湖南省邵陽市2024-2025學年高三上學期第一次聯(lián)考數學試題（解析版）

第1頁/共1頁2025年邵陽市高三第一次聯(lián)考試題卷數學本試卷共4頁，19個小題.滿分150分.考試時間120分鐘.注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名，班級，考號填寫在答題卡上.將條形碼橫貼在答題卡上“條形碼粘貼區(qū)”.2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案.答案不能答在試卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答無效.4.保持答題卡的整潔.考試結束后，只交答題卡，試題卷自行保存.一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先解一元二次不等式得出集合B，再應用交集的定義計算即可.【詳解】因為集合，集合，則.故選：B.2.已知向量，，與的夾角為，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先根據向量數量積公式求出，再利用三角函數誘導公式求出結果.【詳解】根據向量數量積公式.先求，.再求..所以.根據三角函數誘導公式，所以.故選：C.3.已知復數滿足：（，i為虛數單位），則（）A.5 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】化簡，再利用復數的除法求得復數，從而求出其模長.【詳解】∵，∴，∴，∴.故選：C.4.已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】利用充分必要條件結合函數的不等式求解即可.【詳解】繪制出的圖像，當時，，當時，.故“”是“”的充分不必要條件.故選：A.5.為了推廣一種新產品，某公司開展了有獎促銷活動：將6件這種產品裝一箱，每箱中都放置2件能夠中獎的產品.若從一箱中隨機抽出2件，能中獎的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用組合數求出基本事件數和符合條件的事件數，再結合古典概型公式求解即可.【詳解】基本事件共有件，符合條件的有件，且設中獎為事件，即，故B正確.故選：B6.經過橢圓的右焦點作傾斜角為的直線，直線與橢圓相交于，兩點，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由橢圓方程求得焦點坐標，從而寫出直線方程，聯(lián)立方程組得一元二次方程，由韋達定理得到兩個的和與差，利用交點弦長公式即可求得結果.【詳解】，，∴，即，，∴，聯(lián)立方程組得，整理得，設，，∴，，.故選：A.7.定義在上的偶函數，其導函數為.若，恒成立，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】構造函數，根據函數的奇偶性求得的奇偶性，再根據函數的導數確定單調性，由此比較三個數的大小.【詳解】若，，，，構造函數，由于是偶函數，故是奇函數.由于，故函數在上遞增.由于，故當時，，當時，.所以，，，，根據單調性有，所以，故選：B.8.已知函數在區(qū)間上有且僅有4個零點，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】將看成一個整體，找出其范圍，再根據正弦函數的圖像和性質列出不等式求解.【詳解】，令，得，.令，由的圖象得：，化簡得.故選：D.二、選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.下列說法正確的是（）A.決定系數越小，模型的擬合效果越好B.若隨機變量服從兩點分布，，則C.若隨機變量服從正態(tài)分布，，則D.一組數（）的平均數為，若再插入一個數，則這個數的方差變大【答案】BC【解析】【分析】利用決定系數的性質判斷A，利用兩點分布的方差公式判斷B，利用正態(tài)分布的對稱性判斷C，舉反例判斷D即可.【詳解】由決定系數性質得，決定系數越大，模型的擬合效果越好，故A錯誤，若隨機變量服從兩點分布，，則，故B正確，若隨機變量服從正態(tài)分布，，由正態(tài)分布性質得，故C正確，我們令，，此時平均數，方差為，插入一個數，此時平均數為，方差為，方差顯然變小了，即再插入一個數，則這個數的方差不可能變大，故D錯誤.故選：BC10.已知拋物線的焦點為，準線過點，是拋物線上的動點，則（）A.B.當時，的最小值為C.點到直線的距離的最小值為2D.當時，直線ON的斜率的最大值為【答案】ABD【解析】【分析】對選項A，可根據拋物線的定義計算出的值判斷其正確，對BCD選項，可根據拋物線的方程設拋物線上任意一點的坐標為，將幾何問題轉化為代數問題進行計算求解.【詳解】根據拋物線的定義，的準線為，由題意準線過，可求出，拋物線的方程為，選項A正確；對于選項B，C，D，可設拋物線上的點的動點為，對于B選項，當時，；當時，當且僅當時，等號成立.選項B正確；對于C選項，直線與拋物線的位置關系如下圖所示：到直線的距離，當時，.選項C錯誤；對于D選項，可根據向量共線作出示意圖：根據定義求出拋物線的焦點F1,0，由得，當時，；當時，，當且僅當時，等號成立.選項D正確.故選：ABD11.已知函數，，則下列結論正確的是（）A.當時，為奇函數B.的圖象關于直線對稱C.當時，，D.若，，則【答案】ACD【解析】【分析】利用奇函數、軸對稱的定義判斷AB；取值計算判斷C；分離參數構造函數，結合不等式性質判斷D.【詳解】對于A，當時，，，函數是奇函數，A正確；對于B，，B錯誤；對于C，當時，，，C正確；對于D，由，得，令，，而，，且均在時取等號，則，，因此，D正確.故選：ACD【點睛】結論點睛：函數的定義域為D，，①存在常數a，b使得，則函數圖象關于點對稱.②存在常數a使得，則函數圖象關于直線對稱.三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.若等比數列滿足：，，則數列的公比______.【答案】【解析】【分析】由結合已知條件可求得的值.【詳解】因為等比數列滿足：，，則，解得.故答案為：.13.某校高三（5）班班主任準備從2名男生和4名女生中選取3人擔任數學、物理、化學學科課代表，每學科安排1人，且至少有1名男生，則不同的選取方法有______（請用數字作答）【答案】96【解析】【分析】可采用間接法或直接法來求解不同的選取方法數.【詳解】方法一：間接法先求出從名男生和名女生共人中選人擔任學科代表的所有情況，再減去所選人都是女生的情況，即可得到至少有名男生的情況.從個不同元素中取出個元素的排列數記為，其計算公式為.從人中選人進行全排列，安排到數學、物理、化學三個學科，方法數為種.從名女生中選人進行全排列，安排到三個學科，方法數為種.用總的選法數減去人都是女生的選法數，可得至少有名男生的選法有種.方法二：直接法分兩種情況討論：選名男生名女生和選名男生名女生，然后分別計算這兩種情況的選法數，最后將它們相加.情況一：選名男生名女生從名男生中選名男生的選法有種，從名女生中選名女生的選法有種，然后將這人進行全排列安排到三個學科，方法數為種.根據組合數公式，可得，.則這種情況下的選法有種.情況二：選名男生名女生從名男生中選名男生的選法有種，從名女生中選名女生的選法有種，然后將這人進行全排列安排到三個學科，方法數為種.，.則這種情況下的選法有種.將兩種情況的選法數相加，可得至少有名男生的選法有種.故答案為：14.已知在棱長為3的正方體中，點是底面ABCD內的動點，點為棱BC上的動點，且，則的最小值為______.【答案】【解析】【分析】由正切函數定義結合幾何位置關系，得到，結合解析幾何中的圓的知識，得到三點共線時，取得最小值，得到結果.【詳解】如圖（一），，.又，.如圖（二），建立平面直角坐標系，則，，，設點.，化簡得：（，）則圓心為，，點關于BC的對稱點.故答案為：.四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）15.已知在中，三個角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且.（1）求角A的大??；（2）若，點D在邊BC上，且，求的值.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）根據余弦定理可求；（2）根據角的關系可得，求出后者后可得比值.【小問1詳解】，.即.由正弦定理得：，，，.【小問2詳解】易知，，，，，，..的值為.16.已知函數.（1）求曲線在點處的切線方程；（2）若函數有2個零點，求實數的取值范圍.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）利用導數的幾何意義求出切線斜率，得到切線方程即可；（2）利用給定條件求出，再轉化為交點問題求解即可.【小問1詳解】由題意知，，令，則，.故，，即切點為，所求切線方程為，即.【小問2詳解】由題意得，當時，，故函數沒有零點；當時，令，得.令，則，，因為有2個零點，所以和有2個交點，令，.令，得.當時，，單調遞增；當時，，單調遞減.，當時，；當時，；當時，；當時，且.實數的取值范圍為.17.如圖，在直四棱柱中，，，，，E，F分別為AD，AB的中點.（1）求證：；（2）求證：平面平面；（3）若，P是線段上的動點，求直線與平面所成角的正弦值的最大值.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）.【解析】【分析】（1）求出，即可得到，結合，即可得到，從而得證；（2）建立空間直角坐標系，求出平面、平面的法向量，即可證明；（3）設，即可表示出的坐標，設直線與平面所成角為，利用向量法求出，再根據二次函數的性質求出的最大值.【小問1詳解】，，所以又，，又，，，.【小問2詳解】在直四棱柱中，平面，又平面，所以，，，，兩兩垂直，以為原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，設，則，，，，，.，，，設n1=x令，得，.設平面的一個法向量，則，取.，又平面與平面不重合，平面平面.【小問3詳解】當時，為平面的一個法向量，，則，設，，，設直線與平面所成角為，，當且僅當時，等號成立，所以直線與平面所成角的正弦值的最大值為.18.已知雙曲線的漸近線方程為，右頂點為，點在上.（1）求的方程；（2）過點直線與C相交于F，G兩點，點E與點F關于軸對稱，問直線EG是否過定點？若過定點，求出定點坐標；若不過定點，請說明理由；（3）將圓心在軸上，且與C的兩支各恰有一個公共點的圓稱為“子圓”，若兩個“子圓”外切于點，圓心距為，求.【答案】（1）（2）直線EG過定點.（3）.【解析】【分析】（1）設出方程帶入點，得到方程.（2）當直線DG的斜率不為零時，設直線DG的方程再進行聯(lián)立，再易知，直線EG的斜率存在，設直線EG的方程為，最后得到過定點.（3）考慮子圓，兩圓的圓心之間的距離，最后得到答案.【小問1詳解】設雙曲線的方程為，將點代入得，即，雙曲線的方程為【小問2詳解】當直線DG的斜率不為零時，設直線DG的方程為，，，.由消去整理得，依題意得：，且，即且，，.易知，直線EG的斜率存在，設直線EG的方程為.令，得.直線EG過定點.當直線DG的斜率為0時，直線EG的方程為，過點，綜上，直線EG過定點.【小問3詳解】考慮以為圓心的“子圓”，由的方程與的方程消去，得關于的二次方程.依題意，該方程的判別式，.對于外切于點的兩個“子圓”，，顯然點在軸上，設，，的半徑分別為，，不妨設，的圓心分別為，.則，.兩式相減得：，而，.，整理得：.，點.，故.19.已知正項數列（）的前項和為，且.當時，將進行重新排列，構成新數列，使其滿足：或（其中，）.（1）當時，寫出所有滿足的數列；（2）試判斷數列是否為等差數列，并加以證明；（3）當時，數列滿足：是公差為且（且）的等差數列，求公差.【答案】（1）2，4，1，3，5和2，5，3，1，4.（2）不可能是等差數列，證明見解析（3）.【解析】【分析】（1）需要根據已知條件求出的表達式，再根據以及和或的條件來確定數列.（2）根據等差數列的定義判斷數列是否為等差數列.（3）利用已知條件對分類討論，設，求出范圍，再根據是公差為的等差數列，求出，得到滿足題意的.【小問1詳解】，①當時，，即，.當時，，②由①－②得：，即.，，，即.數列是以1為首項，1為公差的等差數列..由題意可得當且的數列為：2，4，1，3，5和2，5，3