(21E1+22E2+23E3) D3=0(31E1+32E2+33E3)或可寫(xiě)為： (i=1,2,3)(1.4)其中ij分別表示Di分量與Ej分量之間的比例關(guān)系數(shù)。可見(jiàn)，完整地表示晶體的介電常數(shù)要用九個(gè)分量ij，這九個(gè)分量也隨著坐標(biāo)變換而變化。這就是二階張量的特征。從張量分析的角度看，矢量實(shí)際上是一階張量，和矢量對(duì)比來(lái)理解張量并沒(méi)有特別的地方，只是這種物理量是用更多一些分量來(lái)表示的量，張量的嚴(yán)格定義將在§１．５中介紹?！欤保沧鴺?biāo)變換和變換矩陣無(wú)論是矢量、二階張量或是更高階的張量，它們的分量都隨著坐標(biāo)變換而變化。正如圖１．2中所示同一個(gè)矢量，當(dāng)選取后一坐標(biāo)系統(tǒng)（X1，，X2，，X3，）時(shí)，A矢量中有二個(gè)分量為零。那么對(duì)于張量來(lái)說(shuō)，是否也可以找到一個(gè)最合理的坐標(biāo)系統(tǒng)，使張量分量簡(jiǎn)化呢？雖然要找一個(gè)簡(jiǎn)化張量表示的坐標(biāo)不那么一目了然，但也是可以找到的，因此有必要介紹一下從一個(gè)坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到另一坐標(biāo)系的數(shù)學(xué)表示方法以及這種坐標(biāo)變換引起的矢量分量和二階張量分量隨之如何變化的規(guī)律性。在研究晶體時(shí)，所經(jīng)常使用的坐標(biāo)變換，有這樣二個(gè)特點(diǎn)，一是變換到新坐標(biāo)軸時(shí)，坐標(biāo)軸代表的尺度不能變化，二是新坐標(biāo)系各軸之間夾角仍要保持直角。這種變換是最簡(jiǎn)單的，數(shù)學(xué)上稱為正交變換。新、老坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸相對(duì)位置一經(jīng)確定，那么新坐標(biāo)中X1’與老坐標(biāo)中X1、X2、X3軸分別的夾角11、12、13X1XX1X2111213X1’X3圖１．３新老坐標(biāo)軸之間的夾角關(guān)系．圖中只畫(huà)出了X1我們令三個(gè)角度的余弦值分別為a11=cos11，a12=cos12，a13=cos13，此處，X2’以及X3’分別與三個(gè)老坐標(biāo)軸的6個(gè)夾角也是確定的，同樣辦法可以得到另外6個(gè)量a21、a22、a23、a31、a32、a33，它們都是新老軸之間夾角的余弦，即aij=cos[Xi,Xj]，如果新老坐標(biāo)系之間，給出了上述九個(gè)余弦量，那么兩個(gè)坐標(biāo)系統(tǒng)之間的關(guān)系也就唯一地確定下來(lái)了．為了便于記憶和運(yùn)算，我們可以把九個(gè)aij三個(gè)為一組分成三組，每組排成一行，寫(xiě)成如下三行、三列的一個(gè)方陣X1X2X3(老坐標(biāo)軸)X1’a11（新坐標(biāo)軸）X2’a21X3’a31這個(gè)方陣稱為變換矩陣，矩陣元素一般是aijaji的。如果給出這個(gè)變換矩陣，那么我們可以證明，任何矢量和張量的分量，在這個(gè)坐標(biāo)變換下相應(yīng)的變化便可唯一地確定．設(shè)有矢量P在老坐標(biāo)系的三個(gè)分量分別為P1,P2,P3,P在新坐標(biāo)系中的三分量為P1’,P2’,PX2XX2X1X3X1’P1P2PP1’P3圖１．４矢量P在新老坐標(biāo)系中分量的關(guān)系圖中新坐標(biāo)只畫(huà)出了X1’軸和分量P1’，顯然可看到，P1’應(yīng)是P1,P2,P3 P1’=a11P1+a12P2+a13P3同理有： P2’=a21P1+a22P2+a23P3 P3’=a31P1+a32P2+a33P3或?qū)憺椋? (1.7)如果，反過(guò)來(lái)老坐標(biāo)中分量用新坐標(biāo)表示，顯然有：P1=a11P1’+a21P2’+a31PP2=a12P1’+a22P2’+a32P3P3=a13P1’+a23P2’+a33P或?qū)憺椋? (1.9)§１．３正交變換矩陣的性質(zhì)上節(jié)所述的正交變換，因?yàn)橛卸?xiàng)限制，坐標(biāo)軸長(zhǎng)短單位不能有伸縮，變換前后坐標(biāo)都保持為直角坐標(biāo)系。所以（１．５）的矩陣中有幾個(gè)元素并不是完全獨(dú)立無(wú)關(guān)的．現(xiàn)在我們來(lái)證明這種正交變換矩陣的二個(gè)重要特性．一．變換矩陣元素的正交性新坐標(biāo)軸OX1’,OX2’,OX a112+a122+a132=1 a212+a222+a232=1(1.10) a312+a322+a332=1上面三式可以寫(xiě)為： (1.11)我們引入一個(gè)新符號(hào)ij具有下列性質(zhì)： (1.12)ij稱克龍尼克函數(shù)，把ij排列成矩陣則有如下形式： (1.13)稱為單位矩陣，引入ij后，(1.10),(1.12)六個(gè)關(guān)系式可以合并寫(xiě)成如下形式： (1.14)(aij)矩陣元素之間的上述關(guān)系就稱為正交關(guān)系，共有六個(gè)方程，所以九個(gè)分量中其實(shí)只有三個(gè)獨(dú)立元素．二．矩陣行列式aij的數(shù)值總是等于１數(shù)學(xué)上可以證明，正交變換的矩陣的行列式的值=１．在數(shù)學(xué)課中知道一個(gè)三行三列的行列式的值有如下定義： (1.15)利用aij的正交條件可以證明aij=＋１或－１．我們這里只指出aij值的重要性，如果值為＋１，表示坐標(biāo)系的左右手螺旋不變，如果為－１，表示這種變換將引起左右手螺旋性的變換，我們僅指這個(gè)結(jié)論，不擬普遍地加以證明．§１．４晶體對(duì)稱操作的變換矩陣晶體具有一定的對(duì)稱性，如果只考慮宏觀物理性質(zhì)的各方向上具有的對(duì)稱性，晶體可分成32種不同類(lèi)型稱為32種點(diǎn)群*，每一點(diǎn)群包含若干種對(duì)稱元素，宏觀對(duì)稱元素分為旋轉(zhuǎn)軸（１，２，３，４，６次軸），對(duì)稱平面，旋轉(zhuǎn)反伸軸如軸，對(duì)稱中心，對(duì)晶體進(jìn)行一定“操作”，可以使對(duì)稱圖形完全重合，實(shí)際上就是使物理性能恢復(fù)到未操作前完全一致．這種“操作”除旋轉(zhuǎn)軸外，不是簡(jiǎn)單的機(jī)械動(dòng)作能完成的，從數(shù)學(xué)的語(yǔ)言來(lái)說(shuō)，就是進(jìn)行一定的坐標(biāo)系變換，變換前后一定方向上的物理性能又可完全復(fù)原，譬如一個(gè)晶體具有４次對(duì)稱軸，就是沿某一軸旋轉(zhuǎn)90后，晶體在各方向上的物理性能又完全重復(fù)，等于進(jìn)行一次90旋轉(zhuǎn)操作．與此同理，所謂反伸操作，等于動(dòng)作是相對(duì)的，那么我們把坐標(biāo)系向相反方向旋轉(zhuǎn)90，在數(shù)學(xué)上等于進(jìn)行一次坐標(biāo)變換，使原來(lái)一個(gè)矢量(X1,X2,X3)在新坐標(biāo)中為(-X1’,-X2’,-X3*參看結(jié)晶學(xué)基礎(chǔ)講義，各點(diǎn)群對(duì)稱元素的極射赤平圖見(jiàn)附錄A．一．旋轉(zhuǎn)軸的變換矩陣設(shè)X3沿某一晶體對(duì)稱軸，現(xiàn)在使坐標(biāo)軸X1,X2繞X3轉(zhuǎn)動(dòng)一角度．新坐標(biāo)軸X3’與X3一致，X1’與X1,X2’與X2XX2’X3x3’轉(zhuǎn)角X1x1’X2圖１．５繞X3軸轉(zhuǎn)角度后，新坐標(biāo)軸的相對(duì)位置X1’與X1,X2,X3的夾角余弦分別為cos,cos(90-X2’與X1,X2,X3的夾角余弦分別為cos(90+),cosX3’與X1,X2,X3所以它所對(duì)應(yīng)的變換矩陣為 (1.16)對(duì)稱軸１，２，３，４，６次軸對(duì)應(yīng)的值，分別為=360,180,120,90,60代入(1.16)即可，例如４次軸，=90代入(1.16)得繞X3旋轉(zhuǎn)的４次軸變換矩陣為：(1.17)如果把坐標(biāo)軸X2或X1和轉(zhuǎn)軸一致，可以得到另一些變換矩陣，同學(xué)可自行練習(xí)寫(xiě)出．二．對(duì)稱平面的變換矩陣一個(gè)對(duì)稱平面對(duì)應(yīng)的操作為對(duì)一平面作鏡面“像”，任一位置矢量P經(jīng)反映操作后和P完全重合，從數(shù)學(xué)上說(shuō)，任何位置矢量在平面上的分量不變，而垂直于平面的分量則改變正負(fù)號(hào)，如果把坐標(biāo)系的(X2X3)平面取得和對(duì)稱平面重合，X1和對(duì)稱面法線方向一致，那么相應(yīng)的坐標(biāo)變換是，新坐標(biāo)X2’,X3’相對(duì)于X2,X3不動(dòng)，而X1’ (1.18)X2x2X2x2’對(duì)稱面nx1X3x3’x1圖１．６對(duì)稱平面為(X2X3)平面時(shí)，經(jīng)反映變換后新、老坐標(biāo)軸的相對(duì)位置，n為對(duì)稱面法線．當(dāng)然同理我們還可以寫(xiě)出，X2或X3與對(duì)稱平面法線重合時(shí)的反映操作的變換矩陣．三．對(duì)稱中心變換矩陣對(duì)稱中心對(duì)應(yīng)的操作為反伸，經(jīng)過(guò)反伸操作(就像照相機(jī)顯像)使任何位置矢量P可以和大小一樣方向相反的矢量P1重合．從坐標(biāo)變換的角度來(lái)看相當(dāng)于使新坐標(biāo)軸X1’,X2’,X3’相對(duì)于X1,X2 (1.19)四．旋轉(zhuǎn)反伸軸的變換矩陣旋轉(zhuǎn)反伸相應(yīng)的操作是先繞某軸旋轉(zhuǎn)90軸，然后再對(duì)軸上一點(diǎn)作反伸．假如４次旋轉(zhuǎn)軸沿著X3，軸上的反伸參考點(diǎn)取為坐標(biāo)原點(diǎn)，相應(yīng)坐標(biāo)變換是這樣的，第一步，X1,X2繞X3轉(zhuǎn)90，達(dá)到X1’X2’位置，X3’和X3仍一致．第二步，對(duì)原點(diǎn)作反伸，使X1’,X2’,X3’全部反向變?yōu)閄1”,X2”,X3”．它的變換矩陣，由X1 (1.20)x1’’x1x2’’x3’’x2x1’’x1x2’’x3’’x2x1x2x1’x3,x3’轉(zhuǎn)90度x2’x3(a)(b)圖１．７４軸沿X3軸坐標(biāo)轉(zhuǎn)換(a)先繞X1轉(zhuǎn)/4，新坐標(biāo)軸X1’,X2’,X(b)再將X1’,X2’,X3’對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)反伸，達(dá)到最后的新坐標(biāo)軸位置X1”我們?cè)凇欤保怪袑⒗镁w對(duì)稱性的上述變換得出各張量元素分量之間關(guān)系以及最簡(jiǎn)單的坐標(biāo)系統(tǒng)．§１．５二階張量的變換與張量的定義在各向異性介質(zhì)中的某一些物理參量，常具有張量的性質(zhì)，它總是與某個(gè)物理學(xué)定理聯(lián)系在一起的．因此，我們還是以介電張量ij為例說(shuō)明二階張量隨坐標(biāo)變換時(shí)的規(guī)律．設(shè)在(X1,X2,X3)坐標(biāo)系中介電極化的關(guān)系為： (1.21)如果變換到（X1’,X2’,X3’）坐標(biāo)，其變換矩陣為(aij)，那么,和ij (1.22)根據(jù)矢量變化公式(1.7)，則有：(1.23)D和E之間有物理學(xué)定律(1.22)聯(lián)系故有： (1.24)我們?cè)俑鶕?jù)(1.9)使E用E’表示則有： (1.25)代入上式略加整理后得到： (1.26)同(1.22)比較可得到在不同坐標(biāo)系中ij’和kl的如下關(guān)系 (1.27)同理可證明相反的變換是： (1.28)現(xiàn)在我們可從數(shù)學(xué)上給迪卡生張量下一個(gè)比較確切的定義:張量是與坐標(biāo)有聯(lián)系的一組量，它們隨坐標(biāo)變換而按一定規(guī)律變化，如和坐標(biāo)無(wú)關(guān)的稱為零階張量（即標(biāo)量），如出現(xiàn)一次變換矩陣元和一個(gè)加和號(hào)的為一階張量，如出現(xiàn)二個(gè)變換矩陣元和二個(gè)加和符號(hào)的為二階張量，出現(xiàn)n個(gè)矩陣元和n個(gè)加和號(hào)的稱為n階張量．現(xiàn)將0-4階張量的變換公式列于表A.1．名稱張量個(gè)數(shù)分量個(gè)數(shù)變換公式新坐標(biāo)中分量用老坐標(biāo)分量表示老坐標(biāo)分量用新坐標(biāo)分量表示標(biāo)量０1=30’==’矢量１3=31二階張量２9=32三階張量３27=33四階張量４81=34根據(jù)上述張量的確切定義，鑒別在物理學(xué)公式中出現(xiàn)的某一個(gè)量究竟是否是張量，其唯一的根據(jù)是某一個(gè)具有若干分量的一組量，是否遵從表A.1中某一級(jí)張量變換公式．因此很容易得出如下兩個(gè)結(jié)論．（１）任何二個(gè)張量的各分量，彼此相乘所得的若干量組成另一個(gè)張量，新張量的階數(shù)將是原來(lái)二個(gè)張量階數(shù)之總和．現(xiàn)以二個(gè)一階張量（矢量）為例，來(lái)說(shuō)明這個(gè)推論，二個(gè)矢量分量彼此相乘必得如下九個(gè)分量．(1.29)這九個(gè)分量Piqi(i,j=1-3)，利用(1.6)式極易證明為二階張量 (1.30)(1.30)和表A.1中所列二階張量變換公式完全一致，所以它們是一個(gè)二階張量．其它階數(shù)張量相乘可以用同樣辦法加以證明．因此三階，四階張量的變換規(guī)律分別和三個(gè)矢量及四個(gè)矢量乘積的變換規(guī)律一樣．（２）物理學(xué)公式中，某二個(gè)張量之間存在線性關(guān)系，有若干比例常數(shù)，那么這一組比例常數(shù)必然也是一個(gè)張量，它的階數(shù)也就是公式兩邊張量階數(shù)之和．§１．５中已經(jīng)證明了兩個(gè)矢量D和E之間的比例常數(shù)ij，組成一個(gè)二階張量．如果推廣到其它階數(shù)張量之間的比例常數(shù)，完全可以用同樣辦法加以證明．例如第二章的同為二階張量的應(yīng)力張量ij與應(yīng)變張量ij之間的比例常數(shù)是具有81個(gè)分量組成的彈性模量Cijkl，它確實(shí)是一個(gè)４階張量。又如壓電效應(yīng)中，電場(chǎng)強(qiáng)度矢量與應(yīng)力張量（二階）之間的比例常數(shù)dijk，有27個(gè)分量亦可證明它是遵從三階張量的變換公式．因此在物理公式中出現(xiàn)的一些新的量只要確證其它量是張量，那么這個(gè)新的量是哪一級(jí)張量是不難確定的．這里還要再次著重指出，只有張量的數(shù)學(xué)定義才是判斷的唯一依據(jù)，譬如介電常數(shù)ij共有九個(gè)分量組成一個(gè)二階張量，這是上述幾節(jié)一再證明了的。但如果有這樣九個(gè)量nij2=ij，而且這九個(gè)量nij（折射率）確實(shí)也隨坐標(biāo)變換而變化，那么它是不是組成一個(gè)張量呢？我們可以從張量定義出發(fā)來(lái)考察一下，因?yàn)樗S坐標(biāo)變換的公式是： (1.31)顯然不符合表中二階張量的變換公式，它既不是二階張量，也不是任何其它階的張量．只有(nij)2=ij才是二階張量．因此晶體中其它很多性能如解理強(qiáng)度，表面能，屈服強(qiáng)度，電擊穿強(qiáng)度，晶體生長(zhǎng)速率，聲速……等等雖表現(xiàn)為各向異性，但和折射率本身一樣并不具有所要求的張量變換形式，不是張量。它可能與晶體內(nèi)某些張量性質(zhì)的物理量有復(fù)雜的關(guān)系．§１．６張量的足符互換對(duì)稱一．對(duì)稱與反對(duì)稱二階張量一個(gè)二階張量ij如果將足符i,j次序互換后，兩個(gè)分量存在ij=ij的關(guān)系，稱為對(duì)稱二階張量，如果有ij=-ij則稱為反對(duì)稱二階張量。反對(duì)稱二階張量的同足符分量ij次序互換后應(yīng)有ij=-ij，因此ii=0(i=1,2,3)，所以把對(duì)稱與反對(duì)稱二個(gè)張量寫(xiě)成矩陣的形式分別為如下形狀：對(duì)稱反對(duì)稱一個(gè)與晶體物理性能相聯(lián)系的某些量究竟屬于對(duì)稱張量還是非對(duì)稱張量或反對(duì)稱張量，純粹從數(shù)學(xué)的角度是無(wú)法判斷的，這是出于物理上的原因，取決于相應(yīng)的物理過(guò)程的能量關(guān)系，我們以介電極化過(guò)程為例說(shuō)明介電張量是一個(gè)對(duì)稱二階張量．根據(jù)電磁學(xué)知道電介質(zhì)中電場(chǎng)的單位體積的總能量為： (1.32)(1.32)微分得 (1.33)方程右邊第一項(xiàng)是由于宏觀電場(chǎng)強(qiáng)度改變dE而引起介質(zhì)極化偶極矩在電場(chǎng)中的勢(shì)能變化部分，這不涉及到極化變化而引起的總能量改變，第二項(xiàng)才是直接晶體極化改變了dD引起的晶體內(nèi)能電能的增加．后一項(xiàng)，才是真正與極化過(guò)程相聯(lián)系的總能量變化，所以晶體極化過(guò)程中總能的改變可寫(xiě)為： (1.34)將關(guān)系式代入上式可得到 (1.35)上式對(duì)E1及E2的偏導(dǎo)數(shù)分別為： ）(1.36) ）(1.37)我們知道總電能W是宏觀電場(chǎng)獨(dú)立變量E1,E2,E3的連續(xù)函數(shù)，根據(jù)高等數(shù)學(xué)多元函數(shù)的性質(zhì)知道兩次偏導(dǎo)數(shù)的次序可以顛倒 (1.38)考慮(1.36),(1.37)代入上式得到： 21=12(1.39)同理可以證明： 31=13以及23=32所以介電張量是一個(gè)對(duì)稱二階張量．在晶體物理中重要的二階張量屬于可逆過(guò)程的都有相應(yīng)能量關(guān)系，因而都是對(duì)稱張量。此外一些不可逆過(guò)程有關(guān)的如電導(dǎo)、熱導(dǎo)系數(shù)等二階張量也是可以從另一角度證明絕大多數(shù)也屬于對(duì)稱張量（不可逆過(guò)程有關(guān)的二階張量，也可以從另外的角度來(lái)證明大多數(shù)這樣的物理量也是對(duì)稱張量，但是其證明涉及到不可逆過(guò)程的熱力學(xué)關(guān)系，已超出本課程范圍）．應(yīng)力與應(yīng)變張量雖然不存在能量關(guān)系，但從第二章中已證明也是對(duì)稱二階張量．一個(gè)對(duì)稱二階張量的獨(dú)立的分量只有以下六個(gè)：11,22,33,23=32,13=31,12=21下面我們?cè)谠S多場(chǎng)合下，可以將對(duì)稱雙重足符簡(jiǎn)化為一個(gè)足符來(lái)表示．簡(jiǎn)化足符的數(shù)值可取１－６，其對(duì)應(yīng)關(guān)系定義如下：雙足符ij 11,22,33,23,13,12簡(jiǎn)化足符i 1，2，3，4，5，６(1.40)為便于記憶，簡(jiǎn)化足符的順序在二階張量的矩陣形式中按如下順序?qū)?yīng)起來(lái)：二．三階張量的足符對(duì)稱問(wèn)題三階張量有三個(gè)角標(biāo)如dijk,足符i,j,k間是否有互換對(duì)稱，也必須從物理過(guò)程中去考察．一般說(shuō)正如§１．５指出的三階張量都有相應(yīng)物理過(guò)程的公式和一個(gè)一階張量、一個(gè)二階張量相聯(lián)系，如壓電效應(yīng)中有：(i=1,2,3)(1.41)或者如反壓電效應(yīng)（或稱電致伸縮效應(yīng)）中有（壓電效應(yīng)與反壓電效應(yīng)參看§４．５） (i,j=1,2,3)(1.42)(1.41),(1.42)中的二階張量是對(duì)稱張量，那么可以證明，與二階對(duì)稱張量相對(duì)應(yīng)的二個(gè)足符存在互換對(duì)稱．所以一個(gè)三階張量，由于其中二個(gè)足符是對(duì)稱的，存在dijk=dikj(kj對(duì)稱)的關(guān)系，所以27個(gè)分量實(shí)際上只有18個(gè)獨(dú)立分量．四．四階張量的足符對(duì)稱問(wèn)題四階張量有四個(gè)足符如彈性模量Cijkl，由于上述同樣道理，物理學(xué)公式中它所聯(lián)系的二個(gè)二階張量都是對(duì)稱張量（彈性模量參看§２．４及§２．５），那么四個(gè)足符將分為二組(i,j)及(k,l)分別是對(duì)稱的，而且可以分別應(yīng)用簡(jiǎn)化足符而使之簡(jiǎn)化為二個(gè)足符表示，但足符數(shù)字都改?。保?，一般說(shuō)四階張量中的81個(gè)分量可減少為36個(gè)分量．但是，利用彈性形變的總能量的關(guān)系還可證明Cij兩個(gè)簡(jiǎn)化足符之間也有互易對(duì)稱關(guān)系，如： C1122=C2211 C1123=C2311 ……由于這兩種對(duì)稱性關(guān)系的存在，彈性模量的獨(dú)立分量將進(jìn)一步減少到21個(gè)．不過(guò)，這種簡(jiǎn)化足符間的互換對(duì)稱，不是所有四階張量普遍存在的關(guān)系．如果相應(yīng)的物理過(guò)程中，不存在某種總能量變化的對(duì)稱關(guān)系，那么，簡(jiǎn)化足符是沒(méi)有這種對(duì)稱的，如第八章的壓光系數(shù)，光彈系數(shù)等四階張量就沒(méi)有這種互換對(duì)稱存在，所以它一般仍保持36個(gè)分量．以上利用足符的互換對(duì)稱而使用簡(jiǎn)化足符，僅僅是為了在計(jì)算某些物理學(xué)公式時(shí)使得變數(shù)盡可能減少，但必須十分注意的是，使用簡(jiǎn)化足符，并不是張量階數(shù)降低了，所以在坐標(biāo)變換時(shí)要決定張量各分量的變化時(shí)，絕對(duì)不能應(yīng)用簡(jiǎn)化足符．§１．７張量的矩陣表示和矩陣的代數(shù)運(yùn)算為了書(shū)寫(xiě)與運(yùn)算的方便，常常把物理學(xué)公式中的矢量與張量寫(xiě)成矩陣的形式，譬如方程(1.4)可寫(xiě)成下列形式： (1.43)要用(1.43)來(lái)代替(1.4)，實(shí)際上必須事先約定一些規(guī)則為前提．（１）約定任何一個(gè)矢量（即一階張量）的三個(gè)分量都可以寫(xiě)成，稱為三行一列矩陣．（２）約定一個(gè)二階張量，可以寫(xiě)成稱為三行三列矩陣，分量ij，寫(xiě)在矩陣的第i行和第j列位置上．（３）方程(1.43)等式右邊兩個(gè)矩陣連寫(xiě)在一起，表示兩矩陣的乘積，所以還要事先約定一個(gè)矩陣的乘法規(guī)則．某一個(gè)矢量Pi、張量Tij，或者坐標(biāo)變換的相應(yīng)矩陣aij，我們都用P,I,A等符號(hào)下加一橫來(lái)代表，（通常書(shū)籍中用黑體字表示）．現(xiàn)在我們來(lái)規(guī)定矩陣的乘法規(guī)則．設(shè)有一個(gè)m行n列矩陣和一個(gè)n行P列矩陣，相乘后得出另一m行P列的矩陣． 乘積是這樣規(guī)定的： (1.44)k是A中的第i行各元素分別乘上B矩陣的第k列的各元素的總和為乘積矩陣中的第ij元素．為明白起見(jiàn)，舉一個(gè)數(shù)學(xué)例子： (1.45)乘積矩陣中第一行第一列元素等于第一個(gè)矩陣的第一行元素分別乘上第二矩陣的第一列元素之和，即：00+33+2(-2)=5其它乘積矩陣元素的值，可按此規(guī)則乘得(1.45)的結(jié)果．在矩陣乘法中必須注意二點(diǎn)：１．兩矩陣相乘前面矩陣的列數(shù)必須和后面矩陣的行數(shù)相等，否則兩矩陣不能相乘．２．兩矩陣相乘的次序顛倒是不相等的，即ABBA．例如：有了事先約定的上述各規(guī)則，那么物理學(xué)公式(1.43)與(1.4)表示完全同等．有了矩陣運(yùn)算的上述規(guī)則，同樣可以應(yīng)用到矢量和二階張量的變換公式，用矩陣形式可表示出來(lái)，同學(xué)可以自行證明，矢量P的變換公式可寫(xiě)為：(1.46)或 (1.47)式中，A為坐標(biāo)變換矩陣．二階張量的變換公式可寫(xiě)為： 或 (1.48)式中A是坐標(biāo)變換矩陣，是A的轉(zhuǎn)置矩陣，即將A中的行換為列，列換為行的矩陣． 物理學(xué)公式和張量的坐標(biāo)變化的運(yùn)算利用矩陣符號(hào)將簡(jiǎn)潔得多，在各項(xiàng)具體展開(kāi)時(shí)，不易搞錯(cuò)，有很大的方便．譬如一個(gè)矢量P經(jīng)連續(xù)坐標(biāo)變換二次，最后的變換公式用矩陣符號(hào)運(yùn)算就簡(jiǎn)單得多，設(shè)第一次變換為A，第二次變換為B，則有： 及前式代入后式得到最后變換公式為： (1.49)式中 最后變換必定相當(dāng)于進(jìn)行變換C，正好是BA的乘積．行數(shù)列數(shù)(mn)相同的矩陣可以相加，有：(1.50) 其中矩陣元素有下列關(guān)系： Cij=aij+bij(1.51)其它更高階的張量，如第四章遇到的壓電系數(shù)dijk，第七章中遇到的電光系數(shù)ijk，第六章中的非線性系數(shù)dijk為三階張量以及第二章遇到的彈性模量Cijkl，聲光系數(shù)Pijkl為四階張量，不能直接寫(xiě)成矩陣形式，但是我們可以利用它們兩個(gè)足符的互換對(duì)稱性（即ij可互換或kl可互換）將其指標(biāo)簡(jiǎn)化后，物理學(xué)公式在形式上也可以寫(xiě)成矩陣形式，這將在有關(guān)各章中分別加以介紹．§１．８二階對(duì)稱張量的幾何表示和二階張量的主軸晶體物理中遇到的二階對(duì)稱張量比較多，我們應(yīng)該比較熟悉它隨坐標(biāo)系變換的性質(zhì)．同時(shí)二階張量的變換公式中只出現(xiàn)二個(gè)變換矩陣元素的加和符號(hào)，比較簡(jiǎn)單，有可能在空間中用一個(gè)幾何曲面來(lái)形象地表示它和坐標(biāo)系之間的關(guān)系．一個(gè)矢量可用某方向上一定長(zhǎng)度的直線來(lái)形象地表示它在該坐標(biāo)系中的三個(gè)分量，三個(gè)分量相應(yīng)于在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影，坐標(biāo)系變換時(shí)，可形象地看到三個(gè)投影的大小也在相應(yīng)改變．下面介紹二階張量對(duì)應(yīng)的幾何表示．我們現(xiàn)在按下式定義一個(gè)空間二次曲面： (1.52)展開(kāi)出來(lái)就是：(1.53)如果有Sij=Sji，(1.53)變?yōu)椋? (1.54)從空間解析幾何的知識(shí)，我們知道(1.54)是一個(gè)以坐標(biāo)系原點(diǎn)為中心的二次曲面方程，或者是一個(gè)橢球，或者是一個(gè)雙曲面。坐標(biāo)系變換時(shí)，曲面方程的各項(xiàng)系數(shù)也相應(yīng)變化，現(xiàn)在假定坐標(biāo)系從OX1,OX2,OX3變?yōu)镺X1’,OX2’,OX (1.55)代入(1.54)有： (1.56)經(jīng)整理新坐標(biāo)系中，曲面方程中Xk’Xl’項(xiàng)的新系數(shù)為： (1.57)(1.57)寫(xiě)為： (1.58)我們可以明顯地注意到，一個(gè)二次曲面的各系數(shù)的變換公式(1.57)和二階的變換公式完全一樣． 因?yàn)槎吻娴南禂?shù)對(duì)i,j是對(duì)稱的，Sij=Sji，所以說(shuō)二次曲面的系數(shù)就具有二階對(duì)稱的特征．因而任何一個(gè)二階對(duì)稱張量ij，在幾何上都可以用下述曲面來(lái)形象地表示： (1.59)對(duì)稱二階張量的六個(gè)分量相應(yīng)于這個(gè)曲面方程的六個(gè)系數(shù)，這個(gè)曲面稱為該張量的表象曲面，正如一個(gè)矢量可用在某方向上一定長(zhǎng)度線段來(lái)表示，它的三分量是三個(gè)坐標(biāo)上的投影，而一個(gè)對(duì)稱二階張量有六個(gè)分量，則要用一個(gè)空間曲面表形象地表示，它的分量為曲面方程的六個(gè)系數(shù)，這樣的表示在直觀上有很大好處，因?yàn)榇蠹覍?duì)二次曲面在各坐標(biāo)系統(tǒng)中的方程變化比較熟悉，下面將看到，利用表象曲面可以很快地看出它代表的張量所決定的物理性能在各方向上所具有的對(duì)稱性． 我們?cè)诳臻g解析幾何中已經(jīng)知道，一個(gè)二次曲面，有一個(gè)重要特性，總可以找到三個(gè)正交的坐標(biāo)系統(tǒng)中曲面方程中交叉項(xiàng)系數(shù)都等于零．曲面方程有如下簡(jiǎn)單的形式： (1.60) 由此可見(jiàn)，一個(gè)二階對(duì)稱張量，一般情況下有六個(gè)分量，但是實(shí)際上，只要找到適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系統(tǒng)，僅需要三個(gè)分量就可以完全確定，使所有ij的ij=0的三個(gè)坐標(biāo)軸稱為張量主軸，這時(shí)三個(gè)不等于零的分量11,22,33稱為二階張量主值，如果三個(gè)主值都是正值，那么它的表象曲面就是大家熟悉的橢球方程： (1.61)其中［見(jiàn)圖１．８(a)］如果三個(gè)主值中二個(gè)為正，一個(gè)為負(fù)，是一個(gè)單葉雙曲面［見(jiàn)圖１．８(b)］，主值中二個(gè)為負(fù)，一個(gè)為正，是一個(gè)雙葉雙曲面［見(jiàn)圖１．８(c)］．(a)(b)（c）圖１．８二階對(duì)稱張量三種可能的表象曲面(a)橢球(b)單葉雙曲面(c)雙葉雙曲面根據(jù)以上分析，當(dāng)二階對(duì)稱張量在取主軸為坐標(biāo)軸時(shí)，不為零的分量只有三個(gè)，具有最簡(jiǎn)單的形式．這時(shí)的物理學(xué)公式也具有最簡(jiǎn)單的形式．例如電位移與電場(chǎng)強(qiáng)度間關(guān)系為： (i=1,2,3)(1.62)如果取ij的主軸為坐標(biāo)軸，有： D1=011E1D2=022E2(1.63)D3=033E3D在X1方向的分量D1只與E1有關(guān)，D2只與E2有關(guān)，D3只與E3有關(guān)，當(dāng)112233時(shí)，D和E一般說(shuō)方向并不一致，這是各向異性晶體必須存在的現(xiàn)象，但是張量的主軸卻是一個(gè)特殊的方向，當(dāng)E恰好平行于某一主軸方向，譬如沿著OX1軸，即E(E1,0,0)，那么根據(jù)(1.63)式可得到D=(011E1,0,0)，D也在OX1方向上，所以E沿主軸這一特殊方向時(shí)，D和E是相互平行的． 可以用一個(gè)二次曲面表示一個(gè)二階張量，并且在主軸坐標(biāo)系下，只有矩陣對(duì)角線上三個(gè)分量不為零，分別稱為該張量的主值，這是一、二階對(duì)稱張量的普遍特性，所以像應(yīng)力張量．應(yīng)變張量：當(dāng)找到主軸坐標(biāo)系時(shí)，只有對(duì)角線上分量不為零，也就是說(shuō)，在這個(gè)坐標(biāo)系下，只存在正應(yīng)力分量或者正應(yīng)變分量，這在分析彈性應(yīng)力對(duì)偏振光干涉強(qiáng)度的影響，如利用光測(cè)彈性方法分析晶體缺陷中位錯(cuò)應(yīng)力場(chǎng)引起的干涉強(qiáng)度輪廓分布時(shí)是很重要的，根據(jù)第八章分析，晶體折射率的變化主要由于正應(yīng)力（壓縮或膨脹）引起的，換名話說(shuō)只與應(yīng)力的主值有關(guān)系，分析偏光干涉強(qiáng)度輪廓時(shí)如果取主軸為坐標(biāo)系時(shí)將會(huì)帶來(lái)極大的方便．§１．９二階對(duì)稱張量主軸的確定 一個(gè)對(duì)稱二階張量必定存在三個(gè)主軸，在主軸坐標(biāo)下張量分量中ij的各項(xiàng)均為零而得到簡(jiǎn)化．那么現(xiàn)在反過(guò)來(lái)問(wèn)：給出了任意坐標(biāo)下的張量各分量Xij，如何找出它的主軸在什么方向上呢？這是一個(gè)很重要的問(wèn)題．我們還記得在§１．８中提到一個(gè)二階對(duì)稱張量ij是把D與E之間聯(lián)系起來(lái)的，如果E在主軸方向上，那么D必然與E平行．如果這里有一矢量(X1,X2,X3)它正好在某一對(duì)稱二階張量Sij的主軸方向上，那么矢量Xi’=(i=1,2,3)必須也在矢量(X1,X2,X3)方向上，我們可利用主軸方向上的這一特殊性把主軸找出來(lái)，如果(X1,X2,X3)矢量確實(shí)沿著主軸的話，必然有下列關(guān)系： (i=1,2,3)(1.64)是某一常數(shù)，因?yàn)榉匠虄蛇呄鄳?yīng)的矢量平行，所以只能相差一個(gè)常數(shù)倍．(1.64)是一個(gè)三元聯(lián)立代數(shù)方程，可以具體地寫(xiě)為： (1.65)要方程組有Xi非零的解，必須使系數(shù)行列式為零： (1.66)(1.66)是的三次方程，可以解出三個(gè)根’,”,’”．在數(shù)學(xué)上可以證明這三個(gè)根對(duì)應(yīng)于張量Sij的三個(gè)主值.即取主值’,代入(1.65)可求得一套(X1’,X2”,X3’),同樣以”和’”分別代入(1.65)求得另二套(X1”,X2”,X3”)和(X1”’,X2”’,X3 如果進(jìn)行這樣的坐標(biāo)變換就可得到Sij在主軸坐標(biāo)系中的簡(jiǎn)單形式： 以上只是介紹了尋找主值和主軸的思路，具體計(jì)算有時(shí)是很繁瑣的．現(xiàn)舉一個(gè)簡(jiǎn)單的例子：（１）設(shè)有二階對(duì)稱張量，試求其主軸及主值．按(1.66)式列出方程：(1.67)具體寫(xiě)出聯(lián)立方程為： (1.68)令系數(shù)行列式為零： (1.69)乘出行列式值得到： 整理后得 (2-3+2)(4-)=0求出的三個(gè)根為：’=1,”=2,”’=4(1.70)將’代入(1.69)得(1.71)解得：X3’=0,X1’=X2再將”代入(1.69)得：(1.72)得：X3”=0,X1”=-X2再將”’代入(1.69)得：(1.73)得X1”’=X2”’=0,X3”’,|X”’三個(gè)主軸的方向余弦各為：(1.72)如果要將坐標(biāo)系變換到主軸坐標(biāo)系則要進(jìn)行下列變換：(1.73)這個(gè)變換相當(dāng)于繞坐標(biāo)軸X3轉(zhuǎn)動(dòng)45角（見(jiàn)§１．４），這主軸坐標(biāo)中張量分量按(1.48)式為：如果按§１．７中所述的矩陣乘法來(lái)計(jì)算很方便地可得到：（主軸坐標(biāo)系）S的三個(gè)主值確為’,”,”’的數(shù)值．§１．10晶體張量與晶體對(duì)稱性的關(guān)系 晶體宏觀物理性能必然反映晶體內(nèi)部結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性，因而某種物理性能的各階張量的分量也必然受到晶體宏觀對(duì)稱性的制約．換句話說(shuō)，晶體各張量分量由于應(yīng)該反映這種對(duì)稱性，因而有些分量必須為零，有些分量之間應(yīng)存在一些關(guān)系，完全獨(dú)立的分量將進(jìn)一步減少,最為明顯的例子是有壓電效應(yīng)的晶體的點(diǎn)群類(lèi)型均是沒(méi)有對(duì)稱中心的.下面我們將證明有對(duì)稱中心時(shí)，壓電系數(shù)的所有分量均為零，而有熱釋電效應(yīng)的晶體，由于對(duì)稱性的制約，只能是20種壓電類(lèi)晶體中10種類(lèi)型．本節(jié)主要討論宏觀物理性能和晶體微觀對(duì)稱性之間的關(guān)系,這對(duì)于晶體物理效應(yīng)的應(yīng)用來(lái)說(shuō),熟悉這種關(guān)系是重要的． 一．物質(zhì)與場(chǎng)張量 上面我們討論張量的一些普遍性質(zhì)時(shí)沒(méi)有去嚴(yán)格區(qū)分我們可能遇到的兩種不同的張量:一種張量是直接與晶體本身屬性相聯(lián)系的物理參量,另一類(lèi)是外界施加于晶體的物理量．舉例來(lái)說(shuō)，晶體受到外應(yīng)力作用時(shí)，晶體中將存在應(yīng)力場(chǎng)，這個(gè)應(yīng)力場(chǎng)是用二階應(yīng)力張量來(lái)描述的，雖然它是一個(gè)張量，但不是晶體本身屬性決定的，而是由外界施加應(yīng)力的方式?jīng)Q定，顯然不受晶體本身對(duì)稱性所制約,即使是各向同性的物體，只要外界應(yīng)力各方向不一樣，內(nèi)部應(yīng)力決不會(huì)是各向同性的.因而應(yīng)力張量和直接屬于晶體自身物理屬性的參量如介電張量，熱膨脹，熱傳導(dǎo)系數(shù)等二階張量不同,前者是外界施加于物體的，不受晶體對(duì)稱性制約，我們稱之為“場(chǎng)張量”，后者是晶體自身屬性的參量，受晶體對(duì)稱性制約，稱為“物質(zhì)張量”．一階張量中外加電場(chǎng)也屬于場(chǎng)張量，熱釋電系數(shù)則屬于一階的物質(zhì)張量．因此，下面我們的分析對(duì)稱性對(duì)張量的影響，都是分析“物質(zhì)張量”．不過(guò)在具體問(wèn)題中，只要注意到這一點(diǎn)，那么兩種張量是不易混淆的，今后我們?nèi)圆患訁^(qū)分，統(tǒng)稱為張量． 二．諾埃曼原理 我們說(shuō)晶體宏觀物理性能應(yīng)該受到晶體對(duì)稱性的制約，這并不意味著要求在各方向上物理性能具有的對(duì)稱性一定和晶體所屬的點(diǎn)群類(lèi)型的對(duì)稱性完全一致．，而是要求物理性能的對(duì)稱性應(yīng)包含晶體所具有的點(diǎn)群對(duì)稱性，或者說(shuō)至少不能低于點(diǎn)群對(duì)稱性，這個(gè)原理一般稱為諾埃曼(Neumann)原理.譬如我們下面將證明的，一個(gè)屬于立方晶系任何一個(gè)點(diǎn)群的晶體，它的介電極化性能或者光折射率各方向上的對(duì)稱性并不一定和點(diǎn)群對(duì)稱性一致而有立方的對(duì)稱．事實(shí)上這兩種物理性能表現(xiàn)出來(lái)的卻是各向同性的比立方對(duì)稱還要高．各向同性等于說(shuō)是什么對(duì)稱都有，就像幾何圖形的球體所具有的對(duì)稱性一樣，它當(dāng)然包含了立方的對(duì)稱性，這就不違背諾埃曼原理.假如介電性能與光折射率表現(xiàn)為只有一個(gè)四次對(duì)稱軸的各向異性，那么就和諾埃曼原理違背了，這是絕對(duì)不會(huì)出現(xiàn)的．由于一階和二階張量都有比較形象的幾何表示（一階張量可視為一個(gè)矢量的三個(gè)分量，二階對(duì)稱張量可視為一個(gè)二次曲面方程的六個(gè)系數(shù)），利用諾埃曼原理可以很方便很直觀地找出晶體對(duì)稱性對(duì)物理性能，即對(duì)相應(yīng)張量的判約關(guān)系．我們僅僅舉兩個(gè)簡(jiǎn)單的例子來(lái)說(shuō)明上述辦法． 第一例：具有熱釋電效應(yīng)的晶體只有10種點(diǎn)群. 熱釋電效應(yīng)的物理方程是 Pi=iT(i=1,2,3)(1.74) 晶體在溫度改變T時(shí)，晶體產(chǎn)生的自發(fā)極化強(qiáng)度矢量的三個(gè)分量和T成正比，i是熱釋電系數(shù)（為一階張量）．對(duì)不同的晶體三個(gè)分量i是各不相同的．當(dāng)然的晶體來(lái)說(shuō)i是一定的，也就是只要有溫度改變量T，熱釋電效應(yīng)產(chǎn)生的自發(fā)極化強(qiáng)度P總是沿著這個(gè)晶體的某一方向，因?yàn)楦鶕?jù)方程(1.74)P的方向是i(i=1,2,3)所決定的，熱釋電物理效應(yīng)造成的自發(fā)極化強(qiáng)度P的指向就體現(xiàn)了這個(gè)物理性能上各方向上的差異．應(yīng)用諾埃曼原理，就是考察一下已有這個(gè)極化強(qiáng)度P的晶體是不是還能保持這個(gè)晶體所屬點(diǎn)群的對(duì)稱性，因?yàn)槿绻鸓所具有的對(duì)稱包含了點(diǎn)群對(duì)稱性，那么點(diǎn)群對(duì)稱性就能保持，如果不能包含，就會(huì)和原有的點(diǎn)群對(duì)稱性相抵觸．用這個(gè)角度來(lái)考察它對(duì)一階張量，即對(duì)P的分量（兩者只差一T）的制約有如下四個(gè)結(jié)論： (i)有對(duì)稱中心的晶體，如果存在極化矢量P的話，不論它指向如何，破壞了晶體的中心對(duì)稱，所以P=0，即的分量都為零，不會(huì)有熱釋電效應(yīng)． (ii)如果晶體沒(méi)有對(duì)稱中心，但只有一根對(duì)稱軸（２，３，４或６次軸），P如果不沿著這個(gè)對(duì)稱軸，就與點(diǎn)群對(duì)稱性抵觸[見(jiàn)圖１．９(a)]，如果P沿著這個(gè)軸，就可保持原有的點(diǎn)群對(duì)稱性，即允許有熱釋電效應(yīng).但是現(xiàn)在晶體的對(duì)稱性對(duì)P的指向是有限制的，P的三個(gè)分量中，只允許沿著對(duì)稱軸方向分量不為零,垂直于對(duì)稱軸分量都必須為零[見(jiàn)圖１．９(b)]．如果坐標(biāo)軸X3取在對(duì)稱軸上，那么i=(0,0,3)． (iii)同理，晶體如只有一個(gè)對(duì)稱平面，那么只有P躺在這個(gè)對(duì)稱面內(nèi)，才能保持原有對(duì)稱性，此時(shí)，對(duì)P的制約是垂直于對(duì)稱面的分量必須為零．如果坐標(biāo)軸X2取在對(duì)稱面法線方向上，則(1,0,3)（見(jiàn)圖１．１０）．X2X1X1對(duì)稱軸對(duì)稱軸X3X2X1X1對(duì)稱軸對(duì)稱軸X3X2OPX3PO(a)(b)圖１．９對(duì)稱軸對(duì)一階張量的限制(a)不在對(duì)稱軸上，破壞了軸的對(duì)稱(b)沿對(duì)稱軸方向，對(duì)稱軸的對(duì)稱性仍可保持 (iv)晶體中雖無(wú)對(duì)稱中心，但有４，６或者有一個(gè)以上對(duì)稱軸，或者有一個(gè)對(duì)稱軸并垂直于該軸有一個(gè)對(duì)稱平面的諸點(diǎn)群類(lèi)型，P不論指向如何，都破壞了點(diǎn)群對(duì)稱性，故的三分量均為零也就沒(méi)有熱釋電效應(yīng)．綜上所述，剔除(i),(iv)兩項(xiàng)結(jié)論中所指出的無(wú)熱釋電效應(yīng)的點(diǎn)群類(lèi)型，那么32種點(diǎn)群中只有如下10種是熱釋電類(lèi)晶體． １ ２ ３ ４ ６ m mm2 3m 4mm 6mmX3X2X3X1X2X3X2X3X1X2對(duì)稱面X1(a)(b)圖１．１０對(duì)稱平面一階張量的限制(a)不躺在m內(nèi)，對(duì)稱破壞(b)躺在m內(nèi)，m對(duì)稱性可保持 第二例凡是立方晶系諸點(diǎn)群，其對(duì)稱二階張量三主值必相等，其它分量均為零，表像橢球必蛻化為球． 既然表象曲面的形狀和相對(duì)坐標(biāo)軸的一定方位時(shí)的曲面方程，它的六個(gè)系數(shù)可以完整地代表二階對(duì)稱張量的六個(gè)分量，那么應(yīng)用諾埃曼原理考察晶體對(duì)稱性對(duì)張量的制約，就是考察晶體中“放”進(jìn)這個(gè)曲面后能否保持原有點(diǎn)群對(duì)稱性的問(wèn)題.立方晶系諸點(diǎn)群的共同點(diǎn)是至少有一個(gè)三次軸和一個(gè)二次軸（可參看附錄A中的點(diǎn)群極圖）．如果這兩個(gè)對(duì)稱元素的制約就足以使表象橢球蛻化為球的話，那么其它任何對(duì)稱元素均可自動(dòng)滿足了．從圖１．１１可清楚看到(a)曲面為橢球，無(wú)論方位如何．對(duì)稱軸２和３的對(duì)稱性均遭破壞，(b)如果曲面蛻化為旋轉(zhuǎn)橢球即垂直于某一主軸的截面為圓并且這個(gè)主軸平行于對(duì)稱軸，則３次軸對(duì)稱性保持，但２次軸對(duì)稱性遭破壞，(c)只有蛻化為一個(gè)球時(shí)，方能同時(shí)保持二個(gè)軸的對(duì)稱性．曲面蛻化為球時(shí)，曲面方程只有三個(gè)主值不為零而且相等，其它交叉次項(xiàng)系數(shù)均為零，于是問(wèn)題得證． 用類(lèi)似方法可很快證明三方，六方，四方晶系諸點(diǎn)群，曲面蛻化為旋轉(zhuǎn)橢球，并且方位上也有了限制，即垂直截面為圓的軸平行于高次軸，這類(lèi)點(diǎn)群的晶體在光學(xué)上稱為單軸晶體． 還可證明正交，單斜，三斜晶系諸點(diǎn)群，曲面仍為一般橢球，但方位的限制上三晶系有所不同，這類(lèi)晶體光學(xué)上稱為雙軸晶體(光學(xué)上的單軸晶體和雙軸晶體將在第五章詳細(xì)討論)．(a)(b)(c)圖１．１１相交的三次軸和二次軸對(duì)稱性對(duì)表象橢球的限制(a)任意橢球(b)旋轉(zhuǎn)橢球（垂直于圓截面的主軸平行于３次軸）(c)球至于前已證明的立方晶系，它的表象曲面蛻化為球，由此可見(jiàn)對(duì)于任何一個(gè)與二階張量聯(lián)系的物理性能，在立方晶系的晶體中完全和各向同性的物體一樣，所以介電極化和光學(xué)折射率（它的平方為二階張量）是和二階張量相聯(lián)系的，因此它們?cè)诹⒎骄抵芯哂懈飨蛲缘男再|(zhì)．二階張量和對(duì)稱性的關(guān)系其結(jié)果列于附錄A的表A2中．三．利用對(duì)稱變換確定對(duì)稱性對(duì)張量的制約一階張量和二階對(duì)稱張量和對(duì)稱性的關(guān)系，可利用形象的幾何圖形來(lái)考察，對(duì)更高階的張量必須用對(duì)稱變換的方法加以考察，這是一種適用任何階張量的更為普遍的方法．任何階數(shù)的張量I，經(jīng)過(guò)晶體所屬點(diǎn)群對(duì)稱變換后得到新坐標(biāo)系的張量I’，因?yàn)檫@個(gè)變換是晶體對(duì)稱元素相應(yīng)的變換，所以變換后的物理性能應(yīng)該和未變換前完全一樣，即要求： I’I(1.75)(1.75)等式表示張量各分量之間彼此相等，所以是一組聯(lián)立方程，從方程中便可找出，由于該對(duì)稱元素的存在，在張量分量之間制約關(guān)系．現(xiàn)在舉三個(gè)例子來(lái)說(shuō)明上述方法．第一例點(diǎn)群４的二階對(duì)稱張量具有下列矩陣形式：(X3軸//４次軸時(shí))(1.76)點(diǎn)群４有一４次軸，設(shè)X3軸//４次軸，根據(jù)§１．４(1.17)式，其變換矩陣，根據(jù)§１．５所述二階張量Tij的變換規(guī)律與兩矢量乘積XiXj的變換一樣，經(jīng)過(guò)上述四次軸變換后，X1’=X2,X2’=-X1,X3’=X X1’X1’=X2X故有 T11’=T22根據(jù)變換前后張量元素應(yīng)等同的要求應(yīng)滿足(1.75)式，故有 I11’=I22=I11同理，其它分量也有下述關(guān)系： (1.79)上述聯(lián)立方程組中有的方程是矛盾的．如：從I13’ I23=I13(1.80)從I23’ -I13