內(nèi)蒙古鄂爾多斯市西四旗2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

第1頁/共1頁鄂爾多斯市西四旗2024～2025學(xué)年第一學(xué)期期末聯(lián)考試卷高三數(shù)學(xué)考生注意：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫清楚.3.考生作答時(shí)，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.4.本卷命題范圍：一輪復(fù)習(xí)集合～解析幾何.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)交集的定義計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)榧?，，所?故選：B2.已知復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】應(yīng)用復(fù)數(shù)乘法求復(fù)數(shù)，進(jìn)而有，根據(jù)其對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)確定所在象限.【詳解】由，則，所以在復(fù)平面內(nèi)z對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第一象限.故選：A3.已知向量，，若與方向相同，則（）A.0 B.1 C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)向量平行可得的值，利用與方向相同驗(yàn)證可得結(jié)果.【詳解】由與方向相同得，，∴，解得，當(dāng)時(shí)，，，，與方向相同，當(dāng)時(shí)，，，，與方向相反，不合題意.綜上得，.故選：C.4.已知，，則（）A.8 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用正切函數(shù)的和角公式，可得答案.【詳解】因，，所以.故選：D.5.已知直線：，：，若，則（）A.5 B.2 C.2或-5 D.5或-2【答案】A【解析】【分析】根據(jù)直線平行，結(jié)合一般式方程建立方程，分別驗(yàn)根，可得答案.【詳解】因?yàn)橹本€：與直線：平行，所以，解得或.當(dāng)時(shí)，直線：與直線：重合，不符合題意；當(dāng)時(shí)，直線：與直線：平行，符合題意.綜上，.故選：A.6.設(shè)是等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則（）A.48 B.84 C.90 D.112【答案】C【解析】【分析】利用等比數(shù)列片段和的性質(zhì)得，，進(jìn)而可求.【詳解】因?yàn)槭堑缺葦?shù)列的前n項(xiàng)和，所以，，，成等比數(shù)列，又，，所以，，所以.故選：C7.已知拋物線：的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P是C上的一點(diǎn)，點(diǎn)，則周長的最小值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】過點(diǎn)P作C的準(zhǔn)線的垂線，垂足為，結(jié)合拋物線定義及三角形的性質(zhì)有求周長最小值.【詳解】由題知，準(zhǔn)線方程為，過點(diǎn)P作C的準(zhǔn)線的垂線，垂足為，由拋物線的定義知，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)M，P，三點(diǎn)共線時(shí)取得最小值，故周長的最小值是.故選：C8.已知函數(shù)，若函數(shù)恰有5個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】作出函數(shù)的圖象并換元，結(jié)合圖象將問題轉(zhuǎn)化為方程根的分布列不等式求解.詳解】由函數(shù)恰有5個(gè)零點(diǎn)，得方程有5個(gè)根，在平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象，令，觀察圖象知，當(dāng)時(shí)，直線與的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，直線與的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，令，由函數(shù)有5個(gè)零點(diǎn)，得有兩個(gè)不等實(shí)根，且，，因此或，解得或，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是.故選：B.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知函數(shù)的最小正周期為，則（）A. B.直線是圖象的一條對稱軸C. D.函數(shù)圖象的對稱中心為【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)余弦函數(shù)周期公式判斷A，求出對稱軸方程代入特殊值判斷B，根據(jù)余弦型函數(shù)的單調(diào)性判斷C，根據(jù)對稱中心結(jié)論求解判斷D【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期為，所以，解得，故A錯(cuò)誤；由上得，令，，解得，，當(dāng)時(shí)，直線是圖象的一條對稱軸，故B正確；由，，時(shí)，可得在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以，故C正確；令，，解得，，所以的對稱中心為，故D錯(cuò)誤.故選：BC.10.已知直線，，平面，，則下列說法正確的是（）A.若，，則 B.若，，，則C.若，，，則 D.若，，，則【答案】BC【解析】【分析】由線面平行的判定定理和性質(zhì)定理可得A錯(cuò)誤，B正確；由線面垂直的的性質(zhì)可得C正確，D錯(cuò)誤；【詳解】選項(xiàng)A中，可能在內(nèi)，也可能與平行，故A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B中，因?yàn)?，，，所以，故B正確；選項(xiàng)C中，因?yàn)椋?，所以，又，所以，故C正確；選項(xiàng)D中，因?yàn)?，，，所以，故D錯(cuò)誤.故選：BC.11.曲線C是平面內(nèi)與三個(gè)定點(diǎn)，和的距離的和等于的點(diǎn)的軌跡，P為C上一點(diǎn)，則（）A.曲線C關(guān)于x軸對稱 B.存在點(diǎn)P，使得C.面積的最大值是1 D.存在點(diǎn)P，使得為鈍角【答案】BCD【解析】【分析】A選項(xiàng)，由已知表示出曲線C的方程，觀察方程的對稱性可以判斷結(jié)果；B選項(xiàng)，假設(shè)結(jié)論成立，推理出曲線存在，符合題意；C選項(xiàng)，點(diǎn)P在橢圓上頂點(diǎn)時(shí)，滿足題意，且面積最大；D選項(xiàng)，尋找曲線C上的一個(gè)特殊點(diǎn)，驗(yàn)證為鈍角.【詳解】設(shè)曲線C上任意一點(diǎn)Px,y由題意可知C的方程為.因?yàn)辄c(diǎn)0,1在曲線C上，而點(diǎn)不在曲線C上，所以曲線C不關(guān)于x軸對稱，故A錯(cuò)誤；若，則，所以這樣的點(diǎn)P存在，故B正確；，P應(yīng)該在橢圓D：內(nèi)（含邊界），曲線C與橢圓D有唯一的公共點(diǎn)，此時(shí)，，當(dāng)點(diǎn)P為點(diǎn)時(shí)，的面積最大，最大值是1，故C正確；取曲線C上點(diǎn)，此時(shí)，在曲線C上再尋找一個(gè)特殊點(diǎn)，，則，即，兩邊平方并整理得，解得，即或.因?yàn)?，則取點(diǎn)，此時(shí)，故D正確.故選：BCD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是判斷曲線C的方程表示的幾何圖形，根據(jù)已知條件并數(shù)形結(jié)合P點(diǎn)的位置，再通過找特殊點(diǎn)得出即或，并取點(diǎn)，從而解決問題.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知偶函數(shù)滿足：當(dāng)時(shí)，，則______.【答案】18【解析】【分析】根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合對數(shù)運(yùn)算，可得答案.【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以.故答案為：.13.如圖是某烘焙店家烘焙蛋糕時(shí)所用的圓臺(tái)狀模具，它的高為6cm，下底部直徑為12cm，上面開口圓的直徑為20cm，現(xiàn)用此模具烘焙一個(gè)跟模具完全一樣的兒童蛋糕，若蛋糕膨脹成型后的體積會(huì)變?yōu)樵瓉硪簯B(tài)狀態(tài)下體積的2倍（模具不發(fā)生變化），現(xiàn)用直徑為16cm的圓柱形容器量取液態(tài)原料（不考慮損耗），則圓柱形容器中需要注入液態(tài)原料的高度為________cm.【答案】####【解析】【分析】根據(jù)圓臺(tái)的體積公式以及圓柱的體積公式，可得答案.【詳解】圓臺(tái)狀蛋糕膨脹成型后的體積為，圓柱形容器中液態(tài)原料的體積為，解得，即圓柱形容器中需要注入液態(tài)原料的高度為.故答案為：.14.已知圓和圓與x軸和直線都相切，兩圓相交于M，N兩點(diǎn)，其中點(diǎn)M的坐標(biāo)為，且兩圓半徑的乘積為5，則k的值為_______.【答案】【解析】【分析】由題意設(shè)出圓心與半徑，根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，將問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程有解問題，利用韋達(dá)定理求得兩圓心所在直線的斜率，根據(jù)正切的二倍角公式，可得答案.【詳解】圓和圓與x軸和直線都相切，且一個(gè)交點(diǎn)，設(shè)a，b分別是圓和圓的半徑，，，其中，所以，所以a，b是的兩個(gè)不同的根，又，所以，解得，所以，而直線的傾斜角是直線的傾斜角的一半，當(dāng)時(shí)，可得，符合題意；當(dāng)時(shí)，可得，不符合題意.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵在于方程思想的應(yīng)用，將問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程有解問題，利用韋達(dá)定理求參數(shù)，即可使問題解決.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）應(yīng)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式求基本量，進(jìn)而寫出通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)的符號(hào)，討論、，結(jié)合等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，又，，所以，解得，，所以.【小問2詳解】由（1）知，當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.綜上，16.如圖，在平面四邊形中，，，，．（1）求四邊形的周長；（2）求四邊形的面積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先根據(jù)二倍角公式得到，再根據(jù)余弦定理得到及的值，即可求得周長；（2）根據(jù)三角形面積公式得到的面積，即可求得結(jié)果【小問1詳解】因?yàn)?，，所以，在中，由余弦定理得，所以，在中，由余弦定理得，所以，解得，所以四邊形的周長為；【小問2詳解】因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)椋?，所以，所以四邊形的面積為．17.已知雙曲線E：與有相同的漸近線，且過點(diǎn).（1）求E的方程；（2）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與E交于P，Q兩點(diǎn)，且，求m的值.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法，結(jié)合代入法進(jìn)行求解即可；（2）將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示公式進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】由題意，設(shè)E的方程為，又E過點(diǎn)，所以，解得，所以E的方程為.【小問2詳解】設(shè)Px1,y1，Q因?yàn)棣?所以，，所以，所以，解得或.18.如圖，在四棱錐中，，，，是邊長為2的等邊三角形，且平面平面，點(diǎn)E是棱上的一點(diǎn).（1）若，求證：平面；（2）若平面與平面的夾角的余弦值為，求的值；（3）求點(diǎn)到直線的距離的最小值.【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)F，可得，再由線面平行的判定定理可得答案；（2）取的中點(diǎn)O，由面面垂直、線面垂直的性質(zhì)定理得，，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線，，分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求出平面、平面的法向量，由二面角的向量求法求出可得答案；（3）設(shè)，，求出點(diǎn)到直線的距離，分、、可得答案.【小問1詳解】取的中點(diǎn)F，連接，，又，點(diǎn)F是的中點(diǎn)，所以，，又，，所以，，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面；【小問2詳解】取的中點(diǎn)O，連接，，如圖所示，因?yàn)榈冗吶切?，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，，又，得，所以以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線，，分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，所以，D0,1,0，，，，設(shè)，，所以，又，設(shè)平面的法向量為，所以，令，解得，，所以平面的法向量.又，BC=0,1,0設(shè)平面的法向量為，所以，令，解得，，所以平面的法向量.設(shè)平面與平面的夾角為，所以，解得，所以；【小問3詳解】設(shè)，，所以，又，所以點(diǎn)到直線的距離，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，而，當(dāng)時(shí)，取最小值，此時(shí).綜上，點(diǎn)到直線的距離的最小值為.19.已知曲線在點(diǎn)處的切線交軸于點(diǎn)，曲線在點(diǎn)處的切線交x軸于點(diǎn)，依此類推，曲線在點(diǎn)處的切線交x軸于點(diǎn)，其中數(shù)列稱為函數(shù)關(guān)于的“切線數(shù)列”.（1）若，是函數(shù)關(guān)于的“切線數(shù)列”，求的值；（2）若，是函數(shù)關(guān)于的“切線數(shù)列”，記，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）若，是否存在，使得函數(shù)關(guān)于的“切線數(shù)列”為周期數(shù)列?若存在，求出所有滿足條件的；若不存在，請說明理由.【答案】（1）；（2）；（3）不存在，理由見解析.【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程，進(jìn)而求；（2）導(dǎo)數(shù)幾何意義求切線方程，根據(jù)題設(shè)定義得到，結(jié)合已知得，代入整理，結(jié)合等比數(shù)列定義寫出通項(xiàng)公式；（3）根據(jù)定義得到，進(jìn)而有且，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究右側(cè)的單調(diào)性，再討論的范圍研究單調(diào)性，即可得結(jié)論.【小問1詳解】由，得，因?yàn)?，所以，，曲線在處的切線方程為，即.令，得，即.【小問2詳解】由，得，所以，，曲線在處的切線方程為，即.令，得，即.因?yàn)?，所以，，即，所以，所以，又，所以，所以?shù)列是以2為首項(xiàng)