2022年廣東省深圳市南山外國語學(xué)校（集團）中考數(shù)學(xué)一模試卷（解析版）

2022年廣東省深圳市南山外國語教育集團中考數(shù)學(xué)一模試卷一．選擇題1.某物體如圖所示，它的主視圖是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)主視圖的定義和畫法進行判斷即可．【詳解】解：某物體如圖所示，它的主視圖是：故選：D．【點睛】本題考查簡單幾何體的主視圖，主視圖就是從正面看物體所得到的圖形．2.下列運算中，結(jié)果正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【詳解】解：A．，此選項錯誤；B．，此選項錯誤；C．，此選項正確；D．，此選項錯誤；故選：C．3.口袋里有除顏色不同外其他都相同的紅、藍、白三種顏色的小球共30個，摸到紅球的概率是，摸到藍球的概率是，則袋子里有白球（）個．A.15 B.10 C.5 D.6【答案】C【解析】【分析】用摸到球的概率乘以球的總數(shù)即為摸出球的個數(shù)．【詳解】解：因為摸到紅球的概率是，摸到藍球的概率是，所以紅球的個數(shù)為，藍球的個數(shù)為，所以袋子里有白球有30﹣15﹣10=5．故選C．【點睛】本題考查概率的定義.正確理解概率的定義是解題的關(guān)鍵.4.學(xué)校歌詠比賽，共有11位評委分別給出參賽選手的原始評分，評定參賽選手的成績時，從11個原始評分中去掉一個最高分、一個最低分，得到9個有效評分．9個有效評分與11個原始評分相比，一定不變的特征數(shù)據(jù)是（）A.平均數(shù) B.中位數(shù) C.眾數(shù) D.方差【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，由數(shù)據(jù)的數(shù)字特征的定義，分析可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，從11個原始評分中去掉1個最高分、1個最低分，得到9個有效評分，9個有效評分，與11個原始評分相比，最中間的一個數(shù)不變，即中位數(shù)不變，不變的特征數(shù)據(jù)是：中位數(shù)．故選：B．【點睛】此題考查了數(shù)據(jù)分析初步，涉及到平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)以及方差，熟知相關(guān)數(shù)據(jù)特征代表的意義是解決本題的關(guān)鍵．5.如圖，在中，點分別是邊的中點，則與的面積之比為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可；【詳解】∵點分別是邊的中點，∴，，∴，∴與的相似比是1:2，則與的面積之比1:4．故答案選D．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，準確計算是解題的關(guān)鍵．6.若在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍在數(shù)軸上表示正確的是（

）A.

B. C.

D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件：被開方數(shù)為非負數(shù)可得x+2≥0，再解不等式即可．【詳解】解：∵二次根式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，∴被開方數(shù)x+2為非負數(shù)，∴x+20，解得：x-2在數(shù)軸上表示為：故答案選D【點睛】本題考查了二次根式有意義的條件，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握二次根式有意義的條件．7.如圖，某汽車在路面上朝正東方向勻速行駛，在A處觀測到樓H在北偏東60°方向上，行駛1小時后到達B處，此時觀測到樓H在北偏東30°北方向上，那么汽車由B處到達離樓H距離最近的位置C時，需要繼續(xù)行駛的時間為（）A.60分鐘 B.30分鐘 C.15分鐘 D.45分鐘【答案】B【解析】【分析】作HC⊥AB交AB的延長線于C，根據(jù)題意得到BA=BH，根據(jù)∠BHC=30°得到BC=BH，等量代換得到答案．【詳解】解：作HC⊥AB交AB的延長線于C，

由題意得，∠HAB=60°，∠ABH=120°，

∴∠AHB=30°，

∴BA=BH，

∵∠ABH=120°，

∴∠CBH=60°，又HC⊥AB，

∴∠BHC=30°，

∴BC=BH，

∴BC=AB，

則該車繼續(xù)行駛30分鐘可使汽車到達離樓H距離最近的位置，

故選B．【點睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題，正確作出輔助線、熟記銳角三角函數(shù)的定義和特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．8.某中學(xué)為了創(chuàng)建“最美校園圖書屋”新購買了一批圖書，其中科普類圖書平均每本書的價格是文學(xué)類書平均每本書價格的1.2倍，已知學(xué)校用1200元購買文學(xué)類圖書的本數(shù)比用這些錢購買科普類圖書的本數(shù)多10本，設(shè)文學(xué)類圖書平均每本書的價格是x元，則下列方程正確的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】文學(xué)類圖書平均每本書的價格是x元，則科普類圖書的價格為1.2x元，則1200元能購買文學(xué)類書的數(shù)量為：，購買科普類書籍的數(shù)量為，據(jù)此列出分式方程即可．【詳解】文學(xué)類圖書平均每本書的價格是x元，則科普類圖書的價格為1.2x元，則1200元能購買文學(xué)類書的數(shù)量為：，購買科普類書籍的數(shù)量為，則依據(jù)題意有：，故選：B．【點睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，明確題意列出分式方程是解答本題的關(guān)鍵．9.如圖，已知二次函數(shù)，它與軸交于、，與的負半軸交于，頂點在第四象限，縱坐標為，則下列說法：①若拋物線的對稱軸為，則；②；③為定值；④．其中正確的結(jié)論個數(shù)有（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】A【解析】【分析】把頂點坐標（1，-4）代入求解即可判斷①②；二次函數(shù)可以看做是二次函數(shù)向右平移得到的，即可求出AB即可判斷③④；【詳解】解：①若拋物線的對稱軸為，則拋物線頂點坐標為（1，-4），∴，∴，故①正確；②∵當時，，∴，∵，∴，∴，∴，故②正確；③∵二次函數(shù)解析式為且頂點縱坐標為-4，∴二次函數(shù)可以看做是二次函數(shù)向右平移得到的，令，則，解得，∴，故③正確；④∴，故④正確；故選：A．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象的平移、二次函數(shù)與x軸的交點問題等等，熟知二次函數(shù)的相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．10.如圖，正方形中，E、F分別為邊上的點，且，過F作，交于G，過H作于M，若，則下列結(jié)論中：①；②；③，其中結(jié)論正確的是()A.只有①② B.只有①③ C.只有②③ D.①②③【答案】D【解析】【分析】①根據(jù)∠ABE的余角是∠BGF和∠AEB，得到∠BGF=∠AEB，根據(jù)SAS證明△ABE≌△CBF，得到∠AEB=∠CFB，即可得到∠BGF=∠CFB；②將△DFH繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△DEN，證明N，E，H三點共線，根據(jù)DH=HN即可得到答案；③連接EF，證明EF=，BE=BF=,根據(jù)求出，根據(jù)求出，即可得到答案．【詳解】①∵正方形ABCD中，AB=BC=9，∠A=∠C=90°，且AE=CF=3，∴△ABE≌△CBF(SAS)，∴∠CFB=∠AEB，∵FG⊥BE，∴∠BHG=90°，∴∠BGH+∠ABE=90°，∵∠AEB+∠ABE=90°，∴∠BGH=∠AEB，∴，正確；②∵AD=CD，AE=CF，∴DE=DF,將△DFH繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△DEN，點F的對應(yīng)點為點E，則∠HDN=90°，∠DFH=∠DEN，DH=DN，F(xiàn)H=EN，∵∠EDF+∠EHF=180°，∴∠DEH+∠DFH==180°，∴∠DEH+∠DEN=180°，∴N，E，H三點在同一條直線上，∴∠N=∠DHN=(180°-∠HDN)=45°，∴DH=HN=EH+EN=EH+FH，∴，正確；③連接EF，∵AD=CD=9，AE=CF=3，，∴DE=DF=6，∴EF=，∵，∴，設(shè)BH=x，則EH=BE-BH=，∵，∴，∴，即，∵HM⊥AB，∴，∴，∴，∴故正確．∴正確的結(jié)論為①②③，故選D．【點睛】本題綜合考查了正方形和三角形，解決問題的關(guān)鍵是添加輔助線，熟練掌握正方形的邊角性質(zhì)，三角形全等的判定定理和性質(zhì)定理，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義．二．填空題11.分解因式：=_______．【答案】4（x+2）（x-2）【解析】【分析】先提公因式4，然后使用平方差公式因式分解即可．【詳解】解：原式=4（x2-4）=4（x+2）（x-2）．【點睛】本題考查了提公因式法和公式法，熟練掌握平方差公式a2-b2=（a+b）（a-b）是解題的關(guān)鍵．12.若是關(guān)于的方程的解，則的值為________．【答案】【解析】【分析】把代入方程，得到關(guān)于的一元一次方程，再解方程即可.【詳解】解：是關(guān)于的方程的解，，，解得：，故答案為：．【點睛】本題考查了分式方程的解的定義，理解分式方程的解的定義是解題的關(guān)鍵．使方程左右兩邊的值相等的未知數(shù)的值是該方程的解．13.拋物線向右平移2個單位長度，再向上平移3個單位長度，得到拋物線的頂點坐標是______．【答案】（3，5）【解析】【分析】先求出拋物線的頂點坐標，再根據(jù)向右平移橫坐標加，向上平移縱坐標加求出平移后的拋物線的頂點坐標即可．【詳解】解：拋物線的頂點坐標為（1，2），∵將拋物線y=（x-1）2+2再向右平移2個單位長度，向上平移3個單位長度，∴平移后的拋物線的頂點坐標為（3，5）．故答案為：（3，5）．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減．并用規(guī)律求函數(shù)解析式．14.如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠ACB=45°，∠D=30°，B、C、D在同一直線上，連接AD，若AB=，則sin∠CAD=____．【答案】【解析】【分析】先解等腰直角三角形ABC，得出BC=AB=，AC=AB=．再解Rt△ABD，得出AD=2AB=2，BD=AB=3，那么CD=BD﹣BC=3﹣．過C點作CE⊥AD于E．根據(jù)S△ACD=AD?CE=CD?AB，求出CE=，然后在Rt△AEC中利用正弦函數(shù)的定義即可求出sin∠CAD的值．【詳解】解：∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∠ACB=45°，∴△ABC是等腰直角三角形，∵AB=，∴BC=AB=，AC=AB=．∵在Rt△ABD中，∠B=90°，∠D=30°，AB=，∴AD=2AB=2，BD=AB=3，∴CD=BD﹣BC=3﹣．過C點作CE⊥AD于E．∵S△ACD=AD?CE=CD?AB，∴CE==，∴sin∠CAD==．故答案為．【點睛】本題考查了解直角三角形，利用面積公式求出EC的長是解題的關(guān)鍵．15.如圖所示，由8個有公共頂點O的等腰直角三角形拼成的圖形，∠AOB=∠BOC=???=∠MON=45°．若OA=64，則ON的長為__________．【答案】4【解析】【分析】在等腰Rt△BOA中，利用三角函數(shù)得到OB=，同理OC==，，ON=，據(jù)此求解即可．【詳解】解：在等腰Rt△BOA中，OA=64，∴OB=OAcos45°=，在等腰Rt△BOC中，同理OC==，同理OD==，，∴ON==4，故答案為：4．【點睛】本題主要考查解直角三角形，等腰直角三角形的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題，得出邊長變化規(guī)律是解題關(guān)鍵．三、解答題16.計算：【答案】

【解析】【分析】原式利用特殊角的三角函數(shù)值，以及乘方的意義計算即可得到結(jié)果．【詳解】解：原式

【點睛】本題考查了實數(shù)的混合運算；涉及到特殊角的三角函數(shù)值以及乘方，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵17.解方程：2（x+1）2=x+1．【答案】x1=﹣1，x2=﹣．【解析】【分析】將x+1看作整體，進而利用提取公因式法分解因式解方程即可．詳解】解：2（x+1）2=x+12（x+1）2﹣（x+1）=0，（x+1）[2（x+1）﹣1]=0，解得：x1=﹣1，x2=﹣．【點睛】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的常用方法(直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法、換元法等)是解題關(guān)鍵．18.小鵬和小娟玩一種游戲：小鵬手里有三張撲克牌分別是3、4、5，小娟有兩張撲克牌6、7，現(xiàn)二人各自把自己的牌洗勻，小鵬從小娟的牌中任意抽取一張，小娟從小鵬的牌中任意抽取一張，計算兩張數(shù)字之和，如果和為奇數(shù)，則小鵬勝；如果和為偶數(shù)則小娟勝．（1）用列表或畫樹狀圖的方法，列出小鵬和小娟抽得的數(shù)字之和所有可能出現(xiàn)的情況；（2）請判斷該游戲?qū)﹄p方是否公平？并說明理由．【答案】（1）見解析；（2）公平，理由見解析．【解析】【分析】（1）根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后根據(jù)概率公式列式進行計算即可得解；（2）根據(jù)計算概率比較即可．【詳解】（1）畫出樹狀圖如下：（2）此游戲公平，由樹形圖可知：小娟贏概率==小鵬贏的概率．19.如圖，在平面直角坐標系中，各頂點的坐標分別是，與關(guān)于原點位似，的對應(yīng)點分別為，其中的坐標是．（1）和的相似比是；（2）請畫出；（3）邊上有一點，在邊上與點對應(yīng)點的坐標是；（4）的面積是．【答案】（1）（2）見解析（3）（4）3【解析】【分析】（1）直接利用點對應(yīng)點坐標，即可得出相似比；（2）利用相似比即可得出對應(yīng)點位置，進而確定答案；（3）直接利用位似圖形的性質(zhì)得出點坐標即可；（4）利用三角形面積公式求解即可．【小問1詳解】解：和的相似比是；故答案為：；【小問2詳解】如圖所示，即為所求；【小問3詳解】邊上有一點，在邊上與點對應(yīng)點的坐標是；故答案為：；【小問4詳解】的面積是：．故答案為：3．【點睛】本題主要考查了位似變換以及三角形面積求法，正確得出對應(yīng)點位置是解題關(guān)鍵．20.某商店銷售一款工藝品，每件成本為元，為了合理定價，投放市場進行試銷．據(jù)市場調(diào)查，銷售單價是元時，每月的銷售量是件，而銷售單價每降價元，每月可多銷售件．設(shè)這種工藝品每件降價元．（1）每件工藝品的實際利潤為元（用含有的式子表示）；（2）為達到每月銷售這種工藝品的利潤為元，且要求降價不超過元，那么每件工藝品應(yīng)降價多少元？【答案】（1）（2）元【解析】【分析】（1）用銷售單價減去成本即可得答案．（2）設(shè)每件工藝品應(yīng)降價元，根據(jù)每月的銷售利潤每件的利潤每月的銷售量，即可得出關(guān)于的一元二次方程，解之取其較小值即可得出結(jié)論．【小問1詳解】每件工藝品的實際利潤為：元，故答案為：．【小問2詳解】設(shè)每件工藝品應(yīng)降價x元，依題意得：，解得：，（不符題意，舍去）．答：每件工藝品應(yīng)降價元．【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．21.如圖，點E為正方形ABCD邊AD上一動點（不與A、D重合）．連接BE交AC于點F，PQ經(jīng)過點F，分別與AB、CD交于點P、Q，且PQ=BE．（1）求證：BE⊥PQ；（2）求證：FP=FE；（3）若CQ=，求AC﹣2AF的長．【答案】（1）證明過程見詳解（2）證明過程見詳解（3）2【解析】【分析】（1）過Q點作QM⊥AB于點M，先證△ABE≌△MQP，得到∠MPQ=∠AEB，即可證明；（2）連接FD，先證△BCF≌△DCF，F(xiàn)D=BF，∠FDC=∠FBC，再證∠FDC=∠BEA=∠MPQ=∠PQD，即有FQ=FD，即有FP=PQ-FQ=BE-FB=FE，則問題得證；（3）設(shè)MQ交BE于N點，交AC于T點，先證△BPF≌△QNF，得到FN=FP，再證∴△FNT≌△FEA，得到TF=AF，即有AC-2AF=AC-AF-TF=CT，在Rt△CQT中，，則問題得解．【小問1詳解】證明：過Q點作QM⊥AB于點M，如圖，在正方形ABCD中，有∠ABC=∠BCD=90°，BC=AB=AD=CD，，，∵MQ⊥AB，∴∠BMQ=90°=∠PMQ，∴四邊形MBCQ矩形，∴MQ=BC=AB，∵BE=PQ，∠PMQ=∠BAE，∴△ABE≌△MQP，∴∠MPQ=∠AEB，∵在Rt△ABE中，∠AEB+∠ABE=90°，∴∠MPQ+∠ABE=90°，∴∠PFB=90°，∴PQ⊥BE；【小問2詳解】證明：連接FD，如圖，在正方形ABCD中，AC平分∠BCD，，，∴∠BCF=∠DCF，∵BC=CD，CF=CF，∴△BCF≌△DCF，∴FD=BF，∠FDC=∠FBC，∵，∴∠BEA=∠FBC，∴∠FDC=∠BEA，∵在（1）中已經(jīng)證明∠MPQ=∠AEB，∴∠FDC=∠AEB，∵，∴∠MPQ=∠PQD，∴∠FDC=∠BEA=∠MPQ=∠PQD，∴FQ=FD，∴FQ=FB，∵BE=PQ，∴FP=PQ-FQ=BE-FB=FE，∴FP=FE，問題得證；【小問3詳解】設(shè)MQ交BE于N點，交AC于T點，如圖，在（1）中已證得∠PBE=∠MQP，∠BFP=∠BFQ，在（2）中已證得FQ=FB，∴△BPF≌△QNF，∴FN=FP，根據(jù)（2）結(jié)論有FP=FE，∴FN=FE，∵四邊形MBCQ是矩形，，∠CQM=90°，∴，即，CQ=MB，∴∠TNF=∠AFE，∵∠AFE=∠TFN，∴△FNT≌△FEA，∴TF=AF，∴AC-2AF=AC-AF-TF=CT，∵正方形中對角線AC平分∠BCD，，∴∠CTQ=∠BCT，∴∠QCT=45°=∠CTQ，∴CQ=QT=，∵∠CQM=90°，∴Rt△CQT中，，∴AC-2AF=CT=2．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行的性質(zhì)等知識．構(gòu)造全等三角形是解答本題的關(guān)鍵．22如圖，拋物線y=﹣x2+bx+2與x軸交于點A、B，與y軸交于點C．連接AC，BC．（1）若點A的坐標為（﹣1，0）．①求拋物線的表達式；②點P在第一象限的拋物線上運動，直線AP交BC于點F，過點P作x軸的垂線交BC于點H，當△PFH為以PF為腰的等腰三角形時，求點P的坐標．（2）拋物線y=﹣x2+bx+2的頂點在某個y關(guān)于x的函數(shù)圖像上運動，請直接寫出該函數(shù)的解析式．【答案】（1）①②，（2）【解析】【分析】（1）①將A點坐標代入即可求解；②設(shè)PH交AB于點M，坐標原點為O，AP交y軸于點N，先求得A(-1,0)、B(4,0)、C(0,2)，設(shè)點P的坐標為，且，即可表示出OM、PM、BM、AM，采用待定系數(shù)法求出直線BC、AP的解析式，即可求出N點、F點、H點坐標，則可求出ON、HM、CN，接下來分情況討論：第一種情況：PF=HF時，證明△PMA∽△HMB，即有，即可求得a值，此時P點坐標可求；第二種情況：PF=PH時，先證明CN=NF，根據(jù)N點、F點坐標，利用勾股定理求出NF，再根據(jù)CN=NF列關(guān)于a的方程，解方程即可求出a，此時P點坐標可求；（2）將將配成頂點