湖北省部分省級(jí)示范高中2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖北省部分省級(jí)示范高中2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1.集合，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由題設(shè)，且，則.故選：B.2.已知，則（）A B. C. D.【答案】B【解析】故選：B.3.已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，，?故選：C.4.已知某扇形的周長(zhǎng)是，面積為，則該扇形的圓心角的弧度數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)扇形的半徑為，所對(duì)弧長(zhǎng)為，則有，解得，故.故選：.5.我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休”，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究中，常用函數(shù)的圖象來(lái)研究函數(shù)的性質(zhì)，也常用函數(shù)的解析式來(lái)琢磨函數(shù)的圖象特征，如函數(shù)的圖象大致形狀是（）A B.C. D.【答案】A【解析】由解析式，有，即，故定義域?yàn)椋?，即為奇函?shù)，排除C、D；當(dāng)時(shí)，，即，排除B.故選：A.6.下列四個(gè)函數(shù)中，以為最小正周期，且在區(qū)間上單調(diào)遞減的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：由圖可知，函數(shù)的最小正周期為，且該函數(shù)在上單調(diào)遞減，A滿足條件；對(duì)于B選項(xiàng)，函數(shù)的最小正周期為，且該函數(shù)在上單調(diào)遞減，B不滿足條件；對(duì)于C選項(xiàng)，函數(shù)的最小正周期為，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上不單調(diào)，C不滿足條件；對(duì)于D選項(xiàng)，函數(shù)的最小正周期為，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，D不滿足條件.故選：A.7.已知函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由題意，函數(shù)，可得函數(shù)的周期為.因?yàn)椋?由函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，得，且，即，且.當(dāng)時(shí)，，解得，所以；當(dāng)時(shí)，，解得，所以；當(dāng)時(shí)，，解得，此時(shí)解集為空集.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：A.8.已知函數(shù)，則關(guān)于x的不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】令，因?yàn)樗缘亩x域?yàn)?，則，又，，所以所以為奇函數(shù)；在上為增函數(shù)，在上為增函數(shù)，又也為增函數(shù)，所以根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)可得在上為增函數(shù)；等價(jià)于，即，則解得：或，即關(guān)于x的不等式的解集為.故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知函數(shù)，則（）A.函數(shù)的最小正周期為B.函數(shù)的定義域?yàn)镃.函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心為D.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為【答案】BD【解析】函數(shù)的最小正周期為，所以A錯(cuò)誤；由，則定義域?yàn)?，所以B正確；因?yàn)檎泻瘮?shù)的對(duì)稱中心為，則，可知函數(shù)的對(duì)稱中心應(yīng)為，所以C錯(cuò)誤；由，得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，所以D正確.故選：BD.10.已知函數(shù)，則下列關(guān)于函數(shù)的說(shuō)法，正確的是（）A.的一個(gè)周期為B.的圖象關(guān)于對(duì)稱C.在上單調(diào)遞增D.的值域?yàn)椤敬鸢浮緼BD【解析】對(duì)于A，根據(jù)誘導(dǎo)公式可知：，故的一個(gè)周期為，即A正確；對(duì)于B，根據(jù)誘導(dǎo)公式可知：，所以的圖象關(guān)于對(duì)稱，即B正確；對(duì)于C，易知，即為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，顯然此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，由偶函數(shù)的對(duì)稱性可知時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤；由B結(jié)論可知為的一個(gè)周期，此區(qū)間上，故D正確.故選：ABD11.函數(shù)的定義域?yàn)闉榕己瘮?shù)，且，當(dāng)時(shí)，，則下列說(shuō)法正確的是（）A.在上單調(diào)遞增B.C.函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)D.若關(guān)于的方程在區(qū)間上的實(shí)數(shù)根的之和為12【答案】BCD【解析】由于為偶函數(shù)，則關(guān)于對(duì)稱，則，故，結(jié)合可得，用取代，得到，用取代，得到，于是，的周期為4，由可得，結(jié)合可得，故為奇函數(shù).對(duì)A，由冪函數(shù)的性質(zhì)，在上單調(diào)遞增，由奇函數(shù)的性質(zhì)，在上遞增，又關(guān)于對(duì)稱，則在上遞減，又周期為4，故在上單調(diào)遞減，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，奇函數(shù)的定義域?yàn)?，故，又周期?，故，由，取得到，取，得到，故，所以，故B正確；對(duì)C，在同一直角坐標(biāo)系中作出和的圖像如下：由圖象可得有兩個(gè)交點(diǎn)，故有兩個(gè)零點(diǎn)，故C正確；對(duì)D，先作出在上的圖象，由，根據(jù)對(duì)稱性，四個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為，故D正確；故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知冪函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)，則__________.【答案】【解析】由函數(shù)為冪函數(shù)，得，即，所以，又函數(shù)過(guò)點(diǎn)，則，故答案為：.13.某殺菌劑每噴灑一次就能殺死某物質(zhì)上的細(xì)菌的，要使該物質(zhì)上的細(xì)菌少于原來(lái)的，則至少要噴灑______次【答案】【解析】設(shè)噴灑次，則：，，，且，，，即至少噴灑次．故答案為：.14.已知定義在R上的函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，若對(duì)任意，都有，則實(shí)數(shù)m的最大值為_(kāi)_____．【答案】【解析】由得，當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，依次類推，又函數(shù)的定義域?yàn)镽，所以函數(shù)的大致圖象為因?yàn)?，，所以，，所以由，可得，?dāng)時(shí)，由的，所以對(duì)任意，都有，得實(shí)數(shù)取值范圍為，則實(shí)數(shù)的最大值為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.（1）計(jì)算：；（2）已知，且，求c的值.解：（1）原式.（2）由得，由得，，，，，，，.16.（1）已知是關(guān)于的方程的一個(gè)實(shí)根，且是第一象限角，求的值；（2）已知，且，求的值．解：（1）解方程，得，，是關(guān)于的方程的一個(gè)實(shí)根，且是第一象限角，則，（2），且，，則，而，則，故，17.南京馬拉松作為江蘇省的省會(huì)馬拉松賽，創(chuàng)辦于2015年，六年的時(shí)間它已成為中國(guó)馬拉松金牌賽事世界田聯(lián)標(biāo)牌賽事，有穿越中華門、玄武湖、總統(tǒng)府等經(jīng)典景點(diǎn)的比賽路線，為了迎接2023年11月南京馬拉松賽的回歸，某公益廣告公司擬在一張矩形海報(bào)紙（如圖）上設(shè)計(jì)三個(gè)等高的宣傳欄（欄面分別為兩個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)等腰三角形），宣傳欄（圖中陰影部分）的面積之和為．為了美觀，要求海報(bào)上所有水平方向和豎直方向的留空寬度也都是），．（1）當(dāng)時(shí)，求海報(bào)紙（矩形）的周長(zhǎng)：（2）為了節(jié)約成本，應(yīng)如何選擇海報(bào)紙的尺寸，可使用紙量最少（即矩形的面積最小）？解：（1）設(shè)，直角三角形另一個(gè)直角邊長(zhǎng)為，則有宣傳欄的面積為，且海報(bào)周長(zhǎng)，又由，即，因?yàn)椋瑒t，所以海報(bào)周長(zhǎng)，答：海報(bào)紙的周長(zhǎng)為．（2）由（1）知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，此時(shí)，解得，即長(zhǎng)和寬時(shí)，使用紙量最少．18.已知函數(shù)奇函數(shù).（1）求m的值；（2）判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性；（3）若對(duì)任意的，不等式恒成立，求a的取值范圍．解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以，即，整理得，又，所以，所以.（2）設(shè)，且，則，因?yàn)椋瑔握{(diào)遞增，所以，所以，，所以，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.（3）因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，即在區(qū)間上恒成立，令，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，由題意，得，所以a的取值范圍為.19.定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足：對(duì)任意，都有，則稱具有性質(zhì).（1）分別判斷以下兩個(gè)函數(shù)是否具有性質(zhì)：和；（2）函數(shù)，判斷是否存在實(shí)數(shù)，，使具有性質(zhì)？若存在，求出，的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）在（2）結(jié)論下，若方程（為常數(shù)）在區(qū)間上恰有三個(gè)實(shí)數(shù)根，，，求的值.解：（1），，故，則函數(shù)