高考數(shù)學重難點培優(yōu)全攻略(新高考專用)第11講空間點、直線、平面之間的位置關系(2大考點+強化訓練)(原卷版+解析)

第11講空間點、直線、平面之間的位置關系（2大考點+強化訓練）[考情分析]高考對此部分的考查，一是空間線面關系的命題的真假判斷，以選擇題、填空題的形式考查，屬于基礎題；二是空間線線、線面、面面平行和垂直關系交匯綜合命題，一般以選擇題、填空題或解答題的第(1)問的形式考查，屬中檔題．知識導圖考點分類講解考點一：空間直線、平面位置關系的判定判斷空間直線、平面位置關系的常用方法(1)根據空間線面平行、垂直的判定定理和性質定理逐項判斷，解決問題．(2)必要時可以借助空間幾何模型，如從長方體、四面體等模型觀察線、面的位置關系，并結合有關定理進行判斷．規(guī)律方法對于線面關系的存在性問題，一般先假設存在，然后再在該假設條件下，利用線面位置關系的相關定理、性質進行推理論證，尋找假設滿足的條件，若滿足，則假設成立；若得出矛盾，則假設不成立．【例1】（多選）(2023·廣州模擬)已知直線m與平面α有公共點，則下列結論一定正確的是()A．平面α內存在直線l與直線m平行B．平面α內存在直線l與直線m垂直C．存在平面β與直線m和平面α都平行D．存在過直線m的平面β與平面α垂直【變式1】（2024·吉林白山·二模）已知為兩條不同的直線，為兩個不同的平面，且，則下列說法正確的是（

）A．“//”是“”的充分不必要條件B．“”是“”的必要不充分條件C．若異面，則有公共點D．若有公共點，則有公共點【變式2】（2024·江西鷹潭·一模）設、是兩條不同的直線，、是兩個不同的平面，則下列命題正確的是（

）A．若，，則 B．若，，，則C．若，，則 D．若，，則【變式3】（22-23高三上·河南安陽·階段練習）已知平面，交于直線，直線，滿足，且，則（

）A． B． C． D．考點二：空間平行、垂直關系平行關系及垂直關系的轉化考向1平行、垂直關系的證明規(guī)律方法(1)證明線線平行的常用方法①三角形的中位線定理；②平行公理；③線面平行的性質定理；④面面平行的性質定理．(2)證明線線垂直的常用方法①等腰三角形三線合一；②勾股定理的逆定理；③利用線面垂直的性質證線線垂直．【例2】(2023·全國甲卷)如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°.(1)證明：平面ACC1A1⊥平面BB1C1C；(2)設AB＝A1B，AA1＝2，求四棱錐A1－BB1C1C的高．【變式1】（2023·全國·模擬預測）已知是兩個不同的平面，是平面外兩條不同的直線，給出四個條件：①；②；③；④，以下四個推理與證明中，其中正確的是.（填寫正確推理與證明的序號）（1）已知②③④，則①成立（2）已知①③④，則②成立（3）已知①②④，則③成立（4）已知①②③，則④成立【變式2】（23-24高三上·遼寧·期末）如圖，在五棱錐中，平面，，，，，，.

(1)求證：平面平面；(2)已知直線與平面所成的角為，求點到平面的距離.考向2翻折問題翻折問題，關鍵是分清翻折前后圖形的位置和數(shù)量關系的變與不變，一般地，位于“折痕”同側的點、線、面之間的位置和數(shù)量關系不變，而位于“折痕”兩側的點、線、面之間的位置關系會發(fā)生變化；對于不變的關系應在平面圖形中處理，而對于變化的關系則要在立體圖形中解決．易錯提醒注意圖形翻折前后變與不變的量以及位置關系．對照前后圖形，弄清楚變與不變的元素后，再立足于不變的元素的位置關系與數(shù)量關系去探求變化后的元素在空間中的位置與數(shù)量關系．【例3】（多選）(2023·山東名校大聯(lián)考)如圖，在矩形ABCD中，AB＝2AD，E為邊AB的中點，將△ADE沿直線DE翻折成△A1DE.若M為線段A1C的中點，則在△ADE翻折的過程中，下面四個命題中正確的是()A．BM的長是定值B．點M的運動軌跡在某個圓周上C．存在某個位置，使DE⊥A1CD．A1不在底面BCD上時，MB∥平面A1DE【變式1】（多選）（23-24高三上·福建莆田·階段練習）如圖，在邊長為的正方形中，為中點，現(xiàn)分別沿將翻折，使點重合，記為點，翻折后得到三棱錐，則（

）

A．三棱錐的體積為B．直線與直線所成角的余弦值為C．直線與平面所成角為D．三棱錐外接球的表面積為【變式2】（多選）（2024高三·全國·專題練習）M，N分別為菱形ABCD的邊BC，CD的中點，將菱形沿對角線AC折起，使點D不在平面ABC內，則在翻折過程中，下列結論正確的有（

）A．平面ABDB．異面直線AC與MN所成的角為定值C．設菱形ABCD邊長為a，，當二面角為120°時，棱錐的外接球表面積為D．若存在某個位置，使得直線AD與直線BC垂直，則∠ABC的取值范圍是【變式3】（多選）（23-24高三上·廣東佛山·階段練習）如圖，平面四邊形ABCD中，是等邊三角形，且，M是AD的中點．沿BD將翻折，折成三棱錐，翻折過程中下列結論正確的是（

）A．當平面平面BDC時，三棱錐的外接球的表面積是B．棱CD上存在一點N，使得平面ABCC．存在某個位置，使得CM與BD所成角為銳角D．三棱錐的體積最大時，二面角的正切值為強化訓練一、單選題1．（23-24高三上·江蘇南京·期中）設，，是三條不同的直線，，，是三個不同的平面，有下列命題中，真命題為（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則2．（2024·山東煙臺·一模）設為兩條不同的直線，為兩個不同的平面，下列說法正確的是（

）A．若，則B．若與所成的角相等，則C．若，則D．若，則3．（22-23高三下·河北承德·階段練習）已知，是兩條不同的直線，，，是三個不同的平面，則下列正確的是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則4．（2023·河南新鄉(xiāng)·二模）在如圖所示的正方體或正三棱柱中，M，N，Q分別是所在棱的中點，則滿足直線BM與平面CNQ平行的是（

）A． B． C． D．5．（2023·浙江嘉興·二模）已知正方體的棱長為為空間內一點且滿足平面，過作與平行的平面，與交于點，則（

）A．1 B． C． D．6．（2024·廣東佛山·模擬預測）如圖，在棱長為1的正方體中，為線段上的點，且，點在線段上，則點到直線距離的最小值為（

）A． B． C． D． E．均不是7．（2024·內蒙古呼和浩特·一模）已知正方體的棱長為為棱的中點，為側面的中心，過點的平面垂直于，則平面截正方體所得的截面面積為（

）A． B．C． D．8．（22-23高三·江西·期中）如圖，在棱長為2的正方體中，點滿足，，其中，在下列說法中正確的是（

）①存在，使得②存在，使得平面③當時，取最小值④當時，存在，使得A．①② B．②③ C．③④ D．②④二、多選題1．（2023·安徽安慶·三模）如圖，已知四邊形是以為斜邊的等腰直角三角形，為等邊三角形，，將沿對角線翻折到在翻折的過程中，下列結論中正確的是（

）

A．B．與可能垂直C．四面體的體積的最大值是D．直線與平面所成角的最大值是2．（2023·全國·模擬預測）在直角梯形中，，，，，，在上，，在上，．將沿直線翻折至的位置，將四邊形沿翻折至四邊形的位置，使，則（

）A．與所成的角為B．平面平面C．直線與平面所成的角為D．四棱錐的體積3．（2023·浙江嘉興·模擬預測）如圖，在中，，，，過中點的直線與線段交于點．將沿直線翻折至，且點在平面內的射影在線段上，連接交于點，是直線上異于的任意一點，則（

）

A．B．C．點的軌跡的長度為D．直線與平面所成角的余弦值的最小值為三、填空題1．（22-23高三·全國·課時練習）若直線l與直線m垂直，平面，則l與的位置關系是．2．（2024高三·全國·專題練習）以下四個命題中，真命題的個數(shù)為．（1）不共面的四點中，其中任意三點不共線；（2）若點A，B，C，D共面，點A，B，C，E共面，則A，B，C，D，E共面；（3）若直線a，b共面，直線a，c共面，則直線b，c共面；（4）依次首尾相接的四條線段必共面．3．（2023高三·全國·專題練習）設，是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，給出下列四個命題：①若，∥，則；②若，，∥，則；③若∥，，則∥；④若，，則∥.其中正確命題的序號有．四、解答題1．（2024高三·全國·專題練習）如圖，已知四棱錐的底面是菱形，，對角線交于點平面，平面是過直線的一個平面，與棱交于點，且．求證：；

2．（2024高三·全國·專題練習）在正方體中，E和F分別為BC和的中點．(1)判斷直線EF和直線的位置關系，并說明理由；(2)判斷直線和直線的位置關系，并說明理由．3．（23-24高三上·福建龍巖·期中）如圖，在正三棱錐中，分別為的中點．(1)求證：四邊形為矩形．(2)若四邊形為正方形，求直線與平面所成角的正弦值．4．（2024高三·全國·專題練習）如圖，四面體中，，，，為的中點．

(1)證明：平面平面；(2)設，，點在上；①點為中點，求與所成角的余弦值；②當?shù)拿娣e最小時，求與平面所成的角的正弦值．5．（2023高三·全國·專題練習）利用定義法、向量法證明直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面．第11講空間點、直線、平面之間的位置關系（2大考點+強化訓練）[考情分析]高考對此部分的考查，一是空間線面關系的命題的真假判斷，以選擇題、填空題的形式考查，屬于基礎題；二是空間線線、線面、面面平行和垂直關系交匯綜合命題，一般以選擇題、填空題或解答題的第(1)問的形式考查，屬中檔題．知識導圖考點分類講解考點一：空間直線、平面位置關系的判定判斷空間直線、平面位置關系的常用方法(1)根據空間線面平行、垂直的判定定理和性質定理逐項判斷，解決問題．(2)必要時可以借助空間幾何模型，如從長方體、四面體等模型觀察線、面的位置關系，并結合有關定理進行判斷．規(guī)律方法對于線面關系的存在性問題，一般先假設存在，然后再在該假設條件下，利用線面位置關系的相關定理、性質進行推理論證，尋找假設滿足的條件，若滿足，則假設成立；若得出矛盾，則假設不成立．【例1】（多選）(2023·廣州模擬)已知直線m與平面α有公共點，則下列結論一定正確的是()A．平面α內存在直線l與直線m平行B．平面α內存在直線l與直線m垂直C．存在平面β與直線m和平面α都平行D．存在過直線m的平面β與平面α垂直【答案】BD【解析】對于A選項，若直線m與α相交，且平面α內存在直線l與直線m平行，由于m?α，則m∥α，這與直線m與α相交矛盾，假設不成立，A錯誤；對于B選項，若m?α，則在平面α內必存在l與直線m垂直；若直線m與α相交，設m∩α＝A，如圖所示，若m⊥α，且l?α，則m⊥l；若m與α斜交，過直線m上一點P(異于點A)作PB⊥α，垂足為點B，過點A作直線l，使得l⊥AB，因為PB⊥α，l?α，則l⊥PB，又因為l⊥AB，PB∩AB＝B，PB，AB?平面PAB，所以l⊥平面PAB，因為m?平面PAB，所以l⊥m，綜上所述，平面α內存在直線l與直線m垂直，B正確；對于C選項，設直線m與平面α的一個公共點為點A，假設存在平面β，使得α∥β且m∥β，過直線m作平面γ，使得γ∩β＝l，因為m∥β，m?γ，γ∩β＝l，則l∥m，因為α∥β，記α∩γ＝n，又因為γ∩β＝l，則n∥l，因為在平面γ內過點A有且只有一條直線與直線l平行，且A∈n，故m，n重合，所以m?α，但m不一定在平面α內，C錯誤；對于D選項，若m⊥α，則過直線m的任意一個平面都與平面α垂直，若m與α不垂直，設直線m與平面α的一個公共點為點A，則過點A有且只有一條直線l與平面α垂直，記直線l，m所確定的平面為β，則α⊥β，D正確．【變式1】（2024·吉林白山·二模）已知為兩條不同的直線，為兩個不同的平面，且，則下列說法正確的是（

）A．“//”是“”的充分不必要條件B．“”是“”的必要不充分條件C．若異面，則有公共點D．若有公共點，則有公共點【答案】C【分析】對于A，推理說明“//”是“”的必要條件即可判斷；對于B，推理說明“”是“”的充分條件即可判斷；對于C，通過反證法易判斷命題正確；對于D，由有公共點和題設條件，易得可相交或異面即可判斷.【詳解】對于A，由，可得，又，故得，即“//”是“”的必要條件，故A項錯誤；對于B，由，可得或，當時，因，則，當時，經過和平面內一點可確定平面，且，則，由可得，同理可得，即“”是“”的充分條件，故B項錯誤；對于C，運用反證法說明，假設沒有公共點，則，又由可得，這與異面矛盾，故假設不成立，即C項正確；對于D，由有公共點可得相交，因，則相交或異面，故D項錯誤.故選：C.【變式2】（2024·江西鷹潭·一模）設、是兩條不同的直線，、是兩個不同的平面，則下列命題正確的是（

）A．若，，則 B．若，，，則C．若，，則 D．若，，則【答案】B【分析】利用空間直線與平面，平面與平面的位置關系判斷ACD，利用空間向量判斷線面位置關系，從而判斷B，由此得解.【詳解】對于A，若，，則有可能，故A錯誤；對于B，若，，則直線的方向向量分別為平面法向量，又，即，所以，故B正確；對于C，若，，則有可能，故C錯誤；對于D，若，，則有可能，故D錯誤.故選：B.【變式3】（22-23高三上·河南安陽·階段練習）已知平面，交于直線，直線，滿足，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用空間值線面位置關系判斷即可.【詳解】，相交，，的二面角不僅僅是直角，故A錯誤；因為平面，交于直線，，顯然不垂直與，故B錯誤;因為且，則或，故D選項錯誤；又因為，平面，交于直線，則，故C選項正確.故選：C考點二：空間平行、垂直關系平行關系及垂直關系的轉化考向1平行、垂直關系的證明規(guī)律方法(1)證明線線平行的常用方法①三角形的中位線定理；②平行公理；③線面平行的性質定理；④面面平行的性質定理．(2)證明線線垂直的常用方法①等腰三角形三線合一；②勾股定理的逆定理；③利用線面垂直的性質證線線垂直．【例2】(2023·全國甲卷)如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°.(1)證明：平面ACC1A1⊥平面BB1C1C；(2)設AB＝A1B，AA1＝2，求四棱錐A1－BB1C1C的高．【解析】(1)證明因為A1C⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以A1C⊥BC，又因為∠ACB＝90°，即AC⊥BC，因為A1C，AC?平面ACC1A1，A1C∩AC＝C，所以BC⊥平面ACC1A1，又因為BC?平面BB1C1C，所以平面ACC1A1⊥平面BB1C1C.(2)解如圖，過點A1作A1O⊥CC1于點O.因為平面ACC1A1⊥平面BB1C1C，平面ACC1A1∩平面BB1C1C＝CC1，A1O?平面ACC1A1，所以A1O⊥平面BB1C1C，所以四棱錐A1－BB1C1C的高為A1O.因為A1C⊥平面ABC，AC，BC?平面ABC，所以A1C⊥BC，A1C⊥AC，在Rt△ABC與Rt△A1BC中，因為A1B＝AB，BC＝BC，所以Rt△ABC≌Rt△A1BC，所以A1C＝AC.設A1C＝AC＝x，則A1C1＝x，所以O為CC1中點，OC1＝eq\f(1,2)AA1＝1，又因為A1C⊥AC，所以A1C2＋AC2＝AAeq\o\al(2,1)，即x2＋x2＝22，解得x＝eq\r(2)，所以A1O＝eq\r(A1C\o\al(2,1)－OC\o\al(2,1))＝eq\r(\r(2)2－12)＝1，所以四棱錐A1－BB1C1C的高為1.【變式1】（2023·全國·模擬預測）已知是兩個不同的平面，是平面外兩條不同的直線，給出四個條件：①；②；③；④，以下四個推理與證明中，其中正確的是.（填寫正確推理與證明的序號）（1）已知②③④，則①成立（2）已知①③④，則②成立（3）已知①②④，則③成立（4）已知①②③，則④成立【答案】（1）（3）【分析】由線面平行，垂直的判定定理和性質定理，以及面面平行的判定，性質定理判斷即可，不正確的舉出一個反例即可.【詳解】（1）若，，所以，因為，所以，（1）正確；（2）若，，且是平面外的直線，則，又因為，所以與平行或相交，（2）錯誤；（3）因為，，則，又因為，是平面外的直線，所以，（3）正確；（4）若，，且是平面外的直線，則，又因為，則與平行或相交，（4）錯誤.故答案為：（1）（3）【變式2】（23-24高三上·遼寧·期末）如圖，在五棱錐中，平面，，，，，，.

(1)求證：平面平面；(2)已知直線與平面所成的角為，求點到平面的距離.【答案】(1)證明見解析.(2)【分析】（1）根據已知條件先證平面，通過線面垂直，再證面面垂直.（2）建立空間直角坐標系，結合已知條件通過空間向量先確定，再利用空間向量求點到面的距離即可.【詳解】（1）因為，，，在中，由余弦定理有：，即，解得，所以有，由此可知為等腰直角三角形，所以，又因為，所以，即；因為平面，平面，所以；因為，，平面，平面，，所以平面，又因為平面，所以平面平面.（2）

建立以為坐標原點，，，分別為，，軸的空間直角坐標系，設，

如圖，取中點，連接，因為，，，，在中由余弦定理有，解得，，所以為等腰直角三角形，所以，；又因為，所以，所以，又，，所以四邊形為正方形，所以；點到軸距離為，點到軸距離為，所以，，，，；所以，，，設平面的法向量為，則有，即，解得；因為直線與平面所成的角為，所以，整理有：，，因為，解得；設點到平面的距離為，，平面的法向量為，所以，所以點到平面的距離為.考向2翻折問題翻折問題，關鍵是分清翻折前后圖形的位置和數(shù)量關系的變與不變，一般地，位于“折痕”同側的點、線、面之間的位置和數(shù)量關系不變，而位于“折痕”兩側的點、線、面之間的位置關系會發(fā)生變化；對于不變的關系應在平面圖形中處理，而對于變化的關系則要在立體圖形中解決．易錯提醒注意圖形翻折前后變與不變的量以及位置關系．對照前后圖形，弄清楚變與不變的元素后，再立足于不變的元素的位置關系與數(shù)量關系去探求變化后的元素在空間中的位置與數(shù)量關系．【例3】（多選）(2023·山東名校大聯(lián)考)如圖，在矩形ABCD中，AB＝2AD，E為邊AB的中點，將△ADE沿直線DE翻折成△A1DE.若M為線段A1C的中點，則在△ADE翻折的過程中，下面四個命題中正確的是()A．BM的長是定值B．點M的運動軌跡在某個圓周上C．存在某個位置，使DE⊥A1CD．A1不在底面BCD上時，MB∥平面A1DE【答案】ABD【解析】如圖所示，取CD的中點F，連接MF，BF，AC，易得MF∥A1D，BF∥DE，∵MF?平面A1DE，A1D?平面A1DE，∴MF∥平面A1DE，同理可得BF∥平面A1DE，又MF∩BF＝F，MF，BF?平面BMF，∴平面BMF∥平面A1DE，∵BM?平面BMF，∴BM∥平面A1DE，D選項正確；又∠BFM＝∠A1DE，MF＝eq\f(1,2)A1D為定值，BF＝DE為定值，由余弦定理知，BM2＝MF2＋BF2－2MF·BF·cos∠MFB，∴BM的長為定值，A選項正確；∴點M的運動軌跡在以點B為圓心，BM為半徑的圓周上，B選項正確；∵A1C在平面ABCD中的射影在直線AC上，且AC與DE不垂直，∴不存在某個位置，使DE⊥A1C，C選項錯誤．【變式1】（多選）（23-24高三上·福建莆田·階段練習）如圖，在邊長為的正方形中，為中點，現(xiàn)分別沿將翻折，使點重合，記為點，翻折后得到三棱錐，則（

）

A．三棱錐的體積為B．直線與直線所成角的余弦值為C．直線與平面所成角為D．三棱錐外接球的表面積為【答案】BCD【分析】求得三棱錐的體積判斷選項A；求得直線與直線所成角的余弦值判斷選項B；求得直線與平面所成角判斷選項C；求得三棱錐外接球的表面積判斷選項D.【詳解】由題意可得，三棱錐中，，，，又平面，則平面，選項A：三棱錐的高為，底面積，則,故三棱錐的體積為.判斷錯誤；選項B：，故直線與直線所成角的余弦值為.判斷正確；選項C：設三棱錐的高為d，又，則，則，設直線與平面所成角為，則,又，則，故直線與平面所成角為.判斷正確；選項D：外接圓半徑設三棱錐外接球的半徑為R，又平面，則，解之得，則三棱錐外接球的表面積為.判斷正確.故選：BCD【變式2】（多選）（2024高三·全國·專題練習）M，N分別為菱形ABCD的邊BC，CD的中點，將菱形沿對角線AC折起，使點D不在平面ABC內，則在翻折過程中，下列結論正確的有（

）A．平面ABDB．異面直線AC與MN所成的角為定值C．設菱形ABCD邊長為a，，當二面角為120°時，棱錐的外接球表面積為D．若存在某個位置，使得直線AD與直線BC垂直，則∠ABC的取值范圍是【答案】ABD【分析】根據題意，證得，證得平面，可判定A正確；證得平面，證得，得到，可判定B正確；取的中心，設外接球的球心為，根據球的截面圓的性質，求得外接球半徑為，可判定C錯誤；分為直角和鈍角時，結合在線段的關系，結合，可判定D正確．【詳解】對于A中，因為分別為菱形的邊的中點，所以為的中位線，所以，因為平面，平面，所以平面，所以A正確；對于B中，取的中點，連接，則，因為且平面，所以平面，又因為平面，所以，因為，所以，即異面直線與所成的角為定值，所以B正確；對于C中，取的中心，設外接球的球心為，連接平面，平面，連接，并延長交于點，因為的邊長為，可得，則，又因為，當二面角為時，可得，在直角中，可得，在直角中，可得，即外接球半徑為，所以外接球的表面積為，所以C錯誤；對于D中，過作，垂足為，若為銳角，在線段上；若為直角，則與重合；若為鈍角，則在線段的延長線上，若存在某個位置，使得直線與直線垂直，因為，所以平面，因為平面，所以，若為直角，與重合，所以，在中，因為，所以不可能成立，即為直角不可能成立；若為鈍角，在線段的延長線上，則在菱形中，為銳角，由于立體圖中，所以立體圖中一定小于平面圖中的，所以為銳角，，故點在線段上與H在線段的延長線上矛盾，因此不可能是鈍角；綜上,的取值范圍是，所以D正確．故選：ABD．【變式3】（多選）（23-24高三上·廣東佛山·階段練習）如圖，平面四邊形ABCD中，是等邊三角形，且，M是AD的中點．沿BD將翻折，折成三棱錐，翻折過程中下列結論正確的是（

）A．當平面平面BDC時，三棱錐的外接球的表面積是B．棱CD上存在一點N，使得平面ABCC．存在某個位置，使得CM與BD所成角為銳角D．三棱錐的體積最大時，二面角的正切值為【答案】ABD【分析】對于A，確定外接球球心位置，求得外接球半徑，即可求得外接球的表面積；對于B，取CD的中點N，證明，根據線面平行的判定定理即可判斷；對于C，證明平面CME，推出，即可判斷CM與BD所成角不可能為銳角；對于D，確定三棱錐的體積最大時，平面平面BDC，作出二面角的平面角，即可求得其正切值，判斷D.【詳解】對于A，三棱錐的外接球被平面BCD所截小圓圓心是正的中心，是等邊三角形，設E為BD的中點，連接，則在上，，則，

由于，故外接球被平面ABD所截小圓圓心為點M，設球心為O，連，OM，則平面BCD，平面ABD，由于是等邊三角形，故，而平面平面BDC，平面平面，平面，故平面ABD，因為，同理可證平面BCD，為的中點，連接，故,則平面BCD，故，，故四邊形為矩形，，連AO，由于，則，在中，，所以三棱錐的外接球的表面積，A正確；對于B，取CD的中點N，連MN，因M是AD的中點，則，平面ABC，平面ABC，所以平面ABC，B正確；對于C，如圖，因是正三角形，有，而M是AD的中點，有，而，則，，CE，平面CME，于是得平面CME，平面CME，所以，即CM與BD所成角不可能為銳角，C不正確；因為，要使三棱錐的體積最大，當且僅當點C到平面ABD距離最大，即平面平面BDC時，由選項A知，點C到直線BD的距離為，

由A可知平面ABD，作，垂足為G，連接，由于平面ABD，故,而平面，故平面，平面平面，平面平面，故為二面角的平面角，由題意知且，則,故在中，，故,即三棱錐的體積最大時，二面角的正切值為，D正確，故選：ABD．強化訓練一、單選題1．（23-24高三上·江蘇南京·期中）設，，是三條不同的直線，，，是三個不同的平面，有下列命題中，真命題為（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則【答案】C【分析】根據空間中直線和平面的位置關系的判定定理和性質，對每個選項進行逐一分析，即可判斷和選擇.【詳解】對A：若，，則或，故A錯誤；對B：如下圖所示，直線，，則垂直于平面內的任意一條直線，則的位置關系是任意的，故B錯誤.對C：若，，則，故C正確；對D：若，，則，的位置關系是任意的，故D錯誤；故選：C.2．（2024·山東煙臺·一模）設為兩條不同的直線，為兩個不同的平面，下列說法正確的是（

）A．若，則B．若與所成的角相等，則C．若，則D．若，則【答案】D【分析】根據空間中點線面的位置關系，即可結合選項逐一求解.【詳解】對于A，平行于同一平面的兩條直線可能平行，也可能異面，故A錯誤，對于B，與所成的角相等，則可能異面，可能相交，也可能平行，故B錯誤，對于C，，則可能垂直，但也可能平行或者相交或者異面，故C錯誤，對于D，，則，D正確，故選：D3．（22-23高三下·河北承德·階段練習）已知，是兩條不同的直線，，，是三個不同的平面，則下列正確的是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則【答案】C【分析】根據線線、線面、面面位置關系有關知識對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】對于A，若，，則平行，相交或異面，故A錯誤；對于B，若，，則相交或平行，故B錯誤；對于C，若，，則（垂直于同一平面的兩條直線互相平行），故C正確；對于D，若，，則相交或平行，故D錯誤.故選：C.4．（2023·河南新鄉(xiāng)·二模）在如圖所示的正方體或正三棱柱中，M，N，Q分別是所在棱的中點，則滿足直線BM與平面CNQ平行的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據正方體，正三棱柱的性質，線面的位置關系及線面平行的判定定理結合條件逐項分析即得.【詳解】A選項中，由正方體的性質可知，所以直線BM與平面CNQ不平行，故錯誤；B選項中，因為，故平面CNQ即為平面ACNQ，而，平面CNQ，平面CNQ，所以直線BM與平面CNQ平行，故正確；C選項中，因為，故平面CNQ即為平面BCNQ，則直線BM與平面CNQ相交于點B，故錯誤；D選項中，假設直線BM與平面CNQ平行，過點M作CQ的平行線交于點D，則點D是在上靠近點的四等分點，由，平面CNQ，平面CNQ，可得平面CNQ，又BM與平面CNQ平行，平面，則平面平面CNQ，而平面與平面，平面CNQ分別交于BD，QN，則BD與QN平行，顯然BD與QN不平行，假設錯誤，所以直線BM與平面CNQ不平行，故錯誤．故選：B.5．（2023·浙江嘉興·二模）已知正方體的棱長為為空間內一點且滿足平面，過作與平行的平面，與交于點，則（

）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】由題意知平面平面，可先令為中點，再證明當點為中點時，滿足平面平面，即可輕易得出的值.【詳解】因為為空間內一點且滿足平面，過作與平行的平面，與交于點，所以∥平面,而平面，故平面平面.在正方體中，如圖所示，取中點為,中點為,連接，假設為中點，則為等腰三角形，中點為,所以;又因為,,所以，中點為,中點為,所以,而,所以，，平面，所以平面，平面,所以；因為，，,平面，所以平面，平面，所以平面平面，符合題意，故為中點，.故選：D.6．（2024·廣東佛山·模擬預測）如圖，在棱長為1的正方體中，為線段上的點，且，點在線段上，則點到直線距離的最小值為（

）A． B． C． D． E．均不是【答案】C【分析】在上取點，使，連接、，過點作于點，結合題意可得平面，平面，故點到直線距離的最小值為，計算出即可得.【詳解】在上取點，使，連接、，過點作于點，由，故，又平面，平面，故平面，由平面，平面，故，故，又，，、平面，故平面，故到平面的距離為，又在線段上，故點到直線距離的最小值為，由，故，則，故.故選：C.7．（2024·內蒙古呼和浩特·一模）已知正方體的棱長為為棱的中點，為側面的中心，過點的平面垂直于，則平面截正方體所得的截面面積為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】取的中點，由，證得，再由平面，證得，從而得到平面，同理證得，利用線面垂直的判定定理，證得平面，得到平面截正方體的截面為，進而求得截面的面積，得到答案.【詳解】如圖所示，取的中點，分別連接，在正方形中，因為分別為的中點，可得，所以，，因為，所以，所以，即，又因為分別為的中點，所以，因為平面，平面，所以，所以，又因為且平面，所以平面，因為平面，所以，同理可證：，又因為且平面，所以平面，即平面截正方體的截面為，由正方體的棱長為，在直角中，可得，在直角中，可得，在直角中，可得，所以截面的面積為.故選：D.【點睛】關鍵點點睛：本題解決的關鍵是根據題意確定所求截面為，從而得解.8．（22-23高三·江西·期中）如圖，在棱長為2的正方體中，點滿足，，其中，在下列說法中正確的是（

）①存在，使得②存在，使得平面③當時，取最小值④當時，存在，使得A．①② B．②③ C．③④ D．②④【答案】D【分析】根據線面的位置關系可判斷①；根據線面垂直的判定定理可判斷②；利用和異面直線都垂直且相交的線段的長為異面直線間的最短距離的含義可判斷③；利用球的半徑和點到球心的距離的比較可判斷④，即得答案.【詳解】因為平面，且平面，所以不存在，，使得，故①錯誤；記平面，在平面中，過點M作直線，交直線于點N，在正方體中,平面平面,故,連接,則,而,平面,故平面，所以此時平面，故②正確；當時，分別為，的中點，M點也為的中點，則，且直線與不垂直，即與不垂直，即MN不是線段和上兩點連線的最小值，故③錯誤；當時，N為的中點，，如圖，設的中點為O，連接，交于點，則為的中點，設中點為，則，因此以為直徑的球與線段必有交點，即存在，使得.故④正確,故選：D.【點睛】難點點睛：解決此類空間幾何體中的存在性問題，屬于較難問題，解答是要充分發(fā)揮空間想象能力，明確空間幾何體中的點線面的位置關系，對于存在性的判斷，可以找到特殊位置或特殊值，說明適合題意，如果不存在，要加以證明或說明.二、多選題1．（2023·安徽安慶·三模）如圖，已知四邊形是以為斜邊的等腰直角三角形，為等邊三角形，，將沿對角線翻折到在翻折的過程中，下列結論中正確的是（

）

A．B．與可能垂直C．四面體的體積的最大值是D．直線與平面所成角的最大值是【答案】ABC【分析】由折疊平面的變與不變性，對于A，取中點，可得⊥面，A選項可判斷；對于B，假設與垂直，則⊥面，再根據題目所給長度即可判斷；對于C，當面面時，此時四面體的體積的最大,計算最大體積即可;對于D，當面面時，此時直線與平面所成角最大，判斷即可.【詳解】對于A，如圖所示，取的中點，連接，

是以為斜邊的等腰直角三角形，，為等邊三角形，，又面，面，又面，，故A正確.對于B，假設，又面，面，又面，，又，易知，當時，，故與可能垂直，故B正確.對于D，當面面時，面面=，平面，此時面即為直線與平面所成角，此時，故D錯誤.對于C，易知當面面時，此時四面體的體積最大，此時的體積為：，故C正確.故選：ABC.2．（2023·全國·模擬預測）在直角梯形中，，，，，，在上，，在上，．將沿直線翻折至的位置，將四邊形沿翻折至四邊形的位置，使，則（

）A．與所成的角為B．平面平面C．直線與平面所成的角為D．四棱錐的體積【答案】BC【分析】對A，即為與所成的角，對B，證明平面，平面即可；對C，轉化為直線與平面所成的角，證平面，則即為所求角；對D，應用等積法即可.【詳解】對于A，依題意可得，則，所以為與所成的角．在中，，，，所以，即與所成的角為，故A錯誤．對于B，，又平面，平面，所以平面．因為，平面，平面，所以平面．又，，平面，所以平面平面，故B正確．對于C，因為平面平面，所以直線與平面所成的角即直線與平面所成的角．因為，，，所以，則，則和均為直角三角形，所以．由題意可得平面．又平面，所以．因為，，平面，所以平面，所以即為所求角．由，，得，則直線與平面所成的角為，故C正確．對于D，如圖，過點作于點．因為平面，平面，所以．又，，平面，所以平面，則為四棱錐的高．由，得，所以，則四棱錐得體積，故D錯誤．故選：BC．【點睛】本題以直角梯形的翻折為背景，考查異面直線所成的角、面面平行的判定、直線與平面所成的角、四棱錐的體積，體現(xiàn)了數(shù)學運算、邏輯推理、直觀想象等核心素養(yǎng)．3．（2023·浙江嘉興·模擬預測）如圖，在中，，，，過中點的直線與線段交于點．將沿直線翻折至，且點在平面內的射影在線段上，連接交于點，是直線上異于的任意一點，則（

）

A．B．C．點的軌跡的長度為D．直線與平面所成角的余弦值的最小值為【答案】BCD【分析】A、B選項結合線面角最小，二面角最大可判斷;對于C，先由旋轉，易判斷出，故其軌跡為圓弧，即可求解.對于D求直線與平面所成角的余弦值，即求，，用表示，再結合三角恒等變換求出函數(shù)的最值即可【詳解】

依題意，將沿直線翻折至，連接,由翻折的性質可知，關于所沿軸對稱的兩點連線被該軸垂直平分，故，又在平面內的射影在線段上，所以平面，平面，所以，，平面，平面所以平面.平面，平面，平面，，，且即為二面角的平面角對于A選項，由題意可知，為與平面所成的線面角，故由線面角最小可知，故A錯誤；對于B選項，即為二面角的平面角，故由二面角最大可知，故B正確；對于C選項，恒成立，故的軌跡為以為直徑的圓弧夾在內的部分，易知其長度為，故C正確；對于D選項，如下圖所示

設，在中，，，在中，，，所以，設直線與平面所成角為，則，當且僅當時取等號，故D正確．故選：BCD．三、填空題1．（22-23高三·全國·課時練習）若直線l與直線m垂直，平面，則l與的位置關系是．【答案】或【分析】畫出空間圖形判斷得解.【詳解】解：若直線l與直線m垂直，平面，則l與的位置關系是或.故答案為：或2．（2024高三·全國·專題練習）以下四個命題中，真命題的個數(shù)為．（1）不共面的四點中，其中任意三點不共線；（2）若點A，B，C，D共面，點A，B，C，E共面，則A，B，C，D，E共面；（3）若直線a，b共面，直線a，c共面，則直線b，c共面；（4）依次首尾相接的四條線段必共面．【答案】1【分析】對（1）利用反證法即可證明；對（2）若A，B，C共線則反駁該結論；對（3）直線b，c可能存在異面的情況；對（4）空間四邊形可以不在一個平面內.【詳解】對（1），可以用反證法證明：假設任意3點均共線，不妨設A，B，C共線，則由一直線和一直線外的點確定一個平面，知A，B，C，D共面，這與題設矛盾，∴題目成立，得證．故（1）正確；對（2），從條件看出兩平面有三個公共點A，B，C，但是若A，B，C三點共線，則結論不正確，故（2）錯誤；對（3），共面不具有傳遞性，直線b，c可能異面，故（3）錯誤；對（4），∵此時所得的四邊形四條邊可以不在一個平面上．故（4）錯誤.故答案為：1.3．（2023高三·全國·專題練習）設，是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，給出下列四個命題：①若，∥，則；②若，，∥，則；③若∥，，則∥；④若，，則∥.其中正確命題的序號有．【答案】①③④【分析】根據空間直線和平面平行、垂直的判定與性質分別進行判斷即可．【詳解】對于①：因為∥，可知在平面內存在直線，使得∥，如圖所示，

又因為，且，則，所以，因此①正確；對于②：如圖∥，，，∥，即此時符合題設，因此②錯誤；

對于③：根據面面平行的性質可知：③正確；

對于④：根據線面垂直的性質可知：④正確．

綜上所述，正確命題的序號有①③④．故答案為：①③④．四、解答題1．（2024高三·全國·專題練習）如圖，已知四棱錐的底面是菱形，，對角線交于點平面，平面是過直線的一個平面，與棱交于點，且．求證：；

【答案】證明見解析【分析】利用線面平行的判定定理，得到平面，再利用線面平行的性質，即可證明結果.【詳解】證明：四棱錐的底面