茆詩松概率論教案

韓山師范學(xué)院數(shù)學(xué)系概率論精品課程教案PAGEPAGE20教案編寫人:李承耕第一章

隨機(jī)事件與概率（10課時(shí)）目的與要求:理解隨機(jī)事件的基本運(yùn)算及古典概率的常規(guī)計(jì)算技巧二、重點(diǎn)：離散的古典概率與連續(xù)型的古典概率三、難點(diǎn)：離散型的古典概率四、教學(xué)方法：講練結(jié)合法、啟發(fā)式與提問式相結(jié)合教學(xué)法.五、教學(xué)手段：傳統(tǒng)板書與多媒體課件輔助教學(xué)相結(jié)合.六、教學(xué)過程：課題引入P11.1.1：隨機(jī)現(xiàn)象：即同一條件下可能出現(xiàn)的不同結(jié)果成為隨機(jī)現(xiàn)象。例1.1.1：隨機(jī)現(xiàn)象的例子：擲硬幣可能出現(xiàn)正反兩面。投擲骰子，可能出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)。一天進(jìn)入某超市的顧客數(shù)。某種電視機(jī)的壽命。測量某種物理量（長度，直徑等）的誤差。1.1.2樣本空間：隨機(jī)現(xiàn)象的一切可能結(jié)果成為樣本空間。例1.1.2投硬幣的樣本空間為，其中表示正面，表示反面，投骰子的樣本空間為進(jìn)入商場的顧客數(shù)的樣本空間為：電視機(jī)壽命的樣本空間為：測量誤差的樣本空間：注意：樣本點(diǎn)為有限個(gè)或者可列個(gè)的空間為離散樣本空間。樣本點(diǎn)不可列無限個(gè)的空間為連續(xù)樣本空間。1.1.3：隨機(jī)事件：隨機(jī)現(xiàn)象的某些樣本點(diǎn)組成的集合稱為隨機(jī)事件，簡稱事件。通常用大寫字母A,B,C,……表示.也可以用維恩圖表示隨機(jī)事件分為基本事件，必然事件，不可能事件。例1.1.3擲骰子的樣本空間為：事件A={出現(xiàn)1點(diǎn)}為基本事件。事件B={出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)}為復(fù)雜事件。事件C={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于7}為必然事件。事件D={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于6}為不可能事件。1.1.4：隨機(jī)變量：表示隨機(jī)現(xiàn)象結(jié)果的變量為隨機(jī)變量。即為隨機(jī)事件到數(shù)的一個(gè)映射。例如：擲骰子X=1，2，3，4，5，6.擲幣X=0，X=1.電視機(jī)壽命T>4000,T<100001.1.5：事件間的關(guān)系例1.2.2擲幣兩次，一正一反的概率為例1.2.3（抽樣模型）不返回抽樣的情形。一批產(chǎn)品共有N件，其中M件不合格品，N-M件合格品，求從中隨機(jī)取出n件產(chǎn)品有m件不合格品的概率。解：設(shè)={n件產(chǎn)品有m件不合格品}，則取，則例1.2.4（返回抽樣）一批產(chǎn)品共有N件，其中M件不合格品，N-M件合格品，求從中隨機(jī)取出n件產(chǎn)品有m件不合格品的概率。解；設(shè)={n件產(chǎn)品有m件不合格品}，則取，則例1.2.6（盒子問題）設(shè)有n球，每個(gè)球等可能地投入N個(gè)不同的盒子里，求：指定的個(gè)盒子各有一球的概率;恰好有個(gè)盒子各有一球的概率。解：（1）總樣本有個(gè)。特殊樣本有個(gè)。所求概率為（2）總樣本有個(gè)。特殊樣本有個(gè)。所求概率為。例1.2.7（生日問題）n個(gè)人的生日各不相同的概率P是多少。的近似結(jié)果n102004050600.88400.59420.30370.11800.03490.00780.11600.40580.69630.88200.96510.99221.2.5確定概率的幾何方法例1.2.8（會(huì)面問題）甲乙兩人約定6-7點(diǎn)會(huì)面，先到者只等20分鐘，求兩人會(huì)面的概率。解：設(shè)分別為甲乙到達(dá)的時(shí)間。總體樣本為：能會(huì)面的樣本為：則會(huì)面的概率為：例1.2.9（蒲豐針問題）平面上平行線相距為d，向平行線投長為的針，問：針與平行線相交的概率。解：設(shè)為針的重心到平行線的邊的距離，為針的方向角?？傮w樣本為：針能相交的樣本為：則針能與平行線相交的概率為：用隨機(jī)模擬法，即蒙特卡羅法也可以做出類似結(jié)論。例1.2.10.長度為a的線上任取兩點(diǎn)，將其分成三段，求它們可以構(gòu)成一個(gè)三角形的概率。解：設(shè)分別為分成的三段線段的長度?？傮w樣本為：能構(gòu)成三角形的樣本為：則能構(gòu)成三角形的概率為：1.2.6確定概率的主觀方法即用主觀頻率近似代替理論概率。1.3概率的性質(zhì)1.3.1概率的可加性性質(zhì)1.3.2（有限可加性）若互不相容，則性質(zhì)1.3.3例：1.3.1容36只燈泡4只60瓦，32只40瓦，任取3只，求至少一只60瓦的概率。解：記，則所以例：1.3.2拋一枚硬幣5次，求有正有反的概率。解：記，，則。概率的單調(diào)性性質(zhì)1.3.4若，則證明：因?yàn)?，所以由于互不相容，由有限可加性得即得推論（單調(diào)性）若，則一般性結(jié)論對(duì)于任意事件有證明：由又故應(yīng)用例1.3.3口袋有編號(hào)為的n個(gè)球，從中有放回抽取m次，求m個(gè)球中最大號(hào)碼為的概率。解：記，則概率的加法公式性質(zhì)1.3.6（加法公式）對(duì)于任意兩個(gè)各事件，有推論（半可加性）對(duì)于任意兩個(gè)各事件，有對(duì)于任意n個(gè)事件，有例1.3.4已知事件的概率分別為0.4，0.3，0.6求解：由得：得于是例1.3.5已知?jiǎng)tA,B,C至少發(fā)生一個(gè)的概率是多少？A,B,C都不發(fā)生的概率是多少？解：（1）（2）例1.3.6（配對(duì)問題）有n人參加晚會(huì)，沒人帶一件禮物，各人的禮物互不相同，晚會(huì)隨機(jī)抽取禮物，問：至少一人抽到自己的禮物的概率是多少?解：記則所求概率為：于是1.3.4概率的連續(xù)性定義1.3.1對(duì)于，稱為極限事件即同樣對(duì)于，稱為極限事件即定義1.3.2當(dāng)有，則稱概率P是下連續(xù)的。當(dāng)有，則稱概率P是上連續(xù)的。性質(zhì)1.3.7（概率的連續(xù)性）若P為事件域是F上的概率，則P即是下連續(xù)，又是上連續(xù)的。證明：先證P是下連續(xù)，，即定義，則，由可列可加性由有限可加性得：所以故概率P是下連續(xù)的。上連續(xù)的證明類似。&1.4條件概率1.4.1條件概率的定義引入例1.4.1兩個(gè)小孩的家庭，其樣本空間為，求：事件A=“家中至少有一個(gè)女孩”發(fā)生的概率。若已知事件B=“家中至少有一個(gè)男孩”發(fā)生，求A發(fā)生的概率。解：（1）（2）定義1.4.1設(shè)A與B是樣本空間的兩個(gè)事件，若，則稱為B發(fā)生下A的條件概率，簡稱條件概率。性質(zhì)1.4.1（1）F。（2）（3）。性質(zhì)1.4.2乘法公式（1），則（2）若，則證明：由可得：成立。例1.4.3一批零件共有100個(gè)，其中10個(gè)不合格，從中一個(gè)一個(gè)抽取，求第三次取得不合格品的概率是多少？解：“第i次取出的是不合格品”記為則所求概率為：例1.4.4（罐子模型）設(shè)罐中有b個(gè)黑球，r個(gè)紅球，每次隨機(jī)取出一個(gè)球后將原球放回，還加進(jìn)c個(gè)同色球和d個(gè)異色球。第i次取出的是黑球記為，第j次取出的是紅球記為，則當(dāng)c=-1,d=0時(shí)，即為不返回抽樣。當(dāng)c=0，d=0時(shí)，即為返回抽樣。當(dāng)c>0,d=0時(shí)，即為傳染病模型。當(dāng)c=0,d>0時(shí)，即為安全模型。1.4.3全概率公式性質(zhì)1.4.3設(shè)為的一個(gè)分割，即互不相容，且，則證明：全概率公式的簡單應(yīng)用形式：例1.4.5（摸彩模型）設(shè)在n張彩票有一張獎(jiǎng)券，求第二人摸到獎(jiǎng)券的概率是多少？解：設(shè)則類似的故買彩票時(shí)候，無論先后，中獎(jiǎng)機(jī)會(huì)均等。例1.4.6保險(xiǎn)公司認(rèn)為某險(xiǎn)種的投保人可以分為兩類：一類為容易出事故者，另一類為安全者。統(tǒng)計(jì)資料表明：易出事故者在一年內(nèi)發(fā)生事故的概率為0.4，而安全者發(fā)生事故的概率為0.1，若假定第一類人投保的比例為20%，現(xiàn)在有一人來投保，問該投保人在投保后一年內(nèi)出事故的概率有多大？解：設(shè)，，則例1.4.7（敏感性問題調(diào)查）調(diào)查學(xué)生閱讀黃色書刊與影像，為得到真實(shí)結(jié)果，設(shè)計(jì)方案如下:問題A：你的生日是否在7月1日之前？問題B：你是否看過黃色書刊與影像？現(xiàn)在一個(gè)罐子里放白球與紅球，抽到白球答問題A，抽到紅球答問題B。根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果求看黃色書刊與影像的同學(xué)的比例。解；即于是例如在一次實(shí)際調(diào)查中紅球是30個(gè)，白球是20個(gè)，則，共收到1583張?jiān)嚲?，其?89張回答“是”，則由此計(jì)算得：。即約有7.62%的學(xué)生看過黃色刊物與影像。1.4.4貝葉斯公式設(shè)是樣本空間的一個(gè)分割，即互不相容，且，則例1.4.8某地區(qū)居民的肝癌發(fā)病率為0.0004，現(xiàn)用試劑檢查，有病呈陽性的占99%，無病呈陰性的占99.9%，現(xiàn)在某人檢查結(jié)果呈陽性，問他真的患肝癌的概率是多少？解：記B為“被檢查者換有肝癌”，A為事件“檢查結(jié)果為陽性”，則例1.4.9伊索寓言“孩子與狼的問題”。記A為“小孩說謊”，B為“小孩可信”，若第一次村民印象為第二此村民印象為§以上計(jì)算結(jié)果說明，經(jīng)過兩次說謊后，村民對(duì)小孩的可信度從0.8下降到0.138.以上例子也適用于銀行評(píng)級(jí)問題?！?.5獨(dú)立性1.5.1獨(dú)立性的定義若，則稱與相互獨(dú)立。若，則稱與相互獨(dú)立。以上兩個(gè)定義是等價(jià)的。性質(zhì)1.5.1若與相互獨(dú)立，則與相互獨(dú)立，與相互獨(dú)立，與相互獨(dú)立，證明：則與相互獨(dú)立，其余結(jié)論類似可證。1.5.2多個(gè)事件的獨(dú)立性若，，，且則相互獨(dú)立。N個(gè)事件的獨(dú)立類似定義例1.5.2若相互獨(dú)立，則與相互獨(dú)立。證明：所以與相互獨(dú)立。例1.5.3兩個(gè)射手獨(dú)立射擊同一目標(biāo)，甲乙擊中的概率分別為0.9和0.8，求目標(biāo)被擊中的概率？解：法一法二例1.5.4某零件用兩種工藝加工，第一種工藝有三道工序，不合格品率分別為0.3,0.2,0.1；第二種工藝有兩道工序，不合格頻率分別為0.3,0.2，試問：那種工藝的合格品的概率比較大？第二種工藝的兩道工序的不合格品概率都是0.3時(shí)，情況如何？解：（1）由獨(dú)立性，兩種工藝的合格品概率分別為：故第二種工序的合格品概率大。（2）當(dāng)?shù)诙N工藝的兩道工序的不合格品概率都是0.3時(shí)故此時(shí)第一種工序的合格品概率高。例1.5.5有兩名選手比賽射擊，輪流射擊同一目標(biāo)，甲每槍命中的概率為，乙每槍命中的概率為，甲先射，誰先擊中誰獲勝，問甲乙獲勝的概率各多少？解：設(shè)為第i次命中目標(biāo)，則例1.5.6系統(tǒng)由多個(gè)原件構(gòu)成，每個(gè)原件正常工作的概率為，試求以下系統(tǒng)正常工作的概率。串聯(lián)系統(tǒng)并聯(lián)系統(tǒng)混合系統(tǒng)解：（1）（2） 法一法二（3） 第二章

隨機(jī)變量及其分布（10課時(shí)）目的與要求:理解隨機(jī)變量的分布及密度及相關(guān)的計(jì)算技巧與應(yīng)用二、重點(diǎn)：隨機(jī)變量的分布及密度三、難點(diǎn)：隨機(jī)變量的分布及密度相關(guān)應(yīng)用四、教學(xué)方法：講練結(jié)合法、啟發(fā)式與提問式相結(jié)合教學(xué)法.五、教學(xué)手段：傳統(tǒng)板書與多媒體課件輔助教學(xué)相結(jié)合.六、教學(xué)過程：課題引入P612.1：隨機(jī)變量及其分布2.1.1：隨機(jī)變量的概念：隨機(jī)變量即為樣本空間到數(shù)得一個(gè)映射例：樣本點(diǎn)合格品0不合格品1隨機(jī)變量分為連續(xù)型隨機(jī)變量與離散型隨機(jī)變量兩類。2.1.2隨機(jī)變量的分布函數(shù)定義2.1.2隨機(jī)變量的分布函數(shù)的定義例2.1.1向半徑為r的圓內(nèi)拋一點(diǎn)，為圓心到彈著點(diǎn)的距離，求的分布函數(shù)，并求解：當(dāng)當(dāng)當(dāng)綜上分布函數(shù)的性質(zhì)定理2.1.1（1）單調(diào)性若，則.（2）有界性，且（3）右連續(xù)性證明：（3）設(shè)，且由此得其他的性質(zhì)注意，對(duì)于連續(xù)密度與連續(xù)的分布函數(shù)例2.1.2已知柯西分布為：求.解：2.1.3離散的隨機(jī)變量的概率分布列分布列的基本性質(zhì)(1)非負(fù)性(2)正則性P66例2.1.3擲兩顆骰子，為點(diǎn)數(shù)之和，為6點(diǎn)的個(gè)數(shù)，為最大的點(diǎn)數(shù)，求的分布。23456789101112012123456例2.1.4設(shè)離散的隨機(jī)變量的分布列為-1230.250.50.25求，及分布函數(shù).解：當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)綜上-10123單點(diǎn)分布它的分布函數(shù)為0c離散的隨機(jī)變量的分布函數(shù)呈階梯狀。例2.1.5一汽車駛過三個(gè)路口，遇到紅綠燈的時(shí)間是一樣的，各個(gè)路口信號(hào)燈的工作是相互獨(dú)立的，為汽車首次遇到紅燈經(jīng)過的路口數(shù)，求的分布列。解：設(shè)為汽車在第i個(gè)路口遇到紅燈，則故的分布列為：01232.1.4連續(xù)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)密度代表點(diǎn)概率質(zhì)量分布函數(shù)表示區(qū)間概率質(zhì)量區(qū)間概率質(zhì)量是由點(diǎn)概率質(zhì)量累加積分形成。故分布函數(shù)與密度函數(shù)的關(guān)系為：且密度函數(shù)的基本性質(zhì)（1）非負(fù)性（2）正則性例2.1.7向區(qū)間上任意投點(diǎn)，為投點(diǎn)的坐標(biāo)，求的分布函數(shù)與密度函數(shù)。解:當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)綜上的分布函數(shù)為的密度函數(shù)為例2.1.8某電子元器件的壽命為，其密度為各個(gè)元件的工作是獨(dú)立的，問：（1）任取一只，其壽命大于1500小時(shí)的概率是多少？（2）任取4只，4只壽命都大于1500小時(shí)的概率是多少？（3）任取4只，4只中至少一只壽命大于1500小時(shí)的概率是多少？（4）若已知一只壽命大于1500小時(shí)，則該元件的壽命大于2000小時(shí)的概率是多少？解：（1）（2）（3）（4）記，則所以注意在計(jì)算過程中，針對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量，一個(gè)點(diǎn)的概率質(zhì)量認(rèn)定為0.§2.2隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望的通俗理解，可以認(rèn)為是未來的均值估計(jì)。P77例2.2.1兩個(gè)賭徒各出50法郎，約定誰先贏得三局，誰得到全部賭本，此時(shí)甲贏得兩局，乙贏得一局，因故（皇帝召見）終止賭博，問這100法郎的賭本應(yīng)該怎樣分配。解：對(duì)于甲來說，可能出現(xiàn)的情況如下：甲甲甲乙甲甲乙乙甲乙乙設(shè)甲贏得的賭本為，則的分布為0100所以甲分得的賭本為（元）乙分得的賭本為25元.定義2.2.1對(duì)于離散的隨機(jī)變量對(duì)于連續(xù)的隨機(jī)變量期望是均值，也可以理解為重心。例2.2.2對(duì)于某疾病的血液檢查，如果N個(gè)人逐步個(gè)檢查，工作量太大，現(xiàn)在K人一組，分組檢查，問是否可以節(jié)省工作量？解;設(shè)為分組后，每個(gè)人檢查的次數(shù)，則的分布列為：適當(dāng)選擇K可以保證故工作量可以減少.例2.2.3每張彩票售價(jià)5元，出售100萬張，搖獎(jiǎng)?chuàng)u6個(gè)號(hào)碼，開獎(jiǎng)規(guī)則如下：（1）最后一位相同者獲得六等獎(jiǎng)，獎(jiǎng)金10元。（2）最后兩位相同者獲得五等獎(jiǎng)，獎(jiǎng)金50元。（3）最后三位相同者獲得四等獎(jiǎng)，獎(jiǎng)金500元。（4）最后四位相同者獲得三等獎(jiǎng)，獎(jiǎng)金5000元。（5）最后五位相同者獲得二等獎(jiǎng)，獎(jiǎng)金50000元。（6）最后六位相同者獲得一等獎(jiǎng)，獎(jiǎng)金500000元。解：設(shè)為中獎(jiǎng)金額，則的分布如下：500000500005000500501000.0000010.0000090.000090.00090.0090090.9彩票機(jī)構(gòu)的收益為例2.2.4設(shè)，求解;2.2.3數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)計(jì)算原理：原像與像等概率。例2.2.6已知隨機(jī)變量的分布列如下：0120.20.10.10.30.3求的分布.解：012340.20.10.10.30.3410140.20.10.10.30.3合并為0140.10.40.5在計(jì)算相關(guān)問題的時(shí)候，注意對(duì)應(yīng)的點(diǎn)概率質(zhì)量均為對(duì)應(yīng)的點(diǎn)概率質(zhì)量均為所以函數(shù)的數(shù)學(xué)期望定義為：性質(zhì)2.2.1若c是常數(shù)，則性質(zhì)2.2.2若a是常數(shù)，則性質(zhì)2.2.3例2.2.7某公司經(jīng)銷某種原料，原料的市場需求量（噸）服從（300,500）上的均勻分布，每售出1噸原料，獲利1.5（千元），積壓1噸損失0.5（千元）.問公司組織多少貨源，可以使得平均收益最大？解:設(shè)組織貨源為a噸，則獲利為即則平均利潤為故當(dāng)噸時(shí)，平均收益最大。§2.3隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差例：某手表廠，甲乙兩個(gè)師傅所做產(chǎn)品誤差分布如下：甲師傅的誤差數(shù)據(jù)01乙?guī)煾档恼`差數(shù)據(jù)0102.3.1方差與標(biāo)準(zhǔn)差的定義以下三種分布，求它們的方差。三角分布1均勻分布倒三角分布例2.3.2某人有一筆資金，可投入兩個(gè)項(xiàng)目：房地產(chǎn)和商業(yè)，為房地產(chǎn)的收益，為商業(yè)的收益，收益的分布如下：1130.20.70.1640.20.70.1試問：如何投資較好？解：標(biāo)準(zhǔn)差兩項(xiàng)目平均收益相差不大，但房地產(chǎn)的標(biāo)準(zhǔn)差大，故風(fēng)險(xiǎn)大，商業(yè)的標(biāo)準(zhǔn)差小風(fēng)險(xiǎn)相對(duì)較小，故投資商業(yè)項(xiàng)目更好.2.3.2方差的性質(zhì)性質(zhì)2.3.1證明：記性質(zhì)2.3.2證明：性質(zhì)2.3.3證明：推論例2.3.3設(shè)顆骰子的點(diǎn)數(shù)，求解：2.3.3切比雪夫不等式定理2.3.1設(shè)隨機(jī)變量的期望與方差都存在，則或者證明;設(shè)是連續(xù)的隨機(jī)變量，為密度函數(shù).記，則定理2.3.2設(shè)隨機(jī)變量的方差存在，則的充要條件為幾乎處處等于常數(shù)a,即證明：充分性顯然，下證明必要性，設(shè)，這時(shí)存在，由于于是即則即取，必要性得證§2.4.常用離散分布一.兩點(diǎn)分布或01二.二項(xiàng)分布例2.4.1某特效藥的臨床有效率為0.95，今有10人服用，問至少有8人治愈的概率是多少？解;設(shè)為治愈的人數(shù)，則，所求概率為至少有8人治愈的概率是09885.例2.4.2設(shè)隨機(jī)變量若，求解：由得即所以于是二項(xiàng)分布的期望和方差記二項(xiàng)分布的密度012345678910例2.4.3甲乙約定比賽十局，以贏得局?jǐn)?shù)多者為勝，設(shè)在每局中甲贏的概率為0.6，乙贏的概率為0.4，比賽各局是獨(dú)立的，試問;甲勝，乙勝，平局的概率各多大？解：設(shè)為甲勝的局?jǐn)?shù)，則2.4.2泊松分布泊松分布的密度012345678910應(yīng)用范圍在一天內(nèi)，來到某商場的顧客數(shù).單位時(shí)間內(nèi)，某電路受到的外界電磁波的沖擊次數(shù).1平方米內(nèi)，玻璃上的氣泡數(shù).一個(gè)鑄件上的砂眼數(shù).在一定時(shí)期內(nèi)，某放射物質(zhì)放射出來的粒子數(shù).以上隨機(jī)現(xiàn)象均服從泊松分布.泊松分布的期望與方差例2.4.4一鑄件的砂眼數(shù)服從參數(shù)為的泊松分布，求至多一個(gè)砂眼的概率與至少兩個(gè)砂眼的概率.解：設(shè)鑄件的砂眼數(shù)為，且，則鑄件至多一個(gè)砂眼的概率為至少2個(gè)砂眼的概率為例2.4.5某商品的月銷售量服從參數(shù)為8的泊松分布，問進(jìn)貨多少才能以90%的概率滿足顧客需求.解：設(shè)銷售量為，則，設(shè)最小進(jìn)貨量為n.則而故月初進(jìn)貨量應(yīng)該是12件.定理2.4.1（泊松定理）若時(shí)，有記，則證明：記，即對(duì)固定的k有從而當(dāng)n很大，p很小時(shí)，有例2.4.6已知某種疾病的發(fā)病率為0.001，某單位有5000人，問該單位患病人數(shù)不超過5人的概率為多少？解：設(shè)患病人數(shù)為，則，且所求概率為例2.4.7有10000人參加人壽保險(xiǎn)，每個(gè)人的保費(fèi)為200元，若投保人意外死亡，受益人可以獲得100000元賠償，若人群的死亡率為0.001，試求保險(xiǎn)公司虧本的概率；至少獲利500000元的概率。解：設(shè)為死亡的人數(shù)，則，由于n很大所以利用泊松分布處理，(1)當(dāng)，即時(shí)，保險(xiǎn)公司虧損.當(dāng)，即時(shí)，保險(xiǎn)公司收益至少有500000元.例2.4.8為保證設(shè)備正常工作，需要配備一些維修工，機(jī)器的工作是相互獨(dú)立的，每臺(tái)設(shè)備出故障的概率為0.01，試求在以下情況下，設(shè)備不能及時(shí)維修的概率。一名維修工負(fù)責(zé)20臺(tái)設(shè)備;三名維修工負(fù)責(zé)90臺(tái)設(shè)備;10名維修工負(fù)責(zé)500臺(tái)設(shè)備;解：（1）設(shè)表示在20臺(tái)設(shè)備中出故障設(shè)備的臺(tái)數(shù)，則用參數(shù)的泊松分布來計(jì)算（2）設(shè)表示在90臺(tái)設(shè)備中出故障設(shè)備的臺(tái)數(shù)，則用參數(shù)的泊松分布來計(jì)算（3）設(shè)表示在500臺(tái)設(shè)備中出故障設(shè)備的臺(tái)數(shù)，則用參數(shù)的泊松分布來計(jì)算數(shù)據(jù)顯示，若干維修工共同負(fù)責(zé)大量設(shè)備的維修效率更高.其他的分布2.4.3超幾何分布設(shè)有N件產(chǎn)品，其中M個(gè)次品，不放回抽取n件，求有k件次品的概率.2.4.4幾何分布與負(fù)二項(xiàng)分布幾何分布某射擊運(yùn)動(dòng)員，每槍擊中的概率為p,求第k槍首次擊中的概率.負(fù)二項(xiàng)分布某射擊運(yùn)動(dòng)員，每槍擊中的概率為p,求第r槍擊中的時(shí)，總共射擊了k發(fā)子彈的概率.例：第3槍擊中的時(shí)候，共射出了4發(fā)子彈的概率1234×√√√√×√√√√×√第r槍擊中的時(shí)，總共射擊了k發(fā)子彈的概率.§2.5常用的連續(xù)分布2.5.1正態(tài)分布正態(tài)分布的密度函數(shù)正態(tài)分布的期望與方差標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的期望與方差若，求若，求標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布基本運(yùn)算性質(zhì)（1）（2）（3）正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)化定理2.5.1若隨機(jī)變量，則證明：兩邊求導(dǎo)得即例2.5.2若隨機(jī)變量，求（1）（2）常數(shù)a，使得解：（1）（2）查表得，故正態(tài)分布的原則若隨機(jī)變量，則這說明以為中心，為半徑的范圍內(nèi)集中了大部分的密度，隨機(jī)變量以較大概率出現(xiàn)在這個(gè)范圍。2.5.2均勻分布記ab例2.5.4設(shè)隨機(jī)變量現(xiàn)在對(duì)進(jìn)行4次獨(dú)立觀察，試求至少有3次觀測值大于5的概率。解;設(shè)為觀測值大于5的次數(shù)，則由條件于是均勻分布的期望與方差2.5.3指數(shù)分布指數(shù)分布的密度指數(shù)分布的期望與方差指數(shù)分布主要刻畫原件壽命，及等待服務(wù)的時(shí)間。例2.5.5如果某設(shè)備在時(shí)間發(fā)生故障的次數(shù)服從參數(shù)為的泊松分布，則兩次故障的時(shí)間間隔服從參數(shù)為的指數(shù)分布。證明：由得當(dāng)時(shí)，有當(dāng)時(shí)，有故的密度為所以2.5.4伽瑪分布伽瑪函數(shù)伽瑪函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)伽瑪分布的密度記作特別的當(dāng)時(shí)，伽瑪分布就是指數(shù)分布，即特別的當(dāng)時(shí)，伽瑪分布就是自由度為n的（卡方）分布2.5.5貝塔分布貝塔函數(shù)貝塔函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)（1）（2）證明：（2）作變化，其雅克比行列式（2）得證.貝塔分布的密度§2.6隨機(jī)變量函數(shù)的分布計(jì)算原理;原相與相等概率§2.6.1離散的隨機(jī)變量函數(shù)的分布…………例2.6.1已知隨機(jī)變量的分布列如下，求的分布列.的分布列為合并得定理2.6.1設(shè)是連續(xù)的隨機(jī)變量，其密度為嚴(yán)格單調(diào)，為其反函數(shù)，則其中證明：不妨設(shè)單調(diào)增，則當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，對(duì)分布函數(shù)求導(dǎo)得密度即定理2.6.2對(duì)隨機(jī)變量，則證明故例2.6.2（1）設(shè)隨機(jī)變量，試求的分布（2）設(shè)隨機(jī)變量，試求的分布解：（1）由于服從正態(tài)分布，又所以（2）由于服從正態(tài)分布，又所以.定理2.6.3設(shè)隨機(jī)變量，則的密度為證明：當(dāng)時(shí)，此時(shí)當(dāng)時(shí)，綜上絕緣材料的壽命服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布.設(shè)備故障的維修時(shí)間服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布.家里僅有兩個(gè)小孩的年齡差服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布.類似有定理2.6.4設(shè)隨機(jī)變量，，則例2.6.3設(shè)隨機(jī)變量，求的分布解：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故求導(dǎo)得故例2.6.4設(shè)隨機(jī)變量的密度函數(shù)為求的密度函數(shù)解;當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí),求導(dǎo)得綜上第三章

多維隨機(jī)變量及其分布（10課時(shí)）目的與要求:理解多維隨機(jī)變量及其分布的基本原理并能解決相應(yīng)的實(shí)際應(yīng)用問題二、重點(diǎn)：多維隨機(jī)變量及其分布三、難點(diǎn)：多維密度及其分布四、教學(xué)方法：講練結(jié)合法、啟發(fā)式與提問式相結(jié)合教學(xué)法.五、教學(xué)手段：傳統(tǒng)板書與多媒體課件輔助教學(xué)相結(jié)合.六、教學(xué)過程：課題引入P139多維隨機(jī)變量的定義：稱為n維隨機(jī)變量。定義3.1.2稱為N維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)。定理3.1.1二維聯(lián)合分布的性質(zhì)：（1）單調(diào)性當(dāng)時(shí)，有當(dāng)時(shí)，有（2）有界性（3）右連續(xù)性（4）非負(fù)性引例3.1.1二元函數(shù)不滿足性質(zhì)4.故不是二維分布函數(shù)。3.1.3聯(lián)合分布列Xy……………..聯(lián)合分布的基本性質(zhì)：（1）非負(fù)性：（2）正則性：引例3.1.2從1,2,3,4中任取一數(shù)記為，再從中任取一數(shù)記為，求的聯(lián)合分布列及解：123412340000003.1.4聯(lián)合密度函數(shù)定義3.1.4若，則稱為的聯(lián)合密度函數(shù)。且聯(lián)合密度函數(shù)的性質(zhì)：（1）非負(fù)性：（2）正則性：例3.1.3設(shè)的聯(lián)合密度函數(shù)為試求：解：（1）（2）3.1.5常用的多維分布一，多項(xiàng)分布；其中各出現(xiàn)次，則例3.1.4。100件產(chǎn)品，一等品60件，二等品30件，三等品10件，任取三件，分別表示一等品，二等品的數(shù)量，求：的聯(lián)合分布其中，當(dāng)01230123000000可以計(jì)算其他有關(guān)事件的概率：二，多維超幾何分布可以看成取各種類型的球個(gè)的概率。例3.1.5將3.1.4例改為不放回抽樣，抽取3次，分別表示一等品，二等品的數(shù)量，求：的聯(lián)合分布其中，當(dāng)01230123000000計(jì)算其他有關(guān)事件的概率：三，多維均勻分布的聯(lián)合密度函數(shù)為例3.1.6設(shè)的聯(lián)合密度函數(shù)為試求四，二元正太分布 P152&3.2邊際分布與隨機(jī)變量的獨(dú)立性3.2.1邊際分布的定義例3.2.1設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)為的邊際分布函數(shù)為：3.2.2邊際分布列邊際分布列的定義;例3.2.2設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布列為：12301 0.540.460.160.330.513.2.3邊際密度函數(shù)邊際密度分別為：例3.2.3設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)為求（1）邊際密度函數(shù)，；（2）及解：（1）當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)所以的邊際密度函數(shù)為（2）例3.2.5二維正太分布的邊際分布為一維正太分布這里令3.2.4隨機(jī)變量的獨(dú)立性定義3.2.1若對(duì)于聯(lián)合分布的分布函數(shù)，對(duì)于任意的，滿足則稱相互獨(dú)立。另外對(duì)于聯(lián)合密度函數(shù)，若滿足則稱相互獨(dú)立。例3.2.6從中任取兩個(gè)數(shù)，求以下事件的概率；兩數(shù)之和小于；兩數(shù)之積小于。解：相互獨(dú)立，故聯(lián)合密度函數(shù)為：（1）事件的概率為：（2）事件的概率為： 例3.2.7若二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)為問；是否獨(dú)立？當(dāng)時(shí)，有當(dāng)時(shí)，有于是同樣，當(dāng)時(shí)，有當(dāng)時(shí)，有于是故，所以不獨(dú)立。例3.2.8若二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)如下;判定獨(dú)立性？（1）（2）（3）（4）解：（1）即即故所以獨(dú)立。（2）由于的取值受的決定，故不獨(dú)立。（3）于是，所以獨(dú)立。（4）邊際分布為于是，所以不獨(dú)立。3.3多維隨機(jī)變量函數(shù)的分布原理：原相與相等概率。例3.3.1設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布列如下-112-12試求（1）（2）（3）解：所求分布列為：-20134-3-2013-112例3.3.2（泊松分布的可加性）設(shè)隨機(jī)變量，求證：證明;故記為一般的有例3.3.3（二項(xiàng)分布的可加性）設(shè)隨機(jī)變量，求證：證明;由得，又故這表明記為一般的有3.3.2最大值與最小值的分布例3.3.4（最大值分布）設(shè)是n個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，若，在以下情況下求的分布。（1）；（2）同分布，。（3）同分布，為連續(xù)隨機(jī)變量，的密度均為。（4）解：（1）的分布為;(2)若同分布，則（3）若同分布，則的密度函數(shù)為：（4）由得：例3.3.5（最小值分布）設(shè)是n個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，若，在以下情況下求的分布。（1）；（2）同分布，。（3）同分布，為連續(xù)隨機(jī)變量，的密度均為。（4）解：（1）的分布為;(2)若同分布，則（3）若同分布，則的密度函數(shù)為：（4）由得：例3.3.6某段道路原來有5個(gè)路燈，道路改建后有20個(gè)路燈來晚間照明，改建后道路管理人員發(fā)現(xiàn)燈泡更容易壞了，請(qǐng)解釋其中原因。解;。其平均壽命為小時(shí)，5個(gè)燈泡第一個(gè)燒壞的時(shí)間若燈泡每天用10個(gè)小時(shí)，則30天換燈泡的概率為;20個(gè)燈泡第一個(gè)燒壞的時(shí)間這說明道路改建后，在30天換燈泡的概率更加高，為此需要換上高壽命的節(jié)能燈。3.3.3連續(xù)場合的卷積公式定理3.3.1設(shè)是兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量，其密度函數(shù)分別為和，則其和的密度函數(shù)為：證明：類似可證：故原結(jié)論成立。例3.3.7（正態(tài)分布的可加性）設(shè)是兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量，，證明其和解：由得又其中，這里命題得證.一般的若則其中，。例：設(shè)是兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量，，，則例3.3.8（伽瑪分布的可加性）設(shè)是兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量，，證明其和由得故記為一般的有又，所以可得以下兩個(gè)結(jié)論：m個(gè)獨(dú)立同分布的指數(shù)分布變量之和為伽瑪分布變量。即，，…….則記為（2），，…….則即3.3.4變量變換法原理：利用原相與相等概率，得到相關(guān)結(jié)論。對(duì)應(yīng)的雅可比行列式為則例3.3.11（積的公式）設(shè)是兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量，其密度函數(shù)分別為和，則其和的密度函數(shù)為：解：記則，于是于是例3.3.12（商的公式）設(shè)是兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量，其密度函數(shù)分別為和，則其和的密度函數(shù)為：法一：解：記則，于是于是法二：即即為：3.4.2多維隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望定理3.4.1設(shè)是二維的隨機(jī)變量,的期望為：特別的例3.4.1在長度為a的線段上任意取得兩個(gè)點(diǎn)，求兩點(diǎn)間的平均長度。解;二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)如下于是例3.4.2設(shè)是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，均服從指數(shù)分布，求的數(shù)學(xué)期望。解：由得于是這里性質(zhì)3.4.1設(shè)是二維的隨機(jī)變量，則有證明：一般的有：性質(zhì)3.4.2設(shè)是二維的隨機(jī)變量且相互獨(dú)立，則有證明：由相互獨(dú)立，有。一般的有這里相互獨(dú)立。性質(zhì)3.4.3設(shè)是二維的隨機(jī)變量且相互獨(dú)立，則有證明;由方差的定義：一般的例3.4.3設(shè)是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，，，求的數(shù)學(xué)期望，方差，標(biāo)準(zhǔn)差。解;例3.4.4設(shè)一袋中裝有m個(gè)顏色不同的球，每次從中任取一個(gè)，有放回地摸取n次，以表示n次摸球所摸得得不同顏色的數(shù)目，求解;則由得3.4.3協(xié)方差定義3.4.1協(xié)方差的定義：特別的（1）當(dāng)，稱正相關(guān)。（2）當(dāng)，稱負(fù)相關(guān)。（3）當(dāng)，稱不相關(guān)。性質(zhì)3.4.4證明：由協(xié)方差的定義有性質(zhì)3.4.5若隨機(jī)變量相互獨(dú)立，則，反之不然。證明;由相互獨(dú)立有，所以=0例3.4.6若隨機(jī)變量，且，這里隨機(jī)變量不獨(dú)立，但性質(zhì)3.4.6對(duì)于任意的二維隨機(jī)變量，有證明：由方差定義得：性質(zhì)3.4.7性質(zhì)3.4.8性質(zhì)3.4.9性質(zhì)3.4.10證明：由協(xié)方差的性質(zhì)得;例3.4.7若二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)如下;求解：于是例3.4.8二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)如下;求解：先計(jì)算邊際密度再計(jì)算一階矩，二階矩。則則

3.4.4相關(guān)系數(shù)定義;稱為的（線性）相關(guān)系數(shù)。相關(guān)系數(shù)也可以看成標(biāo)準(zhǔn)變量的協(xié)方差。，則；引理3.4.4.（施瓦茨（Schwarz）不等式）對(duì)于任意二維隨機(jī)變量，存在，則有：證明：不妨設(shè)，因?yàn)榈臅r(shí)候，不等式成立是顯然的。對(duì)于函數(shù)恒成立，故即成立。性質(zhì)3.4.11，或。性質(zhì)3.4.12的充要條件是幾乎處處有線性關(guān)系，即證明：充分性證明。若，則，于是必要性證明.當(dāng)時(shí)，有由此得即故當(dāng)時(shí)，幾乎處處線性正相關(guān)。當(dāng)時(shí)，有由此得即故當(dāng)時(shí)，幾乎處處線性負(fù)相關(guān)?？偨Y(jié)（1）當(dāng)時(shí)，則稱不相關(guān)，即之間沒有線性關(guān)系當(dāng)時(shí)，則稱完全正線性正相關(guān)。當(dāng)時(shí)，則稱完全正線性負(fù)相關(guān)。當(dāng)越接近1，線性相關(guān)程度越高。當(dāng)越接近0，線性相關(guān)程度越底。例3.4.10二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)如下;求的相關(guān)系數(shù)。解;先計(jì)算邊際密度例3.4.11設(shè)有一筆資金，總量為1如今投資甲乙兩種證券，投給甲，投給乙，于是形成一個(gè)投資組合，分別為甲乙的收益率，均值分別為（代表平均收益），方差分別為（代表風(fēng)險(xiǎn)）。的相關(guān)系數(shù)為，求組合的平均收益與風(fēng)險(xiǎn)（方差）。并求使得投資風(fēng)險(xiǎn)最小的。解;組合的收益為組合的平均收益為組合的風(fēng)險(xiǎn)（方差）為要使得最小，必須解得：此時(shí)風(fēng)險(xiǎn)最小。3.5條件分布與條件期望3.5.1條件分布一．離散隨機(jī)變量的條件分布的定義：例3.5.2設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，且，，在已知的條件下，求的分布。解：由條件概率的定義，得：例3.5.3設(shè)進(jìn)入商店的顧客人數(shù)為，且，每個(gè)顧客購買某商品的概率為P，顧客購物相互獨(dú)立，求購物顧客人數(shù)的分布列。解：由題意得：由全概率公式得：即二．連續(xù)隨機(jī)變量的條件分布的定義：則類似的例3.5.5設(shè)服從上的均勻分布，求解：所以三．連續(xù)場合的全概率公式和貝葉斯公式3.5.2條件數(shù)學(xué)期望定理3.5.1（重期望公式）設(shè)是二維隨機(jī)變量，且存在，則證明：僅證明連續(xù)的情況，離散的類似證明。記則重期望公式的應(yīng)用形式（離散的情形）（連續(xù)的情形）例3.5.7：一礦工被困在有三個(gè)門得礦井，第一個(gè)門通一坑道，沿此坑道3小時(shí)抵達(dá)安全區(qū)，，第二個(gè)門通一個(gè)坑道，5小時(shí)返回原處，第三個(gè)門通一個(gè)坑道，7小時(shí)可返回原處，求礦工平均多少小時(shí)到達(dá)安全區(qū)。解：假設(shè)為礦工到達(dá)安全區(qū)的需要的時(shí)間，為第一次選擇的門，則由于第一個(gè)門3小時(shí)到達(dá)安全區(qū)，所以由于第二個(gè)門5小時(shí)返回原處，所以由于第三個(gè)門7小時(shí)返回原處，所以又所以即所以礦工平均要15小時(shí)才能到達(dá)安全區(qū)。例3.5.8口袋有編號(hào)為1,2，….，n的n個(gè)球，若取到1號(hào)球，則得1分球，且停止摸球；若取得i號(hào)球，則得到i分，且將球放回，重新摸球，如此下去，求得到是平均總分?jǐn)?shù)。解;設(shè)為得到的總分?jǐn)?shù)，為第一次取到的球的號(hào)碼，則。又因?yàn)椋?dāng)時(shí)，。所以由此解得：例3.5.9設(shè)電力公司每月供應(yīng)某工廠的電力服從（10,30）的均勻分布（單位），而實(shí)際需要的電力服從（10,20）的均勻分布（單位），如果電力足夠，則每電可以創(chuàng)造30萬元的利潤，如果電力不足，則每電力只有10萬的利潤，求該廠每個(gè)月的平均利潤。解;設(shè)每個(gè)月的利潤為萬元，則當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)則所以該廠的平均利潤為433萬元。例3.5.10（隨機(jī)變量和的數(shù)學(xué)期望）設(shè)為獨(dú)立的隨機(jī)變量序列，整數(shù)獨(dú)立，證明:證明： 應(yīng)用設(shè)N為一天到商場的顧客數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量，且。設(shè)為第i個(gè)顧客的購物金額，且是獨(dú)立同分布的，，假設(shè)與相互獨(dú)立，則此商場一天的平均營業(yè)額為一只昆蟲產(chǎn)卵數(shù)服從參數(shù)為的泊松分布，每個(gè)卵成活的概率為，這里，而表示第i個(gè)卵成活，則一只昆蟲產(chǎn)卵后的平均成活卵數(shù)為第四章

大數(shù)定理與中心極限定理（2課時(shí)）目的與要求:理解大數(shù)定理與中心極限定理的基本原理并能解決相應(yīng)的實(shí)際應(yīng)用問題二、重點(diǎn)：大數(shù)定理與中心極限定理三、難點(diǎn)：中心極限定理四、教學(xué)方法：講練結(jié)合法、啟發(fā)式與提問式相結(jié)合教學(xué)法.五、教學(xué)手段：傳統(tǒng)板書與多媒體課件輔助教學(xué)相結(jié)合.六、教學(xué)過程：課題引入P229伯努利大數(shù)定理：定理4.2.1設(shè)為n重伯努利實(shí)驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，P為每次實(shí)驗(yàn)A出現(xiàn)的概率嗎，則對(duì)于有證明：由于且由切比雪夫不等式當(dāng)時(shí)，有P233切比雪夫大數(shù)定理定理4.2.2設(shè)為一列兩兩不相關(guān)的隨機(jī)變量序列，每個(gè)存在，切則證明:因?yàn)闉橐涣袃蓛刹幌嚓P(guān)的隨機(jī)變量序列，故當(dāng)時(shí)，有

特別的有當(dāng)同分布時(shí)，有P.238中心極限定理例4.4.2設(shè)為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，記則當(dāng)?shù)臅r(shí)，的密度接近正態(tài)分布。P239面圖P.240&4.4中心極限定理定理4.4.1(林德貝格-勒維中心極限定理)設(shè)為一列獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列，且，，記則P242定理4.4.2(隸莫弗-拉普拉斯極限定理)設(shè)n重伯努利實(shí)驗(yàn)中，事件A每次出現(xiàn)的概率為P，記為n次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)。記則P243修正P244例4.4.5一復(fù)雜系統(tǒng)由100個(gè)互相獨(dú)立工作的部件組成，每個(gè)部件正常工作的概率為0.9，已知整個(gè)系統(tǒng)至少有85個(gè)部件正常工作，系統(tǒng)才能正常，試求系統(tǒng)正常工作的概率。解：設(shè)為100個(gè)部件中正常工作的的部件數(shù)，，即則故系統(tǒng)正常工作的概率為0.966.P243修正P244.例4.46某制藥廠生產(chǎn)的某藥品，對(duì)某種疾病的治愈率為80%，現(xiàn)在為了檢驗(yàn)此治愈率，任意抽取100個(gè)此種病得患者進(jìn)行臨床試驗(yàn)，如果至少有75人治愈，則此藥品通過檢驗(yàn)，分別在以下情況計(jì)算此藥品通過檢驗(yàn)的可能性。此藥品的實(shí)際治愈率為80%。此藥品的實(shí)際治愈率為70%。解：設(shè)為100個(gè)臨床受試者中治愈的人數(shù)，則（1）（2）P245例4.4.7某車間有同型號(hào)的機(jī)床200臺(tái)，一個(gè)小時(shí)內(nèi)每臺(tái)機(jī)床70%的時(shí)間是工作的，各臺(tái)機(jī)床工作是相互獨(dú)立的，工作的時(shí)候每臺(tái)機(jī)床消耗的電能為15千瓦（KW）.問至少要多少電能才可以有95%的可能性保證此車間生產(chǎn)正常。解：設(shè)為200臺(tái)機(jī)床中同時(shí)工作的機(jī)床數(shù)，供電量為y千瓦（kw）則電力需求量為為使工作正常，必須則又故解得；故至少要2252（kw）才能有95%的概率保證此車間正常工作。P245：4.4.8某調(diào)查公司受委托，調(diào)查某電視節(jié)目在S市的收視率P，調(diào)查公司將所有調(diào)查對(duì)象看此節(jié)目的的頻率作為的估計(jì)，現(xiàn)在要保證有90%的把握，使得調(diào)查的收視率與真實(shí)的收視率之間的差異不大于5%。問至少要調(diào)查多少對(duì)象？解：設(shè)共調(diào)查n個(gè)對(duì)象，記：則則當(dāng)?shù)臅r(shí),有由題意又解得故至少要調(diào)查271個(gè)對(duì)象。P248定理4.4.4(李雅普洛夫中心極限定理)設(shè)為獨(dú)立的隨機(jī)變量序列，若存在，滿足：則對(duì)于任意的x,有注意要點(diǎn)：李雅普洛夫定理的條件更寬松，對(duì)于只要求獨(dú)立，不需要同分布，的密度依然是正太密度。P236例4.4.9一份試卷由99個(gè)題目組成，難度由易到難排列，某學(xué)生答對(duì)第i題的概率為，答題是相互獨(dú)立的，并且要答對(duì)60個(gè)以上的題才算通過考試，試計(jì)算學(xué)生通過考試的概率。解：設(shè)則又故學(xué)生通過考試的概率為0.005.P237.2某計(jì)算機(jī)主機(jī)有100個(gè)終端，每個(gè)終端有80%的時(shí)間被使用。若各個(gè)終端被使用是相互獨(dú)立的，試求至少15個(gè)終端空閑的概率。解：設(shè)X為總共使用的終端個(gè)數(shù)，則其中則由中心極限定理正態(tài)分布故15個(gè)終端空閑的概率為0.9155P237.3有一批建筑房屋的木柱，其中80%的長度不小于3m,現(xiàn)在從中隨機(jī)抽取100根。問其中至少有30根短于3m的概率是多少？解：設(shè)X為100根中長度不小于3m的根數(shù)，則其中則由中心極限定理正態(tài)分布，則故至少有30根木柱短于3m的概率為0.0088.第五章

三大抽樣分布（3課時(shí)）一目的與要求:三大抽樣分布的的形式二重點(diǎn)：三大抽樣分布的應(yīng)用三難點(diǎn)：三大抽樣分布的推演四、教學(xué)方法：講練結(jié)合法、啟發(fā)式與提問式相結(jié)合教學(xué)法.五、教學(xué)手段：傳統(tǒng)板書與多媒體課件輔助教學(xué)相結(jié)合.課題引入P2835.4.1伽瑪分布的一般形式;分布的一般形式P126.例2.6.3.若，則解：先求的分布函數(shù)當(dāng)時(shí)故的分布函數(shù)為：則的密度函數(shù)為：即若，獨(dú)立，則P168例3.3.8若，且獨(dú)立，則證明;由得推論：若，獨(dú)立，則定理5.4.1設(shè)是來自正態(tài)分布的樣本，其樣本均值和樣本方差分別為則有：（1）相互獨(dú)立；（2）；（3）.證明：的聯(lián)合密度為記，作一個(gè)正交變換，其中于是，的聯(lián)合密度為則獨(dú)立同分布于由于則。證畢.P286F-分布設(shè) ，獨(dú)立，則稱服從自由度為m與n的F分布，記作先導(dǎo)出的密度，由商的密度公式得

作變換得即再求出的密度對(duì)于注意：當(dāng)隨機(jī)變量時(shí)，對(duì)于給定，稱滿足等式稱為分布的分位點(diǎn).由分布的構(gòu)造知，若，則則即又故例5.4.2：P288推論5.4.1：設(shè)是來自的樣本，是來自的樣本，記，其中，則有證明：由于兩樣本獨(dú)立可知，相互獨(dú)立，由定理5.4.1知，，由分布的定義可知：.P288t-分布定義5.4.3設(shè) ，獨(dú)立，則稱服從自由度為n的t~分布，記作由于于是兩邊求導(dǎo)得：而，則P290推論5.4.2設(shè)是來自正態(tài)分布的一個(gè)樣本，分別為樣本均值與樣本方差，則有證明：由于則當(dāng)隨機(jī)變量時(shí)，對(duì)于給定，稱滿足等式稱為分布的分位點(diǎn).由分布的構(gòu)造知：例如：5.5充分統(tǒng)計(jì)量例5.51為了研究某個(gè)運(yùn)動(dòng)員的打靶命中率，觀察其10次射擊，發(fā)現(xiàn)第三，六次不中外，其余8次都命中，這樣的觀測結(jié)果包含兩種信息打靶10次命中8次；2次不中是在第3次與第6次。明顯第2種信息對(duì)于命中率沒有什么幫助，即實(shí)驗(yàn)編號(hào)信息對(duì)于參數(shù)命中率無關(guān)緊要。即樣本加工不損失信息。定義5.51設(shè)是來自某總體的樣本，為總體的分布函數(shù)，對(duì)于統(tǒng)計(jì)量，如果不依賴參數(shù)，則稱為的充分統(tǒng)計(jì)量。例5.5.2設(shè)總體為二點(diǎn)分布，為樣本，令取則故為的充分統(tǒng)計(jì)量。對(duì)于任意一組樣本取有故不是的充分統(tǒng)計(jì)量。5.5.2因子分解定理定理5.5.1設(shè)總體的密度函數(shù)為，為樣本，則是充分統(tǒng)計(jì)量的充分必要條件為：存在兩個(gè)函數(shù)和使得證明:現(xiàn)在僅僅證明離散的形式必要性證明設(shè)是充分統(tǒng)計(jì)量，則在下與無關(guān)，記為，令，當(dāng)時(shí)有充分性證明由于當(dāng)時(shí)有該分布與無關(guān)。這就證明了充分性。第六章

參數(shù)估計(jì)（點(diǎn)估計(jì)與極大似然估計(jì)）（2課時(shí)）一目的與要求:理解點(diǎn)估計(jì)與極大似然估計(jì)的基本原理與計(jì)算方法，并會(huì)做相關(guān)的應(yīng)用二、重點(diǎn)：矩估計(jì)與極大似然估計(jì)三、難點(diǎn)：極大似然估計(jì)四、教學(xué)方法：講練結(jié)合法、啟發(fā)式與提問式相結(jié)合教學(xué)法.五、教學(xué)手段：傳統(tǒng)板書與多媒體課件輔助教學(xué)相結(jié)合.六、教學(xué)過程：課題引入P286矩估計(jì)的基本原理：引例例1設(shè)總體X在區(qū)間上服從均勻分布，其中是未知參數(shù)，如果取得的樣本值為，求的矩估計(jì)值。解：因?yàn)榭傮w的密度函數(shù)為于是則的矩估計(jì)量為例2設(shè)總體X服從正態(tài)分布，其中是未知參數(shù)，如果取得的樣本值為，求的矩估計(jì)值。解；由于總體X服從正態(tài)分布，故即于是由以上式子解得的矩估計(jì)量為：P2871.極大似然估計(jì)的基本原理：一般我們在選擇參數(shù)的時(shí)候是以使得該事件樣本發(fā)生的可能性最大為原則。2.似然函數(shù)的定義原則：選擇參數(shù)必須使得似然函數(shù)最大或者使得最大，此時(shí)需要滿足條件：例1：設(shè)總體服從泊松分布如果取得樣本觀測值求參數(shù)的極大似然估計(jì)。解：概率函數(shù)為：似然函數(shù)為;取對(duì)數(shù)得;為使得似然函數(shù)最小必須有：故的極大似然估計(jì)為：例2：設(shè)總體服從指數(shù)分布，密度函數(shù)為如果取得觀測值為，求參數(shù)的極大似然估計(jì)。解：似然函數(shù)為；取對(duì)數(shù)得；為使得似然函數(shù)最大必須有：故的極大似然估計(jì)為：P290例6.1.7設(shè)總體服從正態(tài)分布，其中是未知參數(shù)，如果取得觀測值為，求參數(shù)的極大似然估計(jì)。解;似然函數(shù)為：為使得似然函數(shù)最大必須有：于是的極大似然估計(jì)為：，

P290例子6.1.8設(shè)是來自均勻分布總體的樣本，試求的極大似然估計(jì)解：似然函數(shù)為:故的極大似然估計(jì)為： 其中第七章

假設(shè)檢驗(yàn)（3課時(shí)）目的與要求:假設(shè)檢驗(yàn)的基本原理重點(diǎn)：假設(shè)檢驗(yàn)的操作流程難點(diǎn)：假設(shè)檢驗(yàn)的原理的理解及運(yùn)用范圍。四、教學(xué)方法：講練結(jié)合法、啟發(fā)式與提問式相結(jié)合教學(xué)法.五、教學(xué)手段：傳統(tǒng)板書與多媒體課件輔助教學(xué)相結(jié)合.六、教學(xué)過程：課題引入及概念的介紹（1）假設(shè)檢驗(yàn)的基本