高考數(shù)學(xué)重難點培優(yōu)全攻略(新高考專用)第10講空間幾何體(3大考點+強化訓(xùn)練)(原卷版+解析)

第10講空間幾何體（3大考點+強化訓(xùn)練）[考情分析]空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征是立體幾何的基礎(chǔ)，空間幾何體的表面積和體積是高考的重點與熱點，多以選擇題、填空題的形式考查，難度中等或偏上．知識導(dǎo)圖考點分類講解考點一：空間幾何體的折展問題空間幾何體的側(cè)面展開圖(1)圓柱的側(cè)面展開圖是矩形．(2)圓錐的側(cè)面展開圖是扇形．(3)圓臺的側(cè)面展開圖是扇環(huán)．規(guī)律方法空間幾何體最短距離問題，一般是將空間幾何體展開成平面圖形，轉(zhuǎn)化成求平面中兩點間的最短距離問題，注意展開后對應(yīng)的頂點和邊．【例1】(2023·鞍山模擬)如圖，在三棱錐V－ABC中，VA＝VB＝VC＝8，∠AVB＝∠AVC＝∠BVC＝30°，過點A作截面AEF，則△AEF周長的最小值為()A．6eq\r(2)B．6eq\r(3)C．8eq\r(2)D．8eq\r(3)【變式1】（23-24高三上·山西大同·期末）已知圓臺的上、下底面的圓心分別為，，母線（點位于上底面），且，圓的周長為，一只螞蟻從點A出發(fā)沿著圓臺側(cè)面爬行一周到點B，則其爬行的最短路程為（

）A．1 B． C．2 D．【變式2】（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在棱長為1的正方體中，已知，分別為線段，上的動點，為的中點，則的周長的最小值為（

）

A． B． C． D．【變式3】（23-24高三上·廣東揭陽·期末）已知兩圓錐的底面積分別為，，其側(cè)面展開圖中圓心角之和為，則兩圓錐的母線長之和的最小值為（

）A． B． C．4 D．5考點二：表面積與體積1．旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積和表面積(1)S圓柱側(cè)＝2πrl，S圓柱表＝2πr(r＋l)(r為底面半徑，l為母線長)．(2)S圓錐側(cè)＝πrl，S圓錐表＝πr(r＋l)(r為底面半徑，l為母線長)．(3)S球表＝4πR2(R為球的半徑)．2．空間幾何體的體積公式(1)V柱＝Sh(S為底面面積，h為高)．(2)V錐＝eq\f(1,3)Sh(S為底面面積，h為高)．(3)V臺＝eq\f(1,3)(S上＋eq\r(S上·S下)＋S下)h(S上，S下分別為上、下底面面積，h為高)．(4)V球＝eq\f(4,3)πR3(R為球的半徑)．規(guī)律方法空間幾何體的表面積與體積的求法(1)公式法：對于規(guī)則的幾何體直接利用公式進行求解．(2)割補法：把不規(guī)則的圖形分割成規(guī)則的圖形，或把不規(guī)則的幾何體補成規(guī)則的幾何體，不熟悉的幾何體補成熟悉的幾何體．(3)等體積法：選擇合適的底面來求體積．【例2】(2023·全國甲卷)在三棱錐P－ABC中，△ABC是邊長為2的等邊三角形，PA＝PB＝2，PC＝eq\r(6)，則該棱錐的體積為()A．1B.eq\r(3)C．2D．3【變式1】（2024·河北·一模）已知圓臺上下底面圓的半徑分別為1，3，母線長為4，則該圓臺的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．【變式2】（2024·內(nèi)蒙古赤峰·一模）在直三棱柱中，各棱長均為2，M，N，P，Q分別是線段，，，的中點，點D在線段上，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A．三棱柱外接球的表面積為 B．C．面 D．三棱錐的體積為定值【變式3】（2024·貴州畢節(jié)·一模）如圖所示，圓和圓是球的兩個截面圓，且兩個截面互相平行，球心在兩個截面之間，記圓，圓的半徑分別為，若，則球的表面積為（

）A． B． C． D．考點三：多面體與球求空間多面體的外接球半徑的常用方法(1)補形法：側(cè)面為直角三角形，或正四面體，或?qū)饩嗟鹊哪Ｐ?，可以還原到正方體或長方體中去求解；(2)定義法：到各個頂點距離均相等的點為外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圓圓心，找其垂線，則球心一定在垂線上，再根據(jù)到其他頂點的距離也是半徑，列關(guān)系式求解即可．規(guī)律方法(1)求錐體的外接球問題的一般方法是補形法，把錐體補成正方體、長方體等求解．(2)求錐體的內(nèi)切球問題的一般方法是利用等體積法求半徑【例3】(2023·全國甲卷)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，O為AC1的中點，若該正方體的棱與球O的球面有公共點，則球O的半徑的取值范圍是________．【變式1】（2024·湖南邵陽·二模）已知三棱錐中，平面，，則此三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【變式2】（23-24高三上·上海虹口·期末）“阿基米德多面體”也稱為半正多面體，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美.如圖所示，將正方體沿同一頂點出發(fā)的三條棱的中點截去一個三棱錐，共可截去8個三棱錐，得到8個面為正三角形、6個面為正方形的一種半正多面體．若，則此半正多面體外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【變式3】（2024·浙江·二模）在三棱錐中，底面是邊長為2的正三角形，若為三棱錐的外接球直徑，且與所成角的余弦值為，則該外接球的表面積為（

）A． B． C． D．強化訓(xùn)練一、單選題1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，是正三棱錐且側(cè)棱長為，兩側(cè)棱的夾角為分別是上的動點，則三角形的周長的最小值為（

）

A． B． C． D．2．（2024·河南鄭州·模擬預(yù)測）知名數(shù)學(xué)教育家單墫曾為中學(xué)生寫了一個小冊子《十個有趣的數(shù)學(xué)問題》，其中提到了開普勒的將球裝箱的方法：考慮一個棱長為2的正方體，分別以該正方體的8個頂點及6個面的中心為球心作半徑為的球，這此球在正方體內(nèi)的體積之和與正方體的體積之比為（

）A． B． C． D．3．（2024·云南昆明·模擬預(yù)測）如圖，在三棱錐中，兩兩垂直，且，點分別是棱的中點，點是棱靠近點的三等分點，則空間幾何體的體積為（

）

A． B． C． D．4．（2023·海南?？凇つM預(yù)測）已知圓臺的上、下底面圓半徑分別為5和10，側(cè)面積為，為圓臺的一條母線（點A在圓臺下底面圓周上），M為的中點．一質(zhì)點P從點A出發(fā)，繞圓臺側(cè)面一周到達點M，則質(zhì)點P所經(jīng)路程的最小值為（

）A．60 B．50 C．40 D．305．（2024·廣東汕頭·一模）已知圓錐的頂點為，為底面圓心，母線與互相垂直，的面積為，與圓錐底面所成的角為，則（

）A．圓錐的高為B．圓錐的體積為C．圓錐側(cè)面展開圖的圓心角為D．二面角的大小為6．（2024·四川綿陽·三模）如圖，正方體的棱長為3，點是側(cè)面上的一個動點（含邊界），點在棱上，且．則下列結(jié)論不正確的是（

）A．若保持．則點的運動軌跡長度為B．保持與垂直時，點的運動軌跡長度為C．沿正方體的表面從點到點的最短路程為D．當在點時，三棱錐的外接球表面積為7．（2024·四川·一模）設(shè)正方體的棱長為1，與直線垂直的平面截該正方體所得的截面多邊形為M．則下列結(jié)論正確的是（

）．A．M必為三角形 B．M可以是四邊形C．M的周長沒有最大值 D．M的面積存在最大值8．（2023·陜西西安·一模）在三棱錐中，平面平面BCD，是以CD為斜邊的等腰直角三角形，M為CD中點，，，則該三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．二、多選題1．（2024·湖南長沙·模擬預(yù)測）四棱錐的底面為正方形，PA與底面垂直，，，動點M在線段PC上，則（

）A．不存在點M，使得B．的最小值為C．四棱錐的外接球表面積為5πD．點M到直線AB的距離的最小值為2．（2024·江蘇徐州·一模）已知圓臺的上、下底面直徑分別為2，6，高為，則（

）A．該圓臺的體積為B．該圓臺外接球的表面積為C．用過任意兩條母線的平面截該圓臺所得截面周長的最大值為16D．挖去以該圓臺上底面為底，高為的圓柱后所得幾何體的表面積為3．（23-24高三上·福建福州·期末）在三棱錐中，已知，棱AC，BC，AD的中點分別是E，F(xiàn)，G，，則（

）A．過點E，F(xiàn)，G的平面截三棱錐所得截面是菱形B．平面平面BCDC．異面直線AC，BD互相垂直D．三棱錐外接球的表面積為三、填空題1．（2024·遼寧葫蘆島·一模）《九章算術(shù)》中記錄的“羨除”是算學(xué)和建筑學(xué)術(shù)語，指的是一段類似隧道形狀的幾何體，如圖，羨除中，底面是正方形，平面，和均為等邊三角形，且．則這個幾何體的外接球的體積為．2．（2024·云南昆明·模擬預(yù)測）已知長方體在球的內(nèi)部，球心在平面上，若球的半徑為，則該長方體體積的最大值是.3．（2024·福建漳州·一模）在直三棱柱中，，，過作該直三棱柱外接球的截面，所得截面的面積的最小值為．四、解答題1．（2024·陜西銅川·二模）如圖，在四棱錐中.側(cè)面⊥底面，為等邊三角形，四邊形為正方形，且.

(1)若為的中點，證明：；(2)求點到平面的距離.2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖所示，在中，，，P為AB邊上一動點，交AC于點D．現(xiàn)將沿PD翻折至，使平面．

(1)當棱錐的體積最大時，求PA的長．(2)若點P為AB的中點，E為的中點，求證：．3．（2023·湖南岳陽·模擬預(yù)測）如圖，在直三棱柱中，，且.(1)求直三棱柱的表面積與體積；(2)求證：平面，并求出到平面的距離.4．（2023·貴州銅仁·模擬預(yù)測）如圖，已知在正三棱柱中，，三棱柱外接球半徑為，且點分別為棱，的中點．

(1)過點作三棱柱截面，求截面圖形的周長；(2)求平面與平面的所成角的余弦值．5．（2023·江蘇蘇州·模擬預(yù)測）如圖，正方體邊長為，是上的一個動點.求：(1)直線與平面所成角的余弦值；(2)的最小值.第10講空間幾何體（3大考點+強化訓(xùn)練）[考情分析]空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征是立體幾何的基礎(chǔ)，空間幾何體的表面積和體積是高考的重點與熱點，多以選擇題、填空題的形式考查，難度中等或偏上．知識導(dǎo)圖考點分類講解考點一：空間幾何體的折展問題空間幾何體的側(cè)面展開圖(1)圓柱的側(cè)面展開圖是矩形．(2)圓錐的側(cè)面展開圖是扇形．(3)圓臺的側(cè)面展開圖是扇環(huán)．規(guī)律方法空間幾何體最短距離問題，一般是將空間幾何體展開成平面圖形，轉(zhuǎn)化成求平面中兩點間的最短距離問題，注意展開后對應(yīng)的頂點和邊．【例1】(2023·鞍山模擬)如圖，在三棱錐V－ABC中，VA＝VB＝VC＝8，∠AVB＝∠AVC＝∠BVC＝30°，過點A作截面AEF，則△AEF周長的最小值為()A．6eq\r(2)B．6eq\r(3)C．8eq\r(2)D．8eq\r(3)【答案】C【解析】沿側(cè)棱VA把正三棱錐V－ABC展開在一個平面內(nèi)，如圖所示，則AA′即為△AEF周長的最小值，又因為∠AVB＝∠A′VC＝∠BVC＝30°，所以∠AVA′＝3×30°＝90°，在△VAA′中，VA＝VA′＝8，由勾股定理得AA′＝eq\r(VA2＋VA′2)＝eq\r(82＋82)＝8eq\r(2).【變式1】（23-24高三上·山西大同·期末）已知圓臺的上、下底面的圓心分別為，，母線（點位于上底面），且，圓的周長為，一只螞蟻從點A出發(fā)沿著圓臺側(cè)面爬行一周到點B，則其爬行的最短路程為（

）A．1 B． C．2 D．【答案】B【分析】將圓臺側(cè)面展開成平面圖形，在平面扇環(huán)中分析計算即得.【詳解】將圓臺的側(cè)面沿著母線剪開，展成平面圖形，延長交于點，連接，如圖，顯然弧的長為，弧的長為，設(shè)，則，，則，即，得，于是是的中點，，因此是等邊三角形，有，且與弧相切，則在此側(cè)面展開圖內(nèi)，所以螞蟻爬行的最短路線即線段，.故選：B【變式2】（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在棱長為1的正方體中，已知，分別為線段，上的動點，為的中點，則的周長的最小值為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)的中點為，即可證明，從而得到，再將平面與平面展開并攤平，在平面圖形中連接，交于點，交于點，此時的周長取得最小值，利用余弦定理計算可得.【詳解】

設(shè)的中點為，連接（不與點重合），，，，所以，所以，把平面與平面展開并攤平，如圖，在平面圖形中連接，交于點，交于點，此時的周長取得最小值，在中利用余弦定理可得，

所以的周長的最小值為．故選：B．【變式3】（23-24高三上·廣東揭陽·期末）已知兩圓錐的底面積分別為，，其側(cè)面展開圖中圓心角之和為，則兩圓錐的母線長之和的最小值為（

）A． B． C．4 D．5【答案】B【分析】根據(jù)已知條件列方程，利用基本不等式求得正確答案.【詳解】設(shè)圓錐（底面積較?。┑牡酌姘霃綖?，母線長為，圓錐（底面積較大）的底面半徑為，母線長為，依題意，所以，所以，當且僅當時等號成立.故選：B考點二：表面積與體積1．旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積和表面積(1)S圓柱側(cè)＝2πrl，S圓柱表＝2πr(r＋l)(r為底面半徑，l為母線長)．(2)S圓錐側(cè)＝πrl，S圓錐表＝πr(r＋l)(r為底面半徑，l為母線長)．(3)S球表＝4πR2(R為球的半徑)．2．空間幾何體的體積公式(1)V柱＝Sh(S為底面面積，h為高)．(2)V錐＝eq\f(1,3)Sh(S為底面面積，h為高)．(3)V臺＝eq\f(1,3)(S上＋eq\r(S上·S下)＋S下)h(S上，S下分別為上、下底面面積，h為高)．(4)V球＝eq\f(4,3)πR3(R為球的半徑)．規(guī)律方法空間幾何體的表面積與體積的求法(1)公式法：對于規(guī)則的幾何體直接利用公式進行求解．(2)割補法：把不規(guī)則的圖形分割成規(guī)則的圖形，或把不規(guī)則的幾何體補成規(guī)則的幾何體，不熟悉的幾何體補成熟悉的幾何體．(3)等體積法：選擇合適的底面來求體積．【例2】(2023·全國甲卷)在三棱錐P－ABC中，△ABC是邊長為2的等邊三角形，PA＝PB＝2，PC＝eq\r(6)，則該棱錐的體積為()A．1B.eq\r(3)C．2D．3【答案】A【解析】如圖，取AB的中點D，連接PD，CD，因為△ABC是邊長為2的等邊三角形，PA＝PB＝2，所以PD⊥AB，CD⊥AB，所以PD＝CD＝eq\r(3)，又PC＝eq\r(6)，所以PD2＋CD2＝PC2，所以PD⊥CD，又AB∩CD＝D，AB，CD?平面ABC，所以PD⊥平面ABC，所以VP－ABC＝eq\f(1,3)×S△ABC×PD＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×eq\r(3)×eq\r(3)＝1.【變式1】（2024·河北·一模）已知圓臺上下底面圓的半徑分別為1，3，母線長為4，則該圓臺的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圓臺側(cè)面積的計算公式，結(jié)合已知條件，直接求解即可.【詳解】設(shè)上下底面圓半徑分別為，母線長為，則圓臺側(cè)面積.故選：C.【變式2】（2024·內(nèi)蒙古赤峰·一模）在直三棱柱中，各棱長均為2，M，N，P，Q分別是線段，，，的中點，點D在線段上，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A．三棱柱外接球的表面積為 B．C．面 D．三棱錐的體積為定值【答案】C【分析】求出三棱柱外接球表面積判斷A；證明線面垂直判斷B；取特殊位置說明判斷C；利用線面平行判斷D.【詳解】在直三棱柱中，各棱長均為2，對于A，顯然三棱柱是正三棱柱，其外接球球心到平面的距離為1，外接圓半徑，則棱柱外接球半徑，其表面積，A正確；對于B，由是的中點，得，而平面平面，則，而平面，于是平面，又平面，則，由分別為正方形邊中點，得，則，即，又平面，因此平面，而平面，所以，B正確；對于C，由是正方形邊的中點，得，當與不重合時，是的斜邊，不垂直于，因此不垂直于，平面，不垂直于平面，C錯誤；對于D，由選項C知，，平面，平面，則平面，從而點到平面的距離是定值，顯然的面積是定值，因此三棱錐的體積為定值，D正確.故選：C【變式3】（2024·貴州畢節(jié)·一模）如圖所示，圓和圓是球的兩個截面圓，且兩個截面互相平行，球心在兩個截面之間，記圓，圓的半徑分別為，若，則球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，利用球的截面小圓性質(zhì)列式計算出球半徑即可.【詳解】設(shè)球的半徑為，依題意，，則，解得，因此，所以球的表面積.故選：A考點三：多面體與球求空間多面體的外接球半徑的常用方法(1)補形法：側(cè)面為直角三角形，或正四面體，或?qū)饩嗟鹊哪Ｐ?，可以還原到正方體或長方體中去求解；(2)定義法：到各個頂點距離均相等的點為外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圓圓心，找其垂線，則球心一定在垂線上，再根據(jù)到其他頂點的距離也是半徑，列關(guān)系式求解即可．規(guī)律方法(1)求錐體的外接球問題的一般方法是補形法，把錐體補成正方體、長方體等求解．(2)求錐體的內(nèi)切球問題的一般方法是利用等體積法求半徑【例3】(2023·全國甲卷)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，O為AC1的中點，若該正方體的棱與球O的球面有公共點，則球O的半徑的取值范圍是________．【答案】[2eq\r(2)，2eq\r(3)]【解析】如圖，設(shè)球O的半徑為R.當球O是正方體的外接球時，恰好經(jīng)過正方體的每個頂點，所求的球O的半徑最大，若半徑變得更大，球O會包含正方體，球面和棱沒有交點，正方體的外接球直徑2R′為體對角線長AC1＝eq\r(42＋42＋42)＝4eq\r(3)，即2R′＝4eq\r(3)，R′＝2eq\r(3)，故Rmax＝2eq\r(3)；分別取側(cè)棱AA1，BB1，CC1，DD1的中點M，H，G，N，連接MH，HG，NG，MN，MG，顯然四邊形MNGH是邊長為4的正方形，且O為正方形MNGH的對角線MG的中點，則MG＝4eq\r(2)，當球O的一個大圓恰好是四邊形MNGH的外接圓時，球O的半徑達到最小，即Rmin＝2eq\r(2).綜上，R∈[2eq\r(2)，2eq\r(3)]．【變式1】（2024·湖南邵陽·二模）已知三棱錐中，平面，，則此三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，利用正弦定理求得的外接圓的半徑，再由球的截面的性質(zhì)，求得外接球的半徑，結(jié)合球的表面積公式，即可求解.【詳解】因為三棱錐中，平面，，設(shè)底面的外接圓的半徑為，三棱錐外接球的半徑為，由正弦定理得，可得所以，則外接球的表面為.故選：B.

【變式2】（23-24高三上·上海虹口·期末）“阿基米德多面體”也稱為半正多面體，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美.如圖所示，將正方體沿同一頂點出發(fā)的三條棱的中點截去一個三棱錐，共可截去8個三棱錐，得到8個面為正三角形、6個面為正方形的一種半正多面體．若，則此半正多面體外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)正方體的對稱性可知,該半正多面體外接球的球心為正方體的中心，進而可求球的半徑和表面積.【詳解】如圖，在正方體中，分別取正方體、正方形的中心、，連接，∵分別為的中點，則，∴正方體的邊長為，故，可得，根據(jù)對稱性可知：點到該半正多面體的頂點的距離相等，則該半正多面體外接球的球心為，半徑，故該半正多面體外接球的表面積為.故選：D【變式3】（2024·浙江·二模）在三棱錐中，底面是邊長為2的正三角形，若為三棱錐的外接球直徑，且與所成角的余弦值為，則該外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】記球心為，取中點為、中點為，連接，易得，，由，即可求出，由此即可求出答案.【詳解】如圖所示：記球心為，取中點為、中點為，連接，記外接球半徑為，在中，，,，在中，，,在中，，所以AC與BD所成角為，即，在中,，，所以，解得：，所以該外接球的表面積為：故選：A.

強化訓(xùn)練一、單選題1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，是正三棱錐且側(cè)棱長為，兩側(cè)棱的夾角為分別是上的動點，則三角形的周長的最小值為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】通過展開平面以及勾股定理求得正確答案.【詳解】把正三棱錐沿剪開并展開，形成三個全等的等腰三角形：、、，則，，連接，交于，交于，則線段就是的最小周長，又，根據(jù)勾股定理，，∴.故選：A

.2．（2024·河南鄭州·模擬預(yù)測）知名數(shù)學(xué)教育家單墫曾為中學(xué)生寫了一個小冊子《十個有趣的數(shù)學(xué)問題》，其中提到了開普勒的將球裝箱的方法：考慮一個棱長為2的正方體，分別以該正方體的8個頂點及6個面的中心為球心作半徑為的球，這此球在正方體內(nèi)的體積之和與正方體的體積之比為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先確定條件中的球落在正方體的部分，再求體積，即可求解.【詳解】以8個頂點為球心的球各有在正方體內(nèi)，以6個面的中心為球心的球各有在正方體內(nèi)，所以這些球在正方體的體積之和為4個半徑為的球的體積之和，所以這些球在正方體內(nèi)的體積之和與正方體的體積之比為.故選：D3．（2024·云南昆明·模擬預(yù)測）如圖，在三棱錐中，兩兩垂直，且，點分別是棱的中點，點是棱靠近點的三等分點，則空間幾何體的體積為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】過點作，交于點，借助線面處置的判定定理及性質(zhì)定理，結(jié)合題意可得、，作差即可得.【詳解】過點作，交于點，

因為平面，所以平面，又，所以平面，且，可得，因為分別為的中點，則，所以，，因此.故選：D.4．（2023·海南海口·模擬預(yù)測）已知圓臺的上、下底面圓半徑分別為5和10，側(cè)面積為，為圓臺的一條母線（點A在圓臺下底面圓周上），M為的中點．一質(zhì)點P從點A出發(fā)，繞圓臺側(cè)面一周到達點M，則質(zhì)點P所經(jīng)路程的最小值為（

）A．60 B．50 C．40 D．30【答案】B【分析】根據(jù)側(cè)面積得到，計算得到，，，，再根據(jù)勾股定理計算得到最值.【詳解】圓臺的展開圖如圖所示，設(shè)圓臺的母線長為，圓臺的側(cè)面積為，則，故，圓臺的上、下底面圓半徑分別為5和10，下底面對應(yīng)圓弧是上底面對應(yīng)圓弧的兩倍，則，，，設(shè)，則，故，.故質(zhì)點所經(jīng)路程的最小值為.故選：B.5．（2024·廣東汕頭·一模）已知圓錐的頂點為，為底面圓心，母線與互相垂直，的面積為，與圓錐底面所成的角為，則（

）A．圓錐的高為B．圓錐的體積為C．圓錐側(cè)面展開圖的圓心角為D．二面角的大小為【答案】D【分析】利用三角形的面積公式求出圓錐的母線長，結(jié)合線面角的定義可判斷A選項；利用圓錐的體積公式可判斷B選項；利用扇形的弧長公式可判斷C選項；利用二面角的定義可判斷D選項.【詳解】對于A選項，因為與底面垂直，為底面圓的一條半徑，則，所以，與圓錐底面所成的角為，又因為，所以，的面積為，解得，所以，該圓錐的高為，A錯；對于B選項，該圓錐的底面半徑為，故該圓錐的體積為，B錯；對于C選項，設(shè)該圓錐側(cè)面展開圖的圓心角為，底面圓周長為，則，C錯；對于D選項，取的中點，連接、，

因為，為的中點，則，由垂徑定理可得，所以，二面角的平面角為，因為平面，平面，則，因為，，則為等腰直角三角形，則，所以，，所以，，因為，故，所以，二面角的大小為，D對.故選：D.6．（2024·四川綿陽·三模）如圖，正方體的棱長為3，點是側(cè)面上的一個動點（含邊界），點在棱上，且．則下列結(jié)論不正確的是（

）A．若保持．則點的運動軌跡長度為B．保持與垂直時，點的運動軌跡長度為C．沿正方體的表面從點到點的最短路程為D．當在點時，三棱錐的外接球表面積為【答案】C【分析】由可知，可過點作平面，即可找到動點的運動軌跡；找出與垂直的平面，與平面的交線即為動點的軌跡；將平面和平面沿展開在同一平面上求點到點的最短路程；將建立空間直角坐標系求解三棱錐的外接球的半徑.【詳解】對于，過點作平面，以為圓心，為半徑在平面內(nèi)作圓交于點,則即為點的運動軌跡，∵，∴,∴，∴，∴的長為，則正確；對于，∵平面,平面，∴,∵，平面，平面，，∴平面，∵平面，∴,同理可證，∵平面，，平面，∴平面，找上的點，使得，找上的點，使得,連接，∵∥,∥,∴∥,∵平面，平面，∴∥平面，∵∥，平面，平面，∴∥平面，∵平面，平面，，∴平面∥平面，∴平面，在上找一點使得，連接,∵∥，∥，∴∥，∴四點共面，∴平面，∴點的軌跡為線段,,則正確；將平面和平面沿展開在同一平面上，從點到點的最短路程為,則,則錯誤；分別以所在的直線為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，則，，，設(shè)三棱錐的外接球的球心為，則，即，解得，∴三棱錐的外接球半徑,∴三棱錐的外接球表面積為,則正確；故選：.【點睛】求三棱錐的外接球半徑還可以建立空間直角坐標系，設(shè)出球心的坐標，利用頂點到球心的距離相等列出方程組求解.7．（2024·四川·一模）設(shè)正方體的棱長為1，與直線垂直的平面截該正方體所得的截面多邊形為M．則下列結(jié)論正確的是（

）．A．M必為三角形 B．M可以是四邊形C．M的周長沒有最大值 D．M的面積存在最大值【答案】D【分析】對于選項A和B，結(jié)合空間圖形，截面與直線垂直，截面多邊形只能為正三角形或六邊形；對于選項C，分截面多邊形為正三角形和六邊形兩種情況分析多邊形的周長最值即可；對于選項D，分截面多邊形為正三角形和六邊形兩種情況分析多邊形的面積最值即可；【詳解】對于選項A、B，易知平面為平面或與其平行的平面，故多邊形M只能為三角形或六邊形，選項A和B均錯誤；對于選項C，當M為正三角形時，顯然截面多邊形M為時周長取得最大值為；當截面多邊形M為六邊形時，設(shè)，則，，，易得：，，此時截面多邊形M的周長為定值：，綜合兩種情況，M的周長的最大值為，選項C錯誤；對于選項D，當M為正三角形時，僅當截面多邊形M為時的面積為；當截面多邊形M為六邊形時，設(shè)，該六邊形可由兩個等腰梯形和構(gòu)成，其中，，，，兩個等腰梯形和的高分別為和，則，，當且僅當時，六邊形面積最大值為，即截面多邊形是正六邊形時截面面積最大．綜上，當時，截面多邊形為正六邊形時面積取得最大值.選項D正確.故選：D.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的D選項的關(guān)鍵是設(shè)，計算出截面的面積表達式，利用二次函數(shù)圖象與性質(zhì)即可求出其面積最值.8．（2023·陜西西安·一模）在三棱錐中，平面平面BCD，是以CD為斜邊的等腰直角三角形，M為CD中點，，，則該三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分析得到球心O在平面ACD的投影與M點重合，由面面垂直得到球心O在平面BCD上，作出輔助線，球心O在MH上，設(shè)OM=x，由半徑相等列出方程，求出x，進而得到外接球半徑，求出表面積.【詳解】因為是以CD為斜邊的等腰直角三角形，M為CD中點，，所以AM⊥CD，且，因為，所以，而，由勾股定理得：，所以BM=BC，故為等腰直角三角形，，，由題意得：球心O在平面ACD的投影與M點重合，因為平面平面BCD，所以球心O在平面BCD上，在平面BCD上，過點M作MH⊥CD，故，球心O在MH上，設(shè)OM=x，由余弦定理得：，則，由得：，解得：，設(shè)外接球半徑為，則，故該三棱錐的外接球的表面積為.故選：D【點睛】解決與球有關(guān)的內(nèi)切或外接的問題時，解題的關(guān)鍵是確定球心的位置．對于外切的問題要注意球心到各個面的距離相等且都為球半徑；對于球的內(nèi)接幾何體的問題，注意球心到各個頂點的距離相等，解題時要構(gòu)造出由球心到截面圓的垂線段、小圓的半徑和球半徑組成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半徑．二、多選題1．（2024·湖南長沙·模擬預(yù)測）四棱錐的底面為正方形，PA與底面垂直，，，動點M在線段PC上，則（

）A．不存在點M，使得B．的最小值為C．四棱錐的外接球表面積為5πD．點M到直線AB的距離的最小值為【答案】BD【分析】當點為中點時，利用垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化，即可判斷A；利用展開圖，利用數(shù)形結(jié)合求的最小值，即可判斷B；利用幾何體與外接球的關(guān)系，即可求解球心，并求外接球的表面積，即可判斷C；利用異面直線的距離的轉(zhuǎn)化，即可判斷D.【詳解】對于A：連接BD，且，如圖所示，當M在PC中點時，因為點O為AC的中點，所以，因為平面ABCD，所以平面ABCD，又因為平面ABCD，所以，因為ABCD為正方形，所以．又因為，且BD，平面BDM，所以平面BDM，因為平面BDM，所以，所以A錯誤；對于B：將和所在的平面沿著PC展開在一個平面上，如圖所示，和是全等的直角三角形，，，連結(jié)，，則的最小值為BD，直角斜邊PC上高為，即，直角斜邊PC上高也為，所以的最小值為，所以B正確；對于C：易知四棱錐的外接球直徑為PC，半徑，表面積，所以C錯誤；對于D：點M到直線AB的距離的最小值即為異面直線PC與AB的距離，因為，且平面PCD，平面PCD，所以平面PCD，所以直線AB到平面PCD的距離等于點A到平面PCD的距離，過點A作，因為平面ABCD，面，所以，又，且，面，故平面PAD，平面PAD，所以，因為，且PD，平面PCD，所以平面PCD，所以點A到平面PCD的距離，即為AF的長，如圖所示，在中，，，可得，所以由等面積得，即直線AB到平面PCD的距離等于，所以D正確，故選：BD．2．（2024·江蘇徐州·一模）已知圓臺的上、下底面直徑分別為2，6，高為，則（

）A．該圓臺的體積為B．該圓臺外接球的表面積為C．用過任意兩條母線的平面截該圓臺所得截面周長的最大值為16D．挖去以該圓臺上底面為底，高為的圓柱后所得幾何體的表面積為【答案】BC【分析】對于A：直接利用公式求解；對于B：先求出外接球半徑，再利用體積公式求解；對于C：通過軸截面的周長最大來求解；對于D：用面積公式求表面積.【詳解】由已知得圓臺的上下底面半徑分別為，對于A：圓臺的體積為，A錯誤；對于B：如圖是圓臺的軸截面，外接球球心為，設(shè)外接球半徑為，當球心在梯形內(nèi)時，，解得，

當球心在梯形外時，，方程無解，

所以外接球的表面積，B正確；對于C：用過任意兩條母線的平面截該圓臺所得截面周長，其中軸截面的周長最大，又母線長為，則最大周長為，C正確；對于D：如圖：挖去以該圓臺上底面為底，高為的圓柱后所得幾何體的表面積為，D錯誤.

故選：BC.3．（23-24高三上·福建福州·期末）在三棱錐中，已知，棱AC，BC，AD的中點分別是E，F(xiàn)，G，，則（

）A．過點E，F(xiàn)，G的平面截三棱錐所得截面是菱形B．平面平面BCDC．異面直線AC，BD互相垂直D．三棱錐外接球的表面積為【答案】ABD【分析】A項，利用中位線證明平行關(guān)系與長度關(guān)系得四邊形為菱形；B項，取CD的中點P，由勾股定理證明，由等腰三角形三線合一得，由線線垂直證線面垂直再證面面垂直即可；C項，假設(shè)垂直推證，由斜邊與直角邊關(guān)系可推出矛盾；D項，取的中心，由面面垂直性質(zhì)定理得線面垂直關(guān)系，由勾股定理得，利用球心到各頂點距離相等可得正三角形的中心即為球心.【詳解】選項A，如圖，連接EF，EG，取BD的中點H，連接GH，F(xiàn)H，由F是BC的中點，得，，同理得，，所以，，四邊形EFHG是平行四邊形，于是過點E，F(xiàn)，G的平面截三棱錐所得截面即為四邊形EFHG，且由E，F(xiàn)分別是AC，BC的中點，得，，因此，所以四邊形EFHG為菱形，故A正確；選項B，取CD的中點P，連接，由，得，由，得，又，所以，所以，又，，又平面BCD，所以平面BCD，又平面ADC，所以平面平面BCD，故B正確；選項C，假設(shè)，已知，且平面，所以平面，而平面，所以，所以，這與已知“”矛盾，故C錯誤；選項D，取正三角形的中心，連接，則，由于是直角三角形，CD為斜邊，則，由平面平面BCD，平面平面，由，且平面，所以平面，所以，則，所以的外心就是三棱錐的外接球球心，所以外接球半徑R就是的外接圓半徑，可知，所以三棱錐外接球的表面積為，故D正確．故選：ABD.三、填空題1．（2024·遼寧葫蘆島·一模）《九章算術(shù)》中記錄的“羨除”是算學(xué)和建筑學(xué)術(shù)語，指的是一段類似隧道形狀的幾何體，如圖，羨除中，底面是正方形，平面，和均為等邊三角形，且．則這個幾何體的外接球的體積為．【答案】【分析】結(jié)合題意，找出垂直底面且過底面外接圓圓心的直線，則球心必在該直線上，設(shè)出球心，借助球心到各頂點距離相等，結(jié)合勾股定理計算即可得半徑，運用球的體積公式即可得球的體積.【詳解】連接，分別取、、中點、、，連接、、，由底面是正方形，平面，和均為等邊三角形，故，底面，又，故，則，故，由為底面正方形中心，，故可在直線上取一點，使為羨除外接球球心，連接、、，設(shè)半徑為，，則,由底面，平面，故，又，、平面，故平面，又平面，故，故，又，故有，即，又，故有，解得，故，即，則這個幾何體的外接球的體積為.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查幾何體外接球問題，關(guān)鍵在于借助題目條件，找出垂直底面且過底面外接圓圓心的直線，則該幾何體的外接球球心必在該直線上，設(shè)出該點位置，從而可結(jié)合勾股定理計算出該球半徑，即可得解.2．（2024·云南昆明·模擬預(yù)測）已知長方體在球的內(nèi)部，球心在平面上，若球的半徑為，則該長方體體積的最大值是.【答案】【分析】根據(jù)題意，由棱柱的體積公式表示出長方體體積，然后求導(dǎo)即可得到最大值.【詳解】設(shè)長方體的高為，若，則，則，若要長方體體積最大，則平面內(nèi)接于長方體，如圖可得，即，則，所以長方體的體積為，設(shè)，其中，則，令，得，當時，在上單調(diào)遞增；當時，，在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在處取得極大值，即最大值，則，因此該長方體的體積的最大值為.故答案為：3．（2024·福建漳州·一模）在直三棱柱中，，，過作該直三棱柱外接球的截面，所得截面的面積的最小值為．【答案】【分析】根據(jù)題意直觀想象三棱住的外接球位置，再利用球的截面性質(zhì)可得當為所截圓的直徑時截面面積最小，從而得解.【詳解】由直三棱柱可知，平面，又，所以兩兩垂直，設(shè)直三棱柱外接球的半徑為R，通過構(gòu)造長方體可知該三棱柱的外接球與以為邊長的長方體外接球相同；過作該直三棱柱外接球的截面，當為所截圓的直徑時截面面積最小，因為，則所求截面面積最小值為.故答案為：.四、解答題1．（2024·陜西銅川·二模）如圖，在四棱錐中.側(cè)面⊥底面，為等邊三角形，四邊形為正方形，且.