2022年廣東省深圳市福田區(qū)石廈學(xué)校中考數(shù)學(xué)二模試卷（解析版）

2022年廣東省深圳市福田區(qū)石廈學(xué)校中考數(shù)學(xué)二模試卷一．選擇題（共12小題，共30分）1.如圖是由六個完全相同的正方體堆成的物體，則這一物體的正視圖是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】找到從正面看所得到的圖形即可，注意所有的看到的棱都應(yīng)表現(xiàn)在主視圖中．【詳解】解：從正面看易得左邊一列有2個正方形，右邊一列有一個正方形．故選：A．【點睛】本題考查了三視圖的知識，主視圖是從物體的正面看得到的視圖．2.下列計算正確的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由同底數(shù)冪乘法、積乘方、冪的乘方、合并同類項，分別進行判斷，即可得到答案．【詳解】解：A.，故A錯誤；B.，故B錯誤；C.，故C正確；D.，故D錯誤，故選：C．【點睛】本題考查了同底數(shù)冪乘法、積的乘方、冪的乘方、合并同類項，解題的關(guān)鍵是熟練掌握運算法則分別進行判斷．3.有一組數(shù)據(jù)：2，﹣2，2，4，6，7這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為（）A.2 B.3 C.4 D.6【答案】B【解析】【分析】找中位數(shù)要把數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，位于最中間的一個數(shù)（或兩個數(shù)的平均數(shù)）為中位數(shù)；眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，注意眾數(shù)可以不只一個．【詳解】解：將這組數(shù)據(jù)排序得：﹣2，2，2，4，6，7，處在第3、4位兩個數(shù)的平均數(shù)為（4+2）÷2＝3，故選：B．【點睛】考查中位數(shù)的意義和求法，找一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)需要將這組數(shù)據(jù)從小到大排列后，處在中間位置的一個數(shù)或兩個數(shù)的平均數(shù)即為中位數(shù)．4.如圖，AB＝AD，∠BAC＝∠DAC＝25°，，則∠BCA的度數(shù)為（）A.25° B.50° C.65° D.75°【答案】D【解析】【分析】根據(jù)證明，可得，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求得的度數(shù)．【詳解】解：在與中，，，，．故選D．【點睛】本題考查了全等三角形的判定以及性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．5.已知，則=（）A. B. C. D.17【答案】A【解析】【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)，由，得，則設(shè)，得到，，然后把，，代入中進行分式的運算即可．【詳解】解：∵，∴，設(shè)，得到，，∴，故選：A．【點睛】本題考查了比例的性質(zhì)：常用的性質(zhì)有內(nèi)項之積等于外項之積；合比性質(zhì)；分比性質(zhì)；合分比性質(zhì)；等比性質(zhì)．6.如圖，在矩形中，兩條對角線與相交于點，，則的長為（）A.4 B.8 C. D.【答案】D【解析】【分析】利用矩形的性質(zhì)可知對角線互相平分且，再利用勾股定理求解即可．【詳解】解：在矩形中，故選D．【點睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)及勾股定理，熟練掌握矩形的性質(zhì)及勾股定理求直角邊是解決本題的關(guān)鍵．7.如圖，在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，BC＝12，則AC＝()A.3 B.9 C.10 D.15【答案】B【解析】【詳解】∵sinA=，∴AB==15，在直角△ABC中,AC==9.故選B.8.某班級開展活動共花費2300元，但有4位同學(xué)因時間沖突缺席，若總費用由實際參加的同學(xué)平均分攤，則每人比原來多支付4元，設(shè)原來有x人參加活動，由題意可列方程（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)原來有x人參加聚餐，則實際有（x-4）人參加聚餐，根據(jù)“總費用由實際參加的同學(xué)平均分攤，則每人比原來多支付4元”，列出方程即可解答．【詳解】解：設(shè)原來有x人參加聚餐，則實際有（x-4）人參加聚餐，根據(jù)題意得，故選：D．【點睛】本題考查由實際問題抽象出分式方程，是重要考點，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．9.已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交于A（m，0），B（n，0）兩點，已知m+n＝4，且﹣4≤m≤﹣2．圖象與y軸的正半軸交點在（0，3）與（0，4）之間（含端點）．給出以下結(jié)論：①6≤n≤8；②對稱軸是直線x＝2；③當(dāng)時，拋物線的開口最大；④二次函數(shù)的最大值可取到6．其中正確結(jié)論的個數(shù)為（）個A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)可得，再根據(jù)即可判斷①；根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸是直線即可判斷②；先求出的取值范圍，再根據(jù)二次函數(shù)的圖象與軸的交點位置可得的取值范圍，從而可得的取值范圍，然后根據(jù)二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系可得，從而可得的取值范圍，最后根據(jù)拋物線的開口大小與的值的關(guān)系即可判斷③；先求出當(dāng)時，二次函數(shù)取得最大值，最大值為，再根據(jù)的取值范圍求出的取值范圍，由此即可判斷④．【詳解】解：由得：，，，，，結(jié)論①正確；二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點，且，此二次函數(shù)的對稱軸是直線，結(jié)論②正確；，，，二次函數(shù)的圖象與軸的正半軸交點在與之間（含端點），，，，又二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點，是關(guān)于的一元二次方程的兩個實數(shù)根，，，，由二次函數(shù)圖象的開口向下得：，則的值越大，拋物線的開口越大，所以當(dāng)時，拋物線的開口最小；當(dāng)時，拋物線的開口最大，結(jié)論③正確；此二次函數(shù)的對稱軸是直線，當(dāng)時，為最大值，且，最大值，由得：，又，，則二次函數(shù)的最大值不可取到6，結(jié)論④錯誤；綜上，正確結(jié)論的個數(shù)為3個，故選：C．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系等知識點，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．10.如圖，正方形中，E、F分別為邊上點，且，過F作，交于G，過H作于M，若，則下列結(jié)論中：①；②；③，其中結(jié)論正確的是()A.只有①② B.只有①③ C.只有②③ D.①②③【答案】D【解析】【分析】①根據(jù)∠ABE的余角是∠BGF和∠AEB，得到∠BGF=∠AEB，根據(jù)SAS證明△ABE≌△CBF，得到∠AEB=∠CFB，即可得到∠BGF=∠CFB；②將△DFH繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△DEN，證明N，E，H三點共線，根據(jù)DH=HN即可得到答案；③連接EF，證明EF=，BE=BF=,根據(jù)求出，根據(jù)求出，即可得到答案．【詳解】①∵正方形ABCD中，AB=BC=9，∠A=∠C=90°，且AE=CF=3，∴△ABE≌△CBF(SAS)，∴∠CFB=∠AEB，∵FG⊥BE，∴∠BHG=90°，∴∠BGH+∠ABE=90°，∵∠AEB+∠ABE=90°，∴∠BGH=∠AEB，∴，正確；②∵AD=CD，AE=CF，∴DE=DF,將△DFH繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△DEN，點F的對應(yīng)點為點E，則∠HDN=90°，∠DFH=∠DEN，DH=DN，F(xiàn)H=EN，∵∠EDF+∠EHF=180°，∴∠DEH+∠DFH==180°，∴∠DEH+∠DEN=180°，∴N，E，H三點在同一條直線上，∴∠N=∠DHN=(180°-∠HDN)=45°，∴DH=HN=EH+EN=EH+FH，∴，正確；③連接EF，∵AD=CD=9，AE=CF=3，，∴DE=DF=6，∴EF=，∵，∴，設(shè)BH=x，則EH=BE-BH=，∵，∴，∴，即，∵HM⊥AB，∴，∴，∴，∴故正確．∴正確的結(jié)論為①②③，故選D．【點睛】本題綜合考查了正方形和三角形，解決問題的關(guān)鍵是添加輔助線，熟練掌握正方形的邊角性質(zhì)，三角形全等的判定定理和性質(zhì)定理，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義．二．填空題（共5小題，共15分）11.分解因式：=_______．【答案】4（x+2）（x-2）【解析】【分析】先提公因式4，然后使用平方差公式因式分解即可．【詳解】解：原式=4（x2-4）=4（x+2）（x-2）．【點睛】本題考查了提公因式法和公式法，熟練掌握平方差公式a2-b2=（a+b）（a-b）是解題的關(guān)鍵．12.若是方程的根，則____________．【答案】1【解析】【分析】本題根據(jù)一元二次方程的根的定義，把x=1代入方程得到a的值．【詳解】把x=1代入方程，得1?2+a=0，解得a=1，故答案為：1．【點睛】本題考查的是一元二次方程的根即方程的解的定義，一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能夠使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．13.人字梯為現(xiàn)代家庭常用的工具．如圖，若，的長都為，當(dāng)時，人字梯頂端離地面的高度為__________．（參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】2.05【解析】【分析】Rt△ADC中，求出AD即可．【詳解】解：∵AB=AC=2.5m，AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∴AD=AC?sin55°=2.5×0.82≈2.05（m），故答案為2.05．【點睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題．14.已知實數(shù)、滿足，若關(guān)于的一元二次方程的兩個實數(shù)根分別為，則的值為___【答案】1【解析】【分析】根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)得出a=2，b=-3，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得，，整體代入即可求得．【詳解】解：，，，，，關(guān)于的一元二次方程的兩個實數(shù)根分別為，，，，故答案為：1．【點睛】本題考查了非負數(shù)的性質(zhì)以及一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系．15.如圖，在中，，以點A為圓心，長為半徑畫弧，交于點D，交于點C，以點B為圓心，長為半徑畫弧，交于點E，交于點F，則圖中陰影部分面積為_____．【答案】##【解析】【分析】設(shè)，則，先利用勾股定理求出，再求出，最后根據(jù)進行求解即可．【詳解】解：設(shè)，則，在中，由勾股定理得，∴，由題意得，，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了求不規(guī)則圖形面積，勾股定理，熟知扇形面積公式是解題的關(guān)鍵．三．解答題（共4小題，滿分55分）16.先化簡，再求值：，其中【答案】，【解析】【分析】將括號里通分，除法化為乘法，因式分解，約分，再代值計算即可．【詳解】解：原式=當(dāng)時，原式．【點睛】本題考查了分式化簡求值，解答此題的關(guān)鍵是把分式化到最簡，然后代值計算．17.如圖，有四張背面相同的紙牌，其正面分別畫有四個不同的幾何圖形，將這四張紙牌背面朝上洗勻后放在桌面上．（1）小紅從中隨機摸出一張，求摸出的牌面圖形是中心對稱圖形的概率；（2）小明從這四張紙牌中隨機摸出兩張，用樹狀圖或表格法，求摸出的兩張牌面圖形都是中心對稱圖形的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先根據(jù)中心對稱圖形的定義判斷四個圖形是否是中心對稱圖形，再根據(jù)概率計算公式求解即可；（2）先列出表格得到所有等可能性的結(jié)果數(shù)，再找到符合題意的結(jié)果數(shù)，最后根據(jù)概率計算公式求解即可．【小問1詳解】解：正三角形不是中心對稱圖形；圓是中心對稱圖形；平行四邊形是中心對稱圖形；正五邊形不是中心對稱圖形；∴四個圖形中有兩個圖形是中心對稱圖形，∴小紅從中隨機摸出一張，摸出的牌面圖形是中心對稱圖形的概率為；【小問2詳解】解：列表如下：ABCDA（B，A）（C，A）（D，A）B（A，B）（C，B）（D，B）C（A，C）（B，C）（D，C）D（A，D）（B，D）（C，D）由表格可知一共有12種等可能性的結(jié)果數(shù)，其中摸出的兩張牌面圖形都是中心對稱圖形的結(jié)果數(shù)有2種，∴摸出的兩張牌面圖形都是中心對稱圖形的概率為．【點睛】本題主要考查了簡單的概率計算，樹狀圖法或列表法求解概率，中心對稱圖形的識別，靈活運用所學(xué)知識是解題的關(guān)鍵．18.某中學(xué)九年級學(xué)生開展測量物體高度的實踐活動，他們要測量學(xué)校一幢教學(xué)樓的高度，如圖，他們先在點C測得教學(xué)樓的頂點A的仰角為，然后向教學(xué)樓前進20米到達點D，又測得點A的仰角為，請根據(jù)這些數(shù)據(jù)，求這幢教學(xué)樓的高度．（最后結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)）【答案】27米【解析】【分析】首先根據(jù)題意分析圖形；本題涉及到兩個直角三角形，應(yīng)利用其公共邊及構(gòu)造方程關(guān)系式，進而可解，即可求出答案．【詳解】解：由已知，可得：，，在中，．又在中，，，即．，，即，米．答：教學(xué)樓的高度為27米．【點睛】本題考查了仰角與俯角--解直角三角形的應(yīng)用，要求學(xué)生能借助仰角構(gòu)造直角三角形，并結(jié)合圖形利用三角函數(shù)解直角三角形．19.如圖，在矩形ABCD中，E是BC邊上的點，AE=BC，DF⊥AE，垂足為F，連接DE．（1）求證：AB=DF；（2）若AD=10，AB=6，求tan∠EDF的值．【答案】（1）詳見解析；（2）【解析】【分析】（1）由矩形性質(zhì)得到∠B=∠DFA,AE=BC,AD=BC，證得△AEB≌△DAF；（2）由（1）可知：DF=AB=6，AE=AD=10.在Rt△AFD中，求出AF和EF.【詳解】（1）證明：在矩形ABCD中，AD=BC,AD∥BC，∠B=90°.∵AD∥BC，∴∠BEA=∠FAD∵DF⊥AE，∴∠DFA=90°∴∠B=∠DFA∵AE=BC，AD=BC，∴AE=AD∴△AEB≌△DAF∴AB=DF（2）解：由（1）可知：AB=DF=6，AE=AD=10.在Rt△AFD中，∠DFA=90°，∴AF===8∴EF=AE-AF=10-8=2在Rt△DFE中，∠DFE=90°∴tan∠EDF===【點睛】矩形性質(zhì)，求正切.20.某中學(xué)為豐富學(xué)生的校園生活，準(zhǔn)備從友誼體育用品商店一次性購買若干個足球和籃球（每個足球的價格相同、每個籃球的價格相同），若購買3個籃球和2個足球共需420元；購買2個籃球和4個足球共需440元．（1）購買一個籃球、一個足球各需多少元？（2）根據(jù)該中學(xué)的實際情況，需要從該體育用品商店一次性購買足球和籃球共20個．要求購買籃球數(shù)不少于足球數(shù)的2倍，總費用不超過1840元，那么這所中學(xué)有哪幾種購買方案？哪種方案所需費用最少？【答案】（1）：購買一個籃球需要100元，一個足球需要60元；（2）有三種方案，其中購買籃球14個，足球6個所需費用最少．【解析】【分析】（1）設(shè)每個籃球x元，每個足球y元，根據(jù)購買3個籃球和2個足球共需420元；購買2個籃球和4個足球共需440元，可得出方程組，解出即可；（2）設(shè)購買籃球y個，則購買足球（20﹣y）個，由購買籃球數(shù)不少于足球數(shù)的2倍，總費用不超過1840元，可得出不等式組，解出即可．【詳解】（1）設(shè)每個籃球x元，每個足球y元，由題意，得：，解得：．

答：購買一個籃球需要100元，一個足球需要60元．（2）設(shè)購買籃球y個，則購買足球（20﹣y）個，由題意，得：，解得：≤y≤16．∵y為整數(shù)，∴有3種方案：①購買籃球14個，足球6個；②購買籃球15個，足球5個；③購買籃球16個，足球4個．∵籃球較貴一些，∴方案①所需費用最低．【點睛】本題主要考查了一元一次不等式組的應(yīng)用及二元一次方程組的應(yīng)用知識點．21.如圖1，已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A（-1，0）、B（4，0）兩點，與y軸交于點C（0，2），點P是拋物線上的一個動點，過點P作PQ⊥x軸，垂足為Q，交直線BC于點D．（1）求該拋物線的函數(shù)表達式；（2）若以P、D、O、C為頂點的四邊形是平行四邊形，求點Q的坐標(biāo)；（3）如圖2，當(dāng)點P位于直線BC上方的拋物線上時，過點P作PE⊥BC于點E，設(shè)△PDE的面積為S，求當(dāng)S取得最大值時點P的坐標(biāo)，并求S的最大值．【答案】（1）y=-x2+x+2；（2）Q點坐標(biāo)為（2，0）或（2+2，0）或（2-2，0）；（3）當(dāng)P為（2，3）時，S有最大值，最大值為=．【解析】【分析】（1）把A、B、C三點的坐標(biāo)代入可求得a、b、c的值，可得出函數(shù)表達式；（2）可先求得BC的解析式，設(shè)出Q點坐標(biāo)，可表示出D點坐標(biāo)和P點坐標(biāo)，可表示出PD的長，由條件可得PD=OC=2，可求得P點坐標(biāo)，則可得Q點的坐標(biāo)；（3）可設(shè)出P的坐標(biāo)，由PQ∥OC可表示出DQ、BD，由△PED∽△BQD可表示出PE和DE，則可表示出S，再結(jié)合P在直線BC上方，可求得S的最大值，可求得P點的坐標(biāo)．【詳解】（1）∵二次函數(shù)與x軸交于A（-1，0）、B（4，0）兩點，與y軸交于點C（0，2），∴代入二次函數(shù)解析式可得，得，∴二次函數(shù)表達式為y=-x2+x+2；（2）設(shè)直線BC解析式為y=kx+b，∵B（4，0），C（0，2），∴代入可得，解得，∴直線BC解析式為y=-x+2，設(shè)Q坐標(biāo)為（m，0），則可知D點坐標(biāo)為（m，-m+2），又∵P點在拋物線上，∴P點坐標(biāo)為（m，-m2+m+2），當(dāng)P、D、O、C為頂點的四邊形為平行四邊形時，則有PD=OC=2，即|-m2+m+2-（-m+2）|=2，即|-m2+2m|=2，當(dāng)-m2+2m=2時，解得m=2，則Q坐標(biāo)為（2，0），當(dāng)-m2+2m=-2時，解得m=2±2，則Q坐標(biāo)為（2+，0）或（2-，0），綜上可知Q點坐標(biāo)為（2，0）或（2+2，0）或（2-2，0）；（3）設(shè)Q點坐標(biāo)為（n，0），由（2）可知D為（n，-n+2），P點坐標(biāo)為（n，-n2+n+2），∴PD=-n2+2n=n（4-n），DQ=-n+2，又∵OB=4，∴BQ=4-n，在Rt△OBC中，OC=2，OB=4，由勾股定理可求得BC=2，∵OQ∥OC，∴，即，解得BD=，∵PE⊥BC，PQ⊥QB，∴∠PED=∠BQD=90°，且∠PDE=∠BDQ，∴△PED∽△BQD，∴，即，解得PE=，DE=，∴S=PE?DE=××=（-n2+4n）2，令t=-n2+4n=-（n-2）2+4，∵P在直線BC上方，∴0＜n＜4，∴0＜t≤4，且當(dāng)n=2時，t有最大值4，此時P點坐標(biāo)為（2，3），∴當(dāng)t=4時，Smax=×42=，綜上可知當(dāng)P為（2，3）時，S有最大值，最大值為=．【點睛】本題主要考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式及平行四邊形的性質(zhì)、平行線分線段成比例和相似三角形的判定和性質(zhì)．在（1）中注意待定系數(shù)法應(yīng)用的關(guān)鍵是點的坐標(biāo)，在（2）中用Q的坐標(biāo)表示出PD的長度，得到關(guān)于Q點坐標(biāo)的方程是解題的關(guān)鍵，在（3）中用Q點的坐標(biāo)表示出PE、DE的長度是解題的關(guān)鍵．本題知識點多，計算量大，難度較大．.22.綜合與實踐，問題情境：數(shù)學(xué)活動課上，老師出示了一個問題：如圖①，在中，，垂足為，為中點，連接，，試猜想與的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；獨立思考：（1）請解答老師提出的問題；實踐探究：（2）希望小組受此問題的啟發(fā)，將沿著（為的中點）所在直線折疊，如圖②，點的對應(yīng)點為，連接并延長交于點，請判斷與的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；問題解決：（3）智慧小組突發(fā)奇想，將沿過點的直線折疊，如圖③，點A的對應(yīng)點為，使于點，折痕交于點，連接，交于點．該小組提出一個問題：若此的面積為20，邊長，，求圖中陰影部分（四邊形）的面積．請你思考此問題，直接寫出結(jié)果．【答案】（1）；見解析；（2），見解析；（3）．【解析】【分析】（1）如圖，分別延長，相交于點P，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，，利用AAS可證明△PDF≌△BCF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)可得，即可得；（2）根據(jù)折疊性質(zhì)可得∠CFB=∠C′FB=∠CFC′，F(xiàn)C=FC′，可得FD=FC′，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠FDC′=∠FC′D，根據(jù)三角形外角性質(zhì)可得∠CFC′=∠FDC′+∠FC′D，即可得出∠C′FB=