非線性光學-非線性光學極化率與性質

第2章非線性光學極化率與性質非線性介質的波方程非線性光學極化率的構造非線性極化率的經典理論非線性極化率的對稱性非線性極化率的微擾理論非線性極化率的密度矩陣理論Kramers-Kronig色散關系2/35一、非線性介質的波方程介質中光波由Maxwell方程描述以及物質方程電場環(huán)路:庫侖+感生普遍安陪環(huán)路:電場高斯:磁場高斯:J和ρ分別為介質中的自由電流密度和自由電荷密度P和M分別為介質的電極化強度和磁化強度ε0、μ0和σ分別為真空介電常數(shù)、真空磁導率和介質的電導率假定：介質為非磁性的，且無自由電荷，即M=0，ρ=0

。對于導體和半導體來說，系數(shù)σ是有意義的。1、各向異性非線性介質中光傳播的時域方程3/35

在激光與非線性介質相互作用中P和E的關系是非線性的，介質感應的極化強度P可以展開為E的冪級數(shù)式中是n階電極化率，它是個n+1階張量。以表示極化強度的高次項，則極化強度P可分成線性和非線性兩部分因此Maxwell方程簡化為得到各向異性非線性介質中的時域波動方程4/352、各向異性非線性介質中單色平面波的頻域方程時域波動方程：比線性波動方程僅多了右邊的一項，相當存在一個次波源。左邊第二項與介質的吸收損耗有關，若介質為無損耗的，即σ=0，有在頻域考慮非線性波方程。將和展開成單色平面波的疊加（傅立葉展開）：5/35無損耗各向異性非線性介質的單色平面波的頻域波方程對于第n階非線性極化效應3、各向同性非線性介質中頻域波方程利用對于均勻各向同性介質利用關系無損耗各向同性非線性介質的單色波的波方程。一般做近似簡化處理求解，慢變振幅近似是一種常用的方法。

6/354、各向同性非線性介質中時域波方程無損耗各向同性非線性介質中的時域波方程。5、慢變包絡近似考慮一個沿z方向傳播的穩(wěn)態(tài)單色平面波，振幅隨z變化，但不隨時間變化。電場強度和非線性極化強度分別表為目的：簡化頻域波方程7/35利用波動方程變?yōu)榧僭O：在波長量級的距離內光波振幅的變化非常慢，即則各向同性非線性介質的單色波的波方程被簡化為一階微分方程。8/35對于時域波動方程可設假設波的振幅隨空間和時間緩慢變化，即滿足以下慢變近似條件：

和

可以在波動方程中略去場振幅的二階時間導數(shù)和二階空間導數(shù)，從而得到以下一階的波方程：9/35二、非線性光學極化率的構造1、介質極化的時域響應函數(shù)利用因果關系和真實性條件，構造介質極化的響應函數(shù)為介質的線性響應函數(shù)，它是個二階張量，時刻感應極化電場為因果關系：光在介質中傳播時，t

時刻介質所感受的線性極化強度不僅與t時刻的光電場有關，還與t

時刻前所有的光電場有關，也就是說與激勵電場的歷史有關。假設在時刻t以前任一時刻τ

的光電場為，它對在時間間隔以后的極化強度的貢獻為，且有10/35積分變換即：介質中t時刻所感應的極化強度由時刻之前所有時刻的光電場所確定，該式為極化強度與光電場間的普遍關系，因果關系的數(shù)學表達。因果關系知，t時刻以后的光電場對極化沒有貢獻，即所以有均為實函數(shù)。11/35二階非線性極化強度與光電場的關系為同理，n階非線性極化強度可以寫成其中為介質的n階極化響應函數(shù)，n+1階張量12/35時間域內我們討論了介質的極化強度對光電場的響應，原則上我們知道了響應函數(shù)就可給出介質的光學性質，但多數(shù)情況非線性光學常常在頻域討論介質的極化，利用介質極化率張量描述非線性物理過程。線性極化率張量線性極化率張量是頻率的函數(shù)，所表征的介質頻率色散特性是因果關系的直接結果，可以證明上面的積分是收斂的。2、介質極化的頻域響應函數(shù)13/35Kramers-Kronig色散關系極化率是一個復函，，其實部和虛部之間的關系稱為Kramers-Kronig色散關系。極化率的實部和虛部分別對應于介質的色散和吸收，分別描述介質中光波的位相和振幅的變化，色散關系表明，我們可以通過介質的色散或吸收而得到另外一個物理量。14/35非線性極化率張量15/35上式為普遍關系，當組成光波的各個頻率分量離散時，積分變成求和形式其中為了保證物理量實數(shù)性，對的求和應該包括所有的正值和負值，即角標成對出現(xiàn)，如雙頻時，應有如下取值16/35以二階非線性極化為例子，說明非線性極化率的意義其中是二階非線性極化率張量分量，非線性極化率分量的物理含義為由頻率為振動方向為的光電場分量和頻率為、振動方向為的光電場分量，通過二階非線性相互作用產生的在方向上振動的且頻率為的二階極化強度分量17/35如果記外加光電場為極化強度為頻率為的階極化強度有下面分量表達式考慮個波場中有各相同頻率，則簡并因子應為18/35e.g.二階效應外加光電場為極化強度為則有19/35

介質的極化來源于外電場作用下介質中電荷的位移，介質中的電子一般會受到帶有正電的原子實或分子基團的庫侖相互作用，用一個勢函數(shù)描述，電子即在此勢場之中運動。

勢函數(shù)一般為非嚴格的拋物線型函數(shù)，在線性區(qū)域（電子小位移運動時），可近似看成是拋物線型函數(shù)。此時，電子作簡諧運動。電偶極振子在外場作用下所發(fā)生的變化產生極化，強度為其中，是單位體積內的振子數(shù)，是電子電荷，是電子在光電場作用下離開平衡位置的位移。三、非線性光學極化率的經典描述1、一維非諧振子模型20/35電子位移無外加電場時，電子在平衡位置附近簡諧振動，頻率為外場存在時，電子作受迫振動。其線性運動方程為—

阻尼系數(shù)—

電子質量

線性解21/35將進行基波分解電子線性運動方程對于頻率分量的基本方程解為單位體積內的電偶極矩為22/35令則線性極化率為23/35如果外電場引起電子的位移偏離平衡點過大，其恢復力中將存在非簡諧項，考慮到三次項時，非簡諧力為振子運動方程為

單頻情況設頻率為的光電場為采用微擾理論求解，將展開成冪級數(shù)形式這種展開對應于電場的冪級次，所以展開后將相同階次的項構成一個微分方程，得到如下方程（最低階次的三個方程）2、非線性響應24/35解此方程解為25/35將極化強度寫成級數(shù)形式其中是第階極化強度，因此二階極化強度為二階非線性極化率因此分為兩項26/35一般情況對三階非線性極化對稱性引入因子得到三階非線性極化率27/35三階極化率一般情況由非線性極化強度和可以看出：頻率為的光電場在介質中引起的極化，不僅具有頻率為的分量，而且還有頻率為和直流分量，相應這些不同頻率的極化強度，可以輻射頻率為的光波，也可以產生靜電場。28/35真實性條件物理上，電場強度、極化強度以及介質的線性和非線性響應函數(shù)必須是實數(shù)，即為可測量的量。得知該條件保證了各階次的極化強度為實數(shù)，該條件被稱為極化率張量的真實性條件。四、非線性光學極化率的對稱性29/35本征對易對稱性本征對易對稱性是非線性電極化率具有的最基本對稱性。交換參與相互作用場的次序，結果不變。更一般，考慮到偏振作用及極化張量的關系有這意味著30/35本征對稱對易性的一般描述二階非線性極化率張量元素中的配對與交換次序，其值不變。這種不變性是張量固有的，故稱為極化張量的本征對易對稱性。對于任意階非線性極化張量，其本征對易對稱性表現(xiàn)為n階非線性極化率元素在所有配對的次對易下保持不變。e.g

n

階非線性極化率張量簡并因子31/35完全對易對稱性考察極化率中的項，展開成實部和虛部的形式當外加光電場頻率遠離介質的共振頻率時，介質可以認為色散和吸收都非常小，介質與外加光電場之間沒有能量交換，因此極化率張量為實數(shù)。線性極化率中，用代替時，其值不變32/35二階非線性極化率中，用代替或，其值不變，即同樣對三階非線性極化率張量有這意味著，除了參與相互作用的外光電場頻率對易對稱性質外，信號場的頻率也參與對易，在此情形下，不變性依然有效。33/35對于階非線性極化率張量分量，其偏振分量與頻率的配對與外加光電場的偏振和頻率配對之間可以對易互換，其值保持不變。因此，完全對易方式有，在此情況下，n階非線性極化率張量是階簡并的。全對易對稱的物理意義

在遠離離子共振頻率處，極化僅來源于電子位移，離子的貢獻可以忽略。另外，參與非線性相互作用的所有光的頻率都低于電子的吸收帶（介質無損耗），那么可以證明非線性極化率張量具有全對易對稱性?？巳R曼首先指出了的這種性質，稱為克萊曼猜想。該性質可以作為非線性極化的主要貢獻是電子過程的判據。34/35空間結構對稱性由于介質結構的對稱性，這種空間對稱性必將對極化率張量給予限制，導致極化率張量的非零元素大大減少。例如使得非零元素少于9個，的非零元素少于27，的少于81。對稱性越高，非零的獨立元素數(shù)目越少。如果晶體具有對稱中心，空間反演變換時，電場和極化場和都將改變方向，導致和的關系式不變，而的關系式變?yōu)楦鶕行膶ΨQ的要求，不