四川省巴中市2025屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1四川省巴中市2025屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設(shè)集合，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因，，所以．故選：B.2.若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，所以．故選：D.3.函數(shù)的部分圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】函數(shù)是定義域為函數(shù)，奇函數(shù)，所以排除B，C；又函數(shù)在原點附近的零點為和1，可取大于0且接近于0的一個數(shù)，如0.1，得，所以排除D．故選：A.4.在正四棱臺中，已知，該正四棱臺的體積為168，則（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】連接相交于點，相交于點，連接，則為正四棱臺的高，作，垂足為，則，，四邊形是等腰梯形，，所以，，，由，得，可得．故選：C.5.設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的最大值為（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】令，，則可視為由和構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)，由對數(shù)函數(shù)性質(zhì)得在區(qū)間上單調(diào)遞增，因為在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以由復(fù)合函數(shù)性質(zhì)得在區(qū)間上單調(diào)遞減，由二次函數(shù)性質(zhì)得的對稱軸為直線，顯然開口向上，故，解得，則的最大值為4，故C正確.故選：C6.為了加強(qiáng)家校聯(lián)系，某班舉行一次座談會，會上邀請了6位學(xué)生及他們的父母總共18人參加，并從中選出6位代表發(fā)言，如果這6人由其中一個家庭的3人與其他三個家庭中的各1人組成，那么不同的選人方案有（）A.720種 B.1240種 C.1440種 D.1620種【答案】D【解析】根據(jù)題意可知從6個家庭中任意選出一個，這個家庭的3人都被選中，共有種選擇；再從剩余5個家庭里面選出3個家庭，共有種選擇；最后從3組家庭中各選一人，即有種；因此不同的選人方案共有種.故選：D.7.已知雙曲線：（，）的右焦點為，其中一條漸近線上存在一點，使得另一條漸近線垂直平分線段，則雙曲線的離心率為（）A.2 B. C. D.4【答案】A【解析】不妨設(shè)漸近線垂直平分線段，所以．由解得所以點的坐標(biāo)為．由，得，所以雙曲線的離心率，故選：A.8.若函數(shù)的定義域內(nèi)存在，使得成立，則稱該函數(shù)為“完整函數(shù)”．已知是上的“完整函數(shù)”，則的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由可得：；即是上的“完整函數(shù)”，所以存在，使得成立；即存在，使得成立；又因為，因此，‘即在上至少存在兩個最大值點，所以，解得；當(dāng)，即時，一定滿足題意；若，因為，，所以，又易知；所以只需保證即可，解得綜上可知的取值范圍為.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.某機(jī)構(gòu)調(diào)查了一個工業(yè)園區(qū)內(nèi)的小型民營企業(yè)年收入情況，并將所得數(shù)據(jù)按，，…，分成六組，畫出了樣本頻率分布直方圖，則下列結(jié)論正確的是（）A.該工業(yè)園區(qū)內(nèi)年收入落在區(qū)間內(nèi)的小型民營企業(yè)的頻率為0.55B.樣本中年收入不低于500萬元的小型民營企業(yè)的個數(shù)比年收入低于500萬元的個數(shù)少C.規(guī)定年收入在400萬元以內(nèi)（不含400萬元）的民營企業(yè)才能享受減免稅政策，則該工業(yè)園區(qū)有70%的小型民營企業(yè)能享受到減免稅政策D.估計樣本中小型民營企業(yè)年收入的中位數(shù)等于平均數(shù)【答案】BD【解析】對于A，因為，所以，則年收入落在區(qū)間內(nèi)的小型民營企業(yè)的頻率為，故A錯誤；對于B，樣本中年收入低于500萬元的小型民營企業(yè)的頻率為，故B正確；對于C，因為年收入在400萬元以內(nèi)的小型民營企業(yè)的頻率為0.3，所以該工業(yè)園區(qū)有30%的小型民營企業(yè)能享受到減免稅政策，C錯誤．對于D，因為，所以中位數(shù)應(yīng)該在內(nèi)，設(shè)為，則，解得，所以中位數(shù)約為480，平均數(shù)約為，中位數(shù)等于平均數(shù)，D正確．故選：BD.10.已知函數(shù)，且是的一個極值點，下列說法正確的是（）A.實數(shù)的值為1或B.在上單調(diào)遞增C.若是的一個極小值點，則當(dāng)時，D.若是的一個極大值點，則當(dāng)時，【答案】ACD【解析】函數(shù)的定義域為，．令，得，，①當(dāng)時，，由，得或，由，得，則在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，此時是的一個極大值點．②當(dāng)時，解得，則，由，得或，由，得，則在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，此時是的一個極小值點．故A正確，B錯誤；若是的一個極小值點，則，在上單調(diào)遞增，因為，則，所以，故C正確；若是的一個極大值點，則，在上單調(diào)遞增，因為，所以，，且等價于，即當(dāng)時，，所以，故D正確．故選：ACD.11.如圖，該圖展現(xiàn)的是一種被稱為“正六角反棱柱”的多面體，上、下兩底面分別是兩個全等且平行的正六邊形，，它們的中心分別為，，側(cè)面由12個全等的以正六邊形的邊為底的等腰三角形組成．若該“正六角反棱柱”的各棱長都為2，則下列命題正確的是（）A.異面直線與所成的角為B.平面C.該多面體外接球的表面積為D.直線與下底面所成角的正弦值為【答案】BCD【解析】對于A，設(shè)，在下底面的射影分別為，，則平分，為等邊三角形，所以異面直線與所成的角為，故A錯誤；對于B，易知垂直于底面，所以，又平分，所以，因為平面，所以平面，從而平面，故B正確；對于C，設(shè)的中點為，在下底面上的射影為，上、下兩底面間的距離為，外接球的半徑為，則，，所以，，從而所求外接球的表面積為，故C正確；對于D，設(shè)直線與下底面所成的角為，由上面可知，所以，故D正確．故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知向量，滿足，則_______．【答案】2【解析】由，平方可得：，即，所以，所以，故答案為：2.13.已知拋物線：的焦點為，過點的直線交拋物線于，兩點，與準(zhǔn)線交于點，，則直線的斜率為______，______．【答案】4【解析】設(shè)直線的方程為，由題意得的準(zhǔn)線為，令，解得，則點的坐標(biāo)為，，設(shè)，故，，因為，所以，，解得，故，因為點在拋物線上，所以，解得．故或，當(dāng)時，由兩點間距離公式得，當(dāng)時，由兩點間距離公式得，綜上可得，.故答案為：；414.設(shè)的內(nèi)角的對邊分別為，若，則_______．【答案】【解析】由可得，由正弦定理可得，即；又在中，,所以，即；所以.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求的圖象在點處的切線方程；（2）討論的單調(diào)性，并求當(dāng)?shù)臉O大值等于時，實數(shù)的值．解：（1）因為，所以，，所以，又，所以所求切線的方程為，即．（2）的定義域為，，當(dāng)時，或．由，得或，由，得，則在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，取得極大值．由，解得．16.一家調(diào)查機(jī)構(gòu)在某地隨機(jī)抽查1000名成年居民對新能源車與燃油車的購買傾向，得到如下表格：

傾向于購買燃油車傾向于購買新能源車合計女性居民150250400男性居民350250600合計5005001000（1）依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析對新能源車與燃油車的購買傾向是否存在性別差異；（2）從傾向于購買燃油車的居民中按性別采用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取10人，再從中抽取4人進(jìn)行座談，求在有女性居民參加座談的條件下，恰有2名男性居民也參加座談的概率；（3）從所有參加調(diào)查的男性居民中按購買這兩種車的傾向性，采用分層隨機(jī)抽樣的方法抽出12人，再從中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行座談，記這3人中傾向于購買新能源車的居民人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．參考公式：，其中．參考數(shù)據(jù)：0.10.050010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828解：（1）零假設(shè)為：對新能源車與燃油車的購買傾向不存在性別差異；易知，所以依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們推斷假設(shè)不成立，即認(rèn)為對新能源車與燃油車的購買傾向存在性別差異，此推斷犯錯誤的概率不大于；（2）根據(jù)表中數(shù)據(jù)可知按性別采用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取10人中3人為女性，7人為男性；再從中抽取4人進(jìn)行座談，共有種，其中有女性居民參加座談的情況共有種；恰有2名男性居民參加座談的情況共有種；因此在有女性居民參加座談的條件下，恰有2名男性居民也參加座談的概率為；（3）從所有參加調(diào)查的男性居民中按購買這兩種車的傾向性，采用分層隨機(jī)抽樣的方法抽出12人，可知抽取結(jié)果如下表：傾向于購買燃油車傾向于購買新能源車男性居民75再從中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行座談，記這3人中傾向于購買新能源車的居民人數(shù)為，的所有可能取值為；所以，；，，的分布列如下：0123數(shù)學(xué)期望.17.如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，是的中點，點在線段上．（1）證明：平面．（2）若平面，，，，平面與平面夾角的余弦值為，求的值．（1）證明：法一：如圖，連接，設(shè)，連接．因為四邊形是平行四邊形，所以為的中點，因為為的中點，所以由中位線定理得，因為平面，平面，所以平面．法二：因為，，，所以，則．又平面，所以，，兩兩垂直．以為坐標(biāo)原點，，，的方向分別為，，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．由，，，可知，，，，，，則，，．設(shè)是平面的法向量，則得取，可得．因為，所以，則平面．（2）解：因為，，，所以，則．又平面，所以，，兩兩垂直．以為坐標(biāo)原點，，，的方向分別為，，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．由，，，可知，，，．設(shè)（），則，．設(shè)是平面的法向量，由得取，可得．取平面的一個法向量為．設(shè)平面與平面的夾角為，則，解得，所以．18.已知橢圓：（）的左、右焦點分別為，，焦距為，圓與橢圓相交于，兩點，，的面積為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點的動直線與橢圓有兩個交點，，以線段為直徑作圓，點始終在圓內(nèi)（包括圓周），求的取值范圍．解：（1）方法一：因為，所以，則，解得．因為的面積為，所以，，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；方法二：因為，，所以是正三角形，，所以點在線段的中垂線上，則，是橢圓的短軸端點．因為的面積為，所以，在中，易知，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）方法一：設(shè)點，．當(dāng)直線斜率不存在時，的方程為，代入橢圓方程得，不妨設(shè)，，易求．當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，則消去得，，所以，．因為點在圓內(nèi)（包括圓周），所以，所以，所以，所以，所以，即恒成立，所以，解得．綜上，的取值范圍為．方法二：當(dāng)直線的斜率為0時，圓以橢圓的長軸為直徑，所以．當(dāng)直線的斜率不存在，或斜率不為0時，設(shè)的方程為，且，．聯(lián)立，消去得，所以，．因為點在圓內(nèi)（包括圓周），所以，所以，所以，所以，所以，即恒成立，所以，解得．綜上，的取值范圍為．19.若是遞增數(shù)列，數(shù)列滿足對任意的，存在，使得，則稱是的“分割數(shù)列”．（1）設(shè)，，證明：數(shù)列是數(shù)列的“分割數(shù)列”．（2）設(shè)，是數(shù)列的前項和，，判斷數(shù)列是否是數(shù)列的“分割數(shù)列”，并說明理由．（3）設(shè)是首項為，公比為的遞增等比數(shù)列，是的前項和，若數(shù)列是的“分割數(shù)列”，求實數(shù)與的取值范圍．（1）證明：因為是遞增數(shù)列，滿足對任意的，存在，使得，所以．又，，所以，解得，取，滿足“分割數(shù)列”的定義，所以是的“分割數(shù)列”．（2）解：因為，所以，．假設(shè)是的“分割數(shù)列”，則，即，整理得．當(dāng)時，，所