2022年廣東省深圳市龍崗區(qū)金稻田學(xué)校中考數(shù)學(xué)模擬題（解析版）

2022深圳中考數(shù)學(xué)模擬卷（四）一、選擇題(本大題10小題，每小題3分，共30分)1.若∠A＝40°，則∠A的補角為（）A.40° B.50° C.60° D.140°【答案】D【解析】【分析】根據(jù)互補兩角的和為180°，即可求出∠A的補角的度數(shù)．【詳解】解：因為∠A=40°，所以∠A的補角為：180°-∠A=140°．故選：D．【點睛】本題考查了補角的知識．掌握互為補角的兩角之和為180度是解題的關(guān)鍵．2.閱讀下列材料，其①～④步中數(shù)學(xué)依據(jù)錯誤的是()A.① B.② C.③ D.④【答案】B【解析】【分析】根據(jù)垂直的定義得到∠1＝90°，再根據(jù)兩直線平行，同位角相等得到∠2＝90°，即可判定a⊥c．【詳解】證明：①∵a⊥b（已知），∴∠1＝90°（垂直的定義），②又∵b∥c（已知），∴∠1＝∠2（兩直線平行，同位角相等），③∴∠2＝∠1＝90°（等量代換），∴a⊥c（垂直的定義），①～④步中數(shù)學(xué)依據(jù)錯誤的是②，故B正確．故選：B．【點睛】此題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟記平行線的判定定理與性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．3.將一副三角板按如圖所示的位置擺放在直尺上，則的度數(shù)為（）A.70° B.75° C.80° D.85°【答案】B【解析】【分析】利用三角形外角性質(zhì)或者三角形內(nèi)角和以及平行線的性質(zhì)解題即可．【詳解】解：如圖，，直尺上下兩邊互相平行，，故選：B．【點睛】本題主要考查一副三角板多對應(yīng)的角度以及平行線的性質(zhì)，本題難度小，解法比較靈活．4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將以原點O為位似中心放大后得到，若，，則與的相似比是（）A.2：1 B.1：2 C.3：1 D.1：3【答案】D【解析】【分析】直接利用對應(yīng)邊的比等于相似比求解即可．【詳解】解：由B、D兩點坐標(biāo)可知：OB=1，OD=3；△OAB與△OCD的相似比等于；故選D．【點睛】本題考查了在平面直角坐標(biāo)系中求兩個位似圖形的相似比的概念，同時涉及到了位似圖形的概念、平面直角坐標(biāo)系中點的坐標(biāo)、線段長度的確定等知識；解題關(guān)鍵是牢記相似比等于對應(yīng)邊的比，準(zhǔn)確求出對應(yīng)邊的比即可完成求解，考查了學(xué)生對概念的理解與應(yīng)用等能力．5.如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線分別交AB、BC于點D、E，連接AE，若AE＝4，EC＝2，則BC的長是（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】C【解析】【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到EB＝EA＝4，結(jié)合圖形計算，得到答案．【詳解】解：∵DE是AB的垂直平分線，AE＝4，∴EB＝EA＝4，∴BC＝EB＋EC＝4＋2＝6，故選：C．【點睛】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等．6.如圖，△ABC≌△A′B′C，且點B′在AB邊上，點A′恰好在BC的延長線上，下列結(jié)論錯誤的是()A.∠BCB′＝∠ACA′ B.∠ACB＝2∠BC.∠B′CA＝∠B′AC D.B′C平分∠BB′A′【答案】C【解析】【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，逐項判斷即可求解．【詳解】解：∵△ABC≌△A′B′C，∴，∴，∴∠BCB′＝∠ACA′，故A正確；∵△ABC≌△A′B′C，∴，∴，∵，∴∠ACB＝2∠B，故B正確；∵△ABC≌△A′B′C，∴，∵無法判斷和是否相等，∴∠B′CA和∠A不一定相等，∴∠B′CA和∠B′AC不一定相等，故C錯誤；∵△ABC≌△A′B′C，∴，∵，∴，即B′C平分∠BB′A′，故D正確；故選：C【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7.如圖，在一次數(shù)學(xué)實踐活動中，小明同學(xué)要測量一座與地面垂直的古塔的高度，他從古塔底部點處前行到達斜坡的底部點處，然后沿斜坡前行到達最佳測量點處，在點處測得塔頂?shù)难鼋菫?，已知斜坡的斜面坡度，且點，，，，在同一平面內(nèi)，小明同學(xué)測得古塔的高度是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】過作于，于，得到，，設(shè)，，根據(jù)勾股定理得到，求得，，，于是得到結(jié)論．【詳解】解：過作于，于，，，斜坡的斜面坡度，，設(shè)，，，，，，，，，，故選：A．【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題，解直角三角形的應(yīng)用坡角坡度問題，正確的作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．8.如圖，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，已知點A的坐標(biāo)為(－2，0)，點B的坐標(biāo)為(0，1)，則點C的坐標(biāo)為()A.(－3，1.5) B.(－4，1.5) C.(－3，2) D.(－4，2)【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)AAS判定△ACD≌△BAO，得出CD=AO，AD=BO，再根據(jù)點A的坐標(biāo)為（-2，0），點B的坐標(biāo)為（0，1），求得CD和OD的長，得出點C的坐標(biāo)．【詳解】解：過C作CD⊥x軸于D，則∠CDA=∠AOB=90°，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠CAB=90°，又∵∠AOB=90°，∴∠CAD+∠BAO=90°，∠ABO+∠BAO=90°，∴∠CAD=∠ABO，在△ACD和△BAO中，，∴△ACD≌△BAO（AAS），∴CD=AO，AD=BO，又∵點A的坐標(biāo)為（-2，0），點B的坐標(biāo)為（0，1），∴CD=AO=2，AD=BO=1，∴DO=3，又∵點C在第三象限，∴點C的坐標(biāo)為（-3，2）．故選：C．【點睛】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，求得點C到坐標(biāo)軸的距離．9.如圖，在△ABC中，點O是角平分線AD、BE的交點，若AB＝AC＝10，BC＝12，則tan∠OBD的值是（）A. B.2 C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可得AD⊥BC，BD=BC=6，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)及三角的面積公式得，進而即可求解．詳解】解：AB＝AC＝10，BC＝12，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，BD=BC=6，∴AD=，過點O作OF⊥AB，∵BE平分∠ABC，∴OF=OD，∵∴，即：，解得：OD=3，∴tan∠OBD=，故選A．【點睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，推出，是解題的關(guān)鍵．10.如圖，△ABC，△ECD均為等邊三角形，邊長分別為5cm，3cm，B，C，D三點在同一條直線上，下列結(jié)論：①AD＝BE；②△CFG為等邊三角形；③CM＝cm；④CM平分∠BMD．其中正確的有()A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得CA=CB，CD=CE，∠ACB=60°，∠DCE=60°，則∠ACE=60°，利用“SAS”可判斷△ACD≌△BCE，則AD=BE，可判斷①；由等邊三角形的判定得出△CFG是等邊三角形，可判斷②；證明△DMC∽△DBA，求出CM長，可判斷③；證明M、F、C、G四點共圓，由圓周角定理得出∠BMC=∠FGC=60°，∠CMD=∠CFG=60°，得出∠BMC=∠DMC，所以CM平分∠BMD，可判斷④，據(jù)此即可判定．【詳解】解：∵△ABC，△ECD均為等邊三角形，∴∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，DC=EC，∴∠ACG=60°，∴∠BCE=∠ACD，在△BCE和△ACD中，，∴△BCE≌△ACD(SAS)，∴BE=AD，故①正確；∴∠CAG=∠CBF，在△CBF和△CAG中，，∴△BCF≌△ACG(ASA)，∴FC=GC，∵∠FCG=60°，∴△CFG等邊三角形，故②正確；∵∠EMD=∠MBD+∠MDB=∠MAC+∠MDB=∠FCB=60°，∴∠EMD=∠ACG，∴M、F、C、G四點共圓，∴∠BMC=∠FGC=60°，∠CMD=∠CFG=60°，∴∠BMC=∠DMC，∴CM平分∠BMD，故④正確；如圖：過點E作EP⊥BD于點P，則，∴，∵，∴，∴AD=BE=7，∵∠DMC=∠ABD，∠MDC=∠BDA，∴△DMC∽△DBA，∴，∴，∴CM＝，故③錯誤．故正確的有3個，故選：C．【點睛】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合，勾股定理，四點共圓的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的手拉手模型是解題關(guān)鍵．二、填空題(本大題5小題，每小題3分，共15分)11.如圖，點E，F(xiàn)在BC上，BE＝CF，∠A＝∠D．請?zhí)砑右粋€條件________________，使△ABF≌△DCE【答案】∠B＝∠C(答案不唯一)【解析】【分析】求出BF=CE，再根據(jù)全等三角形的判定定理判斷即可．【詳解】解：∵BE=CF，∴BE+EF=CF+EF，∴BF=CE，添加∠B=∠C，在△ABF和△DCE中，，∴△ABF≌△DCE（AAS），故答案為：∠B=∠C（答案不唯一）．【點睛】本題考查了全等三角形的判定定理，能熟記全等三角形的判定定理是解此題的關(guān)鍵．12.如圖，已知每個小方格的邊長均為1，則與的周長比為_________．【答案】【解析】【分析】設(shè)、分別與交于點、，則，可得到，在網(wǎng)格圖中，利用銳角三角函數(shù)值得到，繼而，可得到，證得，然后分別求出、，即可解答．【詳解】如圖，設(shè)、分別與交于點、，則，∴,∵，，∴，∴，∴，，由圖可知：，∴，即與的相似比為，∴與的周長比為故答案為：【點睛】本題主要考查了網(wǎng)格圖中的兩個相似三角形周長之比，解題的關(guān)鍵是找到相似三角形的相似比．13.如圖，在中，，D，E分別是，的中點，連接，，若，，則點A到BC的距離是________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意可求得AC、AB、BC的長度，設(shè)點A到BC的距離是h，由的面積相等可列式，從而點A到BC的距離即可求解．【詳解】解：∵在中，，D，E分別是，的中點，，∴，DE//AC，∴∠BDE=∠BAC=90°，∴∠ADE=90°，，∴，∴，設(shè)點A到BC的距離是h，則，即，解得：，∴點A到BC的距離是．故答案為：．【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用、三角形中位線的性質(zhì)，三角形的面積公式，解題的關(guān)鍵是用勾股定理和中位線的性質(zhì)求出各線段的長度．14.把兩個含角的直角三角板按如圖所示拼接在一起，點為的中點，連結(jié)交于點．則=_________．【答案】【解析】【分析】連接CE，設(shè)CD=2x，利用兩個直角三角形的性質(zhì)求得AD=4x，AC=2x，BC=x，AB=3，再由已知證得CE∥AB，則有，由角平分線的性質(zhì)得，進而求得的值.【詳解】連接CE，設(shè)CD=2x，在RtΔACD和RtΔABC中，∠BAC=∠CAD=30o，∴∠D=60o，AD=4x，AC=，BC==x，AB=x，∵點E為AD的中點，∴CE=AE=DE==2x，∴ΔCED為等邊三角形，∴∠CED=60o，∵∠BAD=∠BAF+∠CAD=30o+30o=60o，∴∠CED=∠BAD，∴AB∥CE，∴，在ΔBAE中，∵∠BAF=∠CAD=30o∴AF平分∠BAE，∴，∴，∴，故答案：.【點睛】本題考查了含30o的直角三角形、等邊三角形的判定與性質(zhì)、平行線分線段成比例、角平分線的性質(zhì)等知識，是一道綜合性很強的填空題，解答的關(guān)鍵是認真審題，找到相關(guān)知識的聯(lián)系，確定解題思路，進而探究、推理并計算.15.如圖，∠MON＝30°，在OM上截取OA1=．過點A1作A1B1⊥OM，交ON于點B1，以點B1為圓心，B1O為半徑畫弧，交OM于點A2；過點A2作A2B2⊥OM，交ON于點B2，以點B2為圓心，B2O為半徑畫弧，交OM于點A3；按此規(guī)律，所得線段A20B20的長等于_____．【答案】219【解析】【分析】利用三角形中位線定理證明A2B2＝2A1B1，A3B3＝2A2B2＝22?A1B1，尋找規(guī)律解決問題即可．【詳解】解：∵B1O＝B1A1，B1A1⊥OA2，∴OA1＝A1A2，∵B2A2⊥OM，B1A1⊥OM，∴B1A1∥B2A2，∴B1A1＝A2B2，∴A2B2＝2A1B1，同理可得：A3B3＝2A2B2＝22?A1B1，由此規(guī)律可得A20B20＝219?A1B1，∵A1B1＝OA1?tan30°＝，∴A20B20＝219，故答案為219．【點睛】此題主要考查了三角形中位線定理，熟練掌握三角形中位線定理是解題的關(guān)鍵．三、解答題(本大題5小題，共55分)16.如圖，BD∥AC，BD＝BC，且BE＝AC．求證：∠D＝∠ABC．【答案】證明見解析【解析】【分析】由BD∥AC，知∠ACB＝∠EBD，證明△ABC≌△EDB（SAS），進而可證∠ABC＝∠D．詳解】證明：∵BD∥AC，∴∠ACB＝∠EBD，在△ABC和△EDB中，∵，∴△ABC≌△EDB（SAS），∴∠ABC＝∠D．【點睛】本題考查了三角形全等的判定與性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于找到三角形全等的條件．17.如圖，在△ABC中，∠ABC平分線BD交AC于點D，AE⊥BC于點E，已知∠ABC＝60°，∠C＝45°．（1）求證：AB＝BD；（2）若AE＝3，求△ABC的面積．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）計算出∠ADB和∠BAC，利用等角對等邊即可證明；（2）利用銳角三角函數(shù)求出BC即可計算△ABC的面積．【小問1詳解】證明：∵BD平分∠ABC，∠ABC＝60°，∴∠DBC＝∠ABC＝30°．∵∠C＝45°，∴∠BDA＝∠DBC＋∠C＝75°，∠BAC＝180°－∠ABC－∠C＝75°．∴∠BDA＝∠BAC．∴AB＝BD．【小問2詳解】∵AE⊥BC，∴∠AEB＝∠AEC＝90°．在Rt△ABE中，∠ABC＝60°，AE＝3，∴BE＝．在Rt△AEC中，∠C＝45°，AE＝3，∴EC＝．∴BC＝BE＋EC＝．∴S△ABC＝BC·AE＝．【點睛】本題考查等腰三角形的判定以及利用銳角三角函數(shù)求值，解題的關(guān)鍵是求出∠ADB和∠BAC的度數(shù)．18.如圖，某地政府為解決當(dāng)?shù)剞r(nóng)戶網(wǎng)絡(luò)銷售農(nóng)特產(chǎn)品物流不暢問題，計劃打通一條東西方向的隧道．無人機從點A的正上方點C，沿正東方向以的速度飛行15s到達點D，測得A的俯角為60°，然后以同樣的速度沿正東方向又飛行50s到達點E，測得點B的俯角為37°．（1）求無人機的高度（結(jié)果保留根號）；（2）求的長度（結(jié)果精確到1m）．（參考數(shù)據(jù)：，，，）【答案】（1）無人機的高度AC=；（2）AB的長度為243m．【解析】【分析】（1）在Rt△CDA中，利用正切函數(shù)即可求解；（2）先證明四邊形ABFC為矩形，在Rt△BFE中，求得EFm，即可求解．【詳解】（1）根據(jù)題意得：CD=8(m)，在Rt△CDA中，∠ACD=90°，∠ADC=60°，∴，∴AC=120(m)，答：無人機的高度AC=；（2）根據(jù)題意得：DE=8(m)，則CE=DE+CD=520(m)，過點B作BF⊥CE于點F，則四邊形ABFC為矩形，∴AB=FC，BF=AC=，在Rt△BFE中，∠BFE=90°，∠BEF=37°，∴，∴EF=(m)，∴AB=FC=CE-EF=520-276.8243(m)，答：AB的長度為243m．【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，矩形的性質(zhì)．注意能借助俯角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形是解此題的關(guān)鍵，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．19.如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點D，E為BD上一點，過點E作EF⊥BC交AB于點F，過點F作FG⊥EF分別交AD，AC于點N，G，過點G作GH∥EF交BC于點H．（1）求證：△AFG∽△ABC；（2）若AD＝3，BC＝9，設(shè)EF的長度為x，四邊形EFGH的面積為y，求y與x之間的函數(shù)表達式，并求y的最大值．【答案】（1）見解析（2）y＝－3x2＋9x(0＜x＜3)，y最大值為【解析】【分析】（1）利用垂直于同一直線的兩直線平行得到FG∥BC，由平行線的性質(zhì)得到，即可證明三角形相似；（2）利用相似三角形的判定和二次函數(shù)極值的求法，找到相似三角形，根據(jù)函數(shù)表達式求出極值，即可解決問題．【小問1詳解】∵EF⊥BC，F(xiàn)G⊥EF，∴FG∥BC．，∴△AFG∽△ABC．【小問2詳解】∵EF⊥BC，GH∥EF，∴∠FEH＝90°，GH⊥BC．∴∠GHE＝90°．又FG⊥EF，AD⊥BC，∴∠EFG＝∠ADB＝90°．∴四邊形EFGH，EFND都是矩形．∴ND＝EF，AN⊥FG．∵EF＝x，AD＝3，∴ND＝EF＝x．∴AN＝AD－ND＝3－x．由(1)得△AFG∽△ABC，∴＝，即＝．∴FG＝9－3x．∵S四邊形EFGH＝EF·FG，∴y＝x(9－3x)＝－3x2＋9x＝－3＋(0＜x＜3)．∵－3<0，∴當(dāng)x＝時，y取得最大值，最大值為．【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、二次函數(shù)的極值問題，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．20.如圖，△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，AB＝AC，∠BAC＝90°，DE＝DF，∠EDF＝90°，D為BC邊中點，連接AF，且A，F(xiàn)，E三點恰好在一條直線上，EF交BC于點H，連接BF，CE．（1）求證：AF＝CE；（2）猜想CE，BF，BC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（3）若CH＝2，AH＝4，請直接寫出線段AC，AE的長．【